Discussion:
Grenzwerte in Analysis und Mengenlehre
(zu alt für eine Antwort)
Ganzhinterseher
2020-04-22 16:44:01 UTC
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Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.

Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist im ersten Falle 1, 2, 3, ..., 0 und in zweiten Falle 0, 1, 2, 3, ... . Er wird in keinem Falle durch den Wechsel erzeugt. Daher muss Hilberts Wechselspiel erfolglos bleiben.

Was ist hier schwer zu verstehen? Nun ja, im Falle der Folge (1/n) erscheint es bei ungenauem Hinsehen so, als würde der Grenzwert erzeugt, weil die Differenz unendlich klein wird. Die prominente Täuschung ist die scheinbare Identität 0,999... = 1. Im Falle von Hilberts Wechselspiel bleibt der Abstand zum Grenzwert aber immer unendlich, denn ∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|. Das sollten selbst die, die auf 0,999... = 1 hereinfallen, erkennen können.

Gruß, WM
Roalto
2020-04-22 17:45:12 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist im ersten Falle 1, 2, 3, ..., 0 und in zweiten Falle 0, 1, 2, 3, ... . Er wird in keinem Falle durch den Wechsel erzeugt. Daher muss Hilberts Wechselspiel erfolglos bleiben.
Was ist hier schwer zu verstehen? Nun ja, im Falle der Folge (1/n) erscheint es bei ungenauem Hinsehen so, als würde der Grenzwert erzeugt, weil die Differenz unendlich klein wird. Die prominente Täuschung ist die scheinbare Identität 0,999... = 1. Im Falle von Hilberts Wechselspiel bleibt der Abstand zum Grenzwert aber immer unendlich, denn ∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|. Das sollten selbst die, die auf 0,999... = 1 hereinfallen, erkennen können.
Gruß, WM
Noch mal eine Frage: Wenn eine Zahl n neu als die Größte in die potentielle Menge der natürlichen Zahlen
eingeordnet wird, gibt es dann gleichzeitig 1/n in der Menge der rationalen Zahlen?
Wenn das so ist, wie berechnest du dann den Grenzwert?
(Epsilontik geht dann ja nicht, oder ?)
Noch eine Frage: wenn physikalische Grenzen der Anzahl von Zahlen existieren,
gab es dann bei kleiner seiendem Universum weiniger Zahlen?
Gab es überhaupt Zahlen, bevor es Menschen gab?

Viel Spass weiterhin
Roalto
Roland Franzius
2020-04-22 17:55:32 UTC
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Post by Roalto
Noch mal eine Frage: Wenn eine Zahl n neu als die Größte in die potentielle Menge der natürlichen Zahlen
eingeordnet wird, gibt es dann gleichzeitig 1/n in der Menge der rationalen Zahlen?
Wenn das so ist, wie berechnest du dann den Grenzwert?
(Epsilontik geht dann ja nicht, oder ?)
Noch eine Frage: wenn physikalische Grenzen der Anzahl von Zahlen existieren,
gab es dann bei kleiner seiendem Universum weiniger Zahlen?
Gab es überhaupt Zahlen, bevor es Menschen gab?
Alles schon von Wolfgang Mückenheim vor Jahrzehnten zu aller
Zufriedenheit beantwortet worden.

Müsste ja über groups.google.com alles noch abrufbar sein.
--
Roland Franzius
Ganzhinterseher
2020-04-22 19:48:23 UTC
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Post by Roalto
Noch mal eine Frage: Wenn eine Zahl n neu als die Größte in die potentielle Menge der natürlichen Zahlen
eingeordnet wird, gibt es dann gleichzeitig 1/n in der Menge der rationalen Zahlen?
Es gibt sogar noch viele mehr. Es gibt 10n, 10^n, 10^10^n und so weiter, aber die Existenz bei diesem "es gibt" ist sicher keine ja-nein-Stufenfunktion, sondern nimmt langsam ab. Bei 10^10^10^10^10^10^10^10^10^n muss man schon genauer hinschauen.

Du kannst Dir das am besten anhand eines Gehirns mit schwacher Kopfrechenfunktion und ohne technische Hilfsmittel klarmachen.

Gibt man zum Beispiel 71346 vor, so ist die Zahl bekannt und ebenso der Kehrwert, aber der Kehrwert als Dezimal- oder Ternärdarstellung ist sicher nicht so unmittelbar bekannt. Ebenso ist 71346^2 unmittelbar klar und definiert. Aber der Dezimaldarstellung, also dem ausgerechneten Ergebnis kommt weniger unmittelbare Existenz zu. Und bei komplizierteren Rechnungen, z.B. höheren Potenzen 71346^18 oder 71346*86568 sieht man, wie die Definiertheit abnimmt. Es wird immer mühsamer, das Ergebnis in einem vorgegeben System auszurechnen.

Bei Einsatz von Computern wird ein viel größerer Bereich definiert, aber prinzipiell gibt es immer eine größte Zahl, und sei sie nur durch Zufall zur Existenz gebracht, sowie die langsam verblassenden Derivate dieser Zahl.
Post by Roalto
Wenn das so ist, wie berechnest du dann den Grenzwert?
(Epsilontik geht dann ja nicht, oder ?)
Warum nicht? Man braucht doch keine konkreten eps oder 1/n. Man braucht nur die allgemeine Eigenschaft der natürlichen Zahlen, dass zu jeder eine größere Existiert. Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0.
Post by Roalto
Noch eine Frage: wenn physikalische Grenzen der Anzahl von Zahlen existieren,
Diese Frage hat aber nichts mit dem oben für ideale Mathematik Besprochenen zu tun!
Post by Roalto
gab es dann bei kleiner seiendem Universum weiniger Zahlen?
Bei nicht seiendem Universum gibt es nichts zu abstrahieren, also auch keine Zahlen. Eine Abhängigkeit von physikalischen Gegebenheiten findest Du z.B. bei S. Lloyd: "Computational capacity of the universe", arXiv (2001) oder Lawrence M. Krauss, Glenn D. Starkman: "Universal limits on computation", arXiv (2004)
s. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf, p. 354f
Post by Roalto
Gab es überhaupt Zahlen, bevor es Menschen gab?
Wenn sie kein Gott gemacht hat, müssen sie anderweitig erzeugt worden sein.
Aber Abstraktionen der Realität können von allen intelligenten Wesen erzeugt werden. Es müssen keine Menschen sein. Hinwiederum ist das, was irgendwo anders geschah, für uns irrelevant, wenn keine Kommunikation möglich ist. Die Existenz von Zahlen ist nicht absolut, sondern hängt vom Bezugssystem ab.

Beispiel: Ob Du die größte bekannte Primzahl kennst, hängt eben davon ab, ob alle Entdecker ihre Entdeckungen bekanntgeben.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-04-22 18:07:31 UTC
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This is a better step function:

x |-> x/(x+1)

You get:

1/2
1/3 = (1/2)/(1/2+1) = (1/2)/(3/2)
1/4 = (1/3)/(1/3+1) = (1/3)/(4/3)
Etc..

The limit is a fixpoint:

0 = 0/(0+1)
Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist im ersten Falle 1, 2, 3, ..., 0 und in zweiten Falle 0, 1, 2, 3, ... . Er wird in keinem Falle durch den Wechsel erzeugt. Daher muss Hilberts Wechselspiel erfolglos bleiben.
Was ist hier schwer zu verstehen? Nun ja, im Falle der Folge (1/n) erscheint es bei ungenauem Hinsehen so, als würde der Grenzwert erzeugt, weil die Differenz unendlich klein wird. Die prominente Täuschung ist die scheinbare Identität 0,999... = 1. Im Falle von Hilberts Wechselspiel bleibt der Abstand zum Grenzwert aber immer unendlich, denn ∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|. Das sollten selbst die, die auf 0,999... = 1 hereinfallen, erkennen können.
Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-04-22 20:32:10 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
<SEUFZ/>
Post by Ganzhinterseher
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist
... nicht existent, da die Folge der natuerlichen Zahlen bekanntlich
divergent ist, sprich keinen Greenz wert besitzt.
Post by Ganzhinterseher
Was ist hier schwer zu verstehen?
Oh, ich verstehe sehr gut, dass das alles intellektueller Bullshit und
hanebuchener Unfug ist. Das haetten SIE jetzt nichgt noch einmal extra
betonen muessen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-04-23 09:44:48 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist
... nicht existent, da die Folge der natuerlichen Zahlen bekanntlich
divergent ist, sprich keinen Greenz wert besitzt.
Ja, wenn Cantor nicht wäre ... "daher kann ... das Transfinitum als seiend und unter Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht werden." Oder "Allerdings kann omega gewissermaßen als die Grenze angesehen werden, welcher die veränderliche endliche Zahl nü zustrebt".
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Was ist hier schwer zu verstehen?
Oh, ich verstehe sehr gut, dass das alles intellektueller Bullshit und
hanebuchener Unfug ist.
Tja, das ist eben Cantors Matheologie.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-04-23 09:56:18 UTC
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Nope, das hier genügt nicht: WM haluciniert:

"Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber
niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0."

Monotonie garaniert noch nicht den Grenzwert 0. Er
könnte auch grösser als 0 sein. z.B. diese
Folge hat auch die Eigenschaft:

12/20, 13/30, 14/40, ...

Das die Gleider absteigen sind, und niemals
negativ. Trozdem is der Grenzwert nich 0.

Wo haben Sie Mathematik gelernt. Auf dem Hühnerhof?
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist
... nicht existent, da die Folge der natuerlichen Zahlen bekanntlich
divergent ist, sprich keinen Greenz wert besitzt.
Ja, wenn Cantor nicht wäre ... "daher kann ... das Transfinitum als seiend und unter Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht werden." Oder "Allerdings kann omega gewissermaßen als die Grenze angesehen werden, welcher die veränderliche endliche Zahl nü zustrebt".
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Was ist hier schwer zu verstehen?
Oh, ich verstehe sehr gut, dass das alles intellektueller Bullshit und
hanebuchener Unfug ist.
Tja, das ist eben Cantors Matheologie.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-23 12:10:52 UTC
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Post by Mostowski Collapse
"Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber
niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0."
Monotonie garaniert noch nicht den Grenzwert 0.
Richtig, mein Fehler. Dazu muss die Unterschreitung jedes eps kommen.

Gruß, WM
Roalto
2020-04-23 13:20:49 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
"Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber
niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0."
Monotonie garaniert noch nicht den Grenzwert 0.
Richtig, mein Fehler. Dazu muss die Unterschreitung jedes eps kommen.
Also doch epsilontik. Wie geht das mit einer Zahl aus der potentiellen Menge?

Viel Spass weiterhin
Roalto
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-04-24 19:19:31 UTC
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Post by Roalto
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
"Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber
niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0."
Monotonie garaniert noch nicht den Grenzwert 0.
Richtig, mein Fehler. Dazu muss die Unterschreitung jedes eps kommen.
Also doch epsilontik. Wie geht das mit einer Zahl aus der potentiellen Menge?
Kein Problem. Für jede Zahl gibt es die halbe Zahl. Die Menge ist je eben nicht fixiert, also eigentlich keine Menge im Sinne von ZF.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-04-25 14:13:24 UTC
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Nope, eine zutreffende Aussage über eine Menge
führt noch nicht dazu dass es die Menge nicht
gibt. Also betrachten wir z.B. Q, die Menge

der Rationalzahlen, dann ist das hier zutreffend:

forall x ( x e Q => x/2 e Q )

LMAO!
Post by Ganzhinterseher
Post by Roalto
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
"Also ist jedes 1/(n+1) kleiner als 1/n, aber
niemals negativ. Daraus folgt sofort der Grenzwert 0."
Monotonie garaniert noch nicht den Grenzwert 0.
Richtig, mein Fehler. Dazu muss die Unterschreitung jedes eps kommen.
Also doch epsilontik. Wie geht das mit einer Zahl aus der potentiellen Menge?
Kein Problem. Für jede Zahl gibt es die halbe Zahl. Die Menge ist je eben nicht fixiert, also eigentlich keine Menge im Sinne von ZF.
Gruß, WM
Michael Klemm
2020-04-23 12:34:08 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Die Glieder der Folge (1/n) werden durch wiederholte Multiplikation mit n/(n+1) erzeugt. Ihr Grenzwert wird auch bei unendlich vielen Multiplikationen nicht erzeugt. Er kann nur aus der Formel berechnet werden.
Wenn ein neuer Gast 0 in Hilberts Hotel einlogiert, dann gibt es vor allem zwei Möglichkeiten: Entweder der einzelne Gast 0 wechselt unendlich oft das Zimmer oder die unendlich vielen Gäste 1, 2, 3, ... wechseln jeweils einmal das Zimmer. Der Grenzwert ist
... nicht existent, da die Folge der natuerlichen Zahlen bekanntlich
divergent ist, sprich keinen Greenz wert besitzt.
--
Post by Ganzhinterseher
Ja, wenn Cantor nicht wäre ... "daher kann ... das Transfinitum als seiend und unter Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht werden." Oder "Allerdings kann omega gewissermaßen als die Grenze angesehen werden, welcher die veränderliche endliche Zahl nü zustrebt".
Stimmt doch. Für n e |N c |N u {omega}schreibt man entweder n -> oo oder lim_{n e |N} n = omega.

Gruß
Michael
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Was ist hier schwer zu verstehen?
Oh, ich verstehe sehr gut, dass das alles intellektueller Bullshit und
hanebuchener Unfug ist.
Tja, das ist eben Cantors Matheologie.
Gruß, WM
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