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Discussion:
Der mathematische Beweis
(zu alt für eine Antwort)
Arnd Schröter
2004-02-04 21:26:30 UTC
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Hallo!

Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es geht
mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises.
Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer
folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber
nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen
logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht
vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal
wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu
bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evoltion, Biologie oder
Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?

MfG Arnd Schröter

PS: Dass Mathematik ein höheres Abstraktionsniveau und auch eine exaktere
Beweisführung als andere Naturwissenschaften hat, bestreit ich nicht,
sondern ich zweifele die universelle Allgemeingültigkeit an.
Joachim Pense
2004-02-04 21:27:22 UTC
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Post by Arnd Schröter
Hallo!
Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es geht
mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises.
Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer
folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber
nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen
logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht
vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal
wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0
zu bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig)
machte. Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evoltion, Biologie oder
Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?
Ich ja.

Dazu kommt noch mehr: Diese Wahrscheinlichkeitsbetrachtung als solche
("viele bestandene Prüfungen belegen eine Aussage und machen sie irgendwie
richtiger") ist eine Glaubensangelegenheit.

Das heißt: selbst elementarste Prinzipien der Logik beruhen auf Glauben. Da
braucht man mit solchem Zeug wie Religion gar nicht erst anzufangen.

Joachim
Armin Saam
2004-02-04 22:26:38 UTC
Permalink
Post by Arnd Schröter
Hallo!
Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es geht
mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises.
Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer
folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber
nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen
logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht
vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal
wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu
bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evoltion, Biologie oder
Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?
MfG Arnd Schröter
PS: Dass Mathematik ein höheres Abstraktionsniveau und auch eine exaktere
Beweisführung als andere Naturwissenschaften hat, bestreit ich nicht,
sondern ich zweifele die universelle Allgemeingültigkeit an.
Deiner Argumentation zufolge kannst Du nur im Einzelfall an der Richtigkeit
einer mathematischen Aussage zweifeln. Als Ganzes ist sie offenbar auch in
Deinen Augen allgemeingültig, denn Aussagen, die von allen anerkannt sind,
aber - weiß der Himmel warum - trotzdem falsch sind, und zwar, weil alle
beim Nachvollzug des Beweises unkonzentriert waren, ja, solche Aussagen sind
keine Mathematik, sondern schlicht Fehler, die nur im Gewande der Mathematik
sich ins Gespräch bringen.

Und noch was: Sind Deiner Meinung nach die Sätze richtig:
"Die Vielfachen von 4 sind gerade Zahlen"
"Jedes Quadrat ist eine Raute"

Ihre Beweise sind schon millionenfach nachvollzogen worden. Ich selbst habe
sie, sowohl nüchtern als auch im Suff, vielfach bewiesen.

Schöne Grüße
Armin Saam
Joachim Pense
2004-02-04 23:01:09 UTC
Permalink
Post by Armin Saam
Deiner Argumentation zufolge kannst Du nur im Einzelfall an der
Richtigkeit einer mathematischen Aussage zweifeln. Als Ganzes ist sie
offenbar auch in Deinen Augen allgemeingültig, denn Aussagen, die von
allen anerkannt sind, aber - weiß der Himmel warum - trotzdem falsch sind,
und zwar, weil alle beim Nachvollzug des Beweises unkonzentriert waren,
ja, solche Aussagen sind keine Mathematik, sondern schlicht Fehler, die
nur im Gewande der Mathematik sich ins Gespräch bringen.
Da man aber die Fehler prinzipiell nicht von den "wirklich" wahren Aussagen
unterscheiden kann, gilt deine Unterscheidung nur im Never-Never-Land der
Metaphysik.

Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
prinzipiell höherwertig an als die Wahrheit empirisch gewonnener Aussagen:
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.

Joachim
Thomas Nordhaus
2004-02-04 23:13:44 UTC
Permalink
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Im Prinzip ja, aber...
Thomas [SCNR]
Joachim Pense
2004-02-05 07:59:28 UTC
Permalink
Post by Thomas Nordhaus
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Im Prinzip ja, aber...
Thomas [SCNR]
Dem kann ich mich hinwiederum voll anschließen.

Joachim
Jakob Creutzig
2004-02-05 08:45:39 UTC
Permalink
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...

Best,
Jakob
Joachim Pense
2004-02-05 12:59:01 UTC
Permalink
Post by Jakob Creutzig
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
prinzipiell höherwertig an als die Wahrheit empirisch gewonnener
Aussagen: Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...
Stimmt.
Helmut Zeisel
2004-02-05 15:41:43 UTC
Permalink
Post by Jakob Creutzig
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...
Nein, Du hast dann einen Beweis für einen Satz und einen Beweis für
sein Gegenteil. Wegen das Satzes vom ausgeschlossenen Dritten muss
dann also ein Beweis (oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten)
falsch sein. Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Jakob Creutzig
2004-02-05 15:50:01 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Jakob Creutzig
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...
Nein, Du hast dann einen Beweis für einen Satz und einen Beweis für
sein Gegenteil. Wegen das Satzes vom ausgeschlossenen Dritten muss
dann also ein Beweis (oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten)
falsch sein.
Ja? Wer sagt das? Wer garantiert mir denn innere
Widerspruchsfreiheit meines Logiksystems?
Post by Helmut Zeisel
Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Nicht wirklich.

Best,
Jakob
helmut zeisel
2004-02-05 19:02:28 UTC
Permalink
Post by Jakob Creutzig
Post by Helmut Zeisel
Post by Jakob Creutzig
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...
Nein, Du hast dann einen Beweis für einen Satz und einen Beweis für
sein Gegenteil. Wegen das Satzes vom ausgeschlossenen Dritten muss
dann also ein Beweis (oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten)
falsch sein.
Ja? Wer sagt das? Wer garantiert mir denn innere
Widerspruchsfreiheit meines Logiksystems?
Niemand. Eine Alternative ist natürlich, dass das Logiksystem falsch ist
(das habe ich mit "oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten" gemeint,
wobei korrekterweise natürlich der Satz vom Widerspruch hätte
geschrieben werden müssen)
Post by Jakob Creutzig
Post by Helmut Zeisel
Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Nicht wirklich.
Doch. Ich kann z.B. mit dem Gegenbeispiel den Beweis Schritt für Schritt
durchgehen, um zu sehen, wo der Hund begraben liegt (z.B. in einer nicht
explizit angegebenen Voraussetzung). Das wirst Du doch sicher schon so
gemacht haben.
Timo Heuser
2004-02-05 20:25:08 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Post by Jakob Creutzig
Post by Helmut Zeisel
Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Nicht wirklich.
Doch. Ich kann z.B. mit dem Gegenbeispiel den Beweis Schritt für
Schritt durchgehen, um zu sehen, wo der Hund begraben liegt (z.B. in einer
nicht explizit angegebenen Voraussetzung). Das wirst Du doch sicher schon
so gemacht haben.
Naja, woher weißt du denn, dass etwas nicht gleichzeitig wahr und falsch
sein kann :DDD
helmut zeisel
2004-02-06 05:38:44 UTC
Permalink
Post by Timo Heuser
Naja, woher weißt du denn, dass etwas nicht gleichzeitig wahr und falsch
sein kann :DDD
Post by helmut zeisel
Niemand. Eine Alternative ist natürlich, dass das Logiksystem falsch ist
(das habe ich mit "oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten" gemeint,
wobei korrekterweise natürlich der Satz vom Widerspruch hätte geschrieben werden müssen)
Ich kann dann jedenfalls nicht mehr naiv weiterspielen, sondern muss an
irgendeiner Stelle (eben u.U. auch am Logiksystem) umbauen, bis wieder
alles zusammenpasst.
Joachim Pense
2004-02-05 15:44:21 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Jakob Creutzig
Haha, Du muesstest erstmal _beweisen_, dass Dein 'Gegenbeispiel'
auch wirklich ein Gegenbeispiel ist, und auch dieser Beweis
kann fehlerhaft sein. Ein Teufelskreis...
Nein, Du hast dann einen Beweis für einen Satz und einen Beweis für
sein Gegenteil. Wegen das Satzes vom ausgeschlossenen Dritten muss
dann also ein Beweis (oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten)
falsch sein. Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Das ist nicht der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, sondern der vom
Widerspruch.

Joachim
helmut zeisel
2004-02-05 18:54:00 UTC
Permalink
Post by Joachim Pense
Post by Helmut Zeisel
Nein, Du hast dann einen Beweis für einen Satz und einen Beweis für
sein Gegenteil. Wegen das Satzes vom ausgeschlossenen Dritten muss
dann also ein Beweis (oder der Satz des ausgeschlossenen Dritten)
falsch sein. Du weißt dann zwar nicht, wo der Fehler liegt, aber Du
weißt, dass ein Fehler vorliegt. Damit weißt Du mehr als vorher.
Das ist nicht der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, sondern der vom
Widerspruch.
Stimmt
Helmut Zeisel
2004-02-05 09:03:02 UTC
Permalink
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Und wenn sich kein Gegenbeispiel findet? Dann ist eine Aussage bereits
eine empirische Wahrheit, aber noch lange keine mathematische -
mathematische Wahrheit wird sie erst, wenn sich ein
logischer/mathematischer Beweis finden lässt. Die Anforderungen an
mathematische Wahrheiten sind strenger als an empirische Wahrheiten -
in diesem Sinne sind sie "prinzipiell höherwertig".

Also: Die mathematischen Wahrheiten sind eine *echte* Teilmenge der
empirischen Wahrheiten. Manche empirische Wahrheiten sind aus der
Sicht der Mathematik lediglich Vermutungen.

Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirische
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Vermutung. Jetzt, wo es einen Beweis dafür gibt, ist sie auch eine
mathematische Wahrheit. Natürlich kann es sein, dass alle Gutachter an
der selben Stelle betriebsblind waren; das halte ich zwar für
prinzipiell möglich, aber für sehr unwahrscheinlich.
Joachim Pense
2004-02-05 12:58:46 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Joachim Pense
Daher sehe ich die Wahrheit mathematischer Aussagen auch nicht als
prinzipiell höherwertig an als die Wahrheit empirisch gewonnener
Aussagen: Beide gelten so lange, bis sich ein Gegenbeispiel findet.
Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirische
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Vermutung. Jetzt, wo es einen Beweis dafür gibt, ist sie auch eine
mathematische Wahrheit. Natürlich kann es sein, dass alle Gutachter an
der selben Stelle betriebsblind waren; das halte ich zwar für
prinzipiell möglich, aber für sehr unwahrscheinlich.
Du hast recht, ich habe meine Meinung sinnentstellend formuliert. Was ich
meinte, ist: Die Wahrheit einer *bewiesenen* mathematischen Aussage gilt so
lange, bis jemand (z.B. durch ein Gegenbeispiel) nachweist, dass ein Fehler
im Beweis vorliegt.

Joachim
helmut zeisel
2004-02-05 18:55:35 UTC
Permalink
Post by Joachim Pense
Du hast recht, ich habe meine Meinung sinnentstellend formuliert. Was ich
meinte, ist: Die Wahrheit einer *bewiesenen* mathematischen Aussage gilt so
lange, bis jemand (z.B. durch ein Gegenbeispiel) nachweist, dass ein Fehler
im Beweis vorliegt.
Habe ich verstanden. Ich wollte allerdings klar machen, dass dennoch ein
qualitativer Unterschied zwischen empirischen und mathematischen
Wahrheiten besteht.
Michael Nüsken
2004-02-10 11:41:33 UTC
Permalink
Hallo!
Post by Joachim Pense
Post by Helmut Zeisel
Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirisch
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Wieso nicht? Was ist eine mathematische Wahrheit? Eine wahre Aussage,
deren Wahrheit wir erkannt haben? Soll also eine mathematische Wahrheit
doch etwas sein, dass von uns Menschen abhängt?
Post by Joachim Pense
Post by Helmut Zeisel
Vermutung. Jetzt, wo es einen Beweis dafür gibt, ist sie auch eine
mathematische Wahrheit. Natürlich kann es sein, dass alle Gutachter an
Jetzt ist sie erkannt als eine solche.
Post by Joachim Pense
Post by Helmut Zeisel
der selben Stelle betriebsblind waren; das halte ich zwar für
prinzipiell möglich, aber für sehr unwahrscheinlich.
Du hast recht, ich habe meine Meinung sinnentstellend formuliert. Was ich
meinte, ist: Die Wahrheit einer *bewiesenen* mathematischen Aussage gilt so
lange, bis jemand (z.B. durch ein Gegenbeispiel) nachweist, dass ein Fehler
im Beweis vorliegt.
Ich denke, eine mathematische Formel ist entweder wahr oder falsch. Die
einzige Frage ist, ob wir die Wahrheit oder Unwahrheit erkennen.

|\/| Michael
| \| ++49 5251 60-2653
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Helmut Zeisel
2004-02-10 14:50:42 UTC
Permalink
Post by Arnd Schröter
Hallo!
Post by Helmut Zeisel
Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirisch
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Wieso nicht? Was ist eine mathematische Wahrheit? Eine wahre Aussage,
deren Wahrheit wir erkannt haben?
Ja
Post by Arnd Schröter
Soll also eine mathematische Wahrheit
doch etwas sein, dass von uns Menschen abh ngt?
Der Inhalt gilt (bzw.gilt nicht) unabhängig davon, ob wir es beweisen
können. Aber solange wir es nicht bewiesen haben, dürfen wir es nicht
als Wahrheit bezeichnen.

Ist die Riemannsche Vermutung eine mathematische Wahrheit? Antworte
mit "ja" oder "nein"!
Post by Arnd Schröter
Ich denke, eine mathematische Formel ist entweder wahr oder falsch.
Oder auch unbeweisbar.
Post by Arnd Schröter
Die einzige Frage ist, ob wir die Wahrheit oder Unwahrheit erkennen.
Die Wahrheit ist eine Tochter der Zeit ;-)

Nun, ich bezweifle nicht, dass der große Fermatsche Satz 1980 genauso
gegolten hat wie heute - er gilt unabhängig davon, ob man einen Beweis
kennt oder nicht. Damals hat man ihn aber nicht beweisen können -
daher war er auf damaligen Stand der Kenntnis kein Satz/keine
mathematische Wahrheit, sondern nur eine Vermutung. 1980 war es nicht
korrekt, von der Fermatschen Vermutung als mathematische Wahrheit zu
sprechen, auch wenn es aus heutiger Sicht korrekt ist.

Hast Du bessere Vokabel, um diesen Zusammenhang auszudrücken?
Michael Nüsken
2004-02-10 16:40:35 UTC
Permalink
Hallo Helmut!
Post by Helmut Zeisel
Post by Arnd Schröter
Hallo!
Post by Helmut Zeisel
Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirisch
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Wieso nicht? Was ist eine mathematische Wahrheit? Eine wahre Aussage,
deren Wahrheit wir erkannt haben?
Ja
Post by Arnd Schröter
Soll also eine mathematische Wahrheit
doch etwas sein, dass von uns Menschen abh ngt?
Der Inhalt gilt (bzw.gilt nicht) unabhängig davon, ob wir es beweisen
können. Aber solange wir es nicht bewiesen haben, dürfen wir es nicht
als Wahrheit bezeichnen.
Ist die Riemannsche Vermutung eine mathematische Wahrheit? Antworte
mit "ja" oder "nein"!
Ich kenne die Antwort nicht. Aber eine der beiden vorgeschlagenen ist
die Richtige.
Post by Helmut Zeisel
Post by Arnd Schröter
Ich denke, eine mathematische Formel ist entweder wahr oder falsch.
Oder auch unbeweisbar.
Nein. Beweisbarkeit und Wahrheit sind zwei völlig verschiedene
Begriffe. Wahrheit ist etwas, na ja, Absolutes auf eine Art.
Beweisbarkeit erfasst, was sich aus einem gewissen Satz an Grundannahmen
herausholen lässt. In einem widerspruchsfreien System ist jede
beweisbare Aussage wahr und deren Negationen unwahr. Wir haben also
folgende Aufteilung:

wahr falsch

beweisbar unentscheidbar widerlegbar

Eine unentscheidbare Aussage kann wahr oder falsch sein. Und da sie
unabhängig von den bisherigen Grundannahmen ist, kann ich sie oder ihre
Negation als neue Grundannahme hinzunehmen. Ich erhalte zwei neue
Systeme, in denen Wahrheit etwas Verschiedenes ist. Wenn wir über die
natürlichen Zahlen sprechen, dann mag es eine richtige Entscheidung
geben, so wie wir davon überzeugt sind, dass die Peano-Axiome etc. die
natürlichen Zahlen richtig beschreiben. Aber es hängt vom Modell ab,
was wahr ist. In der euklidischen Ebene ist das Parallelenaxiom wahr;
in einer elliptischen oder hyperbolischen Geometrie dagegen nicht.
Post by Helmut Zeisel
Post by Arnd Schröter
Die einzige Frage ist, ob wir die Wahrheit oder Unwahrheit erkennen.
Die Wahrheit ist eine Tochter der Zeit ;-)
Nicht in der Mathematik; aber das ist natürlich gerade der Punkt. ;-)
Post by Helmut Zeisel
Nun, ich bezweifle nicht, dass der große Fermatsche Satz 1980 genauso
gegolten hat wie heute - er gilt unabhängig davon, ob man einen Beweis
kennt oder nicht. Damals hat man ihn aber nicht beweisen können -
daher war er auf damaligen Stand der Kenntnis kein Satz/keine
mathematische Wahrheit, sondern nur eine Vermutung. 1980 war es nicht
korrekt, von der Fermatschen Vermutung als mathematische Wahrheit zu
sprechen, auch wenn es aus heutiger Sicht korrekt ist.
Nun, Fermats letzter Satz war auch damals schon eine Wahrheit. Dass wir
es nicht wussten, ist etwas ganz anderes. (Und er war natürlich auch
damals schon beweisbar im mathematisch-logischen Sinne.)
Post by Helmut Zeisel
Hast Du bessere Vokabel, um diesen Zusammenhang auszudrücken?
Ich habe das Gefühl, wir brauchen hier die Hilfe eines
Erkenntnistheoretikers...


Vielleicht sollten wir Wahrheit und Erkenntnis trennen?

Oder vielleicht wird am Ende doch Wahrheit durch Erkenntnis definiert.
Könnte es also vielleicht eine Welt geben, in der Andrew Wiles statt
eines Beweises ein Gegenbeispiel zur großen Fermatschen Vermutung
gefunden hat??

Gruß,
|\/| Michael
| \| ++49 5251 60-2653
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
helmut zeisel
2004-02-10 17:38:11 UTC
Permalink
Post by Michael Nüsken
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Zeisel
Beispiel: Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirisch
Wahrheit, aber keine mathematische Wahrheit, sondern eben nur eine
Hast Du bessere Vokabel, um diesen Zusammenhang auszudrücken?
Ich habe das Gefühl, wir brauchen hier die Hilfe eines
Erkenntnistheoretikers...
Gefällt Dir evtl. der Ausdruck "bewiesene mathematische Wahrheit".
Obiger Satz wird dann zu:

"Die Fermatsche Vermutung war lange Zeit eine empirisch bewiesene
Wahrheit, aber keine mathematische bewiesene Wahrheit"
Post by Michael Nüsken
Vielleicht sollten wir Wahrheit und Erkenntnis trennen?
Ja, das sowieso.
Post by Michael Nüsken
Könnte es also vielleicht eine Welt geben, in der Andrew Wiles statt
eines Beweises ein Gegenbeispiel zur großen Fermatschen Vermutung
gefunden hat??
Wenn Du die Logik oder die Axiome änderst, dann ja.

Helmut
Peter Luschny
2004-02-10 21:17:14 UTC
Permalink
"Michael Nüsken" schrieb
Post by Michael Nüsken
Wahrheit ist etwas, na ja, Absolutes auf eine Art.
wahr falsch
Also wenn 'etwas Absolutes' eingeführt wird, dann
sollten schon mal alle Alarmglocken anschlagen.

Das ist ja wohl nur eine profane Form von
'etwas Göttliches', 'etwas Nicht-Hinterfragbares'.
Post by Michael Nüsken
Ich habe das Gefühl, wir brauchen hier die Hilfe eines
Erkenntnistheoretikers...
Vielleicht genügt es ja in einem ersten Schritt, wenn
du mal sagst, was du unter 'Absolutes' verstehst und
was das in diesem Kontext denn sein soll?

Nach Erkenntnistheoretikern zu rufen bringt nach meiner
Erfahrung nichts. Da gibt es zwei Sorten von:

Einmal die professionellen Schwätzer, rauben einem
nur die Zeit und die Aufmerksamkeit. Und zum anderen
die 'Bemühten', die schielen aber ständig auf die
Mathematik und Logik und erhoffen sich die Antworten
von dort.

Nein, ich würde gerne von dir als /Mathematiker/
wissen wollen, warum du glaubst, dass 'Wahrheit'
binär ist.

Vielleicht nur damit die formale Logik ihre elementaren
Verknüpfungen über der Menge {T, F} definieren und
danach ihr Nachdenken über die 'Wahrheit' einstellen kann?

Gruss Peter
helmut zeisel
2004-02-11 05:47:13 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Nein, ich würde gerne von dir als /Mathematiker/
wissen wollen, warum du glaubst, dass 'Wahrheit'
binär ist.
Meine Meinung dazu: der Wahrheitsbegriff der reinen Mathematik ist etwas
Positivistisches: wir setzen ein paar Aussagen als "wahr" (die Axiome)
und setzen ein paar Regeln, nach denen man aus gegebenen "Wahrheiten"
anderen "Wahrheiten" ableiten kann (die Logik)
Post by Peter Luschny
Vielleicht nur damit die formale Logik ihre elementaren
Verknüpfungen über der Menge {T, F} definieren und
danach ihr Nachdenken über die 'Wahrheit' einstellen kann?
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als "universal"
an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der dreidimensionale
Raum. Beim dreidimensionalen Raum ist es allerdings den Mathematikern
gelungen, brauchbare Alternativmodelle zu entwickeln; die klassische
Logik hingegen ist anscheinend von der Evolution etwas tiefer in unser
Hirn gebrannt worden, sodass uns bisher der Bau vernünftiger
Alternativmodelle nicht gelungen ist.

Helmut
Peter Luschny
2004-02-11 20:20:12 UTC
Permalink
"helmut zeisel" schrieb.
Post by Peter Luschny
Nein, ich würde gerne von dir als /Mathematiker/
wissen wollen, warum du glaubst, dass 'Wahrheit'
binär ist.
Meine Meinung dazu: der Wahrheitsbegriff der reinen Mathematik ist etwas
Positivistisches: wir setzen ein paar Aussagen als "wahr" (die Axiome)
und setzen ein paar Regeln, nach denen man aus gegebenen "Wahrheiten"
anderen "Wahrheiten" ableiten kann (die Logik)
Moment. Michael antwortete dir: "Nein. Beweisbarkeit und Wahrheit sind
zwei völlig verschiedene Begriffe." Das finde ich auch. Und aus deinen
Zeilen hier oben geht für mich nicht klar hervor, ob du diese
Unterscheidung auch triffst. Denn 'Regeln' und 'ableiten' sind bei mir
mit 'Beweisbarkeit', nicht aber mit 'Wahrheit' assoziiert.

Aber dann schrieb Michael weiter: "Wahrheit ist etwas, na ja, Absolutes
auf eine Art... wahr falsch." Es ist diese Bemerkung, über die ich grüble.
Post by Peter Luschny
Vielleicht nur damit die formale Logik ihre elementaren
Verknüpfungen über der Menge {T, F} definieren und
danach ihr Nachdenken über die 'Wahrheit' einstellen kann?
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als "universal"
an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der dreidimensionale
Raum. Beim dreidimensionalen Raum ist es allerdings den Mathematikern
gelungen, brauchbare Alternativmodelle zu entwickeln; die klassische
Logik hingegen ist anscheinend von der Evolution etwas tiefer in unser
Hirn gebrannt worden, sodass uns bisher der Bau vernünftiger
Alternativmodelle nicht gelungen ist.
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.

Was immer für dich ein 'vernünftiges Alternativmodell' der Logik ist:
Für mich gibt es viele Spielarten der Logik, die keineswegs äquivalent
sind, aber sehr interessant.

Zu 'mehrwertige Logik' gibt Google 1470 Fundstellen, zu 'intuitionistische
Logik' 745, zu 'modaler Logik' 447 und zu 'nichtmonotoner Logik' immerhin
noch 75 Fundstellen an. Ha! ..aber alles nichts gegen deinen Vorschlag
'vernünftige Logik', da findet Google 14400 Einträge :-))

Ernsthafter: Manchmal denke ich, die Mathematik ist eine Fliege, die
im Fliegenglas der zweiwertigen Logik sitzt. Wer ihr den Ausweg zeigen
kann, wird den Ruhm von Euklid, Aristoteles und Cantor gemeinsam auf sich
vereinen. Ich glaube auch fest daran, dass dieser Tag kommen wird..

Vor diesem Hintergrund kann ich mir zum Beispiel durchaus nichtkommensurable
Mathematiken vorstellen - und halte die Vermutung vieler Mathematiker, ein
Treffen mit extraterrestrischen Intelligenzen würde die Universalität der
Mathematik bestätigen, für eine im Grunde naive Annahme.

Gruss Peter

P.S.
http://www.math.uni-wuppertal.de/org/web-ag/Verteilu/poisson3.htm
http://home.t-online.de/home/gerald.plewa/weltraum/etruft.htm
http://www.weltbilder.de.vu/
helmut zeisel
2004-02-11 21:26:21 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
"helmut zeisel" schrieb.
Meine Meinung dazu: der Wahrheitsbegriff der reinen Mathematik ist etwas
Positivistisches: wir setzen ein paar Aussagen als "wahr" (die Axiome)
und setzen ein paar Regeln, nach denen man aus gegebenen "Wahrheiten"
anderen "Wahrheiten" ableiten kann (die Logik)
Moment. Michael antwortete dir: "Nein. Beweisbarkeit und Wahrheit sind
zwei völlig verschiedene Begriffe." Das finde ich auch.
OK
Post by Peter Luschny
Und aus deinen
Zeilen hier oben geht für mich nicht klar hervor, ob du diese
Unterscheidung auch triffst. Denn 'Regeln' und 'ableiten' sind bei mir
mit 'Beweisbarkeit', nicht aber mit 'Wahrheit' assoziiert.
OK. Nur würde ich eine Aussage, die weder bewieesen noch widerlegt ist,
nicht als "wahr" bezeichnen. Sie ist was anderes, je nach Situation eine
Vermutung oder evtl. eine unabhängige Aussage
(die oder deren Gegenteil als Axiom dazugenommen werden kann)
Post by Peter Luschny
Aber dann schrieb Michael weiter: "Wahrheit ist etwas, na ja, Absolutes
auf eine Art... wahr falsch." Es ist diese Bemerkung, über die ich grüble.
OK. Die Absolutheit lehne ich auch ab.
Post by Peter Luschny
Post by Peter Luschny
Vielleicht nur damit die formale Logik ihre elementaren
Verknüpfungen über der Menge {T, F} definieren und
danach ihr Nachdenken über die 'Wahrheit' einstellen kann?
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als "universal"
an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der dreidimensionale
Raum. Beim dreidimensionalen Raum ist es allerdings den Mathematikern
gelungen, brauchbare Alternativmodelle zu entwickeln; die klassische
Logik hingegen ist anscheinend von der Evolution etwas tiefer in unser
Hirn gebrannt worden, sodass uns bisher der Bau vernünftiger
Alternativmodelle nicht gelungen ist.
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.
Sondern?
Post by Peter Luschny
Für mich gibt es viele Spielarten der Logik, die keineswegs äquivalent
sind, aber sehr interessant.
Ja. Aber was ich (zumindest von Fuzzy Logic) so gesehen habe, beruht die
Herleitung dieser Alternativmodelle letzlich doch wieder auf
zweiwertiger Logik. Diese Logiken haben durchaus interessante
Anwendungen, wenn es aber darum geht, beispielsweise eine Zahlentheorie
aufzubauen, die auf einer alternativen Logik beruht, hat meines Wissens
keine bisher Erfolg gehabt. Wie sieht denn der große Fermat in einer
alternativen Logik aus?
Post by Peter Luschny
Ernsthafter: Manchmal denke ich, die Mathematik ist eine Fliege, die
im Fliegenglas der zweiwertigen Logik sitzt. Wer ihr den Ausweg zeigen
kann, wird den Ruhm von Euklid, Aristoteles und Cantor gemeinsam auf sich
vereinen.
Ja.
Post by Peter Luschny
Ich glaube auch fest daran, dass dieser Tag kommen wird..
Ich nicht. Aber das ist jedenfalls reine Spekulation.
Post by Peter Luschny
Vor diesem Hintergrund kann ich mir zum Beispiel durchaus nichtkommensurable
Mathematiken vorstellen -
Ich im Prinzip auch
Post by Peter Luschny
und halte die Vermutung vieler Mathematiker, ein
Treffen mit extraterrestrischen Intelligenzen würde die Universalität der
Mathematik bestätigen, für eine im Grunde naive Annahme.
Ich nicht. Aber das ist jedenfalls ebenfalls reine Spekulation. Der
Moment des Zusammentreffens mit extraterrestrischen Intelligenzen wird
jedenfalls sehr interessant.

Helmut
Peter Luschny
2004-02-11 22:31:23 UTC
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Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.
Sondern?
Naja, mir erschien der Erwerb des logischen Denkens, und so partiell wie
er mir gelungen ist, zu mühsam, um an etwas Angeborenes (etwa a la
Chomsky) zu glauben.
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Ernsthafter: Manchmal denke ich, die Mathematik ist eine Fliege, die
im Fliegenglas der zweiwertigen Logik sitzt.
Ja.
..sozusagen der Wittgenstein der Mathematik wird er dann sein,
Gruss nach at.
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Ich glaube auch fest daran, dass dieser Tag kommen wird..
Ich nicht. Aber das ist jedenfalls reine Spekulation.
Natürlich. Aber bedenke, wann Aristoteles lebte und wann die Logik
wirklich Zugang zur Mathematik gefunden hat. Es wird also schon
noch ein paar Jahrtausende dauern, aber dann ganz bestimmt ;-)
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
und halte die Vermutung vieler Mathematiker, ein
Treffen mit extraterrestrischen Intelligenzen würde die Universalität der
Mathematik bestätigen, für eine im Grunde naive Annahme.
Der
Moment des Zusammentreffens mit extraterrestrischen Intelligenzen wird
jedenfalls sehr interessant.
...wenn du ihn als solchen erkennst, huhu~~ ;-))

Gruss Peter
Michael Nüsken
2004-02-12 00:26:55 UTC
Permalink
Hallo!

Ich sehe schon "absolut" hätte ich nicht sagen dürfen. Das war mir
selber ja nicht ganz wohl, aber wenn's nicht lang sein soll...

Also: Wenn wir eine mathematische *Theorie* betrachten, dann ist das
formal einfach eine unter Beweisbarkeit abgeschlossene Menge von
Aussagen, die wir dann *wahre Aussagen* nennen. (Wahr wird hierdurch
definiert und ist also nicht absolut zu sehen.) Damit es nicht
langweilig ist, sollte sie nicht alle Aussagen enthalten, die Theorie
soll also *widerspruchsfrei* sein. Und sie soll außerdem *vollständig*
sein, d.h. eine Aussage oder ihre Negation gehört dazu. Der nächste
Schritt ist: wie beschreibt man diese Theorie. Alle wahren Aussagen
aufzuschreiben ist nicht wirklich praktikabel. Also möchte man ein
möglichst kleines System von Grundannahmen finden, aus dem sich alles
ergibt. Nach Gödel muss dieses Axiomensystem aber immer noch unhandlich
sein, denn es darf kein endliches Computerprogramm geben, dass in
endlicher Zeit entscheiden kann, ob eine Aussage denn nun ein Axiom ist
oder nicht. In der Praxis arbeitet man also mit kleineren
Axiomensystemen (klein im obigen Sinne), aus denen man eben nicht alles
ableiten kann, aber bitte doch nur Aussagen der Theorie. Soweit dieses.

Das ist natürlich nicht wirklich befriedigend, denn wir tun ja
eigentlich immer so, als gäbe es DIE natürlichen Zahlen. Das stimmt
aber eben nur in einem gewissen Rahmen. Da sind einmal die Peano-Axiome
aus denen man alles bisher Bekannte ableiten kann. Aber nach Gödel gibt
es dann eben auch unentscheidbare Aussagen; sagen wir phi ist eine. Nun
kann man phi zum Axiomensystem hinzufügen ohne dadurch einen (neuen)
Widerspruch zu erzeugen aber genauso gut nicht(phi). Damit hat man also
zwei neue Axiomensysteme, die nicht gleichzeitig zu einer vorgegebenen
vollständigen, widerspruchsfreien Theorie passen können. Welches nun
die richtige ist? Beide. Es hängt davon ab, was modelliert werden
soll. Es gibt eben solche und solche natürliche Zahlen. Beide haben
alle durch die Peano-Axiome begründeten Eigenschaften unterscheiden sich
aber bezüglich phi.

Die Frage bleibt also: gibt es so etwas wie *die* natürlichen Zahlen?
Gibt es eine irgendwie ausgezeichnete vollständige, widerspruchsfreie
Theorie, die wir mit Recht *die* einzige Theorie der natürlichen Zahlen
nennen können? Ich glaube eigentlich nicht; aber vielleicht spielt das
auch gar keine Rolle, weil jede Vervollständigung der Peano-Theorie für
uns Menschen gleich gut ist. (Wir können ja keine Aussage für alle
Beispiele durchprobieren; wir können nur manche Aussagen aus den Axiomen
ableiten.)

Gruß,
|\/| Michael Nüsken
| \| ++49 5251 60-2653 (privat: ++49 5252 940200)
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Helmut Richter
2004-02-12 08:57:06 UTC
Permalink
Post by Michael Nüsken
Also: Wenn wir eine mathematische *Theorie* betrachten, dann ist das
formal einfach eine unter Beweisbarkeit abgeschlossene Menge von
Aussagen, die wir dann *wahre Aussagen* nennen. (Wahr wird hierdurch
definiert und ist also nicht absolut zu sehen.)
Nein, das sind *beweisbare* Aussagen. Nähme man deine Definition her,
dann wären alle wahren Aussagen beweisbar (weil die beiden Begriffe in
gleicher Weise definiert sind) und es gäbe keine unvollständigen
Theorien mehr, wie es sie nach Gödel fast überall gibt.

*Wahr* heißt soviel wie allgemeingültig, also in jeder Struktur
gültig, die die Axiome erfüllt.
Post by Michael Nüsken
Damit es nicht
langweilig ist, sollte sie nicht alle Aussagen enthalten, die Theorie
soll also *widerspruchsfrei* sein. Und sie soll außerdem *vollständig*
sein, d.h. eine Aussage oder ihre Negation gehört dazu.
Vollständigkeit ist nicht immer erreichbar und meistens nicht einmal
erstrebenswert. Beispielsweise ist die Formel

/\ x /\ y (xy = yx)

in manchen Gruppen, den abelschen wahr, und in anderen Gruppen
nicht. Trotzdem betreibt man Gruppentheorie besser, ohne sie durch
dieses zusätzliche Axiom oder seine Negation zu vervollständigen.

In der Praxis sind vollständige Theorien selten; die Theorie der
algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 ist ein
Beispiel. Man kann dann für einen solchen Körper etwas zeigen, indem
man es für die komplexen Zahlen zeigt: wegen der Vollständigkeit der
Theorie gilt es dann für alle Modelle der Theorie. Natürlich geht das
nur für Aussagen, die in der Sprache der Theorie formulierbar sind.
Post by Michael Nüsken
Der nächste
Schritt ist: wie beschreibt man diese Theorie. Alle wahren Aussagen
aufzuschreiben ist nicht wirklich praktikabel. Also möchte man ein
möglichst kleines System von Grundannahmen finden, aus dem sich alles
ergibt. Nach Gödel muss dieses Axiomensystem aber immer noch unhandlich
sein, denn es darf kein endliches Computerprogramm geben, dass in
endlicher Zeit entscheiden kann, ob eine Aussage denn nun ein Axiom ist
oder nicht.
Na, die *Axiomeigenschaft* will man doch entscheidbar haben. Oft hat
man sogar nur endlich viele Axiome.
Post by Michael Nüsken
Das ist natürlich nicht wirklich befriedigend, denn wir tun ja
eigentlich immer so, als gäbe es DIE natürlichen Zahlen. Das stimmt
aber eben nur in einem gewissen Rahmen. Da sind einmal die Peano-Axiome
aus denen man alles bisher Bekannte ableiten kann Aber nach Gödel gibt
es dann eben auch unentscheidbare Aussagen; sagen wir phi ist eine. Nun
kann man phi zum Axiomensystem hinzufügen ohne dadurch einen (neuen)
Widerspruch zu erzeugen aber genauso gut nicht(phi). Damit hat man also
zwei neue Axiomensysteme, die nicht gleichzeitig zu einer vorgegebenen
vollständigen, widerspruchsfreien Theorie passen können. Welches nun
die richtige ist? Beide. Es hängt davon ab, was modelliert werden
soll. Es gibt eben solche und solche natürliche Zahlen. Beide haben
alle durch die Peano-Axiome begründeten Eigenschaften unterscheiden sich
aber bezüglich phi.
Seien <N_a, s_a, 0_a> und <N_b, s_b, 0_b> Modelle der beiden
Axiomensysteme: jeweils N die Menge, s die Nachfolgerfunktion und 0
die Null. Jetzt definiere ich die Funktion h: N_a -> N_b wie folgt:

h(0_a) = h(0_b)
h(s_a(x)) = s_b(h(x)) für alle x

Nach dem Induktionsaxiom ist h überall definiert. Offenbar ist h ein
Isomorphismus der Strukturen. Damit gelten aber dieselben Aussagen,
insbesondere geht ein wahres oder falsches phi in N_a in ein
ebensolches in N_b über.

Der Wurm liegt im Induktionsaxiom begraben. Das ist nämlich kein Axiom
über natürliche Zahlen, sondern eines über Mengen natürlicher Zahlen;
im Jargon "zweiter Stufe". Damit darf man aber Gödels Satz nicht
einfach so anwenden. Richtig ist nur: solange man in der ersten Stufe
bleibt, kriegt man das Axiomensystem nicht vollständig.

Also, das Peano-Axiomensystem ist nicht nur vollständig, sondern sogar
kategorisch, d.h. nicht nur gelten dieselben Formeln, sondern die
Modelle sind auch noch isomorph. Das ist viel mehr.

Helmut Richter
Helmut Zeisel
2004-02-12 15:48:48 UTC
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Post by Helmut Richter
Post by Michael Nüsken
Also: Wenn wir eine mathematische *Theorie* betrachten, dann ist das
formal einfach eine unter Beweisbarkeit abgeschlossene Menge von
Aussagen, die wir dann *wahre Aussagen* nennen. (Wahr wird hierdurch
definiert und ist also nicht absolut zu sehen.)
Nein, das sind *beweisbare* Aussagen. Nähme man deine Definition her,
dann wären alle wahren Aussagen beweisbar (weil die beiden Begriffe in
gleicher Weise definiert sind)
Soweit klar.
Post by Helmut Richter
und es gäbe keine unvollständigen
Theorien mehr, wie es sie nach Gödel fast überall gibt.
Das verstehe ich nicht.
Post by Helmut Richter
*Wahr* heißt soviel wie allgemeingültig, also in jeder Struktur
gültig, die die Axiome erfüllt.
Wieso soll diese Definiton von "Wahrheit" nicht mit "Beweisbarkeit"
übereinstimmen? Betrachten wir ein Axiomensystem S. A sei eine
Aussage, die nicht beweisbar sei. Dann ist nicht(A) nicht im
Widerspruch zum Axiomensystem S (sonst hätten wir ja einen Beweis für
A). Daher ist das Axiomenssystem S1, bestehend aus S und nicht(A)
widerspruchsfrei. In diesem Axiomensystem ist A aber nicht erfüllt,
daher ist A auch nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition.
Post by Helmut Richter
Beispielsweise ist die Formel
/\ x /\ y (xy = yx)
in manchen Gruppen, den abelschen wahr, und in anderen Gruppen
nicht.
Genau. Sie ist aber nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition, da
es Gruppen gibt, in denen das Kommutativgesetz nicht gilt. Du kannst
also zwei verschiedene Axiomensystem betrachten, dasjenige der
kommutativen und dasjenige der echt-nichtkommutativen Gruppen; im
ersten ist das Kommutativgesetz wahr und beweisbar, im zweiten ist es
falsch und die Falschheit beweisbar.

Helmut
Helmut Richter
2004-02-12 18:15:43 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
und es gäbe keine unvollständigen
Theorien mehr, wie es sie nach Gödel fast überall gibt.
Das verstehe ich nicht.
Ich auch nicht mehr. War wohl so nicht richtig. Wo mein Fehler
herkommt, steht weiter unten.
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
*Wahr* heißt soviel wie allgemeingültig, also in jeder Struktur
gültig, die die Axiome erfüllt.
Wieso soll diese Definiton von "Wahrheit" nicht mit "Beweisbarkeit"
übereinstimmen? Betrachten wir ein Axiomensystem S. A sei eine
Aussage, die nicht beweisbar sei. Dann ist nicht(A) nicht im
Widerspruch zum Axiomensystem S (sonst hätten wir ja einen Beweis für
A). Daher ist das Axiomenssystem S1, bestehend aus S und nicht(A)
widerspruchsfrei. In diesem Axiomensystem ist A aber nicht erfüllt,
daher ist A auch nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition.
Das ist der Knackpunkt. In einem Axiomensystem kann etwas beweisbar
oder nicht beweisbar sein, aber war heißt "erfüllt"?

"Wahr" bezieht sich auf Modelle, nicht auf Beweise. Was du sagen
willst, ist: habe ich ein Modell von S1, also erst recht ein Modell
von S, dann ist dort A nicht gültig, also erst recht nicht
allgemeingültig in S. Dazu brauchst du aber den Satz, dass jede
widerspruchsfreie Theorie ein Modell hat, und der ist alles andere als
trivial und gilt wohl auch nur für manche Logiken.

Ich fasse zusammen:

- Die Axiome sind wahr, nach der Definition von "wahr".

- Gibt es beweisbare Sätze, die nicht wahr sind, dann taugen die
Schlussregeln der Logik nichts: die sollen nur solche Schlüsse
zulassen, die, wenn sie auf wahre Aussagen angewandt werden, wieder
zu wahren Aussagen führen.

- Abhängig von den Schlussregeln der Logik mag es wahre Sätze geben,
die nicht beweisbar sind. In der Prädikatenlogik erster Stufe ist
das nicht der Fall, dort hat jede widerspruchsfreie Theorie ein
Modell.

Das Problem von oben war eine Verwechslung von zwei Begriffen von
(Un-)vollständigkeit:

Die Logik heißt vollständig, wenn jeder wahre Satz beweisbar ist. Eine
Theorie heißt vollständig, wenn darin jeder Satz (syntaktisch: jede
geschlossene Formel, d.h. jede Formel, die keine freien Variablen
enthält) beweisbar oder widerlegbar ist. Wirft man "wahr" und
"beweisbar" durcheinander, macht man etwas falsch, wenn die Logik
nicht vollständig ist - das hat aber nichts mit der Vollständigkeit
der Theorie zu tun, über die der Gödelsche Satz etwas sagt.

Gödel extrem: Es sei L die Sprache erster Stufe der Zahlentheorie,
also die Prädikatenlogik erster Stufe mit einer Konstanten 0, einer
1-stelligen Funktion Nachfolger und zwei 2-stelligen Funktionen + und
·. Es sei weiter N die Theorie, deren Axiome aus allen Sätzen besteht,
die in den "richtigen" natürlichen Zahlen (etwa denen von den
Peano-Axiomen) wahr sind. Viel beweisen braucht man da nicht mehr,
weil alles Beweisbare ja ein Axiom ist. Dann ist die Axiomeigenschaft
nicht entscheidbar, die Logik vollständig und die Theorie auch. Herrn
Gödel tut das nicht weh, denn dessen Unvollständigkeitssatz beruht ja
auf der Berechenbarkeit der Beweise, die hier wegen der
Unentscheidbarkeit der Axiomeigenschaft eh nicht gilt.

Kategorisch (also so, dass sie nur ein Modell hätte), ist die Theorie
trotzdem nicht.

(Hoffentlich stimmts jetzt.)
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
Beispielsweise ist die Formel
/\ x /\ y (xy = yx)
in manchen Gruppen, den abelschen wahr, und in anderen Gruppen
nicht.
Genau. Sie ist aber nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition, da
es Gruppen gibt, in denen das Kommutativgesetz nicht gilt. Du kannst
also zwei verschiedene Axiomensystem betrachten, dasjenige der
kommutativen und dasjenige der echt-nichtkommutativen Gruppen; im
ersten ist das Kommutativgesetz wahr und beweisbar, im zweiten ist es
falsch und die Falschheit beweisbar.
So ist es. Mein Punkt war, dass Vollständigkeit gar nicht angestrebt
wird, außer wenn man etwas über die Axiome definieren will. Aber das
geht in der ersten Stufe eh nicht, wenn es mindestens ein unendliches
Modell gibt.

Helmut Richter
Helmut Zeisel
2004-02-13 08:17:02 UTC
Permalink
Post by Helmut Richter
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
*Wahr* heißt soviel wie allgemeingültig, also in jeder Struktur
gültig, die die Axiome erfüllt.
Wieso soll diese Definiton von "Wahrheit" nicht mit "Beweisbarkeit"
übereinstimmen? Betrachten wir ein Axiomensystem S. A sei eine
Aussage, die nicht beweisbar sei. Dann ist nicht(A) nicht im
Widerspruch zum Axiomensystem S (sonst hätten wir ja einen Beweis für
A). Daher ist das Axiomenssystem S1, bestehend aus S und nicht(A)
widerspruchsfrei. In diesem Axiomensystem ist A aber nicht erfüllt,
daher ist A auch nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition.
Das ist der Knackpunkt. In einem Axiomensystem kann etwas beweisbar
oder nicht beweisbar sein, aber war heißt "erfüllt"?
Sorry. Mit "nicht erfüllt" meine ich "beweisbar falsch" bzw. die
Negation der Aussage ist beweisbar wahr. A ist nicht erfüllt/beweisbar
falsch, weil die Negation nicht(A) beweisbar wahr ist, weil sie ein
Axiom ist.
Post by Helmut Richter
"Wahr" bezieht sich auf Modelle, nicht auf Beweise.
Was ist Wahrheit? (Joh 18,38). Und was verstehst Du unter "Modell"?
Post by Helmut Richter
Dazu brauchst du aber den Satz, dass jede
widerspruchsfreie Theorie ein Modell hat, und der ist alles andere als
trivial und gilt wohl auch nur für manche Logiken.
Nein. Wenn ich "wahr" als "beweisbar" definiere, brauche ich nur
Axiome und Beweise, keine Modelle.
Post by Helmut Richter
- Die Axiome sind wahr, nach der Definition von "wahr".
OK
Post by Helmut Richter
- Gibt es beweisbare Sätze, die nicht wahr sind, dann taugen die
Schlussregeln der Logik nichts: die sollen nur solche Schlüsse
zulassen, die, wenn sie auf wahre Aussagen angewandt werden, wieder
zu wahren Aussagen führen.
Was soll "beweisbar, aber nicht wahr" bedeuten? Ich sehe nur ein
Problem, wenn ein Satz und seine Negation beide beweisbar sind; dann
ist das Axiomensystem widersprüchlich oder eben "taugen die
Schlussregeln der Logik nichts"
Post by Helmut Richter
- Abhängig von den Schlussregeln der Logik mag es wahre Sätze geben,
die nicht beweisbar sind.
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
Die Logik heißt vollständig, wenn jeder wahre Satz beweisbar ist.
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
Eine
Theorie heißt vollständig, wenn darin jeder Satz (syntaktisch: jede
geschlossene Formel, d.h. jede Formel, die keine freien Variablen
enthält) beweisbar oder widerlegbar ist.
Widerlegbar bedeutet, dass die Negation beweisbar ist. Dann OK.
Post by Helmut Richter
Wirft man "wahr" und
"beweisbar" durcheinander, macht man etwas falsch,
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
So ist es. Mein Punkt war, dass Vollständigkeit gar nicht angestrebt
wird,
OK

Helmut
Helmut Richter
2004-02-13 12:10:54 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
"Wahr" bezieht sich auf Modelle, nicht auf Beweise.
Was ist Wahrheit? (Joh 18,38). Und was verstehst Du unter "Modell"?
Zunächst ein Beispiel, jargonfrei:

Nehmen wir die Gruppentheorie. Die hat Axiome, eben die Gruppenaxiome.
Eine Gruppe ist eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (also
einer 0-stelligen Funktion) "Eins", einer 1-stelligen Funktion
"Inverses" und einer 2-stelligen Funktion "Multiplikation", so dass
die Gruppenaxiome erfüllt sind. Dann wird definiert:

- Eine Aussage ist in der Gruppentheorie herleitbar (=beweisbar), wenn
es eine Herleitung aus den Gruppenaxiomen vermöge der Schlussregeln
gibt.

- Es wäre sinnlos zu sagen, eine Aussage sei für eine bestimmte Gruppe
herleitbar, denn: wenn es eine Herleitung aus den Gruppenaxiomen
gibt, dann gilt die für *alle* Gruppen. Dagegen ist es sinnvoll zu
sagen, eine bestimmte Aussage gelte in einer bestimmten Gruppe. Sie
ist dann für diese Gruppe wahr, für andere vielleicht nicht.

- Eine Aussage heißt in der Gruppentheorie wahr (=allgemeingültig), wenn
sie in jeder Gruppe wahr ist.

Man muss jetzt erst zeigen, dass alle herleitbaren Aussagen
allgemeingültig sind (Konsistenz) und dass alle allgemeingültigen
Aussagen sich auch herleiten lassen (Vollständigkeit). Hätte man etwa
eine Schlussregel vergessen, so wären weniger Sätze herleitbar, aber
immer noch genausoviele allgemeingültig. Der Vollständigkeitsbeweis
ist auch überhaupt nicht einfach.

Jetzt dasselbe im Jargon: Wenn wir über etwas reden, z.B. über
Gruppen, benötigen wir eine *Sprache*, also eine Festlegung, welche
Zeichenreihen wir als Formeln betrachten. In der Sprache der
Gruppentheorie wird es neben Variablen, Junktoren (nicht, und, oder)
und Quantoren (es gibt, für alle) auch die drei obengenannten
Funktionen geben. Kandidaten für Gruppen sind Quadrupel, bestehend aus
einer Menge und drei solchen Funktionen - solche Quadrupel heißen
*Strukturen* für die Sprache. Die Axiome, also eine Menge von Formeln,
bilden die *Theorie*. Für eine Struktur lässt sich sagen, ob sie die
Axiome der Theorie erfüllt; falls ja, ist sie ein *Modell* der
Theorie. Eine Formel heißt *herleitbar*, wenn sie aus den Axiomen
durch Anwendung logischer Schlussregeln hergeleitet werden kann; sie
heißt *allgemeingültig*, wenn sie in allen Modellen erfüllt ist.

Wir haben also eine formale syntaktische Seite und eine inhaltliche
semantische:

Syntax Semantik
Sprache Struktur
Theorie Modell
herleitbar allgemeingültig

Diese Zweiteilung ist nicht auf die mathematische Logik beschränkt,
sondern gilt überall, wo Schlüsse gezogen werden. Jedesmal, wenn einer
einen Schluss zieht, geht er von der semantischen Seite auf die
syntaktische, zieht seinen Schluss und geht auf die semantische
zurück:

Heute ist Mittwoch, deswegen ist morgen Donnerstag.

Heute ist Mittwoch. (pure Semantik, gilt gerade mal heute und erhebt
keinen Anspruch auf Allgemeingültigkeit)
Immer, wenn heute Mittwoch ist, ist morgen Donnerstag. (Axiom)
Morgen ist Donnerstag. (Folgerung aus den beiden vorangehenden Sätzen)

Um sagen zu können, dass heute Mittwoch ist, und um abschätzen zu
können, was es für Folgen hat, dass morgen Donnerstag, also Skatabend,
ist, muss man wissen, was ein Mittwoch und ein Donnerstag ist; man
muss also die Semantik der Begriffe kennen. Um den Schluss zu ziehen,
braucht man das nicht zu wissen, sondern schaut sich nur den Satzbau
an; der Schluss hätte genausogut sein können:

Kapnuli ist Razlipuzli.
Immer, wenn kapnuli Razlipuzli ist, ist ujuju Rattabum.
-------------------------------------------------------
Ujuju ist Rattabum.

Der Schlussvorgang ist also rein syntaktisch.

Wieder ist es alles andere als selbstverständlich, dass genau die
allgemeingültigen die herleitbaren Formeln sind. Auf diesen
Unterschied wollte ich hinaus.
Post by Helmut Zeisel
Nochmals: Joh 18,38.
Die Antwort steht übrigens im gleichen Buch: Joh.14:6.

*Hier* hilft die mal wenig, weil es nicht um die Allgemeingültigkeit
von Aussagen einer Theorie geht.

Helmut Richter
helmut zeisel
2004-02-13 15:58:09 UTC
Permalink
Post by Helmut Richter
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
"Wahr" bezieht sich auf Modelle, nicht auf Beweise.
Was ist Wahrheit? (Joh 18,38). Und was verstehst Du unter "Modell"?
Nehmen wir die Gruppentheorie. Die hat Axiome, eben die Gruppenaxiome.
Eine Gruppe ist eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (also
einer 0-stelligen Funktion) "Eins", einer 1-stelligen Funktion
"Inverses" und einer 2-stelligen Funktion "Multiplikation", so dass
- Eine Aussage ist in der Gruppentheorie herleitbar (=beweisbar), wenn
es eine Herleitung aus den Gruppenaxiomen vermöge der Schlussregeln
gibt.
- Es wäre sinnlos zu sagen, eine Aussage sei für eine bestimmte Gruppe
herleitbar, denn: wenn es eine Herleitung aus den Gruppenaxiomen
gibt, dann gilt die für *alle* Gruppen. Dagegen ist es sinnvoll zu
sagen, eine bestimmte Aussage gelte in einer bestimmten Gruppe. Sie
ist dann für diese Gruppe wahr, für andere vielleicht nicht.
- Eine Aussage heißt in der Gruppentheorie wahr (=allgemeingültig), wenn
sie in jeder Gruppe wahr ist.
So weit klar.
Post by Helmut Richter
Man muss jetzt erst zeigen, dass alle herleitbaren Aussagen
allgemeingültig sind (Konsistenz)
Konsistenz würde ich eher definieren, dass nicht eine Aussage und deren
Negation herleitbar sind.
Post by Helmut Richter
und dass alle allgemeingültigen
Aussagen sich auch herleiten lassen (Vollständigkeit).
Vollstädngikeit würde ich definieren, dass entweder eine Aussage selbst
oder deren Negation herleitbar ist. Die Gruppenaxiome sind nach meiner
Definition nicht vollständig (Bsp: Kommutativgesetz); sind sie es nach
Deiner Definition?
Post by Helmut Richter
Hätte man etwa
eine Schlussregel vergessen, so wären weniger Sätze herleitbar, aber
immer noch genausoviele allgemeingültig. Der Vollständigkeitsbeweis
ist auch überhaupt nicht einfach.
Klar.

Wie dem auch sei; ich behaupte ich weiterhin, dass jede nach obiger
Definition allgemeingültige Aussage A auch beweisbar ist bzw. dass eine
beweisbare Aussage nicht allgemeingültig ist. Das haben wir ja schon
gehabt: Die Aussage Nicht(A) kann nicht mit den Gruppenaxiomen im
Widerspruch stehen, sonst hätten wir ja eine Herleitung von A.
Ich postuliere daher die Existenz einer Gruppe mit der zusätzliche
Eigenschaft Nicht(A). Diese ist eben eine Gruppe, in der A nicht gilt, A
ist daher auch nicht allgemeingültig.

Dieses Postulieren geht ja genau so einfach wie mit dem Satz, dass jeder
Vektorraum eine (Hamel) Basis hat. Ich brauche nur einfach zu sagen, B
sei eine Hamelbasis des Vektorraums der reellen Zahlen ueber den Koerper
der rationalen Zahlen. Bisher hat mir noch niemand zeigen koennen, wie
nun so eine Hamelbasis genau aussieht, aber wie wir ja "wissen",
existiert sie eben.
Post by Helmut Richter
Jetzt dasselbe im Jargon: Wenn wir über etwas reden, z.B. über
Gruppen, benötigen wir eine *Sprache*, also eine Festlegung, welche
Zeichenreihen wir als Formeln betrachten. In der Sprache der
Gruppentheorie wird es neben Variablen, Junktoren (nicht, und, oder)
und Quantoren (es gibt, für alle) auch die drei obengenannten
Funktionen geben. Kandidaten für Gruppen sind Quadrupel, bestehend aus
einer Menge und drei solchen Funktionen - solche Quadrupel heißen
*Strukturen* für die Sprache. Die Axiome, also eine Menge von Formeln,
bilden die *Theorie*. Für eine Struktur lässt sich sagen, ob sie die
Axiome der Theorie erfüllt; falls ja, ist sie ein *Modell* der
Theorie. Eine Formel heißt *herleitbar*, wenn sie aus den Axiomen
durch Anwendung logischer Schlussregeln hergeleitet werden kann; sie
heißt *allgemeingültig*, wenn sie in allen Modellen erfüllt ist.
Und wie findet man *alle* Modelle bzw. wie ueberprueft man, ob eine
Formel in *allen* Modellen erfuellt ist? Gibt es fuer jedes
widerspruchsfreie Axiomensystem so ein *Modell*? Und was ist ggf. mit
widerspruchsfreien Axiomensystemen, fuer die es kein "Modell" gibt?

Wie schaut denn nun so ein "Modell" fuer eine Hamelbasis des Vektorraums
der reellen Zahlen ueber den Koerper der rationalen Zahlen aus?

Den Nutzen eine so einen Modells sehe ich darin, dass man aus der
Existenz eines Modells die Widerspruchsfreiheit schlieszen kann, aber
nicht notwendigerweise umgekehrt.
Post by Helmut Richter
Post by Helmut Zeisel
Nochmals: Joh 18,38.
Die Antwort steht übrigens im gleichen Buch: Joh.14:6.
*Hier* hilft die mal wenig, weil es nicht um die Allgemeingültigkeit
von Aussagen einer Theorie geht.
;-)

Helmut
Helmut Zeisel
2004-02-13 08:18:20 UTC
Permalink
Post by Helmut Richter
Post by Helmut Zeisel
Post by Helmut Richter
*Wahr* heißt soviel wie allgemeingültig, also in jeder Struktur
gültig, die die Axiome erfüllt.
Wieso soll diese Definiton von "Wahrheit" nicht mit "Beweisbarkeit"
übereinstimmen? Betrachten wir ein Axiomensystem S. A sei eine
Aussage, die nicht beweisbar sei. Dann ist nicht(A) nicht im
Widerspruch zum Axiomensystem S (sonst hätten wir ja einen Beweis für
A). Daher ist das Axiomenssystem S1, bestehend aus S und nicht(A)
widerspruchsfrei. In diesem Axiomensystem ist A aber nicht erfüllt,
daher ist A auch nicht *wahr* im Sinne Deiner obigen Definition.
Das ist der Knackpunkt. In einem Axiomensystem kann etwas beweisbar
oder nicht beweisbar sein, aber war heißt "erfüllt"?
Sorry. Mit "nicht erfüllt" meine ich "beweisbar falsch" bzw. die
Negation der Aussage ist beweisbar wahr. A ist nicht erfüllt/beweisbar
falsch, weil die Negation nicht(A) beweisbar wahr ist, weil sie ein
Axiom ist.
Post by Helmut Richter
"Wahr" bezieht sich auf Modelle, nicht auf Beweise.
Was ist Wahrheit? (Joh 18,38). Und was verstehst Du unter "Modell"?
Post by Helmut Richter
Dazu brauchst du aber den Satz, dass jede
widerspruchsfreie Theorie ein Modell hat, und der ist alles andere als
trivial und gilt wohl auch nur für manche Logiken.
Nein. Wenn ich "wahr" als "beweisbar" definiere, brauche ich nur
Axiome und Beweise, keine Modelle.
Post by Helmut Richter
- Die Axiome sind wahr, nach der Definition von "wahr".
OK
Post by Helmut Richter
- Gibt es beweisbare Sätze, die nicht wahr sind, dann taugen die
Schlussregeln der Logik nichts: die sollen nur solche Schlüsse
zulassen, die, wenn sie auf wahre Aussagen angewandt werden, wieder
zu wahren Aussagen führen.
Was soll "beweisbar, aber nicht wahr" bedeuten? Ich sehe nur ein
Problem, wenn ein Satz und seine Negation beide beweisbar sind; dann
ist das Axiomensystem widersprüchlich oder eben "taugen die
Schlussregeln der Logik nichts"
Post by Helmut Richter
- Abhängig von den Schlussregeln der Logik mag es wahre Sätze geben,
die nicht beweisbar sind.
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
Die Logik heißt vollständig, wenn jeder wahre Satz beweisbar ist.
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
Eine
Theorie heißt vollständig, wenn darin jeder Satz (syntaktisch: jede
geschlossene Formel, d.h. jede Formel, die keine freien Variablen
enthält) beweisbar oder widerlegbar ist.
Widerlegbar bedeutet, dass die Negation beweisbar ist. Dann OK.
Post by Helmut Richter
Wirft man "wahr" und
"beweisbar" durcheinander, macht man etwas falsch,
Nochmals: Joh 18,38.
Post by Helmut Richter
So ist es. Mein Punkt war, dass Vollständigkeit gar nicht angestrebt
wird,
OK

Helmut
Helmut Zeisel
2004-02-12 09:01:12 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.
Sondern?
Naja, mir erschien der Erwerb des logischen Denkens, und so partiell wie
er mir gelungen ist, zu mühsam, um an etwas Angeborenes (etwa a la
Chomsky) zu glauben.
;-)

Nun, ich habe nicht so sehr an Chomsky als ein wenig in eine andere
Rihtung gedacht: http://www.philolex.de/evolerke.htm

Wie dem auch sei, wir sind uns anscheinend einig, dass die Logik des
Aristoteles nicht die einzig mögliche ist. Welche Alternativ-Logiken
unser Gehirn verarbeiten kann, ist eine andere Frage.
Peter Luschny
2004-02-12 11:05:46 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Nun, ich habe nicht so sehr an Chomsky als ein wenig in eine andere
Richtung gedacht: http://www.philolex.de/evolerke.htm
Da lese ich:

"Wir sind, um es einmal so zu formulieren, eigentlich
nur die Neandertaler von morgen."

Eben. Und deshalb ist die heutige Mathematik die
Mathematik der Neandertaler von morgen.

Sagte ich doch ;-)

Gruss Peter
Helmut Zeisel
2004-02-12 15:51:53 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Post by Helmut Zeisel
Nun, ich habe nicht so sehr an Chomsky als ein wenig in eine andere
Richtung gedacht: http://www.philolex.de/evolerke.htm
"Wir sind, um es einmal so zu formulieren, eigentlich
nur die Neandertaler von morgen."
Ich glaube eher, dass Du das hier gelesen hast:

http://www.philolex.de/ditfurth.htm
Post by Peter Luschny
Eben. Und deshalb ist die heutige Mathematik die
Mathematik der Neandertaler von morgen.
;-)

Helmut
Peter Luschny
2004-02-12 20:22:47 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Post by Peter Luschny
"Wir sind, um es einmal so zu formulieren, eigentlich
nur die Neandertaler von morgen."
http://www.philolex.de/ditfurth.htm
Stimmt. Ich bin immer so schnell beim Weiterblättern.
Post by Helmut Zeisel
Post by Peter Luschny
Eben. Und deshalb ist die heutige Mathematik die
Mathematik der Neandertaler von morgen.
.. wie man, so könnte man hinzufügen, eben gerade
an der Verankerung der heutigen Mathematik in der
zweiwertigen Logik leicht erkennen kann.

Und dein Hinweis hat dabei für mich auch die perfekte
Auflösung des Wittgenstein Bildes von der Fliege im
Fliegenglas gebracht: Das Fliegenglas ist unser
Neandertaler-Kopf, aus dem die Mathematik sich
so gerne befreien würde.. ;-)

Gruss Peter

===
P.S. Aber vielleicht müssen wir doch nicht weitere
2000 Jahre warten. Ich lernte noch in der Schule:
Die Materie hat drei Zustände: fest, flüssig und gasförmig.
Heute weiß man schon, dass es sechs Zustände gibt:
Fest, flüssig, gasförmig, Plasma, Bose-Einstein Kondensat,
Fermi Kondensat. Wer den sechsten Zustand noch nicht kennt:

Observation of Resonance Condensation of Fermionic Atom Pairs
C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin
Physical Review Letters, 30 January 2004
Phys. Rev. Lett. 92, 040403 (2004)

Warum mich das in diesem Zusammenhang interessiert?
Weil man damit - vielleicht - diese ultraschnellen
Computer wird bauen können, die lange vor uns dieses
traurige Neandertal werden verlassen können...
Ralf Muschall
2004-02-14 19:29:10 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
P.S. Aber vielleicht müssen wir doch nicht weitere
Das ist aber kein Beispiel für das Veralten von Wissenschaft, sondern
für das Belügen der Kinder. Da passt am besten der Witz vom Mann am
FKK-Strand, der im Krankenhaus aufwacht.
Post by Peter Luschny
Fest, flüssig, gasförmig, Plasma, Bose-Einstein Kondensat,
Gilt übrigens nur für atomare und einige niedermolekulare Stoffe. Der
Siedepunkt von Brot steht nicht im Landoldt-Börnstein. ;-)
Liest hier etwa jemand nicht /.?

Ralf
--
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PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++ D? G+ e++++ h+ r? y?
Peter Luschny
2004-02-15 17:04:55 UTC
Permalink
Post by Ralf Muschall
Post by Peter Luschny
P.S. Aber vielleicht müssen wir doch nicht weitere
Das ist aber kein Beispiel für das Veralten von Wissenschaft, sondern
für das Belügen der Kinder.
Es war auch nur als ein Beispiel für die Beschleunigung
des Wissenerwerbs gedacht, was wohl zweifelsfrei auch
empirisch nachgewiesen werden kann.
Post by Ralf Muschall
Post by Peter Luschny
Fest, flüssig, gasförmig, Plasma, Bose-Einstein Kondensat,
Gilt übrigens nur für atomare und einige niedermolekulare Stoffe.
Hier ist eine nette Einführung für den Nichtfachmann:
http://science.nasa.gov/headlines/y2002/20mar_newmatter.htm
Post by Ralf Muschall
Liest hier etwa jemand nicht /.?
Ja. Ich. Habe auch eben vergeblich danach gesucht. Gib doch
einfach den Link an, dann können wir uns alle daran erfreuen.

Dabei sah ich aber heiße neue News für Rainers Versuch,
uns in der OT-Nebel zu schicken:
http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/02/13/1324237

Gruss Peter
Rainer Rosenthal
2004-02-15 18:17:45 UTC
Permalink
Peter Luschny
Post by Peter Luschny
Dabei sah ich aber heiße neue News für Rainers Versuch,
http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/02/13/1324237
Danke, Peter!

Ich habe das unseren Sternwarten-Leuten in Überlingen
sowie in de.sci.astronomie mitgeteilt.

Gruss,
Rainer
Peter Luschny
2004-02-15 20:33:10 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Rainer Rosenthal
Peter Luschny
Dabei sah ich aber heiße neue News für Rainer
http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/02/13/1324237
Ich habe das unseren Sternwarten-Leuten in Überlingen
Die Profis haben ihre schnellen 'Warnsysteme' für solche Fälle...
Post by Rainer Rosenthal
sowie in de.sci.astronomie mitgeteilt.
... aber das hätte ich auch tun sollen.

Was da gerade abläuft wird in solch atemberaubenden Bildern
wie diesen festgehalten

http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1995/44/

Präsident Bush kann scheinbar mit solchen Bildern wenig anfangen.
Er braucht PR für die Massen und neue Helden, diesmal auf dem Mond.

http://www.cbc.ca/stories/2004/01/16/hubble040116
http://www.spiegel.de/wissenschaft/weltraum/0,1518,282359,00.html
http://www.spiegel.de/wissenschaft/weltraum/0,1518,284254,00.html

Weitere Informationen hier
http://savethehubble.org/petition.jsp
http://savethehubble.com/introdution.htm

Gruss Peter
Helmut Zeisel
2004-02-12 09:01:23 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.
Sondern?
Naja, mir erschien der Erwerb des logischen Denkens, und so partiell wie
er mir gelungen ist, zu mühsam, um an etwas Angeborenes (etwa a la
Chomsky) zu glauben.
;-)

Nun, ich habe nicht so sehr an Chomsky als in eine ein wenig andere
Richtung gedacht: http://www.philolex.de/evolerke.htm

Wie dem auch sei, wir sind uns anscheinend einig, dass die Logik des
Aristoteles nicht die einzig mögliche ist. Welche Alternativ-Logiken
unser Gehirn verarbeiten kann, ist eine andere Frage.

Helmut
Helmut Zeisel
2004-02-12 09:01:27 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Die Logik ein Kantsches a-priori? .. von der Evolution in unser Hirn
gebrannt? Na, ich weiß nicht... ach nee, eher nicht.
Sondern?
Naja, mir erschien der Erwerb des logischen Denkens, und so partiell wie
er mir gelungen ist, zu mühsam, um an etwas Angeborenes (etwa a la
Chomsky) zu glauben.
;-)

Nun, ich habe nicht so sehr an Chomsky als in eine ein wenig andere
Richtung gedacht: http://www.philolex.de/evolerke.htm

Wie dem auch sei, wir sind uns anscheinend einig, dass die Logik des
Aristoteles nicht die einzig mögliche ist. Welche Alternativ-Logiken
unser Gehirn verarbeiten kann, ist eine andere Frage.

Helmut
Marc Olschok
2004-02-12 16:01:20 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
[...]
Zu 'mehrwertige Logik' gibt Google 1470 Fundstellen, zu 'intuitionistische
Logik' 745, zu 'modaler Logik' 447 und zu 'nichtmonotoner Logik' immerhin
noch 75 Fundstellen an. Ha! ..aber alles nichts gegen deinen Vorschlag
'vernünftige Logik', da findet Google 14400 Einträge :-))
Ernsthafter: Manchmal denke ich, die Mathematik ist eine Fliege, die
im Fliegenglas der zweiwertigen Logik sitzt. Wer ihr den Ausweg zeigen
kann, wird den Ruhm von Euklid, Aristoteles und Cantor gemeinsam auf sich
vereinen. Ich glaube auch fest daran, dass dieser Tag kommen wird..
Ich kann die Aussagen der beiden obigen Absaetze nur schwer vereinen.
Abgesehen davon, google einmal nach "subobject classifier" oder nach
"elementary topos".

Marc
Ralf Muschall
2004-02-14 19:46:20 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als
"universal" an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der
Kantsches apriori gibt es nicht (außer als literaturhistorischen
Begriff). Apriori hängt explizit von der Sprache und den darin
vorgesehenen Axiomen und Beweisregeln ab. Es ist z.B. unmöglich,
allgemeingütlig zu klären, ob die Aussage "grüne Dinge sind
ausgedehnt" apriori ist oder nicht.

Die formale Logik ist in den meisten natürlichen Sprachen
näherungsweise implementiert. Der dreidimensionale Raum ist gleich
zweimal da: Einmal als Ortsraum, in dem wir herumlaufen (dort ist er
gekrümmt und mag allerlei andere seltsame Eigenschaften haben); und dann
als abstrakter (z.B. Vektor-)Raum, in den Euklid gilt.

Schon aus diesem Grund ist nicht zu erwarten, dass die Physik
Weltgegenden findet, in denen die Nichtauswahlaxiomizität der
Mengenlehre so groß ist, dass man sie nicht mehr vernachlässigen darf.

Ralf
--
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Helmut Zeisel
2004-02-16 07:39:24 UTC
Permalink
Post by Ralf Muschall
Post by helmut zeisel
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als
"universal" an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der
Kantsches apriori gibt es nicht (außer als literaturhistorischen
Begriff).
Wie beweist man das?
Post by Ralf Muschall
Apriori hängt explizit von der Sprache und den darin
vorgesehenen Axiomen und Beweisregeln ab.
Bist Du ein extremer Anhaenger der Whorf-Hypothese?
http://venus.va.com.au/suggestion/sapir.html
Post by Ralf Muschall
Es ist z.B. unmöglich,
allgemeingütlig zu klären, ob die Aussage "grüne Dinge sind
ausgedehnt" apriori ist oder nicht.
Und? Es gibt auch keine eindeutige Definition von "Tisch", trotzdem
zweifle ich nicht daran, dass es Tische gibt.
Post by Ralf Muschall
Die formale Logik ist in den meisten natürlichen Sprachen
näherungsweise implementiert.
Ja.
Post by Ralf Muschall
Der dreidimensionale Raum ist gleich
zweimal da: Einmal als Ortsraum, in dem wir herumlaufen (dort ist er
gekrümmt und mag allerlei andere seltsame Eigenschaften haben);
Genau. Der ist a priori.
Post by Ralf Muschall
und dann
als abstrakter (z.B. Vektor-)Raum, in den Euklid gilt.
Der ist a posteriori.
Post by Ralf Muschall
Schon aus diesem Grund ist nicht zu erwarten, dass die Physik
Weltgegenden findet, in denen die Nichtauswahlaxiomizität der
Mengenlehre so groß ist, dass man sie nicht mehr vernachlässigen darf.
Den Satz verstehe ich nicht.

Helmut
Paul Holbach
2004-02-16 20:24:54 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Im Prinzip ja. Nur sehe ich auch die formale Logik nicht als "universal"
an. Sie ist genauso ein Kantsches a-priori wie der dreidimensionale
Raum. Beim dreidimensionalen Raum ist es allerdings den Mathematikern
gelungen, brauchbare Alternativmodelle zu entwickeln; die klassische
Logik hingegen ist anscheinend von der Evolution etwas tiefer in unser
Hirn gebrannt worden, sodass uns bisher der Bau vernünftiger
Alternativmodelle nicht gelungen ist.
Das stimmt nicht, denn es gibt inzwischen eine ganze Reihe recht
"vernünftiger" nichtklassischer Logiken!
(Siehe z.B.: http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/nonstbib.htm)

Gruss
PH
Wolfgang Thumser
2004-02-04 22:24:56 UTC
Permalink
Hallo Arnd,
Post by Arnd Schröter
sondern ich zweifele die universelle Allgemeingültigkeit an.
Bei allen mathematischen Ueberlegungen und Problemen ist
"universelle Allgemeingueltigkeit" (was immer das sein soll)
so ziemlich das letzte, was mich interessiert.

Gruss Wolfgang
Rainer Rosenthal
2004-02-04 23:51:29 UTC
Permalink
Post by Arnd Schröter
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik
nur ihre Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der
Evoltion, Biologie oder Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?
Ja. Ich teile Deine Ansicht, dass Du das problematisch findest.
Denn Du wirst mir ja nichts vorschwindeln, oder? Wenn Du also
sagst, dass Du das problematisch findest, dann glaube ich Dir.

Weiterhin halte ich es für interessant, Probleme zu betrachten.
"Problematisch" ist also ein positives Urteil. Das Allerproblem-
atischste an Deiner Aussage ist für mich aber das "nur":

dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat

selbst die Mathematik nur ihre Berechtigung
in der Menschenwelt hat

selbst die Mathematik nur in der Menschenwelt

nur

nur?

nur??????


Wieso nur?
Ich finde es phantastisch, dass der Satz des Pythagoras immer
noch in Version 1.0 auf dem Markt ist. Die Mathematik ist eine
Errungenschaft der Menschheit, auf die sie richtig stolz sein
darf. Sie ist zudem sprachübergreifend allen Menschen zugänglich
und mit Musik und Tanz innerlich verbunden. Und Tanz und Musik
sind auch "nur" für Menschen interessant.

Kurz: Jetzt mach' mal halblang!

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Thomas Nordhaus
2004-02-05 08:23:08 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Wieso nur?
Ich finde es phantastisch, dass der Satz des Pythagoras immer
noch in Version 1.0 auf dem Markt ist.
Das stimmt. Er ist jetzt auch im Paket mit Riemannsche
Mannigfaltigkeiten 1.0 erhältlich!

Thomas ;-)
Rainer Willis
2004-02-05 12:16:12 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Wieso nur?
Ich finde es phantastisch, dass der Satz des Pythagoras immer
noch in Version 1.0 auf dem Markt ist.
Lol, danke Rainer, du bringst die Sachen immer so erfrischend auf den Punkt.

Gruß, Rainer (Willis)
Jakob Creutzig
2004-02-05 08:38:30 UTC
Permalink
Post by Arnd Schröter
Hallo!
Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es geht
mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises.
Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer
folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber
nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen
logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht
vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete.
In praxi ist das noch viel schlimmer...
Post by Arnd Schröter
Egal
wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu
bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.
Man kann automatische Beweiser bauen, aber dann muss man wissen,
dass die korrekt arbeiten, klar. Wesentlicher scheint mir aber
die Exaktheit in einem anderen Punkt: Wenn zwei Mathematiker ueber
eine mathematische Frage uneins sind, koennen sie durch genaues
Aufdroeseln der Argumente zum Konsens finden, wer von beiden
(if any ;-)) recht hat. Auch das ist irrtumsgefaehrdet, aber nach
aller Erfahrung (jaja, ein boeses Argument ;-)) findet man nach
endlicher Zeit zum Konsens. Es gibt keine absolute Verlaesslichkeit
in der Welt, aber mit Vorsicht und Einschraenkungen ist die Mathematik
dem schon recht nahe.
Post by Arnd Schröter
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evoltion, Biologie oder
Programmierung der Menschen aufbaut.
Alles, was Menschen tun, baut auf ihrer 'Programmierung' (ein sehr
unpassendes Wort, btw) auf. Ich finde das nicht problematisch, denn
fuer so niedrig, gar nichts Gescheites hervorzubringen, halte ich
das Menschengeschlecht nu auch nicht.

Best,
Jakob
Florian Schaudel
2004-02-05 09:33:19 UTC
Permalink
"Arnd Schr�ter" <***@freenet.de> wrote in news:bvrnss$e2s$01$***@news.t-online.com:

<SNIP: Keine wesentlich neue Erkenntnis, über den Erkennstnisgehalt
mathematischer Beweise">


Ja und? Was ist Dein Problem?


Gruss, Florian


P.S.: Wenn Du Dich mit einer interessanten Frage beschäftigen willst:
Was kann die Mathematik dagegen unternehmen, dass durch die zunehmende
Spezialisierung die Wahrscheinlichkeit P(richtig) für relevante Beweise
immer niedriger wird, da es immer weniger Menschen gibt, die sich ein
Urteil über die korrektheit erlauben sollten?
Helmut Zeisel
2004-02-05 15:36:08 UTC
Permalink
Post by Florian Schaudel
Was kann die Mathematik dagegen unternehmen, dass durch die zunehmende
Spezialisierung die Wahrscheinlichkeit P(richtig) für relevante Beweise
immer niedriger wird, da es immer weniger Menschen gibt, die sich ein
Urteil über die korrektheit erlauben sollten?
Du setzt voraus, dass die Anzahl der Mathematiker konstant ist. Du
kannst natürlich mehr Menschen in die Welt setzen, in der Hoffnung,
dass darunter dann die nötigen Fachleute für das jeweilige
Spezialgebiet sind.

Ansonsten würde ich dazu sagen, dass zwar immer mehr Beweise
produziert werden, darunter aber nur sehr wenige wirklich relevante
(nämlich solche, die nicht nur für das Spezialgebiet relevant) sind.
Für diese wenigen wirklich relevanten erlaubt hoffentlich der
Fortschritt der Mathematik, dass sie zu einfachen Spezialfällen
allgemeiner Sätze werden, die dann wieder einfach zu verstehen sind.
Wie viele Seiten hat beispielsweise der erste Beweis des
Fundamentalsatzes der Algebra gehabt, und wie einfach ist der Beweis
heute!
Olaf Musch
2004-02-05 16:47:57 UTC
Permalink
"Arnd Schröter" <***@freenet.de> schrieb im Newsbeitrag news:bvrnss$e2s$01$***@news.t-online.com...

Hallo Arnd,
[Meinung über mathematische Erkenntnisse und deren "Wahrheit"]
Schon mal Douglas Hofstadters "Gödel, Escher, Bach Ein Endlos Geflochtenes Band" gelesen?
Da steht einiges zu diesem Thema drin.

Aber noch dazu: Die Nachvollziehbarkeit von Beweisen ist
in der Mathematik aus meiner Sicht "relativ" Einfach, weil
Beweise meist auf schon bewiesenen Sätzen beruhen, das
ganze Konstrukt der Beweise also auf einem gemeinsamen
Fundament aufgebaut ist.
Wenn man jetzt einen der wenigen fundamentalen Bausteine,
die schon seit langem als "bewiesen" gelten, auseinander rupfen
kann, dann fällt damit auch sicherlich eine ganze Kette
darauf aufbauender Beweise in sich zusammen.

Was wäre z.B., wenn 0 größer als 1 wäre, oder erst gar
kein neutrales Element der Addition existieren würde?

Ich bin sicher nicht der beste Mathematiker auf Erden
(eigentlich bin ich nur Informatiker, verzeiht also mein
Einmischen), aber ich bin überzeugt, dass in der langen
Reihe von Mathematikern seit Euklid und Pythagoras, Peano
und wie sie auch alle immer heissen mögen, sicher der
eine oder andere einen Fehler in einem der Beweise
gefunden hätte.

Dass ein Beweis ggf. nicht "universell allgemeingültig" ist,
hat Einstein ja gezeigt, als er Newtons Physik aufpusten musste,
aber das steht ja auch auf einem anderen Blatt.

Just my 2 cents

Olaf
Peter Heckert
2004-02-06 19:16:22 UTC
Permalink
Post by Arnd Schröter
Hallo!
Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es
geht mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen
Beweises. Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich
darin immer folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit
ist >0, aber nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und
prüfen, einen logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die
Konzentration nicht vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade
falsch schaltete. Egal wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie
diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu bringen, was den Beweis allgemein
gültig (vom Menschen unabhängig) machte. Problematisch finde ich, dass
dann selbst die Mathematik nur ihre Berechtigung in der Menschenwelt hat
und auf der Evoltion, Biologie oder Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?
Nun ja, man kann auch an dem Sinn des Denkens überhaupt zweifeln. Man
kann auch darn zweifeln, dass es sinnvoll ist, repetierend Luft zu holen
oder an ein Ziel zu kommen, indem man einen Fuss vor den anderen setzt.
Die Vertreter solcher Theorien sterben allerdings schnell aus, wenn sie
versuchen, ihren Zweifel praktisch zu beweisen. Mathematik beruht also
tatsächlich auf Evolution :-).

Immerhin hat Gödel ja bewiesen, dass es wahre Sätze gibt, die nicht
beweisbar sind (und zwar wesentlich mehr als beweisbare!).

Da gibt es einen Philosophen, der sich Gedanken über einen
"mathematischen Erzengel" gemacht hat, der alle Beweise und Sätze kennt,
und die Struktur der physikalischen Natur, aber selbst der kann nicht
alles (ausserhalb Mathematik und Naturwissenschaft) beweisen:

In the context of his explanation of the difference between mechanistic
and emergentist theories, C.D. Broad (1925) argues that even if the
mechanistic theory of chemistry were true there still would be a property
of ammonia that a mathematical archangel endowed with unlimited
mathematical skills and “gifted with the further power of perceiving the
microscopic structure of atoms” could not predict, namely its smell:

He [the archangel] would know exactly what the microscopic structure
of ammonia must be; but he would be totally unable to predict that a
substance with this structure must smell as ammonia does when it gets
into the human nose. The utmost that he could predict on this subject
would be that certain changes would take place in the mucous membrane,
the olfactory nerves and so on. But he could not possibly know that
theses changes would be accompanied by the appearance of a smell in
general or of the peculiar smell of ammonia in particular, unless
someone told him so or he had smelled it for himself. (Broad, 1925, p.
71)

Das hab ich heute hier:
http://plato.stanford.edu/entries/qualia-knowledge/
gefunden.

Dies hat mich in meiner Überzeugung bestärkt worden, dass
sich Denken doch lohnt.
Das Gegenteil müsstest Du schon beweisen, aber dazu müsstest Du denken
*g*.

Daher ist der Gegenbeweis unmöglich.

Welcher logischer Fehler steckt Deiner Meinung nach in diesem meinem
logischen Beweis der Sinnhaftigkeit des Denkens?

Grüsse,

Peter
Michael Nüsken
2004-02-10 12:03:45 UTC
Permalink
Hi Peter!
Post by Peter Heckert
Immerhin hat Gödel ja bewiesen, dass es wahre Sätze gibt, die nicht
beweisbar sind (und zwar wesentlich mehr als beweisbare!).
Wo steht das es wesentlich mehr sind? Es gibt abzählbar viele
mathematische Sätze in jeder vernünftigen mathematischen Sprache. Bei
einem gegebenen vernünftigen Axiomensystem sind abzählbar viele davon
beweisbar, abzählbar viele sind widerlegbar, abzählbar viele sind
unentscheidbar. Was heisst nun "mehr"? [Vernünftig heisst in jedem
Fall, dass Syntax und die Entscheidung, ob eine Formel ein Axiom ist,
mit einem endlichen Programm in endlicher Zeit getroffen werden kann.]

Mit freundlichen Grüßen,
|\/| Michael
| \| ++49 5251 60-2653
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Peter Heckert
2004-02-10 22:12:10 UTC
Permalink
Post by Michael Nüsken
Hi Peter!
Post by Peter Heckert
Immerhin hat Gödel ja bewiesen, dass es wahre Sätze gibt, die nicht
beweisbar sind (und zwar wesentlich mehr als beweisbare!).
Wo steht das es wesentlich mehr sind? Es gibt abzählbar viele
mathematische Sätze in jeder vernünftigen mathematischen Sprache. Bei
einem gegebenen vernünftigen Axiomensystem sind abzählbar viele davon
beweisbar, abzählbar viele sind widerlegbar, abzählbar viele sind
unentscheidbar. Was heisst nun "mehr"? [Vernünftig heisst in jedem
Fall, dass Syntax und die Entscheidung, ob eine Formel ein Axiom ist,
mit einem endlichen Programm in endlicher Zeit getroffen werden kann.]
Wenn ich eine aus einem Axiomensystem ableitbare wahre Aussage mit einer
anderen wahren Aussage verknüpfe, die nicht ableitbar ist, dann erhalte
ich eine weitere Aussage, die nicht ableitbar ist.

Also könnte ich mit einer Zeichenkette endlicher Länge mehr nicht
ableitbare, als ableitbare,wahre Aussagen bilden.

Das ist vielleicht kein strenger Beweis, aber so hab ich mir das gedacht.

Naja, vielleicht denke ich zu unmathematisch, sorry ;-)

Hinzu kommt ja noch, dass es sicher unendlich viele ableitbare Aussgen
gibt, die aber wegen Zeit- und Ressourcenmangel nicht beweisbar sind.
D.h. selbst wenn es nur beweisbare (ableitbare) wahre Aussagen gäbe, dann
wäre meine Aussage in diesem Sinne wahr.

Es ist vielleicht eher ein philosophisches als ein mathematisches Problem,
jedenfalls meine ich das eher im philosophischen Sinne.

Die Menge an wahren Aussagen, die wir aktuell beweisen können, ist sicher
kleiner als die Menge aller potentiell beweisbaren Aussagen.

Grüsse,

Peter
Michael Nüsken
2004-02-12 00:34:38 UTC
Permalink
Hallo!
Post by Peter Heckert
Post by Michael Nüsken
Post by Peter Heckert
Immerhin hat Gödel ja bewiesen, dass es wahre Sätze gibt, die nicht
beweisbar sind (und zwar wesentlich mehr als beweisbare!).
Wo steht das es wesentlich mehr sind? Es gibt abzählbar viele
mathematische Sätze in jeder vernünftigen mathematischen Sprache. Bei
einem gegebenen vernünftigen Axiomensystem sind abzählbar viele davon
beweisbar, abzählbar viele sind widerlegbar, abzählbar viele sind
unentscheidbar. Was heisst nun "mehr"? [Vernünftig heisst in jedem
Fall, dass Syntax und die Entscheidung, ob eine Formel ein Axiom ist,
mit einem endlichen Programm in endlicher Zeit getroffen werden kann.]
Wenn ich eine aus einem Axiomensystem ableitbare wahre Aussage mit einer
anderen wahren Aussage verknüpfe, die nicht ableitbar ist, dann erhalte
ich eine weitere Aussage, die nicht ableitbar ist.
Also könnte ich mit einer Zeichenkette endlicher Länge mehr nicht
ableitbare, als ableitbare,wahre Aussagen bilden.
Das ist vielleicht kein strenger Beweis, aber so hab ich mir das gedacht.
Naja, vielleicht denke ich zu unmathematisch, sorry ;-)
Nicht unmathematisch, aber es gibt da einen Denkfehler. Die neu
konstruierten Aussagen (die zwar vermutlich nicht immer unentscheidbar
sind, aber sicher oft) sind *länger* als die anderen.

Eine interessante Frage könnte sein:

Bestimme den Anteil u(n) aller unentscheidbaren Formeln mit höchstens n
Zeichen (also Anzahl unentscheidbarer / Anzahl aller Formeln mit je
höchstens n Zeichen). Wie verhält sich u(n) mit n gegen unendlich?
Konvergiert u? Gegen 0 oder gegen 1 oder wogegen??? Wenn u
schliesslich fast immer grösser 1/2 ist, dann würde ich zustimmen, dass
es "mehr" unentscheidbare Formeln gibt.
Post by Peter Heckert
Hinzu kommt ja noch, dass es sicher unendlich viele ableitbare Aussgen
gibt, die aber wegen Zeit- und Ressourcenmangel nicht beweisbar sind.
D.h. selbst wenn es nur beweisbare (ableitbare) wahre Aussagen gäbe, dann
wäre meine Aussage in diesem Sinne wahr.
Das ist ein ganz anderes Problem.
Post by Peter Heckert
Es ist vielleicht eher ein philosophisches als ein mathematisches Problem,
jedenfalls meine ich das eher im philosophischen Sinne.
Auch, ja.
Post by Peter Heckert
Die Menge an wahren Aussagen, die wir aktuell beweisen können, ist sicher
kleiner als die Menge aller potentiell beweisbaren Aussagen.
Richtig, die Menge an wahren Aussagen, die auch nur in unserer
Reichweite (begrenzt durch Lebensdauer und Größe unseres Lebens oder des
Universums) liegen, ist endlich. Und da es unendlich viele beweisbare
Aussagen gibt, ...


Gruß,
|\/| Michael Nüsken
| \| ++49 5251 60-2653
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Peter Heckert
2004-02-12 21:39:48 UTC
Permalink
Hallo Michael,
Post by Michael Nüsken
Bestimme den Anteil u(n) aller unentscheidbaren Formeln mit höchstens n
Zeichen (also Anzahl unentscheidbarer / Anzahl aller Formeln mit je
höchstens n Zeichen). Wie verhält sich u(n) mit n gegen unendlich?
Konvergiert u? Gegen 0 oder gegen 1 oder wogegen??? Wenn u
schliesslich fast immer grösser 1/2 ist, dann würde ich zustimmen, dass
es "mehr" unentscheidbare Formeln gibt.
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze, die jedoch nicht
beweisbar sind.
Das hat nichts mit unentscheidbar zu tun.
Lange Zeit glaubte man, Fermats letzte Vermutung sei ein solcher Satz.

Ein anderes -noch ungelöstes Problem- ist die Goldbach-Vermutung, dass
jede gerade Zahl >=4 als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.
Sie ist nicht unentscheidbar, sondern sie hat entweder den Wert "wahr"
oder "falsch" im Sinne der Berechenbarkeit.
Trotzdem ist ein (Gegen)beweis bisher nicht gelungen, und man vermutet,
dass diese Vermutung prinzipiell nicht beweisbar ist. Bis ein 2ter Wiles
kommt ;-)

Das hängt damit zusammen, dass man in Axiomensystemen mit bestimmten
Eigenschaften _wahre_ Sätze formulieren kann, die sich jedoch nicht aus
den Axiomen ableiten lassen. (Das hat mir ein Mathelexikon gesagt,
verlange nicht, dass ich das beweise.)

Noch ein interessantes Problem ist die optimale Strategie für das
Schachspiel, also eine Strategie mit der Weiss stets gewinnt, wenn er die
Strategie konsequent anwendet.
Da Schach ein Nullsummenspiel ist, gibt es eine solche Strategie, das
Problem ist nicht unentscheidbar, aber bisher ungelöst.
Ob es zu Gödels prinzipiell unbeweisbaren Problemen gehört, würde ich
allerdings bezweifeln, da die Menge aller Schachstellungen endlich ist und
die Strategie daher (theoretisch) durch Ausprobieren in endlicher Zeit
gefunden werden kann.

Grüsse,

Peter
Helmut Zeisel
2004-02-13 08:42:05 UTC
Permalink
Post by Peter Heckert
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze, die jedoch nicht
beweisbar sind.
Nein:

Der betreffende Satz von Gödel lautet "Alle widerspruchsfreien
axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten
unentscheidbare Aussagen"

http://coforum.de/index.php4?Kurt_G%F6del
Post by Peter Heckert
Das hat nichts mit unentscheidbar zu tun.
Doch
Post by Peter Heckert
Lange Zeit glaubte man, Fermats letzte Vermutung sei ein solcher Satz.
Wer ist dieser "man"?
Post by Peter Heckert
Ein anderes -noch ungelöstes Problem- ist die Goldbach-Vermutung, dass
jede gerade Zahl >=4 als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.
Sie ist nicht unentscheidbar, sondern sie hat entweder den Wert "wahr"
oder "falsch" im Sinne der Berechenbarkeit.
Trotzdem ist ein (Gegen)beweis bisher nicht gelungen, und man vermutet,
dass diese Vermutung prinzipiell nicht beweisbar ist.
Wer ist dieser "man"?
Post by Peter Heckert
Das hängt damit zusammen, dass man in Axiomensystemen mit bestimmten
Eigenschaften _wahre_ Sätze formulieren kann, die sich jedoch nicht aus
den Axiomen ableiten lassen. (Das hat mir ein Mathelexikon gesagt,
verlange nicht, dass ich das beweise.)
Welches Lexikon war das bzw. was *genau* steht dort?

Helmut
Helmut Richter
2004-02-13 13:32:24 UTC
Permalink
Post by Helmut Zeisel
Der betreffende Satz von Gödel lautet "Alle widerspruchsfreien
axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten
unentscheidbare Aussagen"
Wobei hier "axiomatisch" heißt, dass die Eigenschaft, ein Axiom zu
sein, entscheidbar ist. Ohne das fällt der Gödelsche Beweis flach, und
der Satz ist nicht mehr wahr: man erkläre einfach alle wahren Aussagen
zu Axiomen.
Post by Helmut Zeisel
Post by Peter Heckert
Lange Zeit glaubte man, Fermats letzte Vermutung sei ein solcher Satz.
Nein. Konkrete Aussagen wie der Große Fermatsche Satz (genauer:
Vermutung) oder die Goldbachsche Vermutung (GV) können eigentlich
nicht unter Gödels Verdikt fallen.

Man kann die Vermutung äußern, GV sei aus einem *ganz konkret*
gegebenen Axiomensystem AS nicht herleitbar. Eine solche Vermutung
könnte man etwa durch Konstruktion eines Modells beweisen, d.h. einer
*anderen* Struktur als die natürlichen Zahlen, die AS erfüllt, aber
eben nicht GV.

Man kann aber nicht sinnvollerweise die Vermutung äußern, GV sei aus
keinem *beliebigen* Axiomensystem herleitbar und trotzdem wahr. Dann
nimmt man doch einfach GV zum Axiomensystem dazu und schon hat man
eines, wo GV herleitbar ist. Der Axiomatisierbarkeit, also der
Entscheidbarkeit, ob etwas ein Axiom ist, tut ein *einzelnes*
zusätzliches Axiom sicher keinen Abbruch.
Post by Helmut Zeisel
Wer ist dieser "man"?
Tja ...

Helmut Richter
Ernst Jung
2004-02-13 15:36:40 UTC
Permalink
Peter Heckert schrieb u.a.
Post by Peter Heckert
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze,
die jedoch nicht beweisbar sind.
Ist denn die Unbeweisbarkeit solcher Saetze beweisbar
und wie steht es gegebenenfalls mit konkreten Beispielen
fuer solche nicht beweisbaren wahren Saetze, z.B. aus der
Theorie der natuerlichen Zahlen?
Die - sicherlich schon von dem einen oder anderen vermutete -
Unbeweisbarkeit der Goldbachschen Vermutung konnte m.W.
bislang nicht bewiesen werden.

MfG
Ernst
helmut zeisel
2004-02-13 16:05:45 UTC
Permalink
Post by Ernst Jung
Peter Heckert schrieb u.a.
Post by Peter Heckert
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze,
die jedoch nicht beweisbar sind.
Ist denn die Unbeweisbarkeit solcher Saetze beweisbar
und wie steht es gegebenenfalls mit konkreten Beispielen
fuer solche nicht beweisbaren wahren Saetze
http://www.miskatonic.org/godel.html
Hermann Kremer
2004-02-13 19:26:14 UTC
Permalink
Post by Ernst Jung
Peter Heckert schrieb u.a.
Post by Peter Heckert
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze,
die jedoch nicht beweisbar sind.
Ist denn die Unbeweisbarkeit solcher Saetze beweisbar
und wie steht es gegebenenfalls mit konkreten Beispielen
fuer solche nicht beweisbaren wahren Saetze
http://www.miskatonic.org/godel.html


Und da ich den Gödel'sche Original-Aufsatz aus den "Monatsheften für
Mathematik u. Physik" von 1931 im Web nicht finden konnte, hier
zumindest die Rezension von Abraham Fraenkel:
============================================
Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database

JFM 57.0054.02
Gödel, K.
Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme. I. (German)
[J] Monatshefte f. Math. 38, 173-198.
Published: 1931

Diese bedeutungsvolle Arbeit leitet Tatsachen her, die für axiomatisierte
mathematische Systeme und speziell für den metamathematischen Standpunkt
grundlegend sind. Ausgangspunkt ist im wesentlichen das formale System, das man
erhält, indem man die Peano'schen Axiome mit der Logik der ``Principia
Mathematica'' überbaut (nattürliche Zahlen als Individuen) und eventuell eine
rekursiv definierbare Klasse von Axiomen hinzufügt, vorausgesetzt, dass dabei
eine gewisse Widerspruchsfreiheitsbedingung erfüllt bleibt. In diesen noch etwas
erweiterbaren Bereich fallen nicht bloss die ``Principia Mathematica''
(einschliesslich des Auswahlaxioms für alle Typen) und die Peano'sche
Arithmetik samt einem bestimmten Schema der rekursiven Definition, sondern z. B.
auch die von W. Ackermann und J. von Neumann herrührenden Axiomensysteme
der Analysis und die axiomatisierte Mengenlehre nach Zermelo-Fraenkel oder
nach von Neumann. Das Hauptergebnis ist, dass es in jedem solchen System
unentscheidbare Sätze gibt, und zwar sogar unentscheidbare arithmetische Sätze,
wobei ``arithmetisch'' die Beschränkung auf Addition und Multiplikation
natürlicher Zahlen sowie die logischen Konstanten ``oder'', ``nicht'', ``alle'',
``identisch'' (die beiden letzteren auf natürliche Zahlen bezogen) ausdrückt.
Ebenso gibt es unentscheidbare Probleme des ``engeren Funktionenkalküls" (im
Sinne der theoretischen Logik von Hilbert-Ackermann). Ersetzt man die
vorausgesetzte engere Widerspruchsfreiheit durch Widerspruchsfreiheit
schlechthin, so tritt an die Stelle eines unentscheidbaren Satzes eine
Eigenschaft, für die weder ein Gegenbeispiel angebbar noch die durchgängige
Erfülltheit beweisbar ist.

Der Beweis beruht in der Hauptsache auf einer Numerierung der Formelzeichen
des formalen Systems, wodurch eine Formel in eine endliche Folge natürlicher
Zahlen, eine Beweisfigur in eine endliche Folge solcher Folgen übergeht. Damit
werden die metamathematischen Begriffe bzw. Sätze zu Begriffen bzw. Sätzen
über Folgen natürlicher Zahlen und daher in den Symbolen des formalen Systems
ausdrückbar; das gilt z. B. auch für den Satz: ``$v$ ist eine beweisbare Formel''.
Von hier aus gelingt die Herstellung eines unentscheidbaren Satzes auf eine Art,
die der Richard'schen Antinomie analog ist. Der auf solche Art erhaltene Satz,
der seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet (und daher metamathematisch
richtig ist, nicht aber im System), hat aber in diesem Fall nichts Zirkelhaftes an
sich.

Aus dem Hauptergebnis folgt weiter die Unmöglichkeit, die /Widerspruchsfreiheit/
eines solchen formalen Systems (metamathematisch) zu beweisen mit Hilfe von
Schlussweisen, die in dem System formalisiert sind (um so mehr mit den, wie
üblich, weiter eingeschränkten Schlussweisen). Wenn es also nach Hilbert finite
Widerspruchsfreiheitsbeweise geben sollte, so müssten sie in dem betreffenden
System sich nicht darstellen lassen.

[ Fraenkel, A.; Prof. (Jerusalem) ]

Subject heading: Erster Halbband. Erster Abschnitt. Geschichte, Philosophie und
Pädagogik. Kapitel 2. Philosophie.

Jahrbuch Project: Copyright (c) 2004 European Mathematical Society
============================================

Grüße
Hermann
--
Paul Holbach
2004-02-16 20:19:42 UTC
Permalink
Post by Hermann Kremer
Und da ich den Gödel'sche Original-Aufsatz aus den "Monatsheften für
Mathematik u. Physik" von 1931 im Web nicht finden konnte, hier
============================================
Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database
JFM 57.0054.02
Gödel, K.
Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme. I. (German)
[J] Monatshefte f. Math. 38, 173-198.
Published: 1931
Die englische Übersetzung ist abrufbar:

http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/godel3.htm

Viel Spass damit! ;-)

PH

P.S.:
Vielleicht auch mal hier reinschaun:

http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel.html
Peter Heckert
2004-02-13 19:38:21 UTC
Permalink
Hallo Ernst,
Post by Ernst Jung
Peter Heckert schrieb u.a.
Post by Peter Heckert
Meines Wissens gibt es nach Gödel wahre Sätze,
die jedoch nicht beweisbar sind.
Ist denn die Unbeweisbarkeit solcher Saetze beweisbar
und wie steht es gegebenenfalls mit konkreten Beispielen
fuer solche nicht beweisbaren wahren Saetze, z.B. aus der
Theorie der natuerlichen Zahlen?
Die - sicherlich schon von dem einen oder anderen vermutete -
Unbeweisbarkeit der Goldbachschen Vermutung konnte m.W.
bislang nicht bewiesen werden.
Ich rätsele selber daran herum, bin ja kein Mathematiker und eigentlich
auch nicht mathematisch talentiert.
Eigentlich hoffte ich, dass das hier jemand fachkundig erklärt ;-)

Ich glaube jedoch dass man dies nicht anhand von Problemen erörtern kann,
die gegenwärtig ungelöst sind, sondern im historischen Rückblick.

Wie hätten z.B. die alten Griechen über die Theorie der komplexen Zahlen
gedacht? Wären sie imstande gewesen, sie axiomatisch herzuleiten?

Grüsse,

Peter
Peter Heckert
2004-02-12 16:45:22 UTC
Permalink
Post by Peter Heckert
Post by Michael Nüsken
Hi Peter!
Post by Peter Heckert
Immerhin hat Gödel ja bewiesen, dass es wahre Sätze gibt, die nicht
beweisbar sind (und zwar wesentlich mehr als beweisbare!).
Wo steht das es wesentlich mehr sind? Es gibt abzählbar viele
mathematische Sätze in jeder vernünftigen mathematischen Sprache. Bei
einem gegebenen vernünftigen Axiomensystem sind abzählbar viele davon
beweisbar, abzählbar viele sind widerlegbar, abzählbar viele sind
unentscheidbar. Was heisst nun "mehr"? [Vernünftig heisst in jedem
Fall, dass Syntax und die Entscheidung, ob eine Formel ein Axiom ist,
mit einem endlichen Programm in endlicher Zeit getroffen werden kann.]
Wenn ich eine aus einem Axiomensystem ableitbare wahre Aussage mit einer
anderen wahren Aussage verknüpfe, die nicht ableitbar ist, dann erhalte
ich eine weitere Aussage, die nicht ableitbar ist.
Also könnte ich mit einer Zeichenkette endlicher Länge mehr nicht
ableitbare, als ableitbare,wahre Aussagen bilden.
Das ist vielleicht kein strenger Beweis, aber so hab ich mir das gedacht.
Naja, vielleicht denke ich zu unmathematisch, sorry ;-)
Hallo Michael,

eine etwas genauere Begründung findet sich in
Spektrum der Wissenschaft,Februar 2004 im Artikel "Grenzen der
Berechenbarkeit-Komplexitätstheorie" von Gregory J Chaitin.

Ein genauer Beweis fehlt dort natürlich auch, dazu muss man sich wohl mit
der" Algorithmic information theory" des Author's befassen.

S. 93 schreibt Chaitin abschliessend:

"...Es gibt einen unendlich großen Kosmos mathematischer Wahrheiten -
eine unendliche Mengen an Information -; aber jedes gegebene Axiomensystem
kann nur einen winzigen, endlichen Teil davon erfassen, einfach weil es zu
klein ist. ..."

Grüsse,

Peter
Peter Luschny
2004-02-12 21:21:49 UTC
Permalink
Post by Peter Heckert
eine etwas genauere Begründung findet sich in
Spektrum der Wissenschaft,Februar 2004 im Artikel "Grenzen der
Berechenbarkeit-Komplexitätstheorie" von Gregory J Chaitin.
"...Es gibt einen unendlich großen Kosmos mathematischer Wahrheiten -
eine unendliche Mengen an Information -; aber jedes gegebene Axiomensystem
kann nur einen winzigen, endlichen Teil davon erfassen, einfach weil es zu
klein ist. ..."
Den 'großen Kosmos mathematischer Wahrheiten', wie er hier
pathetisch aufgeblasen wird, kann man auch als einen
'Riesenhaufen von Trivialitäten' ansehen.

Ich sehe den Sinn des Mathematiktreibens darin, den
winzigen Teil der 'wertvollen Wahrheiten' zu finden.

Ich sehe mich eher als Bergsteiger im Karwendel, der
mühsam über die Geröllfelder aufsteigt und die Unmassen
an Steinen und Felsen ignoriert, auf der Suche nach
einem kleinen Bergkristall.

Gruss Peter
helmut zeisel
2004-02-13 18:15:35 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
eine etwas genauere Begründung findet sich in
Spektrum der Wissenschaft,Februar 2004 im Artikel "Grenzen der
Berechenbarkeit-Komplexitätstheorie" von Gregory J Chaitin.
"...Es gibt einen unendlich großen Kosmos mathematischer Wahrheiten -
eine unendliche Mengen an Information -; aber jedes gegebene Axiomensystem
kann nur einen winzigen, endlichen Teil davon erfassen, einfach weil es zu
klein ist. ..."
Den 'großen Kosmos mathematischer Wahrheiten', wie er hier
pathetisch aufgeblasen wird, kann man auch als einen
'Riesenhaufen von Trivialitäten' ansehen.
"Trivialitäten" wuerde ich nicht sagen, die betroffenen "Wahrheiten"
duerften doch alles andere als trivial zu finden sein.
"Nebensaechlichkeiten" waere wohl besser.
Post by Peter Luschny
Ich sehe den Sinn des Mathematiktreibens darin, den
winzigen Teil der 'wertvollen Wahrheiten' zu finden.
Ich sehe mich eher als Bergsteiger im Karwendel, der
mühsam über die Geröllfelder aufsteigt und die Unmassen
an Steinen und Felsen ignoriert, auf der Suche nach
einem kleinen Bergkristall.
Ansonsnten volle Zustimmung

Helmut
Peter Luschny
2004-02-13 20:33:27 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
"...Es gibt einen unendlich großen Kosmos mathematischer Wahrheiten -
eine unendliche Mengen an Information -; aber jedes gegebene
Axiomensystem
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
kann nur einen winzigen, endlichen Teil davon erfassen, einfach weil es zu
klein ist. ..."
Den 'großen Kosmos mathematischer Wahrheiten', wie er hier
pathetisch aufgeblasen wird, kann man auch als einen
'Riesenhaufen von Trivialitäten' ansehen.
"Trivialitäten" wuerde ich nicht sagen, die betroffenen "Wahrheiten"
duerften doch alles andere als trivial zu finden sein.
"Nebensaechlichkeiten" waere wohl besser.
Doch doch, da habe ich nichts zurückzunehmen. Selbst im
minimalistischen Fragment der Zahlentheorie, die Hermann
(via Fraenkel) eben angesprochen hat, kann der dümmste
Automat unendlich viele Sätze erzeugen, die wahr sind,
aber niemand sehen will (deshalb poste ich sie jetzt
auch nicht hierher).

Interessante Dinge wie (dürfte sogar im Gödelschen Fragment
erklärbar sein, oder?)

:: Existieren paarweise teilerfremde natürliche Zahlen a, b, c mit
:: c (a^2 b^2 + c) (a^2 b^2 - c) = (b^6 - 2 a^6) (4 a^6 - b^6)

bilden (auch in dieser Newsgroup) nur einen winzigen
Teil der Beiträge ;-)

Gruss Peter
Peter Heckert
2004-02-13 20:54:20 UTC
Permalink
Hallo Peter
Post by Michael Nüsken
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
"...Es gibt einen unendlich großen Kosmos mathematischer Wahrheiten -
eine unendliche Mengen an Information -; aber jedes gegebene
Axiomensystem
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
kann nur einen winzigen, endlichen Teil davon erfassen, einfach weil es
zu
Post by helmut zeisel
Post by Peter Luschny
Post by Peter Heckert
klein ist. ..."
Den 'großen Kosmos mathematischer Wahrheiten', wie er hier
pathetisch aufgeblasen wird, kann man auch als einen
'Riesenhaufen von Trivialitäten' ansehen.
"Trivialitäten" wuerde ich nicht sagen, die betroffenen "Wahrheiten"
duerften doch alles andere als trivial zu finden sein.
"Nebensaechlichkeiten" waere wohl besser.
Doch doch, da habe ich nichts zurückzunehmen. Selbst im
minimalistischen Fragment der Zahlentheorie, die Hermann
(via Fraenkel) eben angesprochen hat, kann der dümmste
Automat unendlich viele Sätze erzeugen, die wahr sind,
aber niemand sehen will (deshalb poste ich sie jetzt
auch nicht hierher).
Interessante Dinge wie (dürfte sogar im Gödelschen Fragment
erklärbar sein, oder?)
:: Existieren paarweise teilerfremde natürliche Zahlen a, b, c mit
:: c (a^2 b^2 + c) (a^2 b^2 - c) = (b^6 - 2 a^6) (4 a^6 - b^6)
bilden (auch in dieser Newsgroup) nur einen winzigen
Teil der Beiträge ;-)
Na ja, die meisten interesannten Fragen ergeben sich aus scheinbaren
Trivialitäten.
Mag auch sein, das meine laienhafte Erkenntnise zu dem Thema wirklich
trivial sind.

Aber der Verfasser, G.J.Chaitin, des obigen Zitats hat wohl keine
Trivialitäten im Sinn:

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/

Es geht ihm um Entropie, Berechenbarkeit, Mathematik _und_ Philosophie.
Und er bemüht sich um allgemeinverständliche Darstellung, was ja kein
Beinbruch sein sollte.

Grüsse,

Peter
Peter Luschny
2004-02-13 21:10:37 UTC
Permalink
Post by Peter Heckert
Na ja, die meisten interesannten Fragen ergeben sich aus scheinbaren
Trivialitäten.
Aber nicht aus echten Trivialitäten!
Post by Peter Heckert
Aber der Verfasser, G.J.Chaitin, des obigen Zitats hat wohl keine
http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/
Es geht ihm um Entropie, Berechenbarkeit, Mathematik _und_ Philosophie.
Und er bemüht sich um allgemeinverständliche Darstellung, was ja kein
Beinbruch sein sollte.
Überhaupt nicht, der Verfasser schreibt auch amüsant und anregend.
Man lese ihn!

Ich bin halt nur allergisch gegen dieses Sonntagspredigtpathos,
das manche Mathematiker so drauf haben, und das dem Verständnis
nicht dient.

Gruss Peter
Rainer Rosenthal
2004-02-13 22:14:02 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Interessante Dinge wie (dürfte sogar im Gödelschen Fragment
erklärbar sein, oder?)
:: Existieren paarweise teilerfremde natürliche Zahlen a, b, c mit
:: c (a^2 b^2 + c) (a^2 b^2 - c) = (b^6 - 2 a^6) (4 a^6 - b^6)
bilden (auch in dieser Newsgroup) nur einen winzigen
Teil der Beiträge ;-)
... weshalb gelegentliche Ausflüge nach de.rec.denksport lohnen.
Beispielsweise ist Aufgabe #63 noch immer offen, obwohl brutale
Attacken geritten worden waren:

Als Gödel-Fragment:

# Es sei S={1,2,3,...,101,102}. Kann man 102
# verschiedene 17-elementige Teilmengen
#
# X_1, X_2, ..., X_102
#
# von S finden, sodass fuer i ungleich j der
# Durchschnitt von X_i und X_j immer hoechstens
# drei Elemente besitzt?

Oder anders: 102 Bergsteiger klettern im Land der 102 Berge,
die jeweils eine eigene Sorte von Bergkristallen aufweisen.
Jeder sucht sich seine 17 Lieblingsberge aus und holt sich
dort jeweils einen Bergkristall. Die ausgefallensten Sammlungen
werden prämiiert. Zwei Sammlungen, die in mehr als 3 Stücken
übereinstimmen, bleiben ohne Prämie; die übrigen bekommen einen
Preis, der mit dem Geschmack der Preisrichter schwankt, aber
stets wenigstens 102 Euro ist. Können die Bergsteiger garantiert
10404 Euro einheimsen?

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Peter Heckert
2004-02-13 19:43:56 UTC
Permalink
Hallo Peter,
Post by Peter Luschny
Den 'großen Kosmos mathematischer Wahrheiten', wie er hier
pathetisch aufgeblasen wird, kann man auch als einen
'Riesenhaufen von Trivialitäten' ansehen.
Ich sehe den Sinn des Mathematiktreibens darin, den
winzigen Teil der 'wertvollen Wahrheiten' zu finden.
Ich sehe mich eher als Bergsteiger im Karwendel, der
mühsam über die Geröllfelder aufsteigt und die Unmassen
an Steinen und Felsen ignoriert, auf der Suche nach
einem kleinen Bergkristall.
Tja, Mathematik ist (zum Glück) nicht mein Geschäft.
Ich bin eher ein Wolkengucker, der stundenlang in den blauen Himmel oder
in eine Sternennacht schauen kann, und sich wundert, woher das kommt und
was es ist.
Ist ja auch erlaubt.

Grüsse,

Peter
Peter Luschny
2004-02-13 20:57:13 UTC
Permalink
"Peter Heckert" schrieb:> Hallo Peter,
Post by Peter Luschny
Ich sehe mich eher als Bergsteiger im Karwendel, der
mühsam über die Geröllfelder aufsteigt und die Unmassen
an Steinen und Felsen ignoriert, auf der Suche nach
einem kleinen Bergkristall.
Tja, Mathematik ist (zum Glück) nicht mein Geschäft.
Ich bin eher ein Wolkengucker, der stundenlang in den blauen Himmel oder
in eine Sternennacht schauen kann, und sich wundert, woher das kommt und
was es ist.
Also ich finde das hat verdammt viel mit Mathematik zu tun.
Für mich liegt in solch zweckfreier Kontemplation viel mehr
der Ursprung der Mathematik als im Vermessen von irgendwelchen
Feldern. Bevor die Ägypter damit angefangen haben, und zwar
mal so knappe 8-10 Tausend Jahre früher, hat die vor-ägyptische
Hochkultur im oberen Niltal genau das ('in eine Sternennacht
schauen') mit einer unglaublichen mathematischen Intuition
verbunden.

Und ansonsten gilt: rechtzeitig dabei den Kopf einziehen.
Auch dieses Jahr steigert sich die Geschwindigkeit wieder,
mit der wir auf den Andromedanebel zurasen - da wird es
bald gewaltig rummsen, in unserer Milchstrasse..

Gruss Peter
Rainer Rosenthal
2004-02-13 22:21:49 UTC
Permalink
Peter Luschny
Post by Peter Luschny
Auch dieses Jahr steigert sich die Geschwindigkeit wieder,
mit der wir auf den Andromedanebel zurasen - da wird es
bald gewaltig rummsen, in unserer Milchstrasse..
Ach was, in jedem Frühjahr haben wir eine Weile lang
Nebel hier am Bodensee. Das geht vorbei. Und wenn man
mit dem Auto in eine Nebelwand fährt, kommt man sogar
dann unverletzt davon, wenn man nicht angeschnallt ist.
Das klingt nur so gefährlich. Gerade wenn man mit
annähernder Lichtgeschwindigkeit aufeinanderzu rast,
ist die Aufregung ja umso schneller vorbei.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de
h***@mail.tele.dk
2004-02-13 23:40:43 UTC
Permalink
On Fri, 13 Feb 2004 23:21:49 +0100, "Rainer Rosenthal"
Post by Rainer Rosenthal
Peter Luschny
Post by Peter Luschny
Auch dieses Jahr steigert sich die Geschwindigkeit wieder,
mit der wir auf den Andromedanebel zurasen - da wird es
bald gewaltig rummsen, in unserer Milchstrasse..
Ach was, in jedem Frühjahr haben wir eine Weile lang
Nebel hier am Bodensee. Das geht vorbei. Und wenn man
mit dem Auto in eine Nebelwand fährt, kommt man sogar
dann unverletzt davon, wenn man nicht angeschnallt ist.
Das klingt nur so gefährlich. Gerade wenn man mit
annähernder Lichtgeschwindigkeit aufeinanderzu rast,
ist die Aufregung ja umso schneller vorbei.
Gruss,
Rainer Rosenthal
Mein Sohn, es ist ein nebelstreif!

Hans van Duijnhoven (Randers, Dk)
Peter Heckert
2004-02-14 10:03:59 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Das klingt nur so gefährlich. Gerade wenn man mit
annähernder Lichtgeschwindigkeit aufeinanderzu rast,
ist die Aufregung ja umso schneller vorbei.
Bei annähernder Lichtgeschwindigkeit kollidiert Materie nicht.
Der 4-dimensional-energetische Abstand ist so gross, dass sie sich im
3-dimensionalen scheinbar durchdringt und im 4-dimensionalen mit sicherem
Anstand aneinander vorbeifliegt.

Grüsse,

Peter
Hermann Jurksch
2004-02-14 11:41:00 UTC
Permalink
Post by Peter Heckert
Post by Rainer Rosenthal
Das klingt nur so gefährlich. Gerade wenn man mit
annähernder Lichtgeschwindigkeit aufeinanderzu rast,
ist die Aufregung ja umso schneller vorbei.
Bei annähernder Lichtgeschwindigkeit kollidiert Materie nicht.
Der 4-dimensional-energetische Abstand ist so gross, dass sie sich im
3-dimensionalen scheinbar durchdringt und im 4-dimensionalen mit sicherem
Anstand aneinander vorbeifliegt.
Was messen die denn dann bei den Beschleunigerexperimenten?

MfG
Hermann
Peter Heckert
2004-02-15 13:34:49 UTC
Permalink
HAllo Herman,
Post by Hermann Jurksch
Post by Peter Heckert
Post by Rainer Rosenthal
Das klingt nur so gefährlich. Gerade wenn man mit
annähernder Lichtgeschwindigkeit aufeinanderzu rast,
ist die Aufregung ja umso schneller vorbei.
Bei annähernder Lichtgeschwindigkeit kollidiert Materie nicht.
Der 4-dimensional-energetische Abstand ist so gross, dass sie sich im
3-dimensionalen scheinbar durchdringt und im 4-dimensionalen mit sicherem
Anstand aneinander vorbeifliegt.
Was messen die denn dann bei den Beschleunigerexperimenten?
Man kann Beschleuniger benutzen, um Tumore zu bestrahlen.
Schnelle Ionen wechselwirken kaum mit den Gewebeschichten an der
Oberfläche, sie geben etwas Wärme ab, dringen ein, und werden langsamer.
Erst wenn sie langsam genug sind, verursachen sie Ionisation und Schäden,
und wenn man es richtig berechnet, dann ist das genau im Tumor.

Man kann also von aussen in eine geschlossene 3-dimensionale Hülle
hineinwirken, quasi wie aus einem 4-dimensionalen Raum heraus.

Jedenfalls kann man das mathematisch/geometrisch doch so sehen, dass
Geschwindigkeit oder kinetische Energie einen Abstand in einer 4.
Dimension darstellt. Die Relativitätstheorie sieht das ja ähnlich. Ob
das physikalisch sinnvoll und praktisch ist, weiss ich nicht, denn die
Abhängigkeiten sind vielleicht nichtlinear.

So, jetzt wird's aber OT, denn das ist Physik, und davon verstehe ich noch
weniger als von Mathematik *g*
Also Schluss jetzt.

Grüsse,

Peter
Ralf Muschall
2004-02-14 19:37:24 UTC
Permalink
Post by Peter Luschny
Auch dieses Jahr steigert sich die Geschwindigkeit wieder,
mit der wir auf den Andromedanebel zurasen - da wird es
Erstens ist unklar, ob der überhaupt hierher will. Wir sehen nur die
Radialgeschwindigkeit, welche leicht negativ ist. Die
Transversalkomponente wäre selbst dann unter der Nachweisgrenze, wenn
M31 in Querrichtung mit Lichtgeschwindigkeit fliegen würde (rein
geometrisch, relativistische Effekte ausgeklammert).
Post by Peter Luschny
bald gewaltig rummsen, in unserer Milchstrasse..
Auch nicht. Ein paar Sterne mehr würden in ein paar hundert Lj
Entfernung aneinander vorbeifliegen, und einige Gaswölkchen würden
rumturteln und Kugelsternhaufen zeugen.

Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a+ C++++$ UL+++$ UH+ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K- w--- !O M- V-
PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++ D? G+ e++++ h+ r? y?
Peter Luschny
2004-02-15 17:06:30 UTC
Permalink
"Ralf Muschall" schrieb .
Post by Peter Luschny
Auch dieses Jahr steigert sich die Geschwindigkeit wieder,
mit der wir auf den Andromedanebel zurasen - da wird es
Erstens ist unklar, ob der überhaupt hierher will.
Schon. Aber man sollte ihn im Auge behalten.
Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste.
Post by Peter Luschny
bald gewaltig rummsen, in unserer Milchstrasse..
Auch nicht. Ein paar Sterne mehr würden in ein paar hundert Lj
Entfernung aneinander vorbeifliegen [...]
Ich nehme dich beim Wort, wenn es soweit ist!
Soll so in 4 bis 10 Milliarden Jahren der Fall sein.

Bis denne!

Gruss Peter
Eduard Ralph
2004-02-07 15:34:47 UTC
Permalink
On Wed, 4 Feb 2004 22:26:30 +0100, "Arnd Schröter"
<***@freenet.de> wrote:

Hallo,

man muss nicht einmal auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
zurückgreifen. Jede Wissenschaft fängt mit Glauben an. Man Glaubt
etwas. In der Mathematik hat man das durch eine schönen Begriff
kodifiziert, nämlich Axiom. Das ist etwas, dass so offensichtlich ist,
dass man es nicht weiter Beweisen muss. Ich glaube also, dass es sowas
gibt Namens Zahl 1. Ich glaube, dass es eine Zahl gibt, die auf 1
folgt und die durch das hinzuzählen von 1 erreicht werden kann: 2,
usw.
Das nächste ist, dass man sich darüber streiten kann, ob die boolesche
Logik zutrifft. Es gab mal Anstrengungen alle Erkenntnisse der
Mathematik ohne Widerspruchsbeweis zu Beweisen. Eine beliebte Methode
des Beweises ist das Gegenteil anzunehmen und dann zu beweisen, dass
es zum Widerspruch führt. Allerdings hat man dann nur Bewiesen, dass
das Nicht-gelten nicht gelten kann. Das muss aber nicht heißen, dass
das Gegenteil gelten muss.
Die dialektische Philosophie geht an der Stelle beispielsweise einen
anderen weg. Sie behauptet das etwas gilt und gleichzeitig nicht gilt.
(Etwas salopp, aber den Kern trifft es)
Wenn man darüber nachdenkt, wird einem klar, dass man nie mit letzter
Sicherheit eine All-Aussage machen kann. Ein Beispiel
"Jeden Tag geht die Sonne auf." Das ist zwar naheliegend, aber nachdem
noch nicht alle Tage gewesen sind, unbeweisbar. Lediglich das
Gegenteil ist belegbar. Wenn Morgen die Sonne tatsächlich nicht
aufgeht, ist der Beweis erbracht, dass die Sonne nicht jeden Tag
aufgeht.
Das sind einfach Grenzen des menschlichen Daseins. Die Mathematik gibt
sich mit solchen Problemen nicht ab, bzw. sie nimmt sie zur Kenntniss
und macht weiter. Auf so etwas kann nur die Philosophie eine Antwort
geben.

Grüße,

Eduard Ralph
Peter Heckert
2004-02-07 16:14:46 UTC
Permalink
Post by Eduard Ralph
Gegenteil ist belegbar. Wenn Morgen die Sonne tatsächlich nicht
aufgeht, ist der Beweis erbracht, dass die Sonne nicht jeden Tag
aufgeht.
Das sind einfach Grenzen des menschlichen Daseins. Die Mathematik gibt
sich mit solchen Problemen nicht ab, bzw. sie nimmt sie zur Kenntniss
und macht weiter. Auf so etwas kann nur die Philosophie eine Antwort
geben.
Würd ich so nicht sagen.
Die Mathematik könnte uns sicher sagen, an welchen Tagen Sopnnenaufgang
und Sonnenfinsternis zusammenfallen werden. Das ist doch offensichtlich
das das sein kann, und nur, weil dieser Fall nicht von Bedeutung ist,
beschäftigt sie sich nicht damit.

Grüsse,

Peter
--
Reality is _not_ an elephant.
For a start, it's a rainbow.
Eduard Ralph
2004-02-09 10:08:13 UTC
Permalink
On Sat, 07 Feb 2004 17:14:46 +0100, Peter Heckert
Post by Peter Heckert
Post by Eduard Ralph
Gegenteil ist belegbar. Wenn Morgen die Sonne tatsächlich nicht
aufgeht, ist der Beweis erbracht, dass die Sonne nicht jeden Tag
aufgeht.
Das sind einfach Grenzen des menschlichen Daseins. Die Mathematik gibt
sich mit solchen Problemen nicht ab, bzw. sie nimmt sie zur Kenntniss
und macht weiter. Auf so etwas kann nur die Philosophie eine Antwort
geben.
Würd ich so nicht sagen.
Die Mathematik könnte uns sicher sagen, an welchen Tagen Sopnnenaufgang
und Sonnenfinsternis zusammenfallen werden. Das ist doch offensichtlich
das das sein kann, und nur, weil dieser Fall nicht von Bedeutung ist,
beschäftigt sie sich nicht damit.
:-)
auch ich würde nicht sagen, dass de so ist...
Ich fürchte du hast mich an der Stelle zu wörtlich genommen. Als ich
meinte, dass die Sonne nicht aufgeht, meinte ich nicht durch irgendein
physikalisch erklärbaren Vorgang. Sie geht einfach nicht auf, punkt.
Keine Sonnenfinsternis, nichts. Zugegebener Maßen ein sehr
unwahrscheinlicher Fall basierend auf tausenden von Jahren von
Erfahrung von Menschen, aber möglich wärs.
Schau dir doch mal einer der Grundaxiome der euklidschen Geometrie an:
Eine Gerade ist eine breitenlose Länge. Wenn eine Gerade breitenlos
ist, wie kann sie Raum einnehmen? Wie kann sie denn existieren? Auch
die Mathematik fußt ihre Annahmen auf eine Philosophie, aber man darf
dabei nicht aus den Augen verlieren, was die Grundlagen tatsächlich
sind. In der Mathematik sind Allaussagen in der Form wie "Alle gerade
Zahlen sind durch 2 teilbar" (um ein trivial Beispiel zu nehmen)
möglich. Das funktioniert nur wegen der akzeptierten Abstraktion, die
offensichtlich nichts mit der Realität zu tun hat. Das das zu solchen
Ergebnissen geführt hat, ist umso erstaunlicher. Das wollte ich mit
dem Beispiel an der Sonne etwas verdeutlichen.
Diesem Beispiel einfach die Bedeutung abzuerkennen ist etwas
vorschnell IMHO.

Eduard Ralph
Michael Nüsken
2004-02-10 12:44:16 UTC
Permalink
Post by Eduard Ralph
man muss nicht einmal auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
zurückgreifen. Jede Wissenschaft fängt mit Glauben an. Man Glaubt
etwas. In der Mathematik hat man das durch eine schönen Begriff
kodifiziert, nämlich Axiom. Das ist etwas, dass so offensichtlich ist,
dass man es nicht weiter Beweisen muss.
Nicht ganz. Ein Axiom ist in der Mathematik eine Grundannahme. Das
heisst nicht, dass diese Annahme richtig ist. Man tut so, als wäre sie
das. Die Mathematik trifft dann so Aussagen wie "Wenn diese Axiome
gelten, dann folgt ...". Sollte sich irgendwann herausstellen, dass
eines dieser Axiome an einer Stelle nicht gilt, dann muss man eben neu
anfangen. Das Schwierige daran ist, dass diese "Welt" auf diese Weise
in sich geschlossen ist.

Gödel hat ja nicht nur gezeigt, dass es in jedem vernünftigen
mathematischen System unentscheidbare Aussagen gibt. Er hat auch
gezeigt, dass es prinzipiell unmöglich ist, die Widerspruchsfreiheit
innerhalb des Systems zu beweisen. (In einem widerspruchsvollen System
sind ALLE Aussagen beweisbar und damit ist das System wertlos.) Mit
anderen Worten: es ist gar nicht möglich ohne Grundannahmen auszukommen.

Gruß,
|\/| Michael
| \| ++49 5251 60-2653
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Eduard Ralph
2004-02-11 16:33:00 UTC
Permalink
Post by Michael Nüsken
Post by Eduard Ralph
man muss nicht einmal auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
zurückgreifen. Jede Wissenschaft fängt mit Glauben an. Man Glaubt
etwas. In der Mathematik hat man das durch eine schönen Begriff
kodifiziert, nämlich Axiom. Das ist etwas, dass so offensichtlich ist,
dass man es nicht weiter Beweisen muss.
Nicht ganz. Ein Axiom ist in der Mathematik eine Grundannahme. Das
heisst nicht, dass diese Annahme richtig ist. Man tut so, als wäre sie
das. Die Mathematik trifft dann so Aussagen wie "Wenn diese Axiome
gelten, dann folgt ...". Sollte sich irgendwann herausstellen, dass
eines dieser Axiome an einer Stelle nicht gilt, dann muss man eben neu
anfangen.
--> Wie können die Peano-Axiome zu Natürlichen Zahlen sich denn als
falsch erweisen? Man nimmt ja inzwischen nicht mehr an, dass eine Zahl
wie 1 eine tatsächliche Existenz hat, sondern man definiert nur noch
ein System dass nach Mathematischen Grundsätzen dann weiterentwickelt
wird. Insofern ist überhaupt nicht möglich, das sich das als Falsch
herausstellt. Man kann den oberen Satz natürlich umstellen: Etwas wird
einfach angenommen, punkt. Wenn man dann mathematische Logik anwendet,
kommt man zu folgenden Sätze, Theoreme, etc.
Als sich das berühmtberüchtigte euklidsche Axiom als unnötig
herausstellte, mußte man nicht die euklidsche Geometrie neu
entwickeln. Man ließ einfach ein Axiom weg und schaute wo das
hinführte. Selbiges gilt für jedes Axiomatische System. Man kann
jederzeit einfach eins fallen lassen, die Frage ist dann, was für ein
System dabei herauskommt.....
Post by Michael Nüsken
Das Schwierige daran ist, dass diese "Welt" auf diese Weise
in sich geschlossen ist.
Gödel hat ja nicht nur gezeigt, dass es in jedem vernünftigen
mathematischen System unentscheidbare Aussagen gibt. Er hat auch
gezeigt, dass es prinzipiell unmöglich ist, die Widerspruchsfreiheit
innerhalb des Systems zu beweisen. (In einem widerspruchsvollen System
sind ALLE Aussagen beweisbar und damit ist das System wertlos.) Mit
anderen Worten: es ist gar nicht möglich ohne Grundannahmen auszukommen.
--> Wie in jeder Wissenschaft, Religion oder andere Geistestätigkeit.
Ohne Grundannahmen - man kann sie auch als Glauben bezeichnen - geht
es nicht. Glauben hat als Wort mehr einen religiösen Character, aber
es machts auch nicht besser, wenn ich es als Grundannahme bezeichne.
Was Mathematik natürlich als Vorteil hat, ist dass sie relativ wenige
Grundannahmen macht (in Vergleich zu anderen und viele dessen sich
einge Menschen nicht bewußt sind) und sich nicht mit etwas
beschäftigt, wovon Geld, Macht, etc. abhängt.

Eduard Ralph
helmut zeisel
2004-02-11 19:09:06 UTC
Permalink
Post by Eduard Ralph
--> Wie können die Peano-Axiome zu Natürlichen Zahlen sich denn als
falsch erweisen? Man nimmt ja inzwischen nicht mehr an, dass eine Zahl
wie 1 eine tatsächliche Existenz hat, sondern man definiert nur noch
ein System dass nach Mathematischen Grundsätzen dann weiterentwickelt
wird. Insofern ist überhaupt nicht möglich, das sich das als Falsch
herausstellt. Man kann den oberen Satz natürlich umstellen: Etwas wird
einfach angenommen, punkt.
In der reinen Mathematik, ja. Da kannst Du postulieren was Du willst.
Schlimmstenfalls sind Deine Axiome widersprüchlich.

Anders in der angewandten Mathematik. Wenn Du da nicht überprüfst, ob
Deine Axiome tatsächlich (empirisch oder wie immer) in der betreffenden
Anwendung erfüllt sind, kann aller möglicher Unsinn herauskommen.

Einfaches Beispiel: Gleitkomma-Arithmetik am Computer ist etwas
unterschiedlich von der mathematischen Arithmetik. Das hat schon manche,
die mathematische Sätze naiv andwenden, Überraschungen erleben lassen.

Helmut
Michael Nüsken
2004-02-12 00:42:38 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Anders in der angewandten Mathematik. Wenn Du da nicht überprüfst, ob
Deine Axiome tatsächlich (empirisch oder wie immer) in der betreffenden
Anwendung erfüllt sind, kann aller möglicher Unsinn herauskommen.
Genau. Man muss einfach prüfen, ob die Beobachtung mit dem Modell (den
Axiomen und deren Ableitungen) übereinstimmt.
Post by helmut zeisel
Einfaches Beispiel: Gleitkomma-Arithmetik am Computer ist etwas
unterschiedlich von der mathematischen Arithmetik. Das hat schon manche,
die mathematische Sätze naiv andwenden, Überraschungen erleben lassen.
Schönes Beispiel.

Gruß,
|\/| Michael Nüsken
| \| ++49 5251 60-2653 (privat: ++49 5252 940200)
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
Eduard Ralph
2004-02-12 14:11:37 UTC
Permalink
Post by Michael Nüsken
Post by helmut zeisel
Anders in der angewandten Mathematik. Wenn Du da nicht überprüfst, ob
Deine Axiome tatsächlich (empirisch oder wie immer) in der betreffenden
Anwendung erfüllt sind, kann aller möglicher Unsinn herauskommen.
Genau. Man muss einfach prüfen, ob die Beobachtung mit dem Modell (den
Axiomen und deren Ableitungen) übereinstimmt.
Gut, aber das gilt ja nur dort wo man sich mit der Realität
beschäftigt..... Ein axiomatisches System ist IMHO sehr waaghalsig,
wenn man diese auf Physik o.ä. anwendet. Man kann sich darüber
streiten, ob die Physik die mathematischen Formeln oder die Mathematik
die Physik bedingt. Wenn wir eine ganz andere Mathematik hätten, die
mit anderen Axiomatischen Regeln arbeiten würde, änderte das nichts an
der physikalischen Realität. Die Formeln sähen anders aus, das
Resultat bleibt das gleiche. Gegenstand der Diskussion ist hier nicht
die Anwendung der Mathematik auf irgendein Gebiet, sondern ob der
mathematische Beweis denn hinreichend ist, um eine als mathematische
Tatsache ausgedrückte Formel zu beweisen. Die Frage ist also, selbst
wenn die Art und Weise wie Schlussfolgerungen gebildet werden zulässig
sind, wir nicht doch einen Fehler gemacht haben.
Post by Michael Nüsken
Post by helmut zeisel
Einfaches Beispiel: Gleitkomma-Arithmetik am Computer ist etwas
unterschiedlich von der mathematischen Arithmetik. Das hat schon manche,
die mathematische Sätze naiv andwenden, Überraschungen erleben lassen.
Schönes Beispiel.
Und unterstreicht meinen Punkt: Die mathematischen Sätze sind deswegen
doch lang nicht falsch, nur weil der Computer nicht in der Lage ist
mit unendlichem umzugehen. Die Frage ist nicht, ob die Realität damit
übereinstimmt, sondern ob die Schlüsse an sich überhaupt zulässig
sind. Die Realität ist eine andere Frage. :-)

Eduard Ralph
helmut zeisel
2004-02-12 17:18:25 UTC
Permalink
Post by Eduard Ralph
Post by Michael Nüsken
Post by helmut zeisel
Anders in der angewandten Mathematik. Wenn Du da nicht überprüfst, ob
Deine Axiome tatsächlich (empirisch oder wie immer) in der betreffenden
Anwendung erfüllt sind, kann aller möglicher Unsinn herauskommen.
Genau. Man muss einfach prüfen, ob die Beobachtung mit dem Modell (den
Axiomen und deren Ableitungen) übereinstimmt.
Gut, aber das gilt ja nur dort wo man sich mit der Realität
beschäftigt.....
Lass bitte die "Realitaet" aus dem Spiel. Oben steht nur "Modell" und
"Anwendung."
Post by Eduard Ralph
Wenn wir eine ganz andere Mathematik hätten, die
mit anderen Axiomatischen Regeln arbeiten würde, änderte das nichts an
der physikalischen Realität. Die Formeln sähen anders aus, das
Resultat bleibt das gleiche.
Selbst wenn es eine "Realitaet", so ist die Physik lediglich ein mehr
oder weniger gutes Modell dieser "Realitaet". Eine andere Mathematik
kann durchaus andere Resultate ueber die "Realitaet" liefern - dann hast
Du wenigstens eine Experiment, um zu ueberpruefen, welche Mathematik die
"Realitaet" besser beschreibt.
Post by Eduard Ralph
Und unterstreicht meinen Punkt: Die mathematischen Sätze sind deswegen
doch lang nicht falsch, nur weil der Computer nicht in der Lage ist
mit unendlichem umzugehen.
Das ist eben der Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik,
auf den ich hinaus will. Du/der reine Mathematiker sag(s)t, wenn der
Computer/die Anwendung mit der Mathematik nicht uebereinstimmt, dann ist
die Anwendung falsch und die Mathematik richtig; der angewandte
Mathematiker geht von der Anwendung aus und muss u.U. feststellen, dass
die gewaehlte Mathematik "falsch" ist, weil sie Anwendung nicht richtig
beschreibt.
Eduard Ralph
2004-02-12 21:11:54 UTC
Permalink
Post by helmut zeisel
Post by Eduard Ralph
Post by Michael Nüsken
Post by helmut zeisel
Anders in der angewandten Mathematik. Wenn Du da nicht überprüfst, ob
Deine Axiome tatsächlich (empirisch oder wie immer) in der betreffenden
Anwendung erfüllt sind, kann aller möglicher Unsinn herauskommen.
Genau. Man muss einfach prüfen, ob die Beobachtung mit dem Modell (den
Axiomen und deren Ableitungen) übereinstimmt.
Gut, aber das gilt ja nur dort wo man sich mit der Realität
beschäftigt.....
Lass bitte die "Realitaet" aus dem Spiel. Oben steht nur "Modell" und
"Anwendung."
--> na gut, wenn du möchtest :-) Dann ist die Fragestellung ob das
Model über das Erlebte mit der mathematischen Formel übereinstimmt....
:-)
Post by helmut zeisel
Post by Eduard Ralph
Wenn wir eine ganz andere Mathematik hätten, die
mit anderen Axiomatischen Regeln arbeiten würde, änderte das nichts an
der physikalischen Realität. Die Formeln sähen anders aus, das
Resultat bleibt das gleiche.
Selbst wenn es eine "Realitaet", so ist die Physik lediglich ein mehr
oder weniger gutes Modell dieser "Realitaet". Eine andere Mathematik
kann durchaus andere Resultate ueber die "Realitaet" liefern - dann hast
Du wenigstens eine Experiment, um zu ueberpruefen, welche Mathematik die
"Realitaet" besser beschreibt.
Post by Eduard Ralph
Und unterstreicht meinen Punkt: Die mathematischen Sätze sind deswegen
doch lang nicht falsch, nur weil der Computer nicht in der Lage ist
mit unendlichem umzugehen.
Das ist eben der Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik,
auf den ich hinaus will. Du/der reine Mathematiker sag(s)t, wenn der
Computer/die Anwendung mit der Mathematik nicht uebereinstimmt, dann ist
die Anwendung falsch und die Mathematik richtig; der angewandte
Mathematiker geht von der Anwendung aus und muss u.U. feststellen, dass
die gewaehlte Mathematik "falsch" ist, weil sie Anwendung nicht richtig
beschreibt.
Dann sind wir uns einig, wobei ich nochmals anmerken möchte, dass die
Fragestellung lautete wie man denn feststellen könne, ob ein
mathematischer Beweis richtig oder falsch ist. Da hat die Brot und
Butter Mathematik nichts zu suchen. (Die sorte von Mathe von der man
tatsächlich leben kann)

Eduard Ralph
Hermann Kremer
2004-02-14 23:57:55 UTC
Permalink
[ ... ]
Post by helmut zeisel
Post by Eduard Ralph
Wenn wir eine ganz andere Mathematik hätten, die
mit anderen Axiomatischen Regeln arbeiten würde, änderte das nichts an
der physikalischen Realität. Die Formeln sähen anders aus, das
Resultat bleibt das gleiche.
Selbst wenn es eine "Realitaet", so ist die Physik lediglich ein mehr
oder weniger gutes Modell dieser "Realitaet". Eine andere Mathematik
kann durchaus andere Resultate ueber die "Realitaet" liefern - dann hast
Du wenigstens eine Experiment, um zu ueberpruefen, welche Mathematik die
"Realitaet" besser beschreibt.
Post by Eduard Ralph
Und unterstreicht meinen Punkt: Die mathematischen Sätze sind deswegen
doch lang nicht falsch, nur weil der Computer nicht in der Lage ist
mit unendlichem umzugehen.
Das ist eben der Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik,
auf den ich hinaus will. Du/der reine Mathematiker sag(s)t, wenn der
Computer/die Anwendung mit der Mathematik nicht uebereinstimmt, dann ist
die Anwendung falsch und die Mathematik richtig; der angewandte
Mathematiker geht von der Anwendung aus und muss u.U. feststellen, dass
die gewaehlte Mathematik "falsch" ist, weil sie Anwendung nicht richtig
beschreibt.
Sowas gab es aber auch schon in der Prä-Computer-Zeit. Ich möchte nur an
das 1896 von Henri Poincaré [1, S. 94-108] unter der Bezeichnung
"Bertrand'sches Paradoxon" beschriebene und diskutierte Problem erinnern;
diese Bezeichnung wurde von Poincaré zu Ehren von Joseph Bertrand [2]
geprägt, der es erstmals 1889 vorgestellt hatte.
Die Wurzeln des Problems reichen aber viel weiter zurück, nämlich bis zu
George-Louis Lecelerc de Buffon 1733 [3, S. 43 - 45 ] bzw. 1777 [4, S. 100-104].
Pierre Simon Laplace [5, p. 365-369] hatte wohl auch den Braten gerochen,
aber einen vorsichtigen Bogen darum gemacht.

Das Bertrand'sche Problem klingt ganz harmlos:

In einen Kreis zeichne man willkürlich eine beliebige Sehne. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Sehne länger oder gleich der Seite
eines dem Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist, d.h.
Sehne >= Radius*sqrt(3) .

Buffon hatte diesen Typ von Aufgaben im Zusammenhang mit der Analyse des
"Spiels der eingesperrten Münze" und des "Spiels der geworfenen Nadel"
"... On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou
une épingle sans tête ..."
kurz erwähnt, sich dann aber auf seine Münzen und Nadeln konzentriert, und
Laplace hatte sich ebenfalls auf das Bewegen von Strecken fest gegebener
Länge konzentriert.

Joseph Bertrand nun analysierte das obige Problem, und um eine beliebig
gezogene Sehne zu beschreiben, untersuchte er drei Darstellungen:

1) Zwei Punkte werden auf der Kreisperipherie willkürlich gewählt.
Dafür erhielt er die Wahrscheinlichkeit p = 1/3 .

2) Es wird ein beliebiger Kreisdurchmesser gezeichnet, darauf ein beliebiger
Punkt gewählt und die Sehne durch diesen Punkt gezeichnet.
Dafür erhielt er die Wahrscheinlichkeit p = 1/2 .

3) Im Innern des Kreises wird ein beliebiger Punkt gewählt und diejenige
Sehne gezeichnet, die von dem gewählten Punkt halbiert wird.
Dafür erhielt er die Wahrscheinlichkeit p = 1/4 .

Die Rechnungen dazu findet man z.B. in
http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml

Da er für alle drei Darstellungen eine eindeutige und widerspruchsfreie Definition
der Wahrscheinlichkeit als Verhältnis der günstigen zu den möglichen Fällen
angeben konnte, erklärte er kurzerhand das Problem als nicht korrekt gestellt
und wandte sich angenehmeren Rechnungen zu ... siehe auch die untenstehende
Rezension [2].

Demgegenüber vertrat Henri Poincaré die Meinung, daß das Problem zwar
korrekt, aber unvollständig gestellt sei, und um es eindeutig zu machen, müsse
man noch die gewünschte Wahrscheinlichkeitsdefinition mit angeben.

Dem hat sich im wesentlichen auch 1914 Emmanuel Czuber [6, S.116-119]
angeschlossen, und außerdem noch einige weitere Darstellungen einer
beliebig gezogenen Sehne angegeben, wobei er die zusätzlichen Ergebnisse
p = 1/3 + 1*sqrt(3)/(4*pi)
p = 1/3 + 2*sqrt(3)/(4*pi)
p = 1/3 + 3*sqrt(3)/(4*pi)
erhielt, und dann dieses Kapitel seines Buchs mit "usw." beendet ...

So, und jetzt die spannende Frage: Das Problem ließe sich ja auch
durch ein physikalisches Experiment ähnlich dem Buffon'schen
Nadelwerfen untersuchen, und welcher Wert würde dann herauskommen?

Ich tippe auf p = 1/2 ....

Ich konnte leider bisher nicht feststellen, ob jemand schon ein solches
Experiment wirklich kunstgerecht durchgeführt und veröffentlich hat. Der in
http://www.cut-the-knot.org/bertrand2.shtml
erwähnte Versuch von Edwin T. Jaynes und Charles E. Tyler, der in der
Originalveröffentlichung
http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf --> S. 8
auch nur sehr vage beschrieben wird, überzeugt mich nicht so recht ...

Literatur:
=========

[1] -----------------------------
JFM 27.0190.11
Poincaré, H.
Calcul des probabilités. Leçons professées au cours de physique mathématique
pendant le 2^e semestre 1893-94, rédigées par A. Quiquet. (French) [B]
Paris: Gauthier-Villars. Carré 280 S. 8°. Published: (1896)
http://resolver.library.cornell.edu/math/2143842

[2] -----------------------------
JFM 21.0198.01
Bertrand, J.
Calcul des probabilités. (French) [B]
Paris. Gauthier-Villars et Fils. LVII + 332 S. gr. 8°. Published: (1889)
http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N099602

Herr Bertrand hat die Vorlesungen, welche er am Collège de France über die
Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Methode der kleinsten Quadrate gehalten hat,
zu einem Buche vereinigt, das zu den bezüglichen Werken von Laplace und Poisson
oft absichtlich in Gegensatz gebracht ist. Mit der bemerkenswerten Eleganz
verfasst, die der Schreibweise des Verfassers eigentümlich ist, enthält sich die
umfangreiche Einleitung des Gebrauches mathematischer Formeln, und um den Zugang
zum Gegenstande zu erleichtern, sucht Herr B. auch bei seinen späteren
Entwickelungen mit möglichst wenigen Hülfsmiteln der Analysis auszukommen.
Hauptsächlich ist er aber bemüht, eine scharfe Kritik der Principien zu üben, um
gleich an der Schwelle alle die Aufgaben zurückzuweisen, welche nach ihm in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Unrecht behandelt sind. Nur solche Probleme
seien exact zu lösen, bei denen es sich um Ereignisse handelt, für welche die
dem Eintritte derselben günstigen oder ungünstigen Fälle identisch vertauscht
werden können mit denjenigen beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne. In allen
anderen Fällen ist dagegen die Wahrscheinlichkeit überhaupt erst zu definiren,
besonders auch wenn die Anzahl der Fälle unendlich gross wird, und es wird an
einzelnen sehr einfachen Beispielen gezeigt, dass hierin der Grund liegt, wenn
bei den neuerdings so beliebten geometrischen Wahrscheinlichkeiten verschiedene
sich widersprechende Ergebnisse erzielt werden. Wenn sonst Lösungen Unklarheiten
zu bieten scheinen, wie die des berühmten Petersburger Problems, so wird die
Quelle in der Fragestellung und in der Auffassung der Lösung nachgewiesen. Die
von Condorcet, Laplace und Poisson behandelten Aufgaben über Wahrscheinlichkeit
der richtigen Urteile in der Rechtspflege werden als ungehörig ausgeschieden,
diejenigen der Statistik als nicht mit der oben erläuterten strengen Auffassung
übereinstimmend erkannt; ihre Lösung wird nur als subjectiv, nicht als objectiv
befriedigend bezeichnet. Der Bernoulli'sche Satz wird nach verschiedenen
Methoden bewiesen und als das Hauptgesetz der reinen Wahrscheinlichkeitsrechnung
von verschiedenen Seiten beleuchtet. Die Ableitung der Formel für das Gesetz der
Beobachtungsfehler erfolgt nach den verschiedenen üblichen Methoden, und die
Prüfung der Grundlagen der hierbei gebrauchten Axiome und Schlüsse lässt die
Unzulänglichkeit derselben hervortreten. In der Uebereinstimmung dieser Formel
mit der Erfahrung, die sich in der Ausgleichungsrechnung zeigt, findet indessen
der Verfasser eine Bestätigung ihrer Wahrheit. Es ist natürlich, dass dieser
wichtigen Frage ein grosser Raum gewährt ist, und die Art der Kritik ist ebenso
eingehend wie massvoll. Alle Sätze werden durch hübsch gewählte Beispiele
erläutert, unter denen die meisten vollständig besprochen werden, während bei
den leichteren der ersten Hälfte auch nur die Resultate hingesetzt sind. Zur
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist daher das Werk sehr gut
geeignet. Durch seine geistreiche Kritik wird es manche abhalten, in den
Fusstapfen Condorcet's zu wandeln, um ``die moralischen und politischen
Wissenschaften mit der Fackel der Algebra zu beleuchten''.
[ Lampe, Prof. (Berlin) ]

[3] -----------------------------
Editor's note concerning a lecture given 1733 by Mr. Le Clerc de Buffon
to the Royal Academy of Sciences in Paris ...
Histoire de l'Academie Royale des Sciences etc. pour l'Année MDCCXXXIII.
Printed 1735.
http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N003530

[4] -----------------------------
Buffon, G.-L. Leclerc de: Histoire naturelle générale et particulière,
Supplément Vol. 4, Article: Essai d'arithmétique morale.
Paris: L'Imprimerie Royale 1777.
http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N097517

[5] -----------------------------
Laplace, P. S.: Théorie analytique des probabilités.
Paris: Vve Courcier, 1st edition 1812.
3rd edition 1820:
http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N077595

[6] -----------------------------
JFM 45.0343.01
Czuber, E.
Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1 Bd. 3. Aufl. (German) [B]
Leipzig: B. G. Teubner. XII + 462 S. 8°. Published: 1914
http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N099606

Das vorliegende Werk, das als Band IX_1 in Teubners Sammlung von
mathematischen Lehrbüchern aufgenommen ist, bietet gegenüber den früheren
Auflagen verschiedene Erweiterungen und Vertiefungen.
Unter ihnen ist erstens der Paragraph über die Theorie der Mittelwerte zu erwähnen,
der noch weiter ausgebaut zu werden verdient; auch wurden weitere Spielprobleme
aufgenommen, die Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten um einige
Beispiele vermehrt und die Theorie der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeiten nach
Bachelier in einem eigenen Abschnitt dem 1. Teil des Buches ``der
Wahrscheinlichkeitstheorie'' hinzugefügt. Den Kern dieses Abschnittes bildet die
Differentialgleichung
d^2 omega / d xi^2 - (4/a^2) d omega / d tau = 0
für die Elementarwahrscheinlichkeit omega . Die Ausführungen über das
Bernoulli'sche und Poisson'sche sowie über das Bayes'sche Theorem
wurden einer sorgfältigen Durchsicht unterzogen und in einzelnen Punkten noch
weiter vertieft, dass bei dem Beispiel der ``nichtzurückgelegten Kugel'' nicht
``übernormale'', sondern ``unternormale'' Dispersion vorliegt, hat bereits
Bohlmann in seiner Besprechung dieses Buches im Archiv und v. Bortkiewicz
in seinen Iterationen hervorgehoben.
Der 2. Teil, ``Ausgleichungsrechnung'', ist nicht wesentlich verändert.
Im 3. Teil ``Kollektivmasslehre'' ist auf die analytische Darstellung der
willkürlichen
Funktionen (siehe v. Mises) etwas näher eingegangen.
Auf die bewährten Vorzüge des Czuber'schen Werkes näher einzugehen, erübrigt
sich bei der allgemeinen Wertschätzung, die dasselbe in den weitesten Kreisen
geniesst.
[ Böhm, Dr. (München) ]
-----------------------------

Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
2004-02-15 12:30:41 UTC
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Post by Hermann Kremer
Die Wurzeln des Problems reichen aber viel weiter zurück, nämlich bis zu
George-Louis Lecelerc de Buffon 1733 [3, S. 43 - 45 ] bzw. 1777 [4, S. 100-104].
Pierre Simon Laplace [5, p. 365-369] hatte wohl auch den Braten gerochen,
aber einen vorsichtigen Bogen darum gemacht.
In einen Kreis zeichne man willkürlich eine beliebige Sehne. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Sehne länger oder gleich der Seite
eines dem Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist, d.h.
Sehne >= Radius*sqrt(3) .
So, und jetzt die spannende Frage: Das Problem ließe sich ja auch
durch ein physikalisches Experiment ähnlich dem Buffon'schen
Nadelwerfen untersuchen, und welcher Wert würde dann herauskommen?
Ich tippe auf p = 1/2 ....
Ich konnte leider bisher nicht feststellen, ob jemand schon ein solches
Experiment wirklich kunstgerecht durchgeführt und veröffentlich hat. Der in
http://www.cut-the-knot.org/bertrand2.shtml
erwähnte Versuch von Edwin T. Jaynes und Charles E. Tyler, der in der
Originalveröffentlichung
http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf --> S. 8
auch nur sehr vage beschrieben wird, überzeugt mich nicht so recht ...
Hallo Hermann,

besten Dank für die umfangreichen und mit eigenen Gedanken versehenen
Zitate zu diesem spektakulär schönen Problem aus dem Kreis der
geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Ich habe mir das mal in ein 6-Seiten
Word-Dokument gepackt, um es bei Gelegenheit genauer zu studieren. Ich
weiss noch, dass ich riesig stolz war, eine Lösung zurechtzufummeln. Und
dass ich dann mit meinem Arbeitskollegen Streit bekam, der wusste, dass
man das Problem auch ganz fies als "falsch gestellt" beurteilen und
Lösungen ignorieren konnte :-)

Bevor ich selbst den Versuch starte, werde ich erstmal schauen, was Dir
an den genannten Versuchen nicht passt. Übrigens: Auf der "Phänomena"
in Zürich vor etwa 15 Jahren war ein solches oder ähnliches Experiment
für die Besucher der Ausstellung präpariert worden. Man musste eine
Kugel in einen Behälter werfen und konnte damit die Dezimalentwicklung
von Pi in seinem Sinne *g* beeinflussen.

Zusatzbemerkung: Das Technorama in Frauenfeld/Schweiz, bietet die
Ausstellung "Mathemagie" an:
http://www.technorama.ch/ausstellung/mathemagie.html

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Hermann Kremer
2004-02-16 22:15:31 UTC
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Rainer Rosenthal schrieb in Nachricht ...
Post by Rainer Rosenthal
Post by Hermann Kremer
Die Wurzeln des Problems reichen aber viel weiter zurück, nämlich bis zu
George-Louis Leclerc de Buffon 1733 [3, S. 43 - 45 ] bzw. 1777 [4, S.
100-104].
Pierre Simon Laplace [5, p. 365-369] hatte wohl auch den Braten gerochen,
aber einen vorsichtigen Bogen darum gemacht.
In einen Kreis zeichne man willkürlich eine beliebige Sehne. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Sehne länger oder gleich der Seite
eines dem Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist, d.h.
Sehne >= Radius*sqrt(3) .
... so, und weil ich simply not resist can, hier der Originaltext von Joseph
Bertrand [2, S. 4-5]:

"5. On trace /au hasard/ une corde dans un cercle. Quelle est la
probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle
équilatéral inscrit?

On peut dire: ....... pour être plus grande ... égale à 1/3.
On peut dire aussi: .... soit ainsi semble ... égale à 1/2.
On peut dire encore: .... soit plus grande ... égale à 1/4.

Entre ces trois réponses, quelle est la véritable? Aucune des trois
n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée. "

Hübsch, n'est-ce pas?
(BTW: Das "On peut dire ..." erinnert mich lebhaft an die Floskel
"Algorismus dixit: ..." in den frühesten lateinischen Übersetzungen
von http://www.kk.s.bw.schule.de/mathge/alhwariz.htm , aber ist
ist ein anderes Thema ;-)
Post by Rainer Rosenthal
Post by Hermann Kremer
So, und jetzt die spannende Frage: Das Problem ließe sich ja auch
durch ein physikalisches Experiment ähnlich dem Buffon'schen
Nadelwerfen untersuchen, und welcher Wert würde dann herauskommen?
Ich tippe auf p = 1/2 ....
Ich konnte leider bisher nicht feststellen, ob jemand schon ein solches
Experiment wirklich kunstgerecht durchgeführt und veröffentlich hat. Der in
http://www.cut-the-knot.org/bertrand2.shtml
erwähnte Versuch von Edwin T. Jaynes und Charles E. Tyler, der in der
Originalveröffentlichung (1972)
http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf --> S. 8
auch nur sehr vage beschrieben wird, überzeugt mich nicht so recht ...
besten Dank für die umfangreichen und mit eigenen Gedanken versehenen
Zitate zu diesem spektakulär schönen Problem aus dem Kreis der
geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Ich habe mir das mal in ein 6-Seiten
Word-Dokument gepackt, um es bei Gelegenheit genauer zu studieren. Ich
weiss noch, dass ich riesig stolz war, eine Lösung zurechtzufummeln. Und
dass ich dann mit meinem Arbeitskollegen Streit bekam, der wusste, dass
man das Problem auch ganz fies als "falsch gestellt" beurteilen und
Lösungen ignorieren konnte :-)
Bevor ich selbst den Versuch starte, werde ich erstmal schauen, was Dir
an den genannten Versuchen nicht passt.
In erster Linie, daß sie aus gerade mal 128 erfolgreichen Würfen von
Strohhalmen eines Strohbesens auf einen Kreis mit 12.5 cm
Durchmesser, also aus ca. 250 Würfen insgesamt, ihre Gleichung (13)
für p = 1/2 für "confirmed" hielten ...

Das erinnert mich an ähnliche "Versuche" für das Buffon'sche
Nadelproblem ...

Ich habe die Sache spaßeshalber mal simuliert, und zwar mit einem
von George Marsaglia (nicht von Micro$chrott) stammenden
Zufallszahlengenerator, und kam bei sämtlichen Definitionen der
zufälligen Sehne erst ab ca. 10000 Würfen zu einem einigermaßen
anständigen Wert für p ... Nun gibt es zwar sicherlich eine ganze
Menge Unterschieden zwischen Pseudo-ZZGn und Strohbesen-
Strohhalmen, aber totzdem ... :-)
Post by Rainer Rosenthal
Übrigens: Auf der "Phänomena"
in Zürich vor etwa 15 Jahren war ein solches oder ähnliches Experiment
für die Besucher der Ausstellung präpariert worden. Man musste eine
Kugel in einen Behälter werfen und konnte damit die Dezimalentwicklung
von Pi in seinem Sinne *g* beeinflussen.
Wahrscheinlich die Buffon'schen "... épingles sans tête ..."

Grüße
Hermann
--
Post by Rainer Rosenthal
Zusatzbemerkung: Das Technorama in Frauenfeld/Schweiz, bietet die
http://www.technorama.ch/ausstellung/mathemagie.html
Gruss,
Rainer Rosenthal
Michael Nüsken
2004-02-12 00:40:50 UTC
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Hallo Eduard!
Post by Eduard Ralph
Post by Michael Nüsken
Post by Eduard Ralph
man muss nicht einmal auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
zurückgreifen. Jede Wissenschaft fängt mit Glauben an. Man Glaubt
etwas. In der Mathematik hat man das durch eine schönen Begriff
kodifiziert, nämlich Axiom. Das ist etwas, dass so offensichtlich ist,
dass man es nicht weiter Beweisen muss.
Nicht ganz. Ein Axiom ist in der Mathematik eine Grundannahme. Das
heisst nicht, dass diese Annahme richtig ist. Man tut so, als wäre sie
das. Die Mathematik trifft dann so Aussagen wie "Wenn diese Axiome
gelten, dann folgt ...". Sollte sich irgendwann herausstellen, dass
eines dieser Axiome an einer Stelle nicht gilt, dann muss man eben neu
anfangen.
--> Wie können die Peano-Axiome zu Natürlichen Zahlen sich denn als
falsch erweisen?
Nicht als falsch, aber als widerspruchsvoll. Es könnte sein, dass es
jemandem gelingt, aus den Peano-Axiomen einen Widerspruch zu
konstruieren. Dann wären alle Aussagen aus den Peano-Axiomen ableitbar
und die Theorie damit wertlos. Wir glauben heute, dass die Peano-Axiome
widerspruchsfrei sind; aber auch nur deswegen, weil in den vergangenen
zweieinhalbtausend Jahren keine solche Widersprüche gefunden wurden.
Post by Eduard Ralph
Man nimmt ja inzwischen nicht mehr an, dass eine Zahl
wie 1 eine tatsächliche Existenz hat, sondern man definiert nur noch
ein System dass nach Mathematischen Grundsätzen dann weiterentwickelt
wird. Insofern ist überhaupt nicht möglich, das sich das als Falsch
herausstellt.
Ja, das ist eine Art, wie man das sehen kann.
Post by Eduard Ralph
Man kann den oberen Satz natürlich umstellen: Etwas wird
einfach angenommen, punkt. Wenn man dann mathematische Logik anwendet,
kommt man zu folgenden Sätze, Theoreme, etc.
Als sich das berühmtberüchtigte euklidsche Axiom als unnötig
herausstellte, mußte man nicht die euklidsche Geometrie neu
entwickeln. Man ließ einfach ein Axiom weg und schaute wo das
hinführte. Selbiges gilt für jedes Axiomatische System. Man kann
jederzeit einfach eins fallen lassen, die Frage ist dann, was für ein
System dabei herauskommt.....
Genau.
Post by Eduard Ralph
Post by Michael Nüsken
Das Schwierige daran ist, dass diese "Welt" auf diese Weise
in sich geschlossen ist.
Gödel hat ja nicht nur gezeigt, dass es in jedem vernünftigen
mathematischen System unentscheidbare Aussagen gibt. Er hat auch
gezeigt, dass es prinzipiell unmöglich ist, die Widerspruchsfreiheit
innerhalb des Systems zu beweisen. (In einem widerspruchsvollen System
sind ALLE Aussagen beweisbar und damit ist das System wertlos.) Mit
anderen Worten: es ist gar nicht möglich ohne Grundannahmen auszukommen.
--> Wie in jeder Wissenschaft, Religion oder andere Geistestätigkeit.
Ohne Grundannahmen - man kann sie auch als Glauben bezeichnen - geht
es nicht. Glauben hat als Wort mehr einen religiösen Character, aber
es machts auch nicht besser, wenn ich es als Grundannahme bezeichne.
Was Mathematik natürlich als Vorteil hat, ist dass sie relativ wenige
Grundannahmen macht (in Vergleich zu anderen und viele dessen sich
einge Menschen nicht bewußt sind) und sich nicht mit etwas
beschäftigt, wovon Geld, Macht, etc. abhängt.
Und im Unterschied zur Religion hat die Mathematik einen Grund, warum
sie so handelt. Nach Gödel geht es nämlich nicht anders. Hilbert hatte
noch gehofft, dass es anders wäre (Hilbertsches Programm).

Gruß,
|\/| Michael Nüsken
| \| ++49 5251 60-2653 (privat: ++49 5252 940200)
WWW: http://www-math.uni-paderborn.de/~nuesken/ .
stefan sprungk
2004-02-11 12:40:23 UTC
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Post by Arnd Schröter
Hallo!
Ich weiss nicht ob das hier die richtige NG für meine Frage ist. Es geht
mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises.
Ohne auf Details eizugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer
folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber
nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen
logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht
vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal
wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu
bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre
Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evoltion, Biologie oder
Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?
MfG Arnd Schröter
PS: Dass Mathematik ein höheres Abstraktionsniveau und auch eine exaktere
Beweisführung als andere Naturwissenschaften hat, bestreit ich nicht,
sondern ich zweifele die universelle Allgemeingültigkeit an.
Schau Dir das mal an.

http://coforum.de/index.php4?Kurt_G%F6del

oder das ...

http://www.miskatonic.org/godel.html

Ich hoffe es verwirrt Dich nicht allzu sehr :-)
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