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Nostalgie 7
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Ganzhinterseher
2020-10-13 05:52:12 UTC
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[...] Baire, who promptly agreed with Borel. Baire complained of Zermelo's frequent references to "a given set", since he could not guess what that might mean. In fact, he suspected that the phrase was meaningless. He professed to be more conservative than Borel in believing that even denumerable infinities should not be permitted in rigorous mathematics. If Baire were to have his way, progress in mathematics would be measured by confining all discussion to only definable domains. {{Ach Gott, wie öde würde dann die Mathematik sein!}} In the end, everything should be returned to the realm of the finite. It was though Cantorian set theory were once more faced with the objections of Leopold Kronecker. Certainly Baire, Borel, and Lebesgue had reopened all of the finitist doubts to which Cantor had been subjected at the outset of his career. Of all who shared these doubts, Lebesgue spoke most persuasively, if somewhat more moderately than Borel and Baire.

Lebesgue clarified what Borel and Baire had expressed only vaguely. In terms of Cantor's formulation, to define a set M was to give a property P pertaining to certain elements of a previously defined set N. But one knew nothing about the elements of M except, as Lebesgue put it, that they possessed all the unknown properties of N and were the only elements which satisfied the unknown property P. There was nothing to differentiate between two elements in M, let alone one, as Zermelo had required in order to produce alternative formulations, like B:

B: Correspond to every subset M' of elements of M one particular element m' of M'.

Unfortunately, Lebesgue did not see how any proof of Theorem B was possible except for sets that were already known to be well-ordered. This did not seem to happen very often.

[Dauben: "Georg Cantor", Princeton University Press (1990) p. 256]

Die Korrespondenz, auf die sich Daubens Referat stützt, ereignete sich im Jahre 1928, also 24 Jahre nach Zermelos erstem und 20 Jahre nach seinem neuen "Beweis" des Wohlordnungssatzes. Der hier dargestellte Einwand antizipiert fast buchstabengetreu eine Position, die ich - ohne Kenntnis von Lebesgues Kritik - im Kalenderblatt 091123 erörterte: Zermelos Beweis ist falsch, weil er die Wohlordnung voraussetzt und nur für wohlgeordnete Mengen beweist, dass sie wohlgeordnet werden können.

Selbstverständlich wiegen die gleichlautenden Bedenken dieser vergleichsweise unbekannten französischen Mathematiker das absolute Vertrauen von de.sci.mathematik-Koryphäen in Zermelos Beweis nicht auf (*), doch gereicht es mir zu einer gewissen Befriedigung, dass es wenigstens einen Menschen gab (ich meine tatsächlich gab - nicht nur nach "Beweis in ZFC"), dem man wohl oder übel mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten nicht ganz absprechen kann und der meine Position teilt.
___________________________

(*)
Zermelos Beweis ist korrekt, weil die Schlüsse darin korrekt sind. Er bedarf keiner weiteren Rechtfertigung. [CS]

Vielleicht versteht dann sogar ER den Beweis. [MO]
Henri Lebesgue?

Nein, ich frage nicht weshalb wohlgeordnete Mengen wohlgeordnet sind, sondern weshalb die Existenz von überabzählbaren wohlgeordneten Mengen vorausgesetzt wird. [WM]

Wird sie nicht. [CS]
Wird sie doch. [Henri Lebesgue]
Wer hat Recht? Die Mehrheit.

Die späteren Beweisschritte zeigen ganz nebenbei die Existenz von γ-Mengen. Aber sie setzen sie nicht voraus. [CC]

Ich möchte aber nicht unterschlagen, dass auch Verständnis für die Position von Lebesgue angedeutet wurde:

Man muss also bereits an ueberabzaehlbare Wohlordungen glauben, um von diesem Argument ueberzeugt zu werden. [WT]

Ach, das interessiert kaum einen Mathematiker, glaub es mir. [BoBo]

ZFC und Glaube. Ein untrennbares Paar.

Gruß, WM
Me
2020-10-13 09:09:58 UTC
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Post by Ganzhinterseher
There was nothing to differentiate between two elements in M, let alone one,
Fehlt hier nicht etwas/ein Wort? Bzw. Ist der Text wirklich korrekt wiedergegeben?
Post by Ganzhinterseher
B: Correspond to every subset M' of elements of M one particular element m' of M'.
Ob Zermelo das so formuliert hat? Hat der "Satz" (so wie er hier steht) überhaupt eine AUSSAGE?
Post by Ganzhinterseher
Unfortunately, Lebesgue did not see how any proof of Theorem B was possible
Das leuchtet ein, denn MIT ETWAS WOHLWOLLEN handelt sich bei B ja lediglich um eine "alternative Formulierung" des Auswahlaxioms. Letzteres ist bekanntlich bei Zermelo ein Axiom (wie der Name schon sagt) und lässt sich daher (im Kontext seines Systems) nicht "beweisen" (außer durch sich selbst).
Post by Ganzhinterseher
except for sets that were already known to be well-ordered.
Ja, es ist bekannt, dass das Auswahlaxiom äquivalent ist zum Wohlordnungssatz.
Post by Ganzhinterseher
This did not seem to happen very often.
Wird wohl so sein. :-)
Post by Ganzhinterseher
[Dauben: "Georg Cantor", Princeton University Press (1990) p. 256]
Nun hat der GRÖMÄZ auf einem Blatt Klopapier folgendes geschrieben (wie es scheint):

"Zermelos Beweis ist falsch, weil er die Wohlordnung voraussetzt und nur für wohlgeordnete Mengen beweist, dass sie wohlgeordnet werden können."

Absurder Quatsch.

"Crank is a pejorative term used for a person who holds an unshakable belief that most of their contemporaries consider to be false. A crank belief is so wildly at variance with those commonly held that it is considered ludicrous."

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Crank_(person)

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