narkive is for sale. Interested? (dismiss)
Discussion:
Neue Erkenntnisse aus Augsburg
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-05-06 22:05:32 UTC
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"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Stephan Gerlach
2020-05-06 22:45:06 UTC
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Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
Allgemeiner lautet eine derartige Aussage wohl:

"Aus a =/= b folgt c =/= b."

Ist das ein allgemeingültiges Argument(?), oder müssen dazu für a, b und
c bestimmte Voraussetzungen gelten?
--
Post by Me
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Me
2020-05-06 23:33:35 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
"Aus a =/= b folgt c =/= b."
Nicht ganz (wegen dem Allquantor usw.), denke ich. Wohl eher:

Aus An e IN: a_n =/= a folgt lim_(n->oo) a_n =/= a .

Ich habe das zwar seinerzeit an der Uni anders gelernt, aber vielleicht wird das das ja in Augsburg anders gehandhabt?

Dort scheint z. B. zu gelten, dass die Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = 1 - 1/n (für alle n e IN) NICHT den Grenzwert 1 besitzt, denn immerhin gilt An e IN: a_n =/= 1.
Ganzhinterseher
2020-05-07 13:11:14 UTC
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Post by Me
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
"Aus a =/= b folgt c =/= b."
Aus An e IN: a_n =/= a folgt lim_(n->oo) a_n =/= a .
Nein, das ist nicht richtig.

Im Rahmen der Mengenlehre mit ihren aktual unendlich vielen Indizes muss man unterscheiden zwischen allen (aleph_0) endlich indizierten Folgengliedern und dem Grenzwert der Folge.

Aus An e IN: a_n =/= a folgt

zum Beispiel 0,999... < 1.

Der Grenzwert ist 1.
Post by Me
Dort scheint z. B. zu gelten, dass die Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = 1 - 1/n (für alle n e IN) NICHT den Grenzwert 1 besitzt, denn immerhin gilt An e IN: a_n =/= 1.
Es sollte klar sein, dass alle natürlichen Zahlen, selbst wenn aleph_0 davon existieren, trotzdem natürliche Zahlen sind und positive Kehrwerte besitzen.

Der Grenzwert ist natürlich 1, aber eben keines der unendlich vielen Folgenglieder.

Gruß, WM
Me
2020-05-07 13:16:08 UTC
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zum Beispiel [ist] 0,999... < 1.
Nö, Mückenheim. Es gilt

0,999... = 1 .

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Juergen Ilse
2020-05-07 13:30:49 UTC
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Hallo,
Post by Me
zum Beispiel [ist] 0,999... < 1.
Nö, Mückenheim. Es gilt
0,999... = 1 .
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Gib es auf. Ich habe versucht, es ihm zu verdueltichen, indem ich vorschlug,
die Menge der reellen Zahlen als Menge von "Aequivalenzklassen von Cauchy-
Folgen" einzufuehren (den Nachweis, dass dabei entsprechende Teilmengen
dieser neu definierten Menge existieren, die isomorph zu den bis dato bekann-
ten Mengen der natuerlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind, habe ich mir
dabei gespart, aber ja, auch das kann man bei dieser Konstruktion nachweisen).
Somit kann man diese neu erzeugte Menge sowohl als Menge von Aequivalenzklassen
von Cauchy-Folgen als auch als Erweiterung der Menge der rationalen Zahlen
auffassen. Als Menge von Aequivalenzklassen von Cauchy-Folgen laesst sich der
Nachweis 0,999999... = 1 dadurch fuehren, dass die konstante Folge a(n)=1 mit
der Folge a(n)=0,999...9 (insgesamt n Neuen als Nachklommastellen) fuer
jeweils n=1...unendlich beides Cauchy-Folgen sind und deren Diferenzenfolge
eine Nullfolge ist, sie also beide zur selben Aequivalenzklasse gehoeren,
sprich die *selbe* reelle Zahl repraesentieren. Aber auch das hatte er nicht
begriffen. Statt dessen hat er angefangen irgend einen Unfug ueber "nicht
individuell definierbare reelle Zahlen" herumzuschwafeln ...

Er ist offenbar nie ueber die naive Vorstellung der Schulmathematik hinaus-
gekommen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-07 14:10:11 UTC
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Post by Juergen Ilse
Als Menge von Aequivalenzklassen von Cauchy-Folgen
Da geht es um Grenzwerte!
Post by Juergen Ilse
laesst sich der
Nachweis 0,999999... = 1 dadurch fuehren, dass die konstante Folge a(n)=1 mit
der Folge a(n)=0,999...9 (insgesamt n Neuen als Nachklommastellen) fuer
jeweils n=1...unendlich beides Cauchy-Folgen sind und deren Diferenzenfolge
eine Nullfolge ist
also den *Grenzwert* 0 besitzt. Es gibt aber keine Dezimalstelle, an der Null erreicht wäre. Auch bei unendlich vielen Dezimalstellen ist das nicht der Fall.

Gruß, WM
Me
2020-05-07 14:14:02 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Me
Es gilt
0,999... = 1 .
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Gib es auf.
Hab ich, was Mückenheim betrifft, schon lange. :-)
Post by Juergen Ilse
Ich habe versucht, es ihm zu verdueltichen, indem ich vorschlug, die
Menge der reellen Zahlen als Menge von "Aequivalenzklassen von Cauchy-
Folgen" einzufuehren [usw.]
Ich denke, das ist alles noch nicht einmal nötig. Denn er scheint ja immerhin zu kapieren, dass "Der Grenzwert [gleich] 1 [ist]". Aber ich möchte das hier nicht weiter vertiefen.

Jedenfalls ist die Aussage

0,999... < 1

im Kontext der gewöhnlichen Analysis natürlich falsch, denn "die Symbole „0,999...“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar". (Wikipedia)
Ganzhinterseher
2020-05-07 14:12:29 UTC
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Post by Me
zum Beispiel [ist] 0,999... < 1.
Nö, Mückenheim. Es gilt
0,999... = 1 .
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Besser ist es Logik anzuwenden: Für alle Neunen gilt: Keine erreicht 1.

0,999... stellt eine Partialsummenfolge in abkürzender Schreibweise dar, keine Zahl. Zahlen brauchen keine "...". Deshalb gilt

0,999... --> 1

Gruß, WM
Me
2020-05-07 14:31:07 UTC
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Post by Ganzhinterseher
0,999... stellt eine Partialsummenfolge in abkürzender Schreibweise dar,
keine Zahl.
Nö, nö, Mückenheim:

"Die Symbole „0,999...“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar". (Wikipedia)

Aber leider haben Sie auch nicht GANZ unrecht. Wie ich Ihnen schon einmal mitgeteilt habe, gilt es nämlich folgendes zu beachten:

==============

Eine KONVENTION -und zwar eine m. E. durchaus verwirrende- ist es sowohl die Reihe SELBST mit

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

zu bezeichnen als auch die SUMME der Reihe (also den Grenzwert der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert).

Ich jedenfalls gebe gerne zu, dass genau DIESER UMSTAND mich seinerzeit als Student im ersten Semester ganz schön verwirrt hat. :-)

Außerdem bin ich der Meinung, dass AUCH DU das noch nicht ganz "geblickt" hast, sonst würdest Du m. E. nicht so einen bodenlosen Unsinn von Dir geben (können), wie
Post by Ganzhinterseher
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..
Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe. Das Gleichheits-
zeichen ist zwar eine Konvention, aber eine sehr irreführende.

oder

An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1.

Wie ich schon sagte: "Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter gleichzeitiger Weglassung von "lim")" verorten."

==============================

Nachtrag: Das PROBLEM wird überdeutlich in der EINEN Bemerkung:

"Da 0,999... eine geometrische Reihe mit a = 9 und r = 1/10 ist, gilt:

0,999... = ... 9(1/10) + 9(1/10)^2 + 9(1/10)^3 + ... = (9(1/10))/(1-1/10) = 1."

(Wikipedia).

0,999... "ist" also eine Reihe, d. h. eine Folge von "Partialsummen" und ZUGLEICH eine reelle Zahl, nämlich die 1. *sigh* (Hier wird also das Symbol "0,999..." in ein und demselben Satz dazu verwendet, um zwei verschiedene Dinge zu bezeichnen. Siehe die oben erwähnte "Konvention".)
Me
2020-05-07 14:33:28 UTC
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Post by Ganzhinterseher
0,999... stellt eine Partialsummenfolge in abkürzender Schreibweise dar,
keine Zahl.
Nö, nö, Mückenheim:

"Die Symbole „0,999...“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar". (Wikipedia)

Aber leider haben Sie auch nicht GANZ unrecht. Wie ich Ihnen schon einmal mitgeteilt habe, gilt es nämlich folgendes zu beachten:

==============

Eine KONVENTION -und zwar eine m. E. durchaus verwirrende- ist es sowohl die Reihe SELBST mit

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

zu bezeichnen als auch die SUMME der Reihe (also den Grenzwert der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert).

Ich jedenfalls gebe gerne zu, dass genau DIESER UMSTAND mich seinerzeit als Student im ersten Semester ganz schön verwirrt hat. :-)

Außerdem bin ich der Meinung, dass AUCH DU das noch nicht ganz "geblickt" hast, sonst würdest Du m. E. nicht so einen bodenlosen Unsinn von Dir geben (können), wie
Post by Ganzhinterseher
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..
Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe. Das Gleichheits-
zeichen ist zwar eine Konvention, aber eine sehr irreführende.

oder

An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1.

Wie ich schon sagte: "Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter gleichzeitiger Weglassung von "lim")" verorten."

==============================

Nachtrag: Das PROBLEM wird überdeutlich in der EINEN Bemerkung:

"Da 0,999... eine geometrische Reihe mit a = 9 und r = 1/10 ist, gilt:

0,999... = ... 9(1/10) + 9(1/10)^2 + 9(1/10)^3 + ... = (9(1/10))/(1-1/10) = 1."

(Wikipedia).

0,999... "ist" also eine Reihe, d. h. eine Folge von "Partialsummen" und ZUGLEICH eine reelle Zahl, nämlich die 1? *sigh* (Hier wird also das Symbol "0,999..." in ein und demselben Satz dazu verwendet, um zwei verschiedene Dinge zu bezeichnen. Siehe die oben erwähnte "Konvention". Das ist schon...)
Me
2020-05-07 14:43:47 UTC
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Post by Me
0,999... = ... 9(1/10) + 9(1/10)^2 + 9(1/10)^3 + ... = (9(1/10))/(1-1/10) = 1."
(Wikipedia).
0,999... "ist" also eine Reihe, d. h. eine Folge von "Partialsummen" und
ZUGLEICH eine reelle Zahl, nämlich die 1? *sigh* (Hier wird also das Symbol
"0,999..." in ein und demselben Satz dazu verwendet, um zwei verschiedene
Dinge zu bezeichnen. Siehe die oben erwähnte "Konvention". Das ist schon...)
Da gefällt mir der nächstfolgende Absatz schon besser:

"0,999... kann als Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) verstanden werden:

0,999... = lim_(n->oo) 0,99...9 [n-mal die 9] = lim_(n->oo) SUM_(k=1..n) 9/10^k = lim_(n->oo) (1 - 1/10^n) = 1 - lim_(n->oo) 1/10^n = 1." (Wikipedia)

DAS ist dann wieder im Einklang mit dem zu Beginn des Eintrags gesagten:

"Die Symbole „0,999...“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar". (Wikipedia)

Man muss sich aber wohl damit abfindet, dass in der Mathematik ein und das selbe Symbol in verschiedenen Kontexten verschiedenes bedeuten kann.

WENN also

0,999... = 1

behauptet wird, dann bezeichnet hier das Symbol "0,999...", den GRENZWERT der oben angegebenen Folge, also die Zahl 1.

Haben Sie eigentlich in Ihren Mathematik-Vorlesungen GAR NICHTS gelernt, Herr Prof. Mückenheim?
Ganzhinterseher
2020-05-08 12:54:33 UTC
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Post by Me
0,999... = lim_(n->oo) 0,99...9 [n-mal die 9] = lim_(n->oo) SUM_(k=1..n) 9/10^k = lim_(n->oo) (1 - 1/10^n) = 1 - lim_(n->oo) 1/10^n = 1." (Wikipedia)
Du solltest versuchen zu verstehen, was noch nicht viele verstanden haben, was die meisten vermutlich gar nicht verstehen können, dass es nämlich auch zwei Bedeutungen von "Grenzwert" hier gibt.

Wenn aleph_0 Indizes existieren, dann enthält 0,999... alle, also aleph_0 Ziffern. Das ist der eine Grenzwert, der mengentheoretische.

Indessen weicht jede dieser Partialsumme und damit auch jede der aleph_0 Ziffern vom arithmetischen Grenzwert 1 ab.

Gruß, WM
Me
2020-05-08 13:08:10 UTC
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Du solltest versuchen zu verstehen, was <...>
Da gibt es nicht viel zu verstehen. Sorry.
Ganzhinterseher
2020-05-08 13:19:12 UTC
Permalink
Post by Me
Du solltest versuchen zu verstehen, was <...>
Da gibt es nicht viel zu verstehen. Sorry.
Doch, doch. Denke noch ein wenig darüber nach.
Glaubst Du, dass alle aleph_0 Neunen existieren?
Wenn ja, so ist das sicher ein Grenzwert: Alle Partialsummen.

Aber alle versagen beim Erklimmen der 1. Da die Logik nicht versagt, muss man das akzeptieren. Dieser mengentheoretische Grenzwert wird also erreicht, genügt aber nicht, den arithmetischen Grenzwert zu erreichen.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-05-08 12:46:58 UTC
Permalink
Post by Me
0,999... "ist" also eine Reihe, d. h. eine Folge von "Partialsummen" und ZUGLEICH
wird dieses Symbol verwendet, um den Grenzwert dieser Folge anzugeben. Das ist nicht hier weiter schlimm, weil die Differenz zwischen den einzelnen Partialsummen und dem Grenzwert beliebig klein wird. Aber es ist ein prinzipieller Fehler, und Cantor hat ihn dort gemacht, wo die Differenz nicht beliebig klein wird, sondern unendlich bleibt. Die moderne Mengenlehre eifert ihm da nach, indem die Folge oder Menge der natürlichen Zahlen ebenso wie ihr Grenzwert mit omega bezeichnet wird.
Post by Me
eine reelle Zahl, nämlich die 1? *sigh* (Hier wird also das Symbol "0,999..." in ein und demselben Satz dazu verwendet, um zwei verschiedene Dinge zu bezeichnen. Siehe die oben erwähnte "Konvention". Das ist schon...)
Im vorliegenden Fall nicht gravierend, in Cantors Erweiterungen falsch.

Gruß, WM
Me
2020-05-08 13:07:17 UTC
Permalink
Es ging um den Satz

"Da 0,999... eine geometrische Reihe mit a = 9 und r = 1/10 ist, gilt:

0,999... = ... 9(1/10) + 9(1/10)^2 + 9(1/10)^3 + ... = (9(1/10))/(1-1/10) = 1."

(Wikipedia).
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
0,999... "ist" also eine Reihe, d. h. eine Folge von "Partialsummen" und ZUGLEICH
wird dieses Symbol verwendet,
Nein, 0,999... ist kein Symbol. "0,999..." ist ein/das Symbol.

In den meisten Fällen wird das Symbol "0,999..." allerdings verwendet,
Post by Ganzhinterseher
um den Grenzwert [einer] Folge anzugeben.
So ist es.

Also
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
eine reelle Zahl, nämlich die 1? *sigh*
Hier wird also das Symbol "0,999..." in ein und demselben Satz dazu
verwendet, um zwei verschiedene Dinge zu bezeichnen. Siehe die oben
erwähnte "Konvention". Das ist schon...
...etwas "bedenklich", finde ich.
Me
2020-05-07 14:58:40 UTC
Permalink
0,999... stellt eine [F]olge in abkürzender Schreibweise dar, keine Zahl.
Dazu heißt es im dt. Wikipediaeintrag unter der Überschrift "Skeptizismus"

"[...] Einige sehen 0,999... als Folge statt Grenzwert.

Diese Ideen entsprechen nicht der üblichen dezimalen Notation in der (reellen)
Arithmetik" (Wikipedia)

Also noch einmal:

"WENN

0,999... = 1

behauptet wird, dann bezeichnet hier das Symbol "0,999...", den GRENZWERT der oben angegebenen Folge, also die Zahl 1." (Me)

Übrigens, wäre andernfalls auch der Ausdruck

0,999... < 1

(d. i. eine Ihrer absurden Behauptungen) noch nicht einmal falsch, sondern *unsinnig*. Denn wenn 0,999... -wie sie behaupten- eine FOLGE ist, aber "keine Zahl", dann ist auch jeder VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*.
Me
2020-05-07 19:01:39 UTC
Permalink
Post by Me
"WENN
0,999... = 1
behauptet wird, dann bezeichnet hier das Symbol "0,999...", den GRENZWERT der
oben angegebenen Folge, also die Zahl 1." (Me)
Übrigens, wäre andernfalls auch der Ausdruck
0,999... < 1
(d. i. eine Ihrer absurden Behauptungen) noch nicht einmal falsch, sondern
*unsinnig*. Denn wenn 0,999... -wie Sie behaupten- eine FOLGE ist, aber
"keine Zahl", dann ist auch jeder VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*.
Korr.: "dann ist auch jeder GRÖßEN-VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*."
Ganzhinterseher
2020-05-08 12:58:28 UTC
Permalink
Post by Me
Übrigens, wäre andernfalls auch der Ausdruck
0,999... < 1
noch nicht einmal falsch, sondern *unsinnig*. Denn wenn 0,999... -wie sie behaupten- eine FOLGE ist, aber "keine Zahl", dann ist auch jeder VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*.
Wenn ich 0,999... < 1 schreibe, so beziehe ich mich darauf, dass alle Partialsummen kleiner als 1 sind. Aber grundsätzlich ist Deine Bemerkung richtig.

Gruß, WM
Me
2020-05-08 13:20:29 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Übrigens, wäre andernfalls auch der Ausdruck
0,999... < 1
noch nicht einmal falsch, sondern *unsinnig*. Denn wenn 0,999... -wie Sie
behaupten- eine FOLGE ist, aber "keine Zahl", dann ist auch jeder GRÖSSER-/
KLEINER-VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*.
grundsätzlich ist Deine Bemerkung richtig.
Richtig. Und WEIL das so ist, wäre es in der Tat dann (also Berücksichtigung Ihrer Voraussetzung) *unsinnig*

0,999... < 1

zu schreiben.

Was *Sie* natürlich NICHT davon abhält, es dennoch zu tun.

Mückenheim, Sie sind ein Prophet des Unsinns. Ist das Ihre Mission?
Post by Ganzhinterseher
Wenn ich 0,999... < 1 schreibe, so
schreiben Sie etwas Unsinniges (WENN Sie her mit dem Symbol "0,999..." eine Folge bezeichnen wollen; anderfalls schreiben Sie etwas falsches, da die reelle Zahl 0,999... gleich 1 ist).
Post by Ganzhinterseher
dass alle Partialsummen kleiner als 1 sind.
Das schriebt man so:

An e IN: SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1 .

"Anschaulich" vielleicht so:

0,999..9 < 1 . (*)

Ich glaube nicht, dass jemand an der Behauptung (*) Anstoß nehmen wird. (Man beachte die Verwendung von ".." statt "...". Ich verwende hier ".." statt "..." um explizit darauf hinzuweisen, dass es sich in diesem Zusammenhang um lediglich (höchstens) endlich viele "Auslassungen" handelt.)
Me
2020-05-08 13:30:29 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Übrigens, wäre andernfalls auch der Ausdruck
0,999... < 1
noch nicht einmal falsch, sondern *unsinnig*. Denn wenn 0,999... -wie Sie
behaupten- eine FOLGE ist, aber "keine Zahl", dann ist auch jeder GRÖSSER-/
KLEINER-VERGLEICH mit einer Zahl *unsinnig*.
grundsätzlich ist Deine Bemerkung richtig.
Richtig. Und WEIL das so ist, wäre es in der Tat dann (also bei Berücksichtigung Ihrer Voraussetzung) *unsinnig*

0,999... < 1

zu schreiben.

Was *Sie* natürlich NICHT davon abhält, es dennoch zu tun.

Mückenheim, Sie sind ein Prophet des Unsinns. Ist das Ihre Mission?
Post by Ganzhinterseher
Wenn ich 0,999... < 1 schreibe, so
schreiben Sie etwas Unsinniges (WENN Sie hier mit dem Symbol "0,999..." eine Folge bezeichnen wollen; andernfalls schreiben Sie etwas Falsches, da die reelle Zahl 0,999... gleich 1 ist).
Post by Ganzhinterseher
dass alle Partialsummen kleiner als 1 sind.
Das schriebt man so:

An e IN: SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1 .

"Anschaulich" vielleicht so:

0,9..9 < 1 . (*)

Ich glaube nicht, dass jemand an der Behauptung (*) Anstoß nehmen wird. (Man beachte die Verwendung von ".." statt "...". Ich verwende hier ".." statt "..." um explizit darauf hinzuweisen, dass es sich in diesem Zusammenhang um lediglich (höchstens) endlich viele "Auslassungen" handelt.)
Me
2020-05-08 17:50:27 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist.
0,999... ist keine Zahl, sondern
Red kein Blech. In allen Kontexten, wo man eine Zahl erwartet/erwarten würde, wird das Symbol "0,999..." als Bezeichnung für den Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) aufgefasst. Sie sind wieder einmal zu blöde, um diesen einfachen Sachverhalt zu begreifen. Nur DANN kann man z. B. die Frage für welches d e IR

0,999... + d = 1

ist, überhaupt SINNVOLL stellen.

Solche Kontexte sind insbesondere "Ungleichungen", wenn Sie also z. B. behaupten

x < 1 ,

dann sollte "x" eine (reelle) Zahl bezeichnen, andernfalls wäre die Behauptung _unsinnig_.

(Gegen-)Beispiel:

i < 1 ,

wo i die imaginären Einheit sein soll, ist unsinnig - wobei hier "i" immerhin eine Zahl bezeichnet (wenn auch eine komplexe).
Ganzhinterseher
2020-05-09 13:43:07 UTC
Permalink
Post by Me
An e IN: SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1 .
Sehr aufwändig.
Post by Me
0,9..9 < 1 . (*)
Ich glaube nicht, dass jemand an der Behauptung (*) Anstoß nehmen wird. (Man beachte die Verwendung von ".." statt "...". Ich verwende hier ".." statt "..." um explizit darauf hinzuweisen, dass es sich in diesem Zusammenhang um lediglich (höchstens) endlich viele "Auslassungen" handelt.)
Dann hast Du den springenden Punkt noch nicht verstanden. Auch unendlich viele Neunen versagen. *Alle* Neunen versagen.

Gruß, WM
Me
2020-05-09 14:05:10 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
dass alle Partialsummen kleiner als 1 sind. (*)
An e IN: SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1 . (**)
Sehr aufwändig.
Huh?! (**) drückt einfach (im Kontext der Mengenlehre) (*) in präziser Form aus. In Worten: Für alle n e IN gilt: die Partialsumme SUM_(k=1..n) 9/10^k ist kleiner als 1.
Post by Ganzhinterseher
0,9..9 < 1 . (***)
Besser wäre aber wohl:

Für all n e IN gilt:

0,9..9 < 1 .
`-v-´
n-mal
Post by Ganzhinterseher
Ich glaube nicht, dass jemand an der Behauptung (***) Anstoß nehmen wird.
(Man beachte die Verwendung von ".." statt "...". Ich verwende hier ".."
statt "..." um explizit darauf hinzuweisen, dass es sich in diesem
Zusammenhang um lediglich (höchstens) endlich viele "Auslassungen"
handelt.)
Dann hast Du den springenden Punkt noch nicht verstanden. Auch unendlich
viele Neunen versagen. *Alle* Neunen versagen.
Da "(aktual) unendlich viele Neunen" hier gar keine Rolle spielen, versagt in diesem Fall wohl eher Ihr "Denken".

Besser wäre es m. E. in diesem Zusammenhang zu sagen, dass beliebig (aber endlich) viele Neunen (als Ziffern nach dem Dezimalpunkt) "nicht ausreichen" um die Zahl 1 "auszudrücken". (Ich habe mich hier bewusst ziemlich vage ausgedrückt, weil ich versucht habe, mich Ihrem Sprachgebrauch anzupassen.)
Ganzhinterseher
2020-05-09 16:43:05 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Dann hast Du den springenden Punkt noch nicht verstanden. Auch unendlich
viele Neunen versagen. *Alle* Neunen versagen.
Da "(aktual) unendlich viele Neunen" hier gar keine Rolle spielen,
Wenn die Mengenlehre zutrifft, spielen sie eine Rolle.
Post by Me
Besser wäre es m. E. in diesem Zusammenhang zu sagen, dass beliebig (aber endlich) viele Neunen (als Ziffern nach dem Dezimalpunkt) "nicht ausreichen" um die Zahl 1 "auszudrücken".
Es gibt keine natürliche Zahl, von der man sagen müsste, dass sie endlich ist und zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Das gilt für alle unendlich vielen natürlichen Zahlen. Deswegen versagen alle unendlich vielen natürlich indizierten Neunen.

Gruß, WM
Ralf Bader
2020-05-09 19:05:35 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
An e IN: SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1 .
Sehr aufwändig.
Quatsch. Aber in einem Land, in dem es möglich ist, das Wort "aufwendig"
zu "aufwändig" rechtschreibzureformieren, spielt Ihr Beitrag zur
Gesamtverblödung keine allzu große Rolle mehr.
Juergen Ilse
2020-05-07 18:13:40 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
zum Beispiel [ist] 0,999... < 1.
Nö, Mückenheim. Es gilt
0,999... = 1 .
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Besser ist es Logik anzuwenden: Für alle Neunen gilt: Keine erreicht 1.
0,999... stellt eine Partialsummenfolge in abkürzender Schreibweise dar, keine Zahl. Zahlen brauchen keine "...". Deshalb gilt
Dieses sinnlose Gefasel hat mit Logik (dem gleichnamigen Teilgebiet der
Mathematik) nicht das geringste zu tun.

Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist. wie lautet diese Zahl?
Es ist einfach so, dass die (unendliche) Summe 0,9+0,09+0,009+... als
deren Grenzwert *definiert* ist, weil diese Definition *sinnvoll* ist und
(abgesehen von IHREN* Wahnvorstellungen) keine Widersprueche in die Mathe-
matik hineinbrigt.
.
Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-08 13:00:19 UTC
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Post by Juergen Ilse
Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist.
0,999... ist keine Zahl, sondern die abkürzende Schreibweise für eine Folge. Das wird immer klarer.

Gruß, WM
Me
2020-05-08 13:25:29 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist.
0,999... ist keine Zahl, sondern
Red kein Blech. In Allen Kontexten, wo man eine Zahl erwartet/erwarten würde, wird das Symbol "0,999..." als der Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) verstanden. Sie sind wieder einmal zu blöde, um diesen einfachen Sachverhalt zu begreifen. Nur DANN kann man SINNVOLL z. B. die Frage stellen, für welches d e IR

0,999... + d = 1

ist.
Juergen Ilse
2020-05-08 14:01:40 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist.
0,999... ist keine Zahl, sondern die abkürzende Schreibweise für eine Folge. Das wird immer klarer.
Ich hatte IHNEN eine Herleitung der reellen Zahlen genannt, in der reelle
Zahlen "Klassen von Cauchy-Folgen" sind. In diesem Modell sind dann die
beiden Folgen:
fuer alle n element IN: a(n)=1
und
fuer alle n element IN: a(n)=Summe(i=1,n: 9*10^-i)
Repraesentanten der *selben* Klasse von Cauchy-Folgen und damit Repraesen-
tanten der *selben* reellen Zahl. Es ist in dieser Herleitung der reellen
Zahlöen ueblich, die Zahl durch Nennung nur eines (beliebigen) Repraesen-
tanten der entsprechenden Klasse von Cauchy-Folgen anzugeben (ublicher-
weise durch einen, der einer "Dezimaldarstellung der reellen Zahl" ent-
spricht). Damit ist in diesem Modell 0,999... und 1 tatsaechlich die
*selbe* reelle Zahl und ihre Differenz daher 0.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-09 13:43:03 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
0,999... ist keine Zahl, sondern die abkürzende Schreibweise für eine Folge. Das wird immer klarer.
Ich hatte IHNEN eine Herleitung der reellen Zahlen genannt, in der reelle
Zahlen "Klassen von Cauchy-Folgen" sind.
Schlampige Wortwahl. Es geht um die Grenzwerte dieser Folgen.
Post by Juergen Ilse
In diesem Modell sind dann die
fuer alle n element IN: a(n)=1
und
fuer alle n element IN: a(n)=Summe(i=1,n: 9*10^-i)
Repraesentanten der *selben* Klasse von Cauchy-Folgen und damit Repraesen-
tanten der *selben* reellen Zahl.
Es geht nicht um Klassen von Cauchy-Folgen (die können sich erheblich unterscheiden), sondern um deren Grenzwerte.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-05-09 16:56:31 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
0,999... ist keine Zahl, sondern die abkürzende Schreibweise für eine Folge. Das wird immer klarer.
Ich hatte IHNEN eine Herleitung der reellen Zahlen genannt, in der reelle
Zahlen "Klassen von Cauchy-Folgen" sind.
Schlampige Wortwahl. Es geht um die Grenzwerte dieser Folgen.
Post by Juergen Ilse
In diesem Modell sind dann die
fuer alle n element IN: a(n)=1
und
fuer alle n element IN: a(n)=Summe(i=1,n: 9*10^-i)
Repraesentanten der *selben* Klasse von Cauchy-Folgen und damit Repraesen-
tanten der *selben* reellen Zahl.
Es geht nicht um Klassen von Cauchy-Folgen (die können sich erheblich unterscheiden), sondern um deren Grenzwerte.
Wenn SIE diese Art der Definition der Menge der reellen Zahlen nicht
verstanden haben, ist das nicht weiter schlimm. Wenn SIE sich dann aber
mit diesem mangelnden Verstaendnis brueste, ohne den Versuch zu unter-
nehmen, es sich erklaeren zu lassen, ist das nur noch peinlich ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-09 20:20:47 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es geht nicht um Klassen von Cauchy-Folgen (die können sich erheblich unterscheiden), sondern um deren Grenzwerte.
Wenn SIE diese Art der Definition der Menge der reellen Zahlen nicht
verstanden haben
"Dabei gelten zwei Cauchy-Folgen als äquivalent, wenn ihre (punktweisen) Differenzen eine Nullfolge bilden." Wikipedia. Das bedeutet, dass die Grenzwerte relevant sind, nicht die Folgen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-05-10 00:38:46 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es geht nicht um Klassen von Cauchy-Folgen (die können sich erheblich unterscheiden), sondern um deren Grenzwerte.
Wenn SIE diese Art der Definition der Menge der reellen Zahlen nicht
verstanden haben
"Dabei gelten zwei Cauchy-Folgen als äquivalent, wenn ihre (punktweisen) Differenzen eine Nullfolge bilden." Wikipedia. Das bedeutet, dass die Grenzwerte relevant sind, nicht die Folgen.
Falsch. Man kommt von der Menge der rationalen Zahlen, wenn man azf diese
Weise die Menge der reellen Zahlen definieren will (die reellen Zahlen hat
man da ja noch nicht zur Verfuegung, denn man kann ja nicht die Menge der
reellen Zahlen mit reellen Zahlen definieren wollen ...). Wenn man also
vorerst nur die rationalen Zahlen zur Verfuegung hat, sind nicht alle
Cauchy-Folgen (in der Menge der rationalen Zahlen) konvergent (alle, die
in |R einen irrationalen Grenzwert haben sind in|Q nicht konvergent).
Deswegen benutzt man fuer die Definition von "2 Folgen gehoeren zur selben
Aequivalenzklasse" eben keine Grenzwerte (die in |Q fuer einige Cauchy-
folgen gar nicht existieren) sondern die Bedingung, dass die Differenzen-
folge eine Nullfolge ist. Aber selbst das scheinen SIE nicht zu begreifen.
anscheinend grenzt es an ein mentales Verbrechen, Personen wie SIE in einer
Vorlesung mit (im weitesten Sinne) mathematischem Thema auf unschuldige
Studenten loszulassen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-10 20:40:21 UTC
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Post by Juergen Ilse
Wenn man also
vorerst nur die rationalen Zahlen zur Verfuegung hat, sind nicht alle
Cauchy-Folgen (in der Menge der rationalen Zahlen) konvergent
Deswegen hat Cauchy die Idee gehabt, wie man die Konvergenz in |R auch ohne den Grenzwert zu kennen, beweisen kann.

Du hättest vielleicht Dein Studium doch fortsetzen sollen. Naja, vielleicht.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-05-11 01:48:12 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn man also
vorerst nur die rationalen Zahlen zur Verfuegung hat, sind nicht alle
Cauchy-Folgen (in der Menge der rationalen Zahlen) konvergent
Deswegen hat Cauchy die Idee gehabt, wie man die Konvergenz in |R auch ohne den Grenzwert zu kennen, beweisen kann.
Auch wenn SIE zu daemlich sind das zu begreifen: in meinen Ausfuehrungen
ging es um die *HERLEITUNG* der reellen Zahlen als Klassen von Cauchy-Folgen.
Wenn man die reellen Zahlen erst herleitet, kann man fuer diese Herleitung
die reellen Zahlen noch nicht verwenden, wenn man einen Zirkelschluss vermei-
den will.
Post by Ganzhinterseher
Du hättest vielleicht Dein Studium doch fortsetzen sollen. Naja, vielleicht.
Vielleicht habe ich in meinem abgebrochenen Studium mehr mathematisches
denken erlernt als SIE jemals werden vorweisen koennen. IHR seltsames
Gefasel hat mit Mathematik jedenfalls *nichts* zu tun. Insbesondere IHRE
Verweise auf "Logik", die mit dem, was man in der Mathematik als "Logik"
bezeichnet, nicht das geringste zu tun haben, erscheinen einem wirklichen
Mathematiker nur noch peinlich ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-11 16:02:18 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Deswegen hat Cauchy die Idee gehabt, wie man die Konvergenz in |R auch ohne den Grenzwert zu kennen, beweisen kann.
in meinen Ausfuehrungen
ging es um die *HERLEITUNG* der reellen Zahlen als Klassen von Cauchy-Folgen.
In meinen Ausführungen geht es um die Darstellung reeller Zahlen.
Post by Juergen Ilse
Wenn man die reellen Zahlen erst herleitet, kann man fuer diese Herleitung
die reellen Zahlen noch nicht verwenden,
Man kann die Cauchy-Folge verwenden, weil Cauchys Konvergenzdefinition den Grenzwert nicht benötigt, aber produziert. Normalerweise benötigt man den Grenzwert a und beweist für alle n > k den Abstand |a - a_n| < epsilon. Bei Cauchy-Folgen braucht man den Abstand < epsilon "nur" für alle m, n > k zu zeigen: |a_m - a_n| < epsilon. Damit weiß man, dass Konvergenz vorliegt. Die Äquivalenz dieser Bedingungen kann man beweisen [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]. Und den Grenzwert nennt man irrational, wenn er nicht rational ist. Merke: Es geht in jedem Falle um den Grenzwert.
Post by Juergen Ilse
Insbesondere IHRE
Verweise auf "Logik", die mit dem, was man in der Mathematik als "Logik"
bezeichnet, nicht das geringste zu tun haben
Wer nicht erkennt, dass in 0,999... alle Neunen den Grenzwert verfehlen, sollte sich nicht mit Logik brüsten.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-11 16:11:03 UTC
Permalink
Also die Folge 0.9, 0.99, 0.999, .... ist
Cauchy, ihr Grenzwert ist 1.

Das steht sicher auch in Ihrem Buch
Mathematik für Dummies.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Deswegen hat Cauchy die Idee gehabt, wie man die Konvergenz in |R auch ohne den Grenzwert zu kennen, beweisen kann.
in meinen Ausfuehrungen
ging es um die *HERLEITUNG* der reellen Zahlen als Klassen von Cauchy-Folgen.
In meinen Ausführungen geht es um die Darstellung reeller Zahlen.
Post by Juergen Ilse
Wenn man die reellen Zahlen erst herleitet, kann man fuer diese Herleitung
die reellen Zahlen noch nicht verwenden,
Man kann die Cauchy-Folge verwenden, weil Cauchys Konvergenzdefinition den Grenzwert nicht benötigt, aber produziert. Normalerweise benötigt man den Grenzwert a und beweist für alle n > k den Abstand |a - a_n| < epsilon. Bei Cauchy-Folgen braucht man den Abstand < epsilon "nur" für alle m, n > k zu zeigen: |a_m - a_n| < epsilon. Damit weiß man, dass Konvergenz vorliegt. Die Äquivalenz dieser Bedingungen kann man beweisen [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)]. Und den Grenzwert nennt man irrational, wenn er nicht rational ist. Merke: Es geht in jedem Falle um den Grenzwert.
Post by Juergen Ilse
Insbesondere IHRE
Verweise auf "Logik", die mit dem, was man in der Mathematik als "Logik"
bezeichnet, nicht das geringste zu tun haben
Wer nicht erkennt, dass in 0,999... alle Neunen den Grenzwert verfehlen, sollte sich nicht mit Logik brüsten.
Gruß, WM
Me
2020-05-11 16:18:36 UTC
Permalink
Wer nicht erkennt, dass in 0,999... alle Neunen den Grenzwert verfehlen <blubber>
Niemand außer Ihnen würde so einen wirren Mist behaupten wollen, Mückeheim.

Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN

SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1

gilt?
Ganzhinterseher
2020-05-12 21:18:25 UTC
Permalink
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in |N sind?

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-12 21:21:55 UTC
Permalink
Die Intension von 2+2 ist 2+2.
die Extension von 2+2 ist 4.

Die Intension von 0.999... ist lim (0.9, 0.99, 0.999, ...)
die Extension von 0.999... ist 1.
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in |N sind?
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-12 21:24:58 UTC
Permalink
Beweis (Spass Beweis):
Wäre die Intension von 0.999... nur (0.9,
0.99, 0.999, ...). Dann wäre die Extension
von 0.999... auch (0.9, 0.99, 0.999, ...).

Aber sogar Rudin widerspricht dem.

Q.E.D.

LoL
Post by Mostowski Collapse
Die Intension von 2+2 ist 2+2.
die Extension von 2+2 ist 4.
Die Intension von 0.999... ist lim (0.9, 0.99, 0.999, ...)
die Extension von 0.999... ist 1.
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in |N sind?
Gruß, WM
Me
2020-05-12 22:07:09 UTC
Permalink
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in IN sind?
Also ich sehe weder in dem Symbol "0,999..." Indizes, noch kann es sie "in" einer natürlichen Zahl wie z. B. 0,999... geben (Vorsicht: Kategorienfehler!).
Mostowski Collapse
2020-05-12 22:12:00 UTC
Permalink
Das "in" kann es schon geben, im Intensionalen
Kontext. Sie schreiben ja selber anderswo:

SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss. [...]"
See: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik

Schön wäre halt noch, wenn man so weit forgeschritten
wäre und Namen für diese Bedeutungskontexte hätte.

Ich empfehle da einen Experten,
z.B. Frege, zu Rate zu ziehen.
Post by Me
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in IN sind?
Also ich sehe weder in dem Symbol "0,999..." Indizes, noch kann es sie "in" einer natürlichen Zahl wie z. B. 0,999... geben (Vorsicht: Kategorienfehler!).
Me
2020-05-12 22:33:47 UTC
Permalink
Dem Symbol
SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss. [...]"
See: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik
Ja. Wenn sich das Symbol auf die Reihe beziehen soll, steht da meist auch das Wort Reihe mit dabei:

"Wir betrachten die Reihe SUM_(n=1..oo) 1/2^n und <bla und bla>"

Wenn es aber um die "Summe" der Reihe geht, bezeichnet das Symbol eine reelle Zahl:

"SUM_(n=1..oo) 1/2^n = 1"

Nicht wirklich "schwierig" - aber zu beginn meines Studiums hat es mich schon etwas verwirrt... Mir war nicht klar, was denn eine REIHE "wirklich2 ist. :-)
j4n bur53
2020-05-12 22:45:24 UTC
Permalink
Ja richtig, Crank "Me" ist vollkommen verwirrt.
Zweifels ohne seine Birne funktioniert nicht richtig.
Schwacher Ansatz etwas von Kontexten zu Schwurbeln.

Normalerweise gibt es andere Mittel in der Sprache
Der Sprache ist es nicht verboten einen Intensionalen
Inhalt zu referenzieren. Also ich würde sagen:

Die Folge der Reihe 0.999... ist 0.9, 0.99, 0.999, ...

Es gibt nicht umsonst die Zwei Wörter "Folge" und
"Reihe". Und der Artikel "der" funkioniert auch
hier richtig:

Die Mutter der Anna ist Berta

LoL
Post by Me
Dem Symbol
SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss. [...]"
See: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik
"Wir betrachten die Reihe SUM_(n=1..oo) 1/2^n und <bla und bla>"
"SUM_(n=1..oo) 1/2^n = 1"
Nicht wirklich "schwierig" - aber zu beginn meines Studiums hat es mich schon etwas verwirrt... Mir war nicht klar, was denn eine REIHE "wirklich2 ist. :-)
Me
2020-05-12 23:14:22 UTC
Permalink
Post by j4n bur53
Die Folge der Reihe 0.999... ist
Also das habe ich bisher noch nie wo gelesen "Folge der Reihe". :-)

Gelegentlich liest man aber etwas von der "Folge der Partialsummen der Reihe", was natürlich, folgt man Rudin, "Unsinn" ist, da die Reihe selbst schon "dies Folge" ist. :-)
Post by j4n bur53
Es gibt nicht umsonst die Zwei Wörter "Folge" und "Reihe".
Mag schon sein, aber bei Rudin ist eine /Reihe/ eine bestimmte /Folge/.

Wenn Du nun von der "Folge der Reihe 0.999..." sprichst, wäre es natürlich auch schön, wenn Du sagen könntest, was denn bei Dir die Reihe selbst ist. Also welches "mathematische Objekt"?

Wie würdest Du in einem mengentheoretischen Kontext das Prädikat

Reihe(X)

definieren? Mit anderen Worten, welche Mengen sind Reihen?

So kann man z. B. recht leicht definieren:

Geordnetes_Paar(X) :<-> ExEy(X = (x,y)) ,

etc.

Wenn man so ein Prädikat ("Reihe") hat, kann man z. B. den "Satz"

AX(Reihe(X) & konvergent(X) -> sum(X) = ...X...)

formulieren (nach einer entsprechenden Definition der Funktion "sum").
Me
2020-05-13 14:34:06 UTC
Permalink
Post by j4n bur53
Ja richtig, Crank "Me" ist vollkommen verwirrt.
Zweifels ohne seine Birne funktioniert nicht richtig.
Schwacher Ansatz etwas von Kontexten zu Schwurbeln.
Dein dummes Geschwätz basiert zweifellos auf /Projektion/.

Hinweis:

"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)

Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Definition-der-Reihe

Wieviele DERARTIGE Zitate brauchst Du noch, um den an sich einfachen Sachverhalt endlich zu begreifen? Einfach nur schwer von Begriff?
Mostowski Collapse
2020-05-13 17:41:46 UTC
Permalink
Das ist so nicht richtig. Das Symbol selber hat
eine fixe Definition:

SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n

Siehe Wikipedia, 3-te Formel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29

Vielleicht sollten sie mal Ihre Birne untersuchen
lassen Crank "Me", da stimmt etwas nicht mehr.
Post by Me
Post by j4n bur53
Ja richtig, Crank "Me" ist vollkommen verwirrt.
Zweifels ohne seine Birne funktioniert nicht richtig.
Schwacher Ansatz etwas von Kontexten zu Schwurbeln.
Dein dummes Geschwätz basiert zweifellos auf /Projektion/.
"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)
Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Definition-der-Reihe
Wieviele DERARTIGE Zitate brauchst Du noch, um den an sich einfachen Sachverhalt endlich zu begreifen? Einfach nur schwer von Begriff?
Me
2020-05-13 18:04:10 UTC
Permalink
On Wednesday, May 13, 2020 at 7:41:48 PM UTC+2, Mostowski Collapse wrote:

"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)
Post by Mostowski Collapse
Das ist so nicht richtig.
Doch das ist so.
Post by Mostowski Collapse
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n
Nein, hat es nicht, Du Dödel.

"Dem Symbol

SUM_(i=0..oo) a_i

kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss.

Einmal steht das Symbol für den Wert der Reihe, der im Fall
konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen
nicht existiert:

SUM_(i=0..oo) a_i = lim_(n->oo) SUM_(i=0..n) a_i

Andererseits repräsentiert das Symbol die Reihe als Folge der Partialsummen, unabhängig vom Konvergenzverhalten:

SUM_(i=0..oo) a_i = (a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, ...)."

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik

Oder auch:

"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)

Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Definition-der-Reihe

Wieviele DERARTIGE Zitate brauchst Du noch, um den an sich einfachen Sachverhalt endlich zu begreifen? Einfach nur schwer von Begriff?
Post by Mostowski Collapse
Vielleicht sollten sie mal Ihre Birne untersuchen
lassen Crank "Me", da stimmt etwas nicht mehr.
Du bist einfach in Trottel, wie es scheint. Da kann man nix machen.

EOD
Ganzhinterseher
2020-05-13 19:05:35 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n
Ja, das ist richtig. Siehe zum Beispiel W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)
Post by Me
"Dem Symbol
SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss.
Das gilt nur für die schlampige Mathematiker. Eine deutliche Unterscheidung erzielt man indem der Grenzwert wie oben bezeichnet wird, die Reihe ohne Grenzwert aber über alle n ∈ ℕ summiert wird, denn bekanntlich ist dort darin kein Grenzwert oo oder omega enthalten.
Post by Me
Einmal steht das Symbol für den Wert der Reihe, der im Fall
konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen
SUM_(i=0..oo) a_i = lim_(n->oo) SUM_(i=0..n) a_i
SUM_(i=0..oo) a_i = (a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, ...)."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik
"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)
Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Definition-der-Reihe
Wieviele DERARTIGE Zitate brauchst Du noch, um den an sich einfachen Sachverhalt endlich zu begreifen? Einfach nur schwer von Begriff?
Die stammen alle von schlampigen Mathematikern oder Dummköpfen.

Gruß, WM
Me
2020-05-13 20:05:26 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n (*)
Ja, das ist richtig. Siehe zum Beispiel W. Mückenheim: "Mathematik für die
ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)
Du faselst wieder mal dummes Zeug. Wenn "SUM_(n=1..oo) a_n" so definiert ist, was soll dann die Aussage "z. B. ist die harmonische Reihe SUM_(n=1..oo) 1/n divergent" bedeuten?

Hinweis: Wenn das Symbol NUR die ihm durch (*) gegebene Bedeutung hat, dann ist es für nicht konvergente Reihen gar nicht definiert. Das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" könnte also nicht _die harmonische Reihe_ bezeichnen. (Mal ganz abgesehen davon, dass /Reihen/ keine Zahlen sind und daher das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" nach der Erklärung (*) gar keine /Reihe/ bezeichnen könnte - wenn das Symbol nicht auch eine andere "Bedeutung" haben könnte.)

Warum muss man Dir eigentlich die grundlegendsten Dinge erklären, wie einem Studienanfänger?

Tatsächlich liefert AUCH DEIN BUCH einen BELEG für das hier Gesagte:

"Dem Symbol

SUM_(i=0..oo) a_i

kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss.

Einmal steht das Symbol für den Wert der Reihe, der im Fall
konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen
nicht existiert:

SUM_(i=0..oo) a_i = lim_(n->oo) SUM_(i=0..n) a_i

Andererseits repräsentiert das Symbol die Reihe als Folge der Partialsummen, unabhängig vom Konvergenzverhalten:

SUM_(i=0..oo) a_i = (a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, ...)."

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik
Mostowski Collapse
2020-05-13 20:38:24 UTC
Permalink
"z. B. ist die harmonische Reihe SUM_(n=1..oo) 1/n
divergent" bedeutet das gleiche wie der Limes hier
ist divergent:

LIM k->oo SUM_(n=1..k) 1/n

Steht ja schwarz auf weiss hier:

"When this limit exists, one says that the series is
convergent or summable. In this case, the limit is called
the sum of the series. Otherwise, the series is said
to be divergent."
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29

Was ist das Prolololoblem?
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n (*)
Ja, das ist richtig. Siehe zum Beispiel W. Mückenheim: "Mathematik für die
ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)
Du faselst wieder mal dummes Zeug. Wenn "SUM_(n=1..oo) a_n" so definiert ist, was soll dann die Aussage "z. B. ist die harmonische Reihe SUM_(n=1..oo) 1/n divergent" bedeuten?
Hinweis: Wenn das Symbol NUR die ihm durch (*) gegebene Bedeutung hat, dann ist es für nicht konvergente Reihen gar nicht definiert. Das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" könnte also nicht _die harmonische Reihe_ bezeichnen. (Mal ganz abgesehen davon, dass /Reihen/ keine Zahlen sind und daher das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" nach der Erklärung (*) gar keine /Reihe/ bezeichnen könnte - wenn das Symbol nicht auch eine andere "Bedeutung" haben könnte.)
Warum muss man Dir eigentlich die grundlegendsten Dinge erklären, wie einem Studienanfänger?
"Dem Symbol
SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen
denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss.
Einmal steht das Symbol für den Wert der Reihe, der im Fall
konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen
SUM_(i=0..oo) a_i = lim_(n->oo) SUM_(i=0..n) a_i
SUM_(i=0..oo) a_i = (a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, ...)."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik
Mostowski Collapse
2020-05-13 21:58:30 UTC
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Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.

Beispiel:

lim n->oo (1+(-1)^n)/2 = undef
der Limes hier ist divergent: [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)
LIM k->oo SUM_(n=1..k) 1/n
"When this limit exists, one says that the series is
convergent or summable. In this case, the limit is called
the sum of the series. Otherwise, the series is said
to be divergent."
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29
Nein, da steht etwas ganz anderes.
Was ist das Prolololoblem?
Dass Du viel Unsinn laberst, wenn der Tag lang ist. :-)
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:00:53 UTC
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Steht alles hier:

"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
lim n->oo (1+(-1)^n)/2 = undef
der Limes hier ist divergent: [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)
LIM k->oo SUM_(n=1..k) 1/n
"When this limit exists, one says that the series is
convergent or summable. In this case, the limit is called
the sum of the series. Otherwise, the series is said
to be divergent."
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29
Nein, da steht etwas ganz anderes.
Was ist das Prolololoblem?
Dass Du viel Unsinn laberst, wenn der Tag lang ist. :-)
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:08:32 UTC
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Erstaunlich dass Crank "Me" die SUM_(n=1..oo)
Definition nicht anwenden kann. Hat wohl
etwas damit zu tun, dass seine Birne nicht

richtig funktioniert. Lesen sie doch mal Wiki.
Das Beispiel hier, ist ein Beispiel einer
unbestimmten Divergenz:

Beispiel: (unbestimmte Divergenz)
lim n->oo (1+(-1)^n)/2 = undef

Laut Wiki kann man aber Divergenz noch unterteilen
in bestimmte und unbestimmte Divergenz. Das macht
z.B. Sinn wenn man R+=Ru{+oo,-oo) verwendet.

Dann gibt es z.B. die bestimmte Divergenz:

Beispiel: (bestimmte Divergenz)
lim n->oo n = +oo

Steht ja alles auf Wiki:
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29#Bestimmte_Divergenz

Und diese Begriffe aus dem Gebiet der Folgen
übertragen sich 1 zu 1 auf das Gebiet der
Reihen, indem man diese Definition anwendet:

SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n

Ist ja keine Hexerei. Wirklich nicht.
Post by Mostowski Collapse
"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
lim n->oo (1+(-1)^n)/2 = undef
der Limes hier ist divergent: [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)
LIM k->oo SUM_(n=1..k) 1/n
"When this limit exists, one says that the series is
convergent or summable. In this case, the limit is called
the sum of the series. Otherwise, the series is said
to be divergent."
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29
Nein, da steht etwas ganz anderes.
Was ist das Prolololoblem?
Dass Du viel Unsinn laberst, wenn der Tag lang ist. :-)
Me
2020-05-13 22:22:03 UTC
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Erstaunlich dass [bla]
Was auch immer. :-)
Me
2020-05-13 22:18:32 UTC
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Post by Mostowski Collapse
"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Sorry.
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:19:59 UTC
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Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.

LMAO!
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Sorry.
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:25:10 UTC
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Man benutzt den Begriff uneigentlichen Grenzwert
um deutlich zu machen, daß auch oo bzw. -oo zugelassen
sind. Für oo bzw. -oo gelten die Grenzwertsätze nicht.
https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=30082

Man kann auch "undef" zulassen. Ist ja wirklich
ein Kinderspiel. Mit diesen Massnahmen funktioniert
diese Identität einwandfrei:

SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n
Post by Mostowski Collapse
Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.
LMAO!
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
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Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Sorry.
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:27:10 UTC
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Beispiel:

sum_i=1^oo 1 = lim n->oo sum_i=1^n 1

= lim n->oo n

= +oo
Post by Mostowski Collapse
Man benutzt den Begriff uneigentlichen Grenzwert
um deutlich zu machen, daß auch oo bzw. -oo zugelassen
sind. Für oo bzw. -oo gelten die Grenzwertsätze nicht.
https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=30082
Man kann auch "undef" zulassen. Ist ja wirklich
ein Kinderspiel. Mit diesen Massnahmen funktioniert
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n
Post by Mostowski Collapse
Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.
LMAO!
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
"Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so
spricht man von Konvergenz der Folge – die Folge
ist konvergent; sie konvergiert –,
andernfalls von Divergenz."
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
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Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Sorry.
Me
2020-05-13 22:27:19 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.
Ich glaube, wenn hier einer ein Vollpfosten ist, dann wohl schon eher Du. :-)
Post by Mostowski Collapse
der Limes hier ist divergent [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)

Hinweis: (Google-Suche:)
No results found for "der Limes divergiert".
No results found for "der Limes ist divergent".
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Im anderen Fall konvergiert _der Limes_ also? Nicht eher _die Folge_? :-)

EOD
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:30:34 UTC
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LoL, wirklich nur matsch in der Birne, eh?
Die Folge macht nichts von sich aus. Die
konvergiert weder noch divergiert.

Eine Folge ist nur eine Funktion:

s : N -> R

Erst wenn man den Limes Operator davor
setzt, fragt man nach dem Limes. Und dieser
kann in R existieren,

wenn es genau einen Häufungspunkt gibt.
Oder er kann nicht in R existieren, wenn
es keine oder mehrere Häufungspunkte gibt,

mann kann dem Limes Operator den Wert undef
zuordernet, der halt nicht in R zu finden ist.
Und weiter gibt es noch die Erweiterung

zu Ru{-oo,+oo} den extended Reals, was dann
erlaubt undef weiter zu verfeinern.
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.
Ich glaube, wenn hier einer ein Vollpfosten ist, dann wohl schon eher Du. :-)
Post by Mostowski Collapse
der Limes hier ist divergent [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)
Hinweis: (Google-Suche:)
No results found for "der Limes divergiert".
No results found for "der Limes ist divergent".
Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Im anderen Fall konvergiert _der Limes_ also? Nicht eher _die Folge_? :-)
EOD
Mostowski Collapse
2020-05-13 22:36:19 UTC
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Sogar Wolfram Alpha kann undef ausgeben:

lim x->0 sin(1/x) = undefined ...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E0+sin%281%2Fx%29
Post by Mostowski Collapse
LoL, wirklich nur matsch in der Birne, eh?
Die Folge macht nichts von sich aus. Die
konvergiert weder noch divergiert.
s : N -> R
Erst wenn man den Limes Operator davor
setzt, fragt man nach dem Limes. Und dieser
kann in R existieren,
wenn es genau einen Häufungspunkt gibt.
Oder er kann nicht in R existieren, wenn
es keine oder mehrere Häufungspunkte gibt,
mann kann dem Limes Operator den Wert undef
zuordernet, der halt nicht in R zu finden ist.
Und weiter gibt es noch die Erweiterung
zu Ru{-oo,+oo} den extended Reals, was dann
erlaubt undef weiter zu verfeinern.
Post by Me
Post by Mostowski Collapse
Dein Problem, nicht meins. Vollpfosten.
Ich glaube, wenn hier einer ein Vollpfosten ist, dann wohl schon eher Du. :-)
Post by Mostowski Collapse
der Limes hier ist divergent [...]
Seit wann kann ein Limes "divergent" sein? :-)
Hinweis: (Google-Suche:)
No results found for "der Limes divergiert".
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Post by Mostowski Collapse
Wenn es keinen einzelnen Häufungspunkt gibt,
dann konvergiert der Limes nicht. Und dann
nennt man den Limes divergent.
Im anderen Fall konvergiert _der Limes_ also? Nicht eher _die Folge_? :-)
EOD
Ganzhinterseher
2020-05-13 20:52:26 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n (*)
Ja, das ist richtig. Siehe zum Beispiel W. Mückenheim: "Mathematik für die
ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)
Wenn "SUM_(n=1..oo) a_n" so definiert ist, was soll dann die Aussage "z. B. ist die harmonische Reihe SUM_(n=1..oo) 1/n divergent" bedeuten?
Es handelt sich um den uneigentlichen Grenzwert. Für jede positive Zahl M gibt es eine definierbare natürlich Zahl n, so dass 1 + 1/2 + ... + 1/n > M .
Post by Me
Hinweis: Wenn das Symbol NUR die ihm durch (*) gegebene Bedeutung hat, dann ist es für nicht konvergente Reihen gar nicht definiert.
Das ist richtig. Aber für uneigentlichen Grenzwerte kann man es benutzen.
Post by Me
Das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" könnte also nicht _die harmonische Reihe_ bezeichnen.
Das Symbol bezeichnet sie auch nicht. In einem guten Mathe-Buch wirst Du stets die Summation über n ∈ ℕ finden (z. B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015))
Post by Me
(Mal ganz abgesehen davon, dass /Reihen/ keine Zahlen sind und daher das Symbol "SUM_(n=1..oo) 1/n" nach der Erklärung (*) gar keine /Reihe/ bezeichnen könnte - wenn das Symbol nicht auch eine andere "Bedeutung" haben könnte.)
Hier handelt es sich um den uneigentlichen Grenzwert.
Post by Me
Warum muss man Dir eigentlich die grundlegendsten Dinge erklären, wie einem Studienanfänger?
"Dem Symbol
SUM_(i=0..oo) a_i
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu
Habe ich das geschrieben? Das muss lange her sein. Tatsächlich findet sich in der ersten Auflage noch die falsche Bezeichnung. Dort fehlt die Unterscheidung zwischen
SUM_(i=0..oo) a_i
und
SUM (n ∈ ℕ) a_n.

Auch ich habe in den Jahren 2008 - 2015 dazugelernt.

Gruß, WM
Me
2020-05-13 21:22:52 UTC
Permalink
<Wirres Gefasel gelöscht>
Oha, schon wieder nichts mehr übrig, das man kommentieren könnte.
Me
2020-05-13 21:48:54 UTC
Permalink
SUM_(n=1..oo) a_n = LIM k->oo SUM_(n=1..k) a_n
Im Gegensatz zu Deinem und Mückenheims Geschwalle ist das Folgende eine korrekte Darstellung:

"Definition 3.1.1. Sei (ak)_k∈N eine Folge reeller Zahlen. Der Ausdruck

SUM_(k=0..oo) a_k

bezeichnet die Folge der Partialsummen s_n = SUM_(k=0..n) a_k und, falls die Folge dieser Partialsummen konvergiert, auch ihren Grenzwert lim_n->oo sn = s."

Quelle: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAN1.pdf

Dies Darstellung von Prof. Dr. Wolfgang Soergel ist VÖLLIG in Einklag mit simplen der Feststellung:

"Das Symbol SUM_(n=1..oo) a_n wird im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch sowohl für die Folge der Partialsummen als auch für deren Grenzwert - den Reihenwert - benutzt. Das ist philologisch unbefriedigend, aber herrschende Praxis." (pwmeyer, 09:47 Uhr, 06.12.2016)

Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Definition-der-Reihe
Ganzhinterseher
2020-05-13 14:55:52 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Me
Vielleicht meinen Sie ja einfach nur, dass für alle n e IN
SUM_(k=1..n) 9/10^k < 1
gilt?
Sind denn in 0,999... Indizes vorhanden, die nicht in IN sind?
Also ich sehe weder in dem Symbol "0,999..." Indizes
Dann solltest Du vielleicht von der Abkürzung zur ausgeschriebenen Variante wechseln: 9*10^-1 + 9*10^-2 + 9*10^-3 + ... Hier sind die Exponenten angegeben, deren negative Werte die Position der 9 in 0,999... anzeigen. Diese nennet man auch Indizes.
Post by Me
, noch kann es sie "in" einer natürlichen Zahl wie z. B. 0,999... geben
Dies ist überhaupt keine Zahl, geschweige denn eine natürlichen.
Post by Me
(Vorsicht: Kategorienfehler!).
Ja, der hat sich freilich tief eingebrannt:

The series 0.9 + 0.09 + 0.009 + ..., abbreviated by 0.999..., is a sequence of partial sums and, like all strictly monotonic infinite sequences, does not contain its limit. That is: 1 does not belong to the series.

Nevertheless, since the difference between the partial sums and the limit 1 is infinitely diminishing, the limit has been confused with the (not existing) sum and has been called "the sum of the series" or even "the series" by sloppy mathematicians.

Regards, WM
Me
2020-05-13 15:25:36 UTC
Permalink
9*10^-1 + 9*10^-2 + 9*10^-3 + ... Hier sind die Exponenten angegeben [...]
Diese nennt man auch Indizes.
Ah ja, wo denn? In Mückenhausen?
the limit has been confused with the [...] sum
No, it has not been "confused". But it is
called "the sum of the series"
these days.
Ganzhinterseher
2020-05-13 15:41:53 UTC
Permalink
Post by Me
9*10^-1 + 9*10^-2 + 9*10^-3 + ... Hier sind die Exponenten angegeben [...]
Diese nennt man auch Indizes.
Ah ja, wo denn?
Überall in der Mathematik.
Post by Me
the limit has been confused with the [...] sum
No, it has not been "confused". But it is
called "the sum of the series"
ohne die Summe zu sein. Das zeugt von Konfusion der Nominatoren.

Gruß, WM
Me
2020-05-08 14:17:46 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn 0,99999... *nicht* gleich 1 waere, muesste sich eine Zahl d *groesser*
0 angeben lassen, so dass 0,999... + d = 1 ist.
0,999... ist keine Zahl, sondern
Red kein Blech. In Allen Kontexten, wo man eine Zahl erwartet/erwarten würde, wird das Symbol "0,999..." als Bezeichner für den Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) aufgefasst. Sie sind wieder einmal zu blöde, um diesen einfachen Sachverhalt zu begreifen. Nur DANN kann man SINNVOLL z. B. die Frage stellen, für welches d e IR

0,999... + d = 1

ist.
Stephan Gerlach
2020-05-08 22:25:02 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
"Aus a =/= b folgt c =/= b."
Aus An e IN: a_n =/= a folgt lim_(n->oo) a_n =/= a .
Es könnte in der Tat sein, daß tatsächlich dieser "Satz" benutzt wurde.
Man braucht für obige WM-Aussage dazu noch
lim_(n->oo)(1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Mein "Satz" sollte etwas genauer übrigens wie folgt(?!) lauten:
"Wenn a =/= c ist, dann folgt aus a =/= b auch c =/= b."
Aus diesem "Satz" folgt die WM-Aussage (glaube ich) auch, wobei man
zusätzlich noch
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..."
braucht/benutzt. (Oder so ählich. Sehr verwirrend, das Ganze.)
Post by Me
Ich habe das zwar seinerzeit an der Uni anders gelernt,
aber vielleicht wird das das ja in Augsburg anders gehandhabt?
Scheint so zu sein.
Post by Me
Dort scheint z. B. zu gelten, dass die Folge (a_n)_(n e IN) mit
a_n = 1 - 1/n (für alle n e IN) NICHT den Grenzwert 1 besitzt,
denn immerhin gilt An e IN: a_n =/= 1.
Es geht noch (minimal) einfacher:
Die Folge a_n = 1/n; n e IN, ist nach dem o.g. Satz keine Nullfolge.
Vermutlich hat sie einen anderen Grenzwert als 0. Oder ist gar
divergent(?!). Sehr mysteriös, das alles.
--
Post by Me
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Ganzhinterseher
2020-05-09 13:51:47 UTC
Permalink
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
Aus An e IN: a_n =/= a folgt lim_(n->oo) a_n =/= a .
Das ist falsch. Ich behaupte lediglich An e IN: a_n =/= a. Und damit sind auch unendlich viele a_n ausgeschlossen.
Post by Stephan Gerlach
Es könnte in der Tat sein, daß tatsächlich dieser "Satz" benutzt wurde.
Unsinn. Lies die Originalbeiträge oder mein Buch dazu: [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)].

Es gibt für die Folge 0,999... den Grenzwert 1, der aber auch von unendlich vielen Neunen nicht egalisiert wird. Wenn es, wie die Mengenlehre lehrt, aleph_0 Indizes gibt, dann sind auch die aktual unendlich vielen Neunen nicht ausreichend. Und potentiell unendlich viele erst recht nicht.

Natürlich weiß ich, dass 0,999... häufig als Abkürzung für den Grenzwert 1 gebraucht wird. Nicht weiter schlimm. Aber dieser Fehler wird dann in die Cantor-Liste verschleppt, wo fälschlich behauptet wird, unendlich viele Ziffern würden den Grenzwert darstellen.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-09 14:23:08 UTC
Permalink
Leider gilt aber:

0.999... = lim n->oo 1-10^(-n) = 1

Hat nichts mit einer unendlichen liste zu tun.
0.999... ist nicht das unendlich lange Wort
"0.999...", sondern obiger Limes.

Sie verwechseln angedachtes Wort und dessen
Bedeutung. Es ist nicht so wie beim Hilbert Hotel
dass das Wort "Hilbert Hotel" wirklich unendliche

viele Zimmer referenziert und bedeutet. 0.999...
referenziert unendlich viele Ziffern, aber es
bedeutet das nicht. Die Bedeutung ist 1.

Genauso 0.333... = 1/3.
Post by Ganzhinterseher
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
Aus An e IN: a_n =/= a folgt lim_(n->oo) a_n =/= a .
Das ist falsch. Ich behaupte lediglich An e IN: a_n =/= a. Und damit sind auch unendlich viele a_n ausgeschlossen.
Post by Stephan Gerlach
Es könnte in der Tat sein, daß tatsächlich dieser "Satz" benutzt wurde.
Unsinn. Lies die Originalbeiträge oder mein Buch dazu: [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015)].
Es gibt für die Folge 0,999... den Grenzwert 1, der aber auch von unendlich vielen Neunen nicht egalisiert wird. Wenn es, wie die Mengenlehre lehrt, aleph_0 Indizes gibt, dann sind auch die aktual unendlich vielen Neunen nicht ausreichend. Und potentiell unendlich viele erst recht nicht.
Natürlich weiß ich, dass 0,999... häufig als Abkürzung für den Grenzwert 1 gebraucht wird. Nicht weiter schlimm. Aber dieser Fehler wird dann in die Cantor-Liste verschleppt, wo fälschlich behauptet wird, unendlich viele Ziffern würden den Grenzwert darstellen.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-05-09 16:51:15 UTC
Permalink
Post by Mostowski Collapse
0.999... = lim n->oo 1-10^(-n) = 1
Hat nichts mit einer unendlichen liste zu tun.
Du bist offenbar nicht in der Lage, meinem Gedanken zu folgen.
Post by Mostowski Collapse
0.999... ist nicht das unendlich lange Wort
"0.999...", sondern obiger Limes.
Das mag man so definieren. Trotzdem ist es geringfügig falsch, denn 0,999... stellt jedenfalls die unendliche Partialsummen dar, deren Partialsummen *alle* kleiner als 1 sind.
Post by Mostowski Collapse
Sie verwechseln angedachtes Wort und dessen
Bedeutung. Es ist nicht so wie beim Hilbert Hotel
dass das Wort "Hilbert Hotel" wirklich unendliche
viele Zimmer referenziert und bedeutet. 0.999...
referenziert unendlich viele Ziffern, aber es
bedeutet das nicht. Die Bedeutung ist 1.
Das ist eine Perversion, der ich mich nicht anschließen kann. In erster Linie bedeutet 0,999... die Partialsummenfolge. Deine Auffassung führt dazu, dass man unter 3,1415... die Zahl pi versteht. Auch das mag noch hingehen. Aber vor allem führt sie dazu, unter unendlichen Ziffernfolgen reelle Zahlen zu verstehen und daraus eine unendliche Ziffernfolge zu konstruieren, die als Diagonalzahl bezeichnet wird. Das führt zu der unsinnigen Behauptung, dass in Cantor-Listen reelle Zahlen vorkämen und die transzendenten Zahlen häufiger als die algebraischen wären. Absoluter Humbug also. Deswegen sollte man korrekter agieren und bezeichnen.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-09 17:11:34 UTC
Permalink
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der

1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen, so
wie ich das gemacht habe. Allerdings sehe ich
eher ein sogenanntes ω Wort darin.

An ω-language is a set of infinite-length
sequences of symbols. The infinite words, or
ω-words, can likewise be viewed as functions
from N to Σ.

Die Symbolmenge Σ wären die Ziffern, also Σ =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Und da ω-Wort "0.999..."
hätte dann die Funktion zugrundeliegend:

f : N -> Σ
f(k) = 9

Sie können f : Z -> Σ, ein ω*+ω Wort, und
mittles negativen Indizies die Ziffern vor
dem Komma darstellen.

Auf diese Weise können Sie "0.999..." =/= 1
von 0.999... = 1 unterscheiden, und Ihr Unfug
hat ein Ende. Sie demonstrieren mit 0.999...

=/= 1 nur dass Sie zwischen "0.999..." und
0.999... nicht unterscheiden können, und dass
ihr agieren und bezeichnen eine hohle

Phrase ist.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
0.999... = lim n->oo 1-10^(-n) = 1
Hat nichts mit einer unendlichen liste zu tun.
Du bist offenbar nicht in der Lage, meinem Gedanken zu folgen.
Post by Mostowski Collapse
0.999... ist nicht das unendlich lange Wort
"0.999...", sondern obiger Limes.
Das mag man so definieren. Trotzdem ist es geringfügig falsch, denn 0,999... stellt jedenfalls die unendliche Partialsummen dar, deren Partialsummen *alle* kleiner als 1 sind.
Post by Mostowski Collapse
Sie verwechseln angedachtes Wort und dessen
Bedeutung. Es ist nicht so wie beim Hilbert Hotel
dass das Wort "Hilbert Hotel" wirklich unendliche
viele Zimmer referenziert und bedeutet. 0.999...
referenziert unendlich viele Ziffern, aber es
bedeutet das nicht. Die Bedeutung ist 1.
Das ist eine Perversion, der ich mich nicht anschließen kann. In erster Linie bedeutet 0,999... die Partialsummenfolge. Deine Auffassung führt dazu, dass man unter 3,1415... die Zahl pi versteht. Auch das mag noch hingehen. Aber vor allem führt sie dazu, unter unendlichen Ziffernfolgen reelle Zahlen zu verstehen und daraus eine unendliche Ziffernfolge zu konstruieren, die als Diagonalzahl bezeichnet wird. Das führt zu der unsinnigen Behauptung, dass in Cantor-Listen reelle Zahlen vorkämen und die transzendenten Zahlen häufiger als die algebraischen wären. Absoluter Humbug also. Deswegen sollte man korrekter agieren und bezeichnen.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-09 17:17:45 UTC
Permalink
Oops, link ging vergessen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Omega_language

Mit ω*+ω Wortern gibt es auch das hier:

"...99999"

"...99999.9999..."

Aus diesen Wörtern entstehen auch ganz witzige Zahlen.

Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff
definieren, bei dem die Summen am anderen Ende
ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form
https://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl
Post by Mostowski Collapse
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der
1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen, so
wie ich das gemacht habe. Allerdings sehe ich
eher ein sogenanntes ω Wort darin.
An ω-language is a set of infinite-length
sequences of symbols. The infinite words, or
ω-words, can likewise be viewed as functions
from N to Σ.
Die Symbolmenge Σ wären die Ziffern, also Σ =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Und da ω-Wort "0.999..."
f : N -> Σ
f(k) = 9
Sie können f : Z -> Σ, ein ω*+ω Wort, und
mittles negativen Indizies die Ziffern vor
dem Komma darstellen.
Auf diese Weise können Sie "0.999..." =/= 1
von 0.999... = 1 unterscheiden, und Ihr Unfug
hat ein Ende. Sie demonstrieren mit 0.999...
=/= 1 nur dass Sie zwischen "0.999..." und
0.999... nicht unterscheiden können, und dass
ihr agieren und bezeichnen eine hohle
Phrase ist.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
0.999... = lim n->oo 1-10^(-n) = 1
Hat nichts mit einer unendlichen liste zu tun.
Du bist offenbar nicht in der Lage, meinem Gedanken zu folgen.
Post by Mostowski Collapse
0.999... ist nicht das unendlich lange Wort
"0.999...", sondern obiger Limes.
Das mag man so definieren. Trotzdem ist es geringfügig falsch, denn 0,999... stellt jedenfalls die unendliche Partialsummen dar, deren Partialsummen *alle* kleiner als 1 sind.
Post by Mostowski Collapse
Sie verwechseln angedachtes Wort und dessen
Bedeutung. Es ist nicht so wie beim Hilbert Hotel
dass das Wort "Hilbert Hotel" wirklich unendliche
viele Zimmer referenziert und bedeutet. 0.999...
referenziert unendlich viele Ziffern, aber es
bedeutet das nicht. Die Bedeutung ist 1.
Das ist eine Perversion, der ich mich nicht anschließen kann. In erster Linie bedeutet 0,999... die Partialsummenfolge. Deine Auffassung führt dazu, dass man unter 3,1415... die Zahl pi versteht. Auch das mag noch hingehen. Aber vor allem führt sie dazu, unter unendlichen Ziffernfolgen reelle Zahlen zu verstehen und daraus eine unendliche Ziffernfolge zu konstruieren, die als Diagonalzahl bezeichnet wird. Das führt zu der unsinnigen Behauptung, dass in Cantor-Listen reelle Zahlen vorkämen und die transzendenten Zahlen häufiger als die algebraischen wären. Absoluter Humbug also. Deswegen sollte man korrekter agieren und bezeichnen.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-09 17:23:41 UTC
Permalink
Eigentlich wollte ich ω° schreiben und nicht ω*.
ω° soll die gespiegelte Anordnung von ω sein.
Post by Mostowski Collapse
https://en.wikipedia.org/wiki/Omega_language
"...99999"
"...99999.9999..."
Aus diesen Wörtern entstehen auch ganz witzige Zahlen.
Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff
definieren, bei dem die Summen am anderen Ende
ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form
https://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl
Post by Mostowski Collapse
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der
1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen, so
wie ich das gemacht habe. Allerdings sehe ich
eher ein sogenanntes ω Wort darin.
An ω-language is a set of infinite-length
sequences of symbols. The infinite words, or
ω-words, can likewise be viewed as functions
from N to Σ.
Die Symbolmenge Σ wären die Ziffern, also Σ =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Und da ω-Wort "0.999..."
f : N -> Σ
f(k) = 9
Sie können f : Z -> Σ, ein ω*+ω Wort, und
mittles negativen Indizies die Ziffern vor
dem Komma darstellen.
Auf diese Weise können Sie "0.999..." =/= 1
von 0.999... = 1 unterscheiden, und Ihr Unfug
hat ein Ende. Sie demonstrieren mit 0.999...
=/= 1 nur dass Sie zwischen "0.999..." und
0.999... nicht unterscheiden können, und dass
ihr agieren und bezeichnen eine hohle
Phrase ist.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
0.999... = lim n->oo 1-10^(-n) = 1
Hat nichts mit einer unendlichen liste zu tun.
Du bist offenbar nicht in der Lage, meinem Gedanken zu folgen.
Post by Mostowski Collapse
0.999... ist nicht das unendlich lange Wort
"0.999...", sondern obiger Limes.
Das mag man so definieren. Trotzdem ist es geringfügig falsch, denn 0,999... stellt jedenfalls die unendliche Partialsummen dar, deren Partialsummen *alle* kleiner als 1 sind.
Post by Mostowski Collapse
Sie verwechseln angedachtes Wort und dessen
Bedeutung. Es ist nicht so wie beim Hilbert Hotel
dass das Wort "Hilbert Hotel" wirklich unendliche
viele Zimmer referenziert und bedeutet. 0.999...
referenziert unendlich viele Ziffern, aber es
bedeutet das nicht. Die Bedeutung ist 1.
Das ist eine Perversion, der ich mich nicht anschließen kann. In erster Linie bedeutet 0,999... die Partialsummenfolge. Deine Auffassung führt dazu, dass man unter 3,1415... die Zahl pi versteht. Auch das mag noch hingehen. Aber vor allem führt sie dazu, unter unendlichen Ziffernfolgen reelle Zahlen zu verstehen und daraus eine unendliche Ziffernfolge zu konstruieren, die als Diagonalzahl bezeichnet wird. Das führt zu der unsinnigen Behauptung, dass in Cantor-Listen reelle Zahlen vorkämen und die transzendenten Zahlen häufiger als die algebraischen wären. Absoluter Humbug also. Deswegen sollte man korrekter agieren und bezeichnen.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-05-09 20:25:59 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Möglicherweise.
Post by Mostowski Collapse
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der
1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen
Nein, das was nicht der 1 entspricht, ist hier die abkürzende Darstellung 0,999... der Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... .

Beweis: Jede der unendlich vielen Partialsummen ist kleiner als 1. Da braucht sich nichts hinter Anführungszeichen zu verstecken.

Gruß, WM
Me
2020-05-09 20:52:00 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Da braucht sich nichts hinter Anführungszeichen zu verstecken.
Du bist einfach zu doof, den Unterschied zwischen dem Namen "Zuckerwatte" und Zuckerwatte zu verstehen. Da kann man wohl nix machen. (Hinweis: Das eine kann man essen, das andere nicht.)
Juergen Ilse
2020-05-10 00:42:37 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Nein, das was nicht der 1 entspricht, ist hier die abkürzende Darstellung 0,999... der Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... .
Falsch.
Post by Ganzhinterseher
Beweis: Jede der unendlich vielen Partialsummen ist kleiner als 1. Da braucht sich nichts hinter Anführungszeichen zu verstecken.
Jede *endliche* Teilsumme ist kleiner als 1. Die "Gesamtsumme" ist aber
dennoch 1, auch wenn SIE zu bloed sind, das zu begreifen. Die "unendliche
Summe" ist *definiert* als der Grenzwert der Folge der endlichen Teilsummen,
weil es keine andere *sinnvolle* Definition dafuer gibt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-05-10 02:08:40 UTC
Permalink
Die "unendliche Summe" ist *definiert* als der Grenzwert der Folge der
endlichen Teilsummen, weil es keine andere *sinnvolle* Definition dafuer
gibt.
Nun ja, so scheint es erst mal. Tatsächlich gibt es durchaus auch andere "sinnvolle" Definitionen dafür. Diese sind aber erst "interessant" für Reihen, die "divergieren".

Das führt dann zu Resultaten wie

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus, findet aber überraschenderweise im Kontext der Physik durchaus Verwendung!

Erst mal:
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

Witzig, aber zutreffend:


Tiefergehend:
https://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series
Ganzhinterseher
2020-05-10 20:42:40 UTC
Permalink
Post by Me
Die "unendliche Summe" ist *definiert* als der Grenzwert der Folge der
endlichen Teilsummen, weil es keine andere *sinnvolle* Definition dafuer
gibt.
Nun ja, so scheint es erst mal. Tatsächlich gibt es durchaus auch andere "sinnvolle" Definitionen dafür. Diese sind aber erst "interessant" für Reihen, die "divergieren".
Das führt dann zu Resultaten wie
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus,
Es ist Blödsinn.
Post by Me
findet aber überraschenderweise im Kontext der Physik durchaus Verwendung!
Nein, nur im Kontext von Schwachstringssphysik.

Gruß, WM
Me
2020-05-10 20:52:16 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Die "unendliche Summe" ist *definiert* als der Grenzwert der Folge der
endlichen Teilsummen, weil es keine andere *sinnvolle* Definition dafuer
gibt.
Nun ja, so scheint es erst mal. Tatsächlich gibt es durchaus auch andere
"sinnvolle" Definitionen dafür. Diese sind aber erst "interessant" für
Reihen, die "divergieren".
Das führt dann zu Resultaten wie
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus,
Es ist Blödsinn.
Na klar, weil in Deinem Weltbild *alles* Blödsinn ist, was *Du* nicht verstehst. :-)

Jedenfalls als Nachtrag noch hier für Juergen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
Ganzhinterseher
2020-05-11 15:50:20 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Das führt dann zu Resultaten wie
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus,
Es ist Blödsinn.
Na klar, weil in Deinem Weltbild *alles* Blödsinn ist, was
ich widerlegen kann. Es gilt 1 > 0.
Jede weitere Addition vergrößert das Ergebnis. Es gibt keine Operation, die es verkleinert. Das genügt vollauf.

Gruß, WM
Me
2020-05-11 16:02:27 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Das führt dann zu Resultaten wie
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus,
Es ist Blödsinn.
Na klar, weil in Deinem Weltbild *alles* Blödsinn ist, was
[...] Jede weitere Addition vergrößert das Ergebnis. Es gibt keine Operation,
die es verkleinert. Das genügt vollauf.
Nö, das genügt keineswegs. Alles was man auf diese Weise zeigen/beweisen kann (z. B. mittels Induktion, falls Du schon einmal etwas davon gehört hast), ist

An e IN: 1 + 2 + 3 + ... + n > 0 .

Und nein, in der Mathematik ist der MÜCKENSCHLUSS

(*) Aus An e IN: Phi({1, ..., n}) folgt Phi(IN)

keine gültige Schlussweise. :-)
Me
2020-05-11 16:12:51 UTC
Permalink
[...] Jede weitere Addition <blubber>
Und mal im Ernst, Mückenheim: Im Zweifelsfalle würde ich eher Ramanujan folgen als Ihnen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation#Sum_of_divergent_series

Hinweis:

"The Ramanujan Summation also has had a big impact in the area of general physics, specifically in the solution to the phenomenon know as the Casimir Effect. Hendrik Casimir predicted that given two uncharged conductive plates placed in a vacuum, there exists an attractive force between these plates due to the presence of virtual particles bread by quantum fluctuations. In Casimir’s solution, he uses the very sum we just proved to model the amount of energy between the plates. And there is the reason why this value is so important.

So there you have it, the Ramanujan summation, that was discovered in the early 1900’s, which is still making an impact almost 100 years on in many different branches of physics, and can still win a bet against people who are none the wiser."

Quelle: https://medium.com/cantors-paradise/the-ramanujan-summation-1-2-3-1-12-a8cc23dea793
Ganzhinterseher
2020-05-12 21:18:16 UTC
Permalink
Ein recht großer Prozentsatz seiner Sätze ist falsch. Und diese Summation mag zwar irgendwelche Leute begeistern (Euler hat ja schon denselben Fehler gemacht), aber wer mit solchem Mist die Physik verseucht, sollte zumindest von jeder öffentlichen Förderung abgekoppelt werden.

Im Übrigen brauchst Du nicht zu glauben. 1 > 0 und jede weitere Zahl ist positiv. Also ist Ramanujan-Summation nichts mit gewöhnlicher Arithmetik zu tun. Wer daran zweifelt, muss schon einige Schrauben locker haben.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-05-12 21:22:11 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Das führt dann zu Resultaten wie
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Sieht auf den ersten Blick ziemlich ungewöhnlich aus,
Es ist Blödsinn.
Na klar, weil in Deinem Weltbild *alles* Blödsinn ist, was
[...] Jede weitere Addition vergrößert das Ergebnis. Es gibt keine Operation,
die es verkleinert. Das genügt vollauf.
Nö, das genügt keineswegs. Alles was man auf diese Weise zeigen/beweisen kann (z. B. mittels Induktion, falls Du schon einmal etwas davon gehört hast), ist
An e IN: 1 + 2 + 3 + ... + n > 0 .
Gibt es denn natürliche Zahlen, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehören? Nein! Also sind alle Summen definiert und positiv. Dass keine letzte existiert, liegt an der potentiellen Unendlichkeit. Aber Dein "Argument" ist einfach blödsinnig.

Gruß, WM
Me
2020-05-12 22:11:21 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
[...] Jede weitere Addition vergrößert das Ergebnis. Es gibt keine Operation,
die es verkleinert. Das genügt vollauf.
Nö, das genügt keineswegs. Alles was man auf diese Weise zeigen/beweisen
kann (z. B. mittels Induktion, falls Du schon einmal etwas davon gehört
hast), ist
An e IN: 1 + 2 + 3 + ... + n > 0 .
Gibt es denn natürliche Zahlen, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt
gehören? Nein! Also sind alle Summen definiert und positiv. [...]
Nocheinmal: In der Mathematik ist der MÜCKENSCHLUSS

(*) Aus An e IN: Phi({1, ..., n}) folgt Phi(IN)

keine gültige Schlussweise. :-)
Post by Ganzhinterseher
Dein "Argument" ist einfach blödsinnig.
Das ändert aber nichts an dem gerade/oben von mir Gesagten.
Ganzhinterseher
2020-05-13 15:12:21 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
[...] Jede weitere Addition vergrößert das Ergebnis. Es gibt keine Operation,
die es verkleinert. Das genügt vollauf.
Nö, das genügt keineswegs. Alles was man auf diese Weise zeigen/beweisen
kann (z. B. mittels Induktion, falls Du schon einmal etwas davon gehört
hast), ist
An e IN: 1 + 2 + 3 + ... + n > 0 .
Gibt es denn natürliche Zahlen, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt
gehören? Nein! Also sind alle Summen definiert und positiv. [...]
Nein, nicht noch einmal. Beantworte gefälligst die Frage: Sind in |N natürliche Zahlnen vorhanden, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehören? Wenn nicht, dann kommen alle natürlichen Zahlen in der o.g. Formel vor. Wenn das zur Widerlegung Deiner blödsinnigen Ansicht führt, dass in |N noch mehr natürliche Zahlen zu berücksichtigten wären und Du einsiehst dass Du über Dekaden an Scharlatane geglaubt hast, die entweder selbst zu dämlich sind, diese einfachen Tatsachen zu erkennen, oder die Dich einfach betrügen wollten, dann solltest Du nicht gleich an Suizid denken. Freue Dich lieber an einem neuen Leben in geistiger Freiheit. Und hilf anderen.

https://www.swissinfo.ch/ger/problematischer-glauben_wie-man-einen-geliebten-menschen-aus-einer-sekte-befreit/45117858

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-05-13 17:49:12 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Nein, nicht noch einmal. Beantworte gefälligst die Frage: Sind in |N natürliche Zahlnen vorhanden, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehören?
iDa man aufgrund deiner "Quantorenlegasthenie" nie so genaau weis,, was SIE
eigentlich meinen, anworte ich mal etwas ausfuehrlicher: Zu jedem endlichen
Anfangsabschnitt gibt es unendlich viele Zahlen, die nicht element dieses
endlichen Anfangsbschnitts sind, aber daas ist voellig irrelevant. Zu jeder
natuerlichen Zahl n gibt es einen endlichen Anfangsabschnitt (sogar unend-
lich viele, aber einer soll hier genuegen), die diese natuerliche Zahl ent-
haelt. Nein, das ist kein Widerspruch.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-05-13 18:58:11 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Sind in |N natürliche Zahlen vorhanden, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehören?
Zu jedem endlichen
Anfangsabschnitt gibt es unendlich viele Zahlen, die nicht element dieses
endlichen Anfangsbschnitts sind, aber daas ist voellig irrelevant.
Richtig. Weshalb also erwähnst Du es?
Post by Juergen Ilse
Zu jeder
natuerlichen Zahl n gibt es einen endlichen Anfangsabschnitt (sogar unend-
lich viele, aber einer soll hier genuegen), die diese natuerliche Zahl ent-
haelt. Nein, das ist kein Widerspruch.
Natürlich ist das kein Widerspruch. Ein Widerspruch ergäbe sich aber dann, wenn natürliche Zahlen außerhalb aller Anfangsabschnitte existierten, wenn also in der Menge |N mehr Zahlen enthalten wären als in allen Anfangsabschnitten.

Ein Widerspruch ergäbe sich also, wenn alle endlichen Summen natürlicher Zahlen zwar positiv wären

∀n ∈ ℕ: 1 + 2 + 3 + ... + n > 0 ,

aber die Summe aller natürlichen Zahlen noch mehr enthielte und damit sogar negativ sein könnte.

Das wäre ein Widerspruch, auch wenn manche Spinner das abstreiten und mit diesen Bockmist sogar unhygienischerweise die Physik infizieren wollen.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-10 09:43:08 UTC
Permalink
Also wenn jede unendliche Partialsumme kleine
1 ist, und man beliebig an 1 heran kommt, dann
ergibt das ja wenn man die überstrichenen

Intervalle anschaut gerade den Dedekind Schnitt:

{ x e Q | x < 1 }

also haben sie selber gerade gezeigt dass das
Ergebnis 1. Die 1 muss nicht erreicht werden,
solange die gleichen Intervalle

überstrichen werden wie bei dem entsprechenden
Dedekind Schnitt ist das Ergebnis der unendlichen
Summe die entsprechende Zahl.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Möglicherweise.
Post by Mostowski Collapse
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der
1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen
Nein, das was nicht der 1 entspricht, ist hier die abkürzende Darstellung 0,999... der Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... .
Beweis: Jede der unendlich vielen Partialsummen ist kleiner als 1. Da braucht sich nichts hinter Anführungszeichen zu verstecken.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-10 09:46:35 UTC
Permalink
Also sobald sie die Anführungszeichen weglassen
und von "0,999..." zu 0,999... den Blick wenden,
dann sind alle partiellen Summen kleiner als

1 aber die Gesammtheit entspricht 1. Das sieht
man darin dass 0,999... zum Dedekind Schnitt:

{ x e Q | x < 1 }

Das gleiche mit 1+1/2+1/4+... das führt zum
Dedekind Schnitt:

{ x e Q | x < 2 }

Also ist 1+1/2+1/4+... = 2.
Post by Mostowski Collapse
Also wenn jede unendliche Partialsumme kleine
1 ist, und man beliebig an 1 heran kommt, dann
ergibt das ja wenn man die überstrichenen
{ x e Q | x < 1 }
also haben sie selber gerade gezeigt dass das
Ergebnis 1. Die 1 muss nicht erreicht werden,
solange die gleichen Intervalle
überstrichen werden wie bei dem entsprechenden
Dedekind Schnitt ist das Ergebnis der unendlichen
Summe die entsprechende Zahl.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Ich habe schon korrekter agiert und bezeichnet.
Möglicherweise.
Post by Mostowski Collapse
Sie können Ihre Sequenz von Partialsummen oder
was immer sie sich vorstellen und was nicht der
1 entspricht mit "0.999..." bezeichnen
Nein, das was nicht der 1 entspricht, ist hier die abkürzende Darstellung 0,999... der Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... .
Beweis: Jede der unendlich vielen Partialsummen ist kleiner als 1. Da braucht sich nichts hinter Anführungszeichen zu verstecken.
Gruß, WM
Me
2020-05-09 20:55:13 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Du bist offenbar nicht in der Lage, meinem Gedanken zu folgen.
Ich denke, dass es nicht übertrieben ist zu behaupten, dass wohl *niemand* in der Lage ist, Ihren "Gedanken" zu folgen (vermutlich nicht einmal Sie selbst).
Roland Franzius
2020-05-07 04:43:21 UTC
Permalink
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies 1/2 + 1/4 + 1/8
+ ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
"Aus a =/= b folgt c =/= b."
Ist das ein allgemeingültiges Argument(?), oder müssen dazu für a, b und
c bestimmte Voraussetzungen gelten?
Sieh es als Dualitätsargument in der Kategorie Mathematiker, Objekte,
Erkenntnissse, Belehrungen. Das Diagramm

Mü -> Ro
| |
V V
O(n)-> O(oo)

ist nicht kommutativ, erlaubt aber Rückschlüsse auf Ro->Mü,
--
Roland Franzius
Ganzhinterseher
2020-05-07 13:04:31 UTC
Permalink
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
Verstehe(?).
"Aus a =/= b folgt c =/= b."
Ist das ein allgemeingültiges Argument(?), oder müssen dazu für a, b und
c bestimmte Voraussetzungen gelten?
Die Aussage gilt unter der Voraussetzung von Inkulsionsmonotonie, also für Anfangsabschnitte.

Ein einfacheres Beispiel sind die Anfangsabschnitte {1, 2, 3, ..., n} der natürlichen Zahlen n:

∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Kein Anfangsabschnitt mit definierbarem n ist die aktual unendliche Menge ℕ, die definitionsgemäß größer als alle Anfangsabschnitte ist. Und daher ist auch die Vereinigung aller Anfangsabschnitte nicht diese aktual unendliche Menge (denn alle Elemente, die in der Vereinigung sind, sind auch in den Anfangsabschnitten und wegen Inklusionsmonotonie in einem Anfangsabschnitt), sondern nur die potentiell unendliche Folge

{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...

Wenn also die aktual unendliche Menge ℕ existiert, dann muss sie mehr als definierbare natürliche Zahlen enthalten.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-05-07 09:21:26 UTC
Permalink
Prof Muckefunk is still fond of his Mückenschuss:

forall n P(n) => P(ω)

Once a crank, always a crank.
Post by Me
"An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1" (W. Mückenheim, sci.math)
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