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Mückenheims Hausaufgaben (3)
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jvr
2020-08-04 23:53:02 UTC
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Wir wiederholen. Der nächste Schritt ist (4) => (3). Unterdessen überlegt
Mücke, wie man nun (4) oder (3) beweist.

Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.

Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.

Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.

Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.

Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.

Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.

Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').

(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1 (*)

Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.

(4) => (3)
Angenommen (4) gelte durchweg und (3) gelte für F_{n-1}. Man muss nun zeigen,
dass (*) folgt, falls h"/k" zu F_n aber nicht zu F_{n-1} gehört. Nun ist
k" = n und folglich k < k" und k' < k"; ferner sind h/k und h'/k' benachbarte
Glieder von F_{n-1}.

Wir wissen nun, dass (h", k") = 1 und
h + h' = ah", k + k' = ak", für eine ganze Zahl a. Da aber k < k" und k' < k",
folgt a = 1. Und daher ist

h" = h + h', k" = k + k'; kh" - hk" = kh' - hk' = 1. Ebenso k"h' - h"k' = 1.

Das wäre also der erste Schritt. Versuchen Sie nun (3) und (4) zu beweisen.
jvr
2020-08-05 09:52:33 UTC
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Post by jvr
Wir wiederholen. Der nächste Schritt ist (4) => (3). Unterdessen überlegt
Mücke, wie man nun (4) oder (3) beweist.
Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.
Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.
Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').
(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1 (*)
Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.
(4) => (3)
Angenommen (4) gelte durchweg und (3) gelte für F_{n-1}. Man muss nun zeigen,
dass (*) folgt, falls h"/k" zu F_n aber nicht zu F_{n-1} gehört. Nun ist
k" = n und folglich k < k" und k' < k"; ferner sind h/k und h'/k' benachbarte
Glieder von F_{n-1}.
Wir wissen nun, dass (h", k") = 1 und
h + h' = ah", k + k' = ak", für eine ganze Zahl a. Da aber k < k" und k' < k",
folgt a = 1. Und daher ist
h" = h + h', k" = k + k'; kh" - hk" = kh' - hk' = 1. Ebenso k"h' - h"k' = 1.
Das wäre also der erste Schritt. Versuchen Sie nun (3) und (4) zu beweisen.
Das Programm ist nun folgendes: Wenn Mückenheim sich nicht meldet, z.B. indem
er Fehler moniert, oder Verbesserungen vorschlägt, oder sogar die eine oder
andere Aufgabe löst, ist das Thema erledigt. Dann bleibt die Aufgabe,
d.h. die Bestimmung der Verteilung der Indizes in Cantors Abzählung der
rationalen Zahlen, für Mückenheim ein Mysterium.
Selbstverständlich kann jeder nachlesen in der zitierten Literatur, wo
auch obiges herstammt. Hardy & Wright ist ein sehr schönes Buch.
Mostowski Collapse
2020-08-05 10:09:54 UTC
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Schöne Bücher sind ja schön. Aber können Sie
auch Probleme lösen. Was ist denn die "Verteilung"
exakt? Können Sie die asymptotische Dichte angeben?

Wenn Ja, bitte hier posten:

Relative abundance of rationals in Cantor's bijection?
https://math.stackexchange.com/q/3708845/4414

Oder hier posten:

What fraction of fractions does Cantor's
famous sequence enumerate?
https://mathoverflow.net/q/362791/37159

Wenn Nein, wieso soll das schöne Buch relevant
sein, ausser dass es schön ist?
Post by jvr
Post by jvr
Wir wiederholen. Der nächste Schritt ist (4) => (3). Unterdessen überlegt
Mücke, wie man nun (4) oder (3) beweist.
Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.
Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.
Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').
(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1 (*)
Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.
(4) => (3)
Angenommen (4) gelte durchweg und (3) gelte für F_{n-1}. Man muss nun zeigen,
dass (*) folgt, falls h"/k" zu F_n aber nicht zu F_{n-1} gehört. Nun ist
k" = n und folglich k < k" und k' < k"; ferner sind h/k und h'/k' benachbarte
Glieder von F_{n-1}.
Wir wissen nun, dass (h", k") = 1 und
h + h' = ah", k + k' = ak", für eine ganze Zahl a. Da aber k < k" und k' < k",
folgt a = 1. Und daher ist
h" = h + h', k" = k + k'; kh" - hk" = kh' - hk' = 1. Ebenso k"h' - h"k' = 1.
Das wäre also der erste Schritt. Versuchen Sie nun (3) und (4) zu beweisen.
Das Programm ist nun folgendes: Wenn Mückenheim sich nicht meldet, z.B. indem
er Fehler moniert, oder Verbesserungen vorschlägt, oder sogar die eine oder
andere Aufgabe löst, ist das Thema erledigt. Dann bleibt die Aufgabe,
d.h. die Bestimmung der Verteilung der Indizes in Cantors Abzählung der
rationalen Zahlen, für Mückenheim ein Mysterium.
Selbstverständlich kann jeder nachlesen in der zitierten Literatur, wo
auch obiges herstammt. Hardy & Wright ist ein sehr schönes Buch.
jvr
2020-08-05 15:55:20 UTC
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Wie man vorgehen muss, habe ich schon vorher gezeigt. Dass die Frage für Mückenheims "Beweis" irrelevant ist, versteht jedes Kind. Hier geht es nur darum, Mücke zu provozieren, das ganze Ausmaß seiner Unfähigkeit zu demonstrieren.
Das Thema 'Farey-Reihen' ist amüsant und gut nachzulesen bei Hardy & Wright.
Mostowski Collapse
2020-08-05 16:01:43 UTC
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Ein Vorgehen garantiert noch keine Lösung.
Was ist denn die Lösung?
Post by jvr
Wie man vorgehen muss, habe ich schon vorher gezeigt. Dass die Frage für Mückenheims "Beweis" irrelevant ist, versteht jedes Kind. Hier geht es nur darum, Mücke zu provozieren, das ganze Ausmaß seiner Unfähigkeit zu demonstrieren.
Das Thema 'Farey-Reihen' ist amüsant und gut nachzulesen bei Hardy & Wright.
jvr
2020-08-06 11:23:19 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Ein Vorgehen garantiert noch keine Lösung.
Was ist denn die Lösung?
Post by jvr
Wie man vorgehen muss, habe ich schon vorher gezeigt. Dass die Frage für Mückenheims "Beweis" irrelevant ist, versteht jedes Kind. Hier geht es nur darum, Mücke zu provozieren, das ganze Ausmaß seiner Unfähigkeit zu demonstrieren.
Das Thema 'Farey-Reihen' ist amüsant und gut nachzulesen bei Hardy & Wright.
Siehe
F. Mertens, Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie, J. f. Math. 77 1874
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