Discussion:
Mückenheims Hausaufgaben (2)
(zu alt für eine Antwort)
jvr
2020-08-04 12:42:14 UTC
Permalink
Ziel dieser Übung ist es, Professor Doktor Mückenheim zu befähigen, die
Aufgabe zu lösen, die ihm seid Monaten den Schlaf raubt. Zu diesem Zweck
muss er ein wenig Arithmetik lernen, indem er eine Reihe von Aufgaben löst.
Quellen zum Thema: Chandrasekharan, Landau, Leveque; Hardy & Wright hat
ein ganzes Kapitel zum Thema.

Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.

Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.

Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.

Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.

Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.

Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.

Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').

(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1

Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.
Mostowski Collapse
2020-08-04 13:17:38 UTC
Permalink
Vielleicht auch noch einen Kurs zu Ordinalzahlen
einschieben. Oder am besten sogar Mengenlehre.
Da scheints bei WM auch ziemlich schütter auszusehen...
Post by jvr
Ziel dieser Übung ist es, Professor Doktor Mückenheim zu befähigen, die
Aufgabe zu lösen, die ihm seid Monaten den Schlaf raubt. Zu diesem Zweck
muss er ein wenig Arithmetik lernen, indem er eine Reihe von Aufgaben löst.
Quellen zum Thema: Chandrasekharan, Landau, Leveque; Hardy & Wright hat
ein ganzes Kapitel zum Thema.
Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.
Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.
Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').
(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1
Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.
Mostowski Collapse
2020-08-08 17:22:07 UTC
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Schade verfolgt Mückenheim nicht die neueste Forschung.
Vielleicht könnte er uns etwas erzählen über:

"The intuition behind this definition of U is that
for X ∈ U the set |X| is the set of potential objects
of X and PX is the subset of actual objects of X.
Elements of |X|\PX will serve the purpose of simulating
the syntactic notion of free variables on the
level of semantics."

How Intensional is Homotopy Type Theory?
by Thomas Streicher , Fachbereich Mathematik Tu Darmstadt
https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.643.6596

Unter gewissen Umständen würde ich aber eher |X| selber
als potential bezeichnen.
Post by Mostowski Collapse
Vielleicht auch noch einen Kurs zu Ordinalzahlen
einschieben. Oder am besten sogar Mengenlehre.
Da scheints bei WM auch ziemlich schütter auszusehen...
Post by jvr
Ziel dieser Übung ist es, Professor Doktor Mückenheim zu befähigen, die
Aufgabe zu lösen, die ihm seid Monaten den Schlaf raubt. Zu diesem Zweck
muss er ein wenig Arithmetik lernen, indem er eine Reihe von Aufgaben löst.
Quellen zum Thema: Chandrasekharan, Landau, Leveque; Hardy & Wright hat
ein ganzes Kapitel zum Thema.
Definition.
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1 und h <= k <= n.
Aufgabe 1.
Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Lösung 1.
Es sei k > 1 und h/k, h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.
Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
Aufgabe 2.
Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Lösung 2.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Aufgabe 3.
Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1.
Aufgabe 4.
Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').
(3) => (4)
Unter der Annahme (3) gilt
h"k - k"h = 1 und h'k" - k'h" = 1
Löst man diese Gleichungen für h", k", so ergibt sich eindeutig
h" = h + h' and k" = k + k'.
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