Liste mit unendlich vielen Zahlen

[netzweltler]

Um den Begriff "unendlich viele" Nachkommastellen besser zu verstehen,
habe ich eine Frage zu folgender Liste

1. 3.333...
2. 33.333...
3. 333.333...
...

also eine Liste mit unendlich vielen Listenplätzen. Sind diese drei
Aussagen dazu widerspruchsfrei?

1. Es gibt keine natürliche Zahl, die nicht auch Positionsnummer in
den Vorkommastellen irgendeiner Zahl dieser Liste ist.
2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
Vorkommastellen.
3. Jede Nachkommastelle hat eine natürliche Zahl als Positionsnummer.

Gruß,
netzweltler

[Fridolin]

Am 05.10.2010 13:57, schrieb netzweltler:
> Um den Begriff "unendlich viele" Nachkommastellen besser zu verstehen,
> habe ich eine Frage zu folgender Liste
>
> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> ...
>
> also eine Liste mit unendlich vielen Listenplätzen. Sind diese drei
> Aussagen dazu widerspruchsfrei?
>
> 1. Es gibt keine natürliche Zahl, die nicht auch Positionsnummer in
> den Vorkommastellen irgendeiner Zahl dieser Liste ist.
> 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
> Vorkommastellen.
> 3. Jede Nachkommastelle hat eine natürliche Zahl als Positionsnummer.
>
> Gruß,
> netzweltler

Die Aussagen sind widerspruchsfrei.

Fridolin

[Benno Hartwig]

"netzweltler" <***@arcor.de> schrieb

2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
Vorkommastellen.

Unter 'mehr' verstehst du vermutlich eine Ordnungrelation,
wie sie z.B. für N definiert ist.
Du müsstest aber konkretisieren, was für dich
die Anzahl der Nachkommastellen von 3.3333... ist,
ob sich diese unterscheidet von der Anzahl der
Nachkommastellen von 33.3333.... usw.
und du müsstest die Menge und die Ordnungsrelation
entsprechend erweitern.
Dann kann man darüber nachdenken.
("Ach, dass kann ja jeder nach gutdünken selbst machen!"
würde sicher zu Missverständnissen führen.
Netzweltler, glaube mir: Gerade hier in dsm!)

Benno

[Karlheinz]

Benno Hartwig schrieb:

> "netzweltler" <***@arcor.de> schrieb

>> 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
>> Vorkommastellen.


> Unter 'mehr' verstehst du vermutlich eine Ordnungrelation,
> wie sie z.B. für N definiert ist.
> Du müsstest aber konkretisieren, was für dich
> die Anzahl der Nachkommastellen von 3.3333... ist,
> ob sich diese unterscheidet von der Anzahl der
> Nachkommastellen von 33.3333.... usw.

Wieso das denn - man kann doch Vor und Nachkommastellen,
wenn man schon auf irgendeine primitiv quasi-endliche
Darstellungsform verfällt, als unabhängig auseinanderhalten,
und so 'funktioniert' ja auch DA ii, dort wird davon ausgegangen,
dass die Vorkommastellen irrelevant sind.

> und du müsstest die Menge und die Ordnungsrelation
> entsprechend erweitern.

Nein, was du sagst ist Quark.

> Dann kann man darüber nachdenken.

Ja, mach mal, Benno.

netzweltler hat ja nur eine (für Mathematiker legitime) Frage gestellt.

> ("Ach, dass kann ja jeder nach gutdünken selbst machen!"
> würde sicher zu Missverständnissen führen.
> Netzweltler, glaube mir: Gerade hier in dsm!)
>
> Benno

Karlheinz

[Benno Hartwig]

"Karlheinz" <***@sofort-mail.de> schrieb

>> Du müsstest aber konkretisieren, was für dich
>> die Anzahl der Nachkommastellen von 3.3333... ist,
>> ob sich diese unterscheidet von der Anzahl der
>> Nachkommastellen von 33.3333.... usw.
>
> Wieso das denn - man kann doch Vor und Nachkommastellen,
> wenn man schon auf irgendeine primitiv quasi-endliche
> Darstellungsform verfällt, als unabhängig auseinanderhalten,
> und so 'funktioniert' ja auch DA ii, dort wird davon ausgegangen,
> dass die Vorkommastellen irrelevant sind.

Wenn er zwei Dinge mit 'mehr' vergleichen möchte,
dann muss er sagen, was ganz konkret diese Dinge
sind. Sonst kann keiner sagen, ob dies richtig ist.
"Das was man sich so darunter vorstellt" reicht
als Definition sicher nicht.

>> und du müsstest die Menge und die Ordnungsrelation
>> entsprechend erweitern.
>
> Nein, was du sagst ist Quark.

Du weißt wirklich nicht was eine Ordnungsrelation ist?
Erstaunlich.

Benno

[Karlheinz]

Benno Hartwig schrieb:

> Erstaunlich.

Für deinerlei Komiker ist jeder Scheiss erstaunlich.

[Karlheinz]

Benno Hartwig schrieb:

> Erstaunlich.

Nicht mehr sehr lange, denn wenn die Rente vorbei ist und du
gestorben bist, dann hast du das auch mit all dem anderen Scheiss
wieder für immer vergessen.

[netzweltler]

Hallo Leute,

ich möchte einfach nur den Begriff "unendlich viele" Nachkommastellen
besser verstehen. Die Anzahl der Nachkommastellen soll bei jedem
Eintrag in der Liste gleich groß sein (also unendlich viele), die
Anzahl der Vorkommastellen wird mit jedem zusätzlichen Eintrag um 1
erhöht. Bin übrigens kein Mathematiker.

--
netzweltler

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

> Hallo Leute,
>
> ich möchte einfach nur den Begriff "unendlich viele" Nachkommastellen
> besser verstehen. Die Anzahl der Nachkommastellen soll bei jedem
> Eintrag in der Liste gleich groß sein (also unendlich viele), die
> Anzahl der Vorkommastellen wird mit jedem zusätzlichen Eintrag um 1
> erhöht. Bin übrigens kein Mathematiker.

Ok...

Du sagst
" die Anzahl der Vorkommastellen wird mit jedem zusätzlichen
Eintrag um 1 erhöht".

Nun, dann betrachtst du vielleicht eine Konstruktion.

Ungeachtet dessen hat deine Bedingung bei der Konstruktion diese Priorität.

Man hat dann:

1.1
11.11
111.111
...
und all diese Variationen, die uns Mathematikern im Tagtraum oder
im Nachttraum erscheinen.

Nun, ich hofffe, dass du darauf hinaus willst, dass die UNUMSTOSSBARE
(ein Wort ohne Umlaute) Wahrheit wichtig ist, dass dann 2 mal die
Unendlichkeit vorliegt! Hah, hah... da hast du recht, Kamarad...

Und nun mach google mit Hilberts hotel.

Dann bis morgen...

[netzweltler]

Karlheinz schrieb:

> Nun, dann betrachtst du vielleicht eine Konstruktion.
>
Mir geht es nicht um die Konstruktion, eine Zahl mit unendlich vielen
Ziffern vor dem Komma lässt sich eh nicht konstruieren, wenn ich
bisher alles richtig verstanden habe (Disjunktion und so...).

Wenn Du schreibst:
> 1.1
> 11.11
> 111.111
>
dann ist das eine Liste, die weder vor dem Komma noch nach dem Komma
Einträge mit unendlich vielen Ziffern hat, richtig? Dennoch hätte ich
auch zu dieser Liste die Frage, ob in ihr jede natürliche Zahl
vertreten ist, also sowohl als Index der Listeneinträge als auch als
Positionsnummer der Ziffern links und rechts vom Komma, also z.B. beim
4. Eintrag

4. 3. 2. 1., 1. 2. 3. 4.
1 1 1 1 , 1 1 1 1

Dann nochmal zurück zu meiner Liste und den drei Aussagen

1. 3.333...
2. 33.333...
3. 333.333...
...

1. Es gibt keine natürliche Zahl, die nicht auch Positionsnummer in
den Vorkommastellen irgendeiner Zahl dieser Liste ist.
2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
Vorkommastellen.
3. Jede Nachkommastelle hat eine natürliche Zahl als Positionsnummer.

und der Widerspruch, den ich hier sehe:
Wenn ich bereits jede natürliche Zahl als Positionsnummer einer
Vorkommastelle verwende, wie beziffere ich dann noch die Positionen
der Nachkommastellen, wenn es von denen mehr gibt?

--
netzweltler

[Karleinz]

netzweltler schrieb:

> Karlheinz schrieb:
>
>> Nun, dann betrachtst du vielleicht eine Konstruktion.
>>
> Mir geht es nicht um die Konstruktion, eine Zahl mit unendlich vielen
> Ziffern vor dem Komma lässt sich eh nicht konstruieren, wenn ich
> bisher alles richtig verstanden habe (Disjunktion und so...).

Hmmmh, na gut, dann ist diese Zahl eben nach heutiger "Vorstellung"
"immer schon fertig", das was man früher "aktual" nannte. Wir haben
dann keinen Prozess, sondern ein gedachter Prozess (wie etwa ein
Zoomen im Kontinuum) ist fix und fertig am Ende.

Leider gibt es viele Menschen, die dieses rechte Denken noch nicht
leisten können und immer wieder dabei ertappt werden, wie sie sich
den Prozess der Konstruktion von Objekten vorstellen.

Das ist natürlich rückschrittlich, man braucht dann extra Programme
und Algorithmen, während man in der funktionalen Programmierung
einfach hinschreibt was man will, egal, ob das überhaupt in jemals
algorithmisch berechenbar ist. Das ist, weil die Menscheit jetzt so
emanzipiert mit der Unendlichkeit umgeht, wie man es immer wieder
stolz in Wissenschaftsmagazinen (und bei Gottes-Fanatikern wie Deiser)
lesen kann.

> Wenn Du schreibst:
>> 1.1
>> 11.11
>> 111.111
>>
> dann ist das eine Liste, die weder vor dem Komma noch nach dem Komma
> Einträge mit unendlich vielen Ziffern hat, richtig?

Ja, und zwar ausnahmslos in jedem Schritt, was "wir" uns dann gestatten
in "die Unendlichkeit" zu übertragen, wo zwar alles anders ist, aber
das hier eben nicht, weil wir das jetzt nicht wollen, auch Mathematiker
sind ja nicht beliebig geduldig.

Man spricht dann einfach von infiniter und später dann von transfiniter
Rekursion und stoppt wieder durch derartige programmatische Begriffssetzung
den Denkprozess durch die bewährte Angst, die Autorität zuverlässig auslöst.

> Dennoch hätte ich
> auch zu dieser Liste die Frage, ob in ihr jede natürliche Zahl
> vertreten ist, also sowohl als Index der Listeneinträge als auch als
> Positionsnummer der Ziffern links und rechts vom Komma, also z.B. beim
> 4. Eintrag
>
> 4. 3. 2. 1., 1. 2. 3. 4.
> 1 1 1 1 , 1 1 1 1

Das ist Definitionssache. Nach heutiger Definition ist die Menge der
natürlichen Zahlen eine fertige Menge, die unabänderlich ist, ausser
durch Nachfolgeroperation und beliebige Komposition der Nachfolger-
operation (also Zählen), nicht jedoch durch Ausüben des Potenzmengenaxioms.

Demnach hat die Menge der natürlichen Zahlen KEINEN Vorgänger und ist
also NICHT durch Nachfolgeroperation und beliebige Komposition der
Nachfolgeroperation (also Zählen) erreichbar.

Deshalb sind in diesem Sinne nicht alle Zahlen da drin, aber irgendwie
eigentlich doch auch wieder schon. Das wird dir sicherlich irgendein
autistisches Genie von hier sofort aufsagen können...

> Dann nochmal zurück zu meiner Liste und den drei Aussagen
>
> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> ...
>
> 1. Es gibt keine natürliche Zahl, die nicht auch Positionsnummer in
> den Vorkommastellen irgendeiner Zahl dieser Liste ist.
> 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
> Vorkommastellen.
> 3. Jede Nachkommastelle hat eine natürliche Zahl als Positionsnummer.
>
> und der Widerspruch, den ich hier sehe:
> Wenn ich bereits jede natürliche Zahl als Positionsnummer einer
> Vorkommastelle verwende, wie beziffere ich dann noch die Positionen
> der Nachkommastellen, wenn es von denen mehr gibt?

Du bist noch sehr in den Anfängen der Verwirrung deines Denkens, das
mit der Eroberung der modernen Welt und ihren "selbstverständlichen"
Dogmen verbunden ist. Du solltest deshalb schnell alles über die Alephs
lernen, vielleicht bei Professor Doktor Mückenheim in Augsburg studieren.

Aber das Stichwort, das dich SOFORT in die richtige Denkweise führt, ist:

Hilberts Hotel.

Hilbert hat dieses Gleichnis ersonnen, damit jeder besser versteht,
wie emanzipiert wir Menschen jetzt mit dem abzählbar (!) Unendlichen
umgehen, danach kommt noch das Über-Abzählbar Unendliche -und- weitere
über...über...überabzählbar viele zueinander durch Cantor von Gott
erfahrene in Bezug auf die Nachfolgeroperation und deren Kompositionen
disjunkte Mengen, die er für seinen Gott hebräisch Alepfs nannte.

Also lies mal das hier und von da aus klickst du dich ruckzuck durch
die moderne Mengenlehre:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

(Dass diese Menge zwar fix und fertig ist, und trotzdem immer wieder
geändert wird, das macht halt nix, die Mathematiker sind da tolerant.)

Gruss

[Detlef Müller]

netzweltler schrieb:
> ...
> 1. Es gibt keine natürliche Zahl, die nicht auch Positionsnummer in
> den Vorkommastellen irgendeiner Zahl dieser Liste ist.
> 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
> Vorkommastellen.
> 3. Jede Nachkommastelle hat eine natürliche Zahl als Positionsnummer.
>
> und der Widerspruch, den ich hier sehe:
> Wenn ich bereits jede natürliche Zahl als Positionsnummer einer
> Vorkommastelle verwende, wie beziffere ich dann noch die Positionen
> der Nachkommastellen, wenn es von denen mehr gibt?
>
a) Es gibt nicht mehr "Nachkomma-Positionen" als Vorkomma-Positionen.

b) Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
verbraucht ist, oder wie?
Rechts vom Komma kann ich bei Zahl Nummer 100 natürlich auch 200
Stellen abzählen - auch wenn diese Nummer links erst viel später
drann kommt. Und das gilt für jede der Positionen "rechts", denn eine
jede Position ist (als natürliche Zahl) endlich.

c) Die dem Dezimalbruch zugeordnete reelle Zahl ist ein Grenzwert, der
in gewisser Weise die Zahlenfolgen codiert also dem Paar bestehend
aus der endlichen Folge der Vorkommaziffern und der Folge
der Nachkommaziffern zugeordnet ist.
Dennoch gibt es keine "unendlichste" Dezimale nach dem Komma - nur
endliche Stellen. Das ist klar davon zu trennen, daß es deren
unendlich viele gibt!

d) Einige Teilnehmer hier sind dazu nicht in der Lage.
Einige scheinen darüber in Richtung Wahnsinn zu schreiten und
fangen an, die Gruppe mit unflätigen Bemerkungen zu fluten.
Zu allen Fragen von "neuen" zum Thema "Unendlichkeit" besteht daher
eine gute Wahrscheinlichkeit einen Troll zu füttern, weswegen Du
hier nicht viele Antworten von kompetenter Seite bekommen wirst.

Ich hoffe, geholfen zu haben, mehr gibt es dazu von meiner Seite
nicht zu sagen (und EOD wegen Punkt (d) ).

Gruß,
Detlef

[Karlheinz]

Detlef Müller schrieb:

> Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
> kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
> verbraucht ist, oder wie?

Mit Süsswasser, Erdöl, Phoshphor für die Zellkerne, seltenen
Erden wie Tantal für unsere Händies, usw. ist das jedenfalls so.

Da hilft alles emanzipierte Denken nix. Bald ist es aus mit dem
Wachen der Wachstumsrate, dann wird zwischendurch wieder mal
massenhaft krepiert, diesmal auch ohne Gewahlt, einfach durch
Verhungern, so wie damals viele im KZ.

> mehr gibt es dazu von meiner Seite nicht zu sagen

Genau. Es war sehr interessant.

[Karlheinz]

Berichtigung, Typos: Wachsen der Wachstumsrate

Karlheinz schrieb:

> Detlef Müller schrieb:
>
>> Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
>> kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
>> verbraucht ist, oder wie?
>
> Mit Süsswasser, Erdöl, Phoshphor für die Zellkerne, seltenen
> Erden wie Tantal für unsere Händies, usw. ist das jedenfalls so.
>
> Da hilft alles emanzipierte Denken nix. Bald ist es aus mit dem
> Wachen der Wachstumsrate, dann wird zwischendurch wieder mal
> massenhaft krepiert, diesmal auch ohne Gewahlt, einfach durch
> Verhungern, so wie damals viele im KZ.
>
>> mehr gibt es dazu von meiner Seite nicht zu sagen
>
> Genau. Es war sehr interessant.

[netzweltler]

> Detlef Müller schrieb:

> a) Es gibt nicht mehr "Nachkomma-Positionen" als Vorkomma-Positionen.
>
Heißt das, ich darf Aussage 2 streichen? Dann sehe ich auch keinen
Widerspruch mehr.

> b) Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
>     kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
>     verbraucht ist, oder wie?
>
So meinte ich das nicht. Ich benutze die Zahlen ja auch zweimal,
einmal beim Abzählen der Vorkommastellen (Orangen) und einmal beim
Abzählen der Nachkommastellen (Zitronen).

>     Rechts vom Komma kann ich bei Zahl Nummer 100 natürlich auch 200
>     Stellen abzählen - auch wenn diese Nummer links erst viel später
>     drann kommt. Und das gilt für jede der Positionen "rechts", denn eine
>     jede Position ist (als natürliche Zahl) endlich.
>
Möglicherweise ist das der Schlüssel zu meinem Missverständnis: Die
Liste wird also als nicht fertig betrachtet, oder als irgendwann
später fertig? Wohingegen die Aufreihung der Nachkommastellen als
bereits geschehen betrachtet wird, richtig? Meine bisherige Annahme
war, dass jede natürliche Zahl auf dieser Liste bereits steht (als
Index als auch als Positionsnummer einer Vorkommastelle).

--
netzweltler

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

>> Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
>>     kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
>>     verbraucht ist, oder wie?
>>
> So meinte ich das nicht.

Ist aber so: wenn du 10 Leute zählst, dann sagst du
1 - 2 - 3 - 4 - ... und wenn du die Drei verwendet hast,
oder verbraucht, was natürlich in dem Kontext das selbe
ist, dann kann du die Drei nicht nochmal nehmen oder
verbrauchen.

Also du kannst nicht etwa zählen 1 - 2 - 3 - 3 - 3 - 3 - 2...

Detlef meinte aber wahrscheinlich, dass du später all die Zahlen
inkl. der Drei z.B. zum Zählen ANDERER Leute nehmen kannst, und er
hat auch diesmal richtig erkannt, dass die Drei in diesem Sinne
seither nicht verbraucht ist.

Was du meintest, das nennt man Bijektion, die hier exakt jeder
Vorkommastelle genau eine Nachkommastelle, und vice versa, zuordnet,
so dass dabei NATÜRLICH jede dabei verwendete Zahl, also auch die
Drei, vollkommen in einem logischen Sinn verbraucht wird, denn
sonst kann man sich ja die Mühe schenken, überhaupt mit Zahlen zu
operieren und sie irgendwas zuzuordnen, wenn man eine Stelle
mehrfach verbrauchen darf.

[Detlef Müller]

netzweltler schrieb:
>> Detlef Müller schrieb:
>
>> a) Es gibt nicht mehr "Nachkomma-Positionen" als Vorkomma-Positionen.
>>
> Heißt das, ich darf Aussage 2 streichen? Dann sehe ich auch keinen
> Widerspruch mehr.
>
>> b) Seit wann verbrauchen sich die Zahlen? Wenn ich drei Orangen abzähle,
>> kann ich keine drei Zitronen mehr zählen, weil die "drei" dann ja
>> verbraucht ist, oder wie?
>>
> So meinte ich das nicht. Ich benutze die Zahlen ja auch zweimal,
> einmal beim Abzählen der Vorkommastellen (Orangen) und einmal beim
> Abzählen der Nachkommastellen (Zitronen).
>
>> Rechts vom Komma kann ich bei Zahl Nummer 100 natürlich auch 200
>> Stellen abzählen - auch wenn diese Nummer links erst viel später
>> drann kommt. Und das gilt für jede der Positionen "rechts", denn eine
>> jede Position ist (als natürliche Zahl) endlich.
>>
> Möglicherweise ist das der Schlüssel zu meinem Missverständnis: Die
> Liste wird also als nicht fertig betrachtet,

Das ist Quatsch: Ich gehe ja im Beispiel bei Zahl 100 bereits davon aus,
daß Zahl 200 weiter unten steht. Die Liste ist fertig
gegeben denn ich schreibe doch deutlich 'das gilt für jede der
Positionen "rechts"'.

> oder als irgendwann
> später fertig?

In diesen Konstrukten gibt es kein "früher" oder "später".
Da Du Dich nicht bemühst, meinen Text verstehend zu lesen, macht
eine weitere Diskussion keinen Sinn.

Gruß,
Detlef

[Karlheinz]

Detlef Müller schrieb:

> Die Liste ist fertig gegeben

Ja: Von Gott!

Und Cantors Mengenlehre ist nach dessen Aussagen ebenfalls vom lierben Gott.

[netzweltler]

Detlef Müller schrieb:

> > Möglicherweise ist das der Schlüssel zu meinem Missverständnis: Die
> > Liste wird also als nicht fertig betrachtet,
>
> Das ist Quatsch: Ich gehe ja im Beispiel bei Zahl 100 bereits davon aus,
> daß Zahl 200 weiter unten steht. Die Liste ist fertig
> gegeben denn ich schreibe doch deutlich 'das gilt für jede der
> Positionen "rechts"'.
>
> > oder als irgendwann
> > später fertig?
>
> In diesen Konstrukten gibt es kein "früher" oder "später".
> Da Du Dich nicht bemühst, meinen Text verstehend zu lesen, macht
> eine weitere Diskussion keinen Sinn.
>
war keine Absicht Dich falsch zu verstehen. Lassen wir den Faktor Zeit
einfach weg. Darf ich davon ausgehen, dass jede natürliche Zahl (als
Index als auch als Positionsnummer einer Vorkommastelle) bereits in
der Liste steht, so wie jeder Eintrag in der Liste bereits unendlich
viele Nachkommastellen hat?

--
netzweltler

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

> Darf ich davon ausgehen, dass jede natürliche Zahl (als
> Index als auch als Positionsnummer einer Vorkommastelle) bereits in
> der Liste steht, so wie jeder Eintrag in der Liste bereits unendlich
> viele Nachkommastellen hat?

Per Grundgesetz ja, aber in Cantor von Gott gegebenen Mengenlehre ist
das alles nicht so einfach mit der Unendlichkeit, denn da sind die
natürlichen Zahlen die mit Abstand winzigste unendliche Menge fester
Grösse, dann kommen, falls CH "stimmt", die Ü B E R abzählbaren
unendlich grossen Mengen, und zwar ühber,über,...,über,überabzählbar
viele, viele, viele. Und alle sind nicht nur verschieden gross, sondern
disjunkt, weil sie per Zählen NICHT "erreichbar" sind.

Du sprichst nur von der winzigen exakten unendlichen Quantität
abzählbarer Grösse, das ist eh Peanuts. Richtig los gehts ab Aleff_2.

[Christopher Creutzig]

On 10/9/10 12:41 PM, netzweltler wrote:
>> Detlef Müller schrieb:
>
>> a) Es gibt nicht mehr "Nachkomma-Positionen" als Vorkomma-Positionen.
>>
> Heißt das, ich darf Aussage 2 streichen? Dann sehe ich auch keinen
> Widerspruch mehr.

Du darfst Aussage 2 gerne streichen, die da lautete

> 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
> Vorkommastellen.

Aber sie ist richtig, Du kannst sie auch gerne stehen lassen.
Sie besagt allerdings *nicht*, dass das für irgendeine Form von
Zusammenfassung aller Zeilen gelten würde, sondern macht nur eine
(richtige) Aussage über eine beliebige *einzelne* Zeile.

> Möglicherweise ist das der Schlüssel zu meinem Missverständnis: Die
> Liste wird also als nicht fertig betrachtet, oder als irgendwann
> später fertig? Wohingegen die Aufreihung der Nachkommastellen als

Nein, wieso?

--
Sich DAGEGEN aufzulehnen, ist, als ob man sich darüber aufregen würde,
dass Erdbeereis nach "Erdbeer" und nicht nach "Banane" schmeckt.
(Franz Fritsche)

[netzweltler]

On 9 Okt., 15:35, Christopher Creutzig wrote:
> On 10/9/10 12:41 PM, netzweltler wrote:
>
> >> Detlef Müller schrieb:
>
> >> a) Es gibt nicht mehr "Nachkomma-Positionen" als Vorkomma-Positionen.
>
> > Heißt das, ich darf Aussage 2 streichen? Dann sehe ich auch keinen
> > Widerspruch mehr.
>
>  Du darfst Aussage 2 gerne streichen, die da lautete
>
> > 2. Jede Zahl auf dieser Liste hat mehr Nachkommastellen als
> > Vorkommastellen.
>
>  Aber sie ist richtig, Du kannst sie auch gerne stehen lassen.
> Sie besagt allerdings *nicht*, dass das für irgendeine Form von
> Zusammenfassung aller Zeilen gelten würde, sondern macht nur eine
> (richtige) Aussage über eine beliebige *einzelne* Zeile.

Hab ich auch so verstanden. Meine Widerspruchsvermutung hat dies,
denke ich, schon berücksichtigt. Jede einzelne Zeile in dieser Liste
hat weniger Vorkommastellen als Nachkommastellen. Es gibt in dieser
Liste keine Zeile, bei der die Anzahl der Vorkommastellen gleich der
Anzahl der Nachkommastellen ist. Dennoch ist jede natürliche Zahl auch
Positionsnummer einer Vorkommastelle in irgendeiner Zeile.

--
netzweltler

[Christopher Creutzig]

On 10/9/10 5:43 PM, netzweltler wrote:

> Hab ich auch so verstanden. Meine Widerspruchsvermutung hat dies,
> denke ich, schon berücksichtigt. Jede einzelne Zeile in dieser Liste
> hat weniger Vorkommastellen als Nachkommastellen. Es gibt in dieser
> Liste keine Zeile, bei der die Anzahl der Vorkommastellen gleich der
> Anzahl der Nachkommastellen ist. Dennoch ist jede natürliche Zahl auch
> Positionsnummer einer Vorkommastelle in irgendeiner Zeile.

Richtig.

--
Man kann auf seinem Standpunkt stehen, aber man sollte nicht darauf
sitzen. (Erich Kästner)

[netzweltler]

On 10 Okt., 12:21, Christopher Creutzig wrote:
> On 10/9/10 5:43 PM, netzweltler wrote:
>
> > Hab ich auch so verstanden. Meine Widerspruchsvermutung hat dies,
> > denke ich, schon berücksichtigt. Jede einzelne Zeile in dieser Liste
> > hat weniger Vorkommastellen als Nachkommastellen. Es gibt in dieser
> > Liste keine Zeile, bei der die Anzahl der Vorkommastellen gleich der
> > Anzahl der Nachkommastellen ist. Dennoch ist jede natürliche Zahl auch
> > Positionsnummer einer Vorkommastelle in irgendeiner Zeile.
>
>  Richtig.

Und dennoch lassen sich auch natürliche Zahlen finden, die zwar
Positionsnummer einer Nachkommastelle sind, die aber keiner
Positionsnummer einer Vorkommastelle auf dieser Liste zugeordnet
werden können?

--
netzweltler

[Christopher Creutzig]

On 10/10/10 12:48 PM, netzweltler wrote:
> On 10 Okt., 12:21, Christopher Creutzig wrote:
>> On 10/9/10 5:43 PM, netzweltler wrote:
>>
>>> Hab ich auch so verstanden. Meine Widerspruchsvermutung hat dies,
>>> denke ich, schon berücksichtigt. Jede einzelne Zeile in dieser Liste
>>> hat weniger Vorkommastellen als Nachkommastellen. Es gibt in dieser
>>> Liste keine Zeile, bei der die Anzahl der Vorkommastellen gleich der
>>> Anzahl der Nachkommastellen ist. Dennoch ist jede natürliche Zahl auch
>>> Positionsnummer einer Vorkommastelle in irgendeiner Zeile.
>>
>> Richtig.
>
> Und dennoch lassen sich auch natürliche Zahlen finden, die zwar
> Positionsnummer einer Nachkommastelle sind, die aber keiner
> Positionsnummer einer Vorkommastelle auf dieser Liste zugeordnet
> werden können?

Nein.

--
Frag' nicht - Du könntest eine Antwort erhalten. (Markus Mehring)

[Karlheinz]

Christopher Creutzig schrieb:

>>>> Hab ich auch so verstanden. Meine Widerspruchsvermutung hat dies,
>>>> denke ich, schon berücksichtigt. Jede einzelne Zeile in dieser Liste
>>>> hat weniger Vorkommastellen als Nachkommastellen. Es gibt in dieser
>>>> Liste keine Zeile, bei der die Anzahl der Vorkommastellen gleich der
>>>> Anzahl der Nachkommastellen ist. Dennoch ist jede natürliche Zahl auch
>>>> Positionsnummer einer Vorkommastelle in irgendeiner Zeile.
>>>
>>> Richtig.
>>
>> Und dennoch lassen sich auch natürliche Zahlen finden, die zwar
>> Positionsnummer einer Nachkommastelle sind, die aber keiner
>> Positionsnummer einer Vorkommastelle auf dieser Liste zugeordnet
>> werden können?
>
> Nein.

Alle schon weg gefunden... und der Rest ist eben mehr als zählbar.

Hilberts Hotel tut hier den Trick! (Der geht aber nur bei festgelegten
Bijektionen.)

[netzweltler]

1. 3.333...
2. 33.333...
3. 333.333...
...

Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:

v(i) = i, v(i) < n, i < n

Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
jedes i: i < n

Welchen Fehler mache ich hier?

--
netzweltler

[Christopher Creutzig]

On 10/10/10 9:38 PM, netzweltler wrote:
> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> ...
>
> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:
>
> v(i) = i, v(i) < n, i < n
>
> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> jedes i: i < n
>
> Welchen Fehler mache ich hier?

Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl der
Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.

--
Oder hat das schon wieder mal jemand vor mir "falschrum" festgelegt?
(Bastian Erdnüß)

[Karlheinz]

Christopher Creutzig schrieb:

> On 10/10/10 9:38 PM, netzweltler wrote:
>> 1. 3.333...
>> 2. 33.333...
>> 3. 333.333...
>> ...
>>
>> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
>> und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:
>>
>> v(i) = i, v(i) < n, i < n
>>
>> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
>> jedes i: i < n
>>
>> Welchen Fehler mache ich hier?
>
> Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl
> der Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.

Aber n ist nicht größer als omega, oder?

[netzweltler]

On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig <***@creutzig.de>
wrote:
> On 10/10/10 9:38 PM, netzweltler wrote:
>
> > 1. 3.333...
> > 2. 33.333...
> > 3. 333.333...
> > ...
>
> > Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> > und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:
>
> > v(i) = i, v(i) < n, i < n
>
> > Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> > jedes i: i < n
>
> > Welchen Fehler mache ich hier?
>
>  Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl der
> Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.

Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?

--
netzweltler

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

> On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig <***@creutzig.de>
> wrote:
>> On 10/10/10 9:38 PM, netzweltler wrote:
>>
>>> 1. 3.333...
>>> 2. 33.333...
>>> 3. 333.333...
>>> ...
>>
>>> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
>>> und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:
>>
>>> v(i) = i, v(i) < n, i < n
>>
>>> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
>>> jedes i: i < n
>>
>>> Welchen Fehler mache ich hier?
>>
>>  Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl der
>> Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.
>
> Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?

Geht ja nicht, denn RICHTIG unendlich, im alten Sinne von oo, gibts
jetzt nicht mehr, weil die Reihe der wachsenden Unenendlichkeiten
nach der "Offenbarung", die Cantors Gott diesem schwer klinisch
geisteskranken Mann gemacht hat, nun nicht mehr gestoppt werden kann!

Nie wieder! Es gibt zu jeder unendlich grossen Menge beliebig
unendlich viele weitere, und noch viel mehr, mehr, mehr, mehr, mehr...

Dabei ist natürlich jede Menge in dieser kleinen Anfangsfolge
unendlich viel grösser als die vorige, sogar so gross, dass sie
nicht durch Nachfolgereihenbildung erreicht wird, denn Cantor
hat Limesordinals eingeschoben!

Deshalb habe ich eine weitere noch weit unendlichere Reihe von
Limesordinalzahlen ersonnen, die nicht mit dem Potenzmengenaxiom
erreichbar sind! Unendlich weitere solcher Reihen werden schnell folgen.

Keine unendliche Menge ist oo-unendlich, denn es gibt viel, viel,
mehr, unendlich viel mehr davon, die zudem immer größer werden, und
jeden Tag werden es viel, viel, viel, mehr.

Die Forschung ist in vollen Gange, die Mathematiker arbeiten fieberhaft.

[Rainer Willis]

Am 10.10.2010 22:54, schrieb netzweltler:
> On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig<***@creutzig.de>

[...]

>> Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl der
>> Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.
>
> Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?

Nein.

Gruß Rainer

[Franz Fritsche]

Am Sun, 10 Oct 2010 23:46:00 +0200 schrieb Rainer Willis:

> Am 10.10.2010 22:54, schrieb netzweltler:
>>
>> On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig<***@creutzig.de>
>>>
>>> n, die Anzahl der Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.
>>>
>> Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?
>>
> Nein.

Jetzt bist Du aber unnötig streng, finde ich. ;-P

Also... er kann und _sollte_ sogar das Symbol "n" durch "aleph_0" ersetzen;
dann werden seine "(Un-)Gleichungen" nämlich richtig! :-P

Denn aleph_0 bezeichnet in der Tat die "Anzahl der Nachkommastellen"
(genauer: die Kardinalzahl der Menge IN).

Tatsächlich kann man Cantors alephs (und omegas) als eine differenzierte
Betrachtung dessen ansehen, was man gelegentlich einfach mit "oo" bezeich-
net. (Wenn man z. B. "oo" zu IR hinzunimmt, was möglich ist, dann kann man
völlig korrekt schreiben: An e IN: n < oo.) ;-)

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[Rainer Willis]

Am 11.10.2010 09:13, schrieb Franz Fritsche:
> Am Sun, 10 Oct 2010 23:46:00 +0200 schrieb Rainer Willis:
>
>> Am 10.10.2010 22:54, schrieb netzweltler:
>>>
>>> On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig<***@creutzig.de>
>>>>
>>>> n, die Anzahl der Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.
>>>>
>>> Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?
>>>
>> Nein.
>
> Jetzt bist Du aber unnötig streng, finde ich. ;-P

:-)

Hallo Franz,

ich bin nur gegen jeden terrible simplificateur. Christopher hat es ja
klar gesagt "die Anzahl der Nachkommastellen ist schlicht keine
natürliche Zahl". Solange n nicht als aleph_0 definiert ist, ...

> Also... er kann und _sollte_ sogar das Symbol "n" durch "aleph_0" ersetzen;
> dann werden seine "(Un-)Gleichungen" nämlich richtig! :-P

... ist "für n den Wert Unendlich einsetzen" einfach Wischiwaschi.

> Denn aleph_0 bezeichnet in der Tat die "Anzahl der Nachkommastellen"
> (genauer: die Kardinalzahl der Menge IN).

Eben.

> Tatsächlich kann man Cantors alephs (und omegas) als eine differenzierte
> Betrachtung dessen ansehen, was man gelegentlich einfach mit "oo" bezeich-
> net. (Wenn man z. B. "oo" zu IR hinzunimmt, was möglich ist, dann kann man
> völlig korrekt schreiben: An e IN: n< oo.) ;-)

Ja, die vielen alephs. Und da selbst die Existenz von aleph_0, ganz zu
schweigen von aleph_n, von WM und seinen Claqueuren bestritten wird, ist
"für n den Wert Unendlich einsetzen" bestenfalls trivial.

Hoffentlich bin ich "netzweltler" damit nicht zu nahe getreten, man wird
mit der Zeit eben leider etwas dünnhäutig.

Gruß Rainer

[Franz Fritsche]

Am Mon, 11 Oct 2010 11:27:31 +0200 schrieb Rainer Willis:

> Hoffentlich bin ich "netzweltler" damit nicht zu nahe getreten, man wird
> mit der Zeit eben leider etwas dünnhäutig.

Wahr ist es. Naja, schau ma mal, ob wir netzweltler durch unsere Beiträge
(Christophers, meine, Deine, usw.) etwas weiterhelfen konnten.

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[Christopher Creutzig]

On 10/10/10 10:54 PM, netzweltler wrote:
> On 10 Okt., 22:25, Christopher Creutzig <***@creutzig.de>
> wrote:
>> On 10/10/10 9:38 PM, netzweltler wrote:

>>> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
>>> und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:

>> Ich bin mir nicht sicher, wo Du ein Problem siehst. n, die Anzahl der
>> Nachkommastellen, ist schlicht keine natürliche Zahl.
>
> Darf ich für n den Wert Unendlich einsetzen?

n ist sicherlich unendlich, aber ich frage mich, was Deiner Meinung
nach „der Wert unendlich“ bedeuten soll. Wenn Du im Hinterkopf behältst,
dass Deine Vorstellung von den Eigenschaften dieser Größe eventuell
selbst Widersprüche beinhalten könnte, kannst Du das machen, ja. Ich
kann Dir allerdings keine Sammlung von Rechenregeln für dieses
„Unendlich“ geben. Das Einzige, was klar ist, ist: i < n für alle
natürlichen Zahlen i.

Das Rechnen mit derartigen Größen ist unintuitiv, und intuitive
Vorstellungen können schnell zu inneren Widersprüchen führen. Wenn Du
bereit bist, ganz ohne vorgefertigte Vorstellungen formale
Rechenschemata zu benutzen, findest Du in der Ordinalzahlarithmetik (zum
Einstieg schau in die Wikipedia) ein Gebäude, das den Test der Zeit gut
bestanden hat. Vermutlich gibt es noch einige gute und brauchbare
Alternativen, mindestens die Nonstandardanalysis hat auch einiges zum
Thema unendliche Werte, aber ich bin kein Experte.

--
Frag' nicht - Du könntest eine Antwort erhalten. (Markus Mehring)

[Franz Fritsche]

Am Mon, 11 Oct 2010 21:07:38 +0200 schrieb Christopher Creutzig:

> ... in der Ordinalzahlarithmetik ...

Och, es gibt auch die Kardinalzahlen. ;-)

Siehe:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[netzweltler]

Es kämpfen derzeit zwei recht widersprüchliche Vorstellungen von
Unendlich in meinem Kopf miteinander. Zum einen erscheint es mir nur
logisch, dass die Nachkommastellen nummerierbar sind, egal wie viele
auch immer zu nummerieren sind. Warum auch sollten die natürlichen
Zahlen ausgehen?
Dann wiederum spukt auch immer wieder die Vorstellung in meinem Kopf,
dass - auf einem Zahlenstrahl betrachtet - die natürlichen Zahlen sich
ganz links in einem winzig kleinen Punkt tummeln. Danach folgt eine
unendlich große Lücke. Ganz rechts steht dann Unendlich. Um das am
Beispiel der unendlich vielen Nachkommastellen zu verdeutlichen.
(es wurde ja zuletzt von einem Vergleich der natürlichen Zahlen mit
Unendlich gesprochen):

Ich stelle mir erst einmal die Zahl mit den unendlich vielen
Nachkommastellen vor:

0.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...

Dann vergleiche ich eine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen
damit:

0.333

und komme zu dem Schluss, dass diese endliche Anzahl wohl nicht einmal
einen winzig kleinen Prozentsatz der Länge der Zahl mit den unendlich
vielen Nachkommastellen ausmacht. Dann stelle ich mir eine Zahl mit
3000 3ern nach dem Komma vor. Auch hier komme ich zu dem Schluss, dass
diese Anzahl nur einen winzig kleinen Prozentsatz von
unendlich vielen Stellen nach dem Komma ausmachen kann. Das endet dann
bei dem Schluss, dass eigentlich jede natürliche Anzahl nur einen
winzigen Prozentsatz von diesem unendlich langen Nachkommaanteil
ausmachen kann. Welche natürliche Anzahl an Nachkommastellen sollte es
auch sein, die auch nur ein Prozent der Anzahl eines unendlich langen
Nachkommaanteils erreicht? Diese Betrachtungsweise führt aber dann
auch zu dem Schluss, dass nur die allerersten Nachkommastellen eine
natürliche Zahl als Positionsnummer haben können, oder?

Welche Argumente sprechen für die eine und welche sprechen für die
andere Betrachtungsweise?

--
netzweltler

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

> Es kämpfen derzeit zwei recht widersprüchliche Vorstellungen von
> Unendlich in meinem Kopf miteinander. Zum einen erscheint es mir nur
> logisch, dass die Nachkommastellen nummerierbar sind, egal wie viele
> auch immer zu nummerieren sind. Warum auch sollten die natürlichen
> Zahlen ausgehen?

Gehen sie nicht. Auch bei Cantor, welcher kurzerhand von seinem
lieben Gott die Existenu von Mengen gemeldet bekommt, die nicht
mit der Nachfolgeroperation erreichbar sind, gehen sie nicht so
richtig aus. Aber früher gabs nur das eine oo, und seit Cantors
inneren Stimmen gibt es mehr davon als irgendwas sonst definierte.

Die Unendlichkeit ist jetzt diskret unterteilt durch Limesordinals,
die alle gegenseitig nicht per Nachfolgeroperation erreichbar sind.

> und komme zu dem Schluss, dass diese endliche Anzahl wohl
> nicht einmal einen winzig kleinen Prozentsatz
> ...
> diese Anzahl nur einen winzig kleinen Prozentsatz
...
> winzigen Prozentsatz von diesem unendlich langen Nachkommaanteil

Welche Maße für unendliche Mengen sich jeder definiert, steht ihm
per Grundgesetz frei, der eine nimmt dies, der andere das, und du
magst also offenbar gern einen "Prozentsatz".

[Rainer Willis]

Am 12.10.2010 19:00, schrieb netzweltler:

Hallo Reinhard,

> Es kämpfen derzeit zwei recht widersprüchliche Vorstellungen von
> Unendlich in meinem Kopf miteinander. Zum einen erscheint es mir nur
> logisch, dass die Nachkommastellen nummerierbar sind, egal wie viele
> auch immer zu nummerieren sind. Warum auch sollten die natürlichen
> Zahlen ausgehen?

Richtig, die können nicht ausgehen.

> Dann wiederum spukt auch immer wieder die Vorstellung in meinem Kopf,
> dass - auf einem Zahlenstrahl betrachtet - die natürlichen Zahlen sich
> ganz links in einem winzig kleinen Punkt tummeln.

Das ist sehr poetisch ausgedrückt, ein Punkt ist dimensionslos. Egal,
welche Phantastilliarden ich mir mir ausdenke, gegenüber "unendlich",
besser omega oder aleph_0, sind sie nur ein Punkt.

> Danach folgt eine unendlich große Lücke.

Es gibt keine Lücke, wir betreiben lediglich einen Grenzübergang.

> Ganz rechts steht dann Unendlich.

Dieses "ganz rechts" gibt es in dem Sinne nicht, aleph_0 ist größer als
jede natürliche Zahl. Dort gelten andere Regeln.
Z.B. gilt a + a = a * a = a, wenn a = aleph_0. Mind-bending, ain't it? :-)

[...]

> und komme zu dem Schluss, dass diese endliche Anzahl wohl nicht einmal
> einen winzig kleinen Prozentsatz der Länge der Zahl mit den unendlich
> vielen Nachkommastellen ausmacht. Dann stelle ich mir eine Zahl mit
> 3000 3ern nach dem Komma vor. Auch hier komme ich zu dem Schluss, dass
> diese Anzahl nur einen winzig kleinen Prozentsatz von
> unendlich vielen Stellen nach dem Komma ausmachen kann. Das endet dann
> bei dem Schluss, dass eigentlich jede natürliche Anzahl nur einen
> winzigen Prozentsatz von diesem unendlich langen Nachkommaanteil
> ausmachen kann. Welche natürliche Anzahl an Nachkommastellen sollte es
> auch sein, die auch nur ein Prozent der Anzahl eines unendlich langen
> Nachkommaanteils erreicht? Diese Betrachtungsweise führt aber dann
> auch zu dem Schluss, dass nur die allerersten Nachkommastellen eine
> natürliche Zahl als Positionsnummer haben können, oder?

Es ergibt absolut keinen Sinn, von Prozentsätzen zu reden, was z.B.
sollen denn 10% von Unendlich sein?

> Welche Argumente sprechen für die eine und welche sprechen für die
> andere Betrachtungsweise?

Die Betrachtungsweisen widersprechen sich nicht, weil von zwei
verschiedenen Dingen die Rede ist: von endlichen Mengen und von
unendliche Mengen.

Gruß Rainer

[Franz Fritsche]

Am Tue, 12 Oct 2010 23:00:07 +0200 schrieb Rainer Willis:

> Am 12.10.2010 19:00, schrieb netzweltler:
>>
>> Ganz rechts steht dann Unendlich.
>>
> aleph_0

die "Anzahl der nat. Zahlen" (bzw. die Kardinalzahl der
Menge der nat. Zahlen)

> ist größer als jede natürliche Zahl. Dort gelten andere Regeln. Z.B.
> gilt a + a = a * a = a, wenn a = aleph_0. Mind-bending, ain't it? :-)

Naja, nicht wirklich; intuitiv ist ja auch oo + oo = oo
und oo * oo = oo, nö? Und natürlich auch oo + 1 = oo. ;-)

Jedoch: Die unendlichen Ordinalzahlen w (omega), w+1, usw. verhalten sich
(in Bezug auf die Nachfolgeroperation) praktisch wie die gewohnten "Zähl-
zahlen":

|---|---|---|---|-- ... |---|---|-...
0 1 2 3 4 w w+1 w+2

Was nun w betrifft... Man könnte es vielleicht so formulieren: w kann durch
"Einzelschritte" (+1, +1, ...) - von 0 ausgehend - nicht erreicht werden.
(Mathematisch präzise ist: w besitzt keinen unmittelbaren Vorgänger. Also
gibt es keine nat. Zahl n, so dass n' = w ist.)

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[Albrecht]

On 12 Okt., 23:00, Rainer Willis <***@web.de> wrote:
> Am 12.10.2010 19:00, schrieb netzweltler:
>
> Hallo Reinhard,
>
> > Es kämpfen derzeit zwei recht widersprüchliche Vorstellungen von
> > Unendlich in meinem Kopf miteinander. Zum einen erscheint es mir nur
> > logisch, dass die Nachkommastellen nummerierbar sind, egal wie viele
> > auch immer zu nummerieren sind. Warum auch sollten die natürlichen
> > Zahlen ausgehen?
>
> Richtig, die können nicht ausgehen.
>
> > Dann wiederum spukt auch immer wieder die Vorstellung in meinem Kopf,
> > dass - auf einem Zahlenstrahl betrachtet - die natürlichen Zahlen sich
> > ganz links in einem winzig kleinen Punkt tummeln.
>
> Das ist sehr poetisch ausgedrückt, ein Punkt ist dimensionslos. Egal,
> welche Phantastilliarden ich mir mir ausdenke, gegenüber "unendlich",
> besser omega oder aleph_0, sind sie nur ein Punkt.
>
> > Danach folgt eine unendlich große Lücke.
>
> Es gibt keine Lücke, wir betreiben lediglich einen Grenzübergang.

Wer zahlt denn das alles? Grenzbeamte und Grenzzäune kosten doch
Geld.

Naja. Spass beiseite: Es ist natürlich ein hübsches Bild sich ein
Objekt vorzustellen: die unendliche Menge. Und dann sich vorzustellen,
wie die immer größer werdenden endlichen Mengen dagegen konvergieren.
Und da bei den immer größeren Zahlen die endlichen Zuwächse
anteilmäßig immer geringere Beiträge liefern, kann man sich so richtig
einbilden, wie die endlichen Mengen gegen die unendliche streben -
ohne sie je zu erreichen. Das ist aber alles Quatsch. Es gibt keine
Parallele zu den konvergenten Folgen der Analysis. Und zwar scheitert
dieser hübscher Traum an einem ganz einfachen Umstand: Es gibt keine
unendliche Menge.



>
> > Ganz rechts steht dann Unendlich.
>
> Dieses "ganz rechts" gibt es in dem Sinne nicht, aleph_0 ist größer als
> jede natürliche Zahl. Dort gelten andere Regeln.
> Z.B. gilt a + a = a * a = a, wenn a = aleph_0. Mind-bending, ain't it? :-)

Nach oder hinter dem Unendlichen, "ganz rechts" gibt es nicht. Schön
beobachtet. Und deshalb gibt es auch keine Zahl, die größer als jede
natürliche Zahl ist. Denn diese Vorstellung setzt voraus, dass es eine
Dimension gibt, deren Umfang mehr als unendlich ist. Völliger Quatsch.
Unendlich ist einfach endlos, ohne Ende, unbegrenzt. Und es gibt
nichts nach dem Nicht-Ende oder nach der Nicht-Grenze. Denn es gibt
dafür kein danach. Unendlich heißt: Kein Größer, kein Besser, keine
Vollendung, kein Fertig, kein Länger, kein Darüberhinaus, kein
Dahinter, kein Alles, ...

AS

[Karlheinz]

netzweltler schrieb:

> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> ...
>
> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> und Anzahl der Nachkommastellen n gilt:
>
> v(i) = i, v(i) < n, i < n
>
> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> jedes i: i < n
>
> Welchen Fehler mache ich hier?

Es muss heissen:

Für jeden endlichen Listeneintrag mit Index i...

Und wenn die Liste fertig ist, dann sind i und n gleichviel: omega.

Aber dann gibts auch kein Zurück mehr! Weil omega keinen Vorgänger hat.

[Franz Fritsche]

Am Sun, 10 Oct 2010 12:38:12 -0700 (PDT) schrieb netzweltler:

Korrekturen vorgenommen:

> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> :
>
> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> und Anzahl der Nachkommastellen aleph_0 gilt:
>
> v(i) = i, v(i) < aleph_0, aleph_0 < n

Ja.

> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> jedes i: i < aleph_0.

Ja, jede endliche Kardinalzahl ist kleiner als die erste (kleinste)
unendliche Kardinalzahl (aleph_0).

> Welchen Fehler mache ich hier?

Kein Fehler. Das ist so.

Man das vereinfacht (etwas vage/unpräzise) so formulieren:

Für alle n e IN gilt: n < oo.

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[Franz Fritsche]

Am Sun, 10 Oct 2010 12:38:12 -0700 (PDT) schrieb netzweltler:

Korrekturen vorgenommen:

> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> :
>
> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> und Anzahl der Nachkommastellen aleph_0 gilt:
>
> v(i) = i, v(i) < aleph_0, i < aleph_0.

Ja.

> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> jedes i: i < aleph_0.

Ja, jede endliche Kardinalzahl ist kleiner als die erste (kleinste)
unendliche Kardinalzahl (aleph_0).

> Welchen Fehler mache ich hier?

Kein Fehler. Das ist so.

Man das vereinfacht (etwas vage/unpräzise) so formulieren:

Für alle n e IN gilt: n < oo.

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[Franz Fritsche]

Am Sun, 10 Oct 2010 12:38:12 -0700 (PDT) schrieb netzweltler:

Korrekturen vorgenommen:

> 1. 3.333...
> 2. 33.333...
> 3. 333.333...
> :
>
> Für jeden Listeneintrag mit Index i, Anzahl der Vorkommastellen v(i)
> und Anzahl der Nachkommastellen aleph_0 gilt:
>
> v(i) = i, v(i) < aleph_0, i < aleph_0.

Ja.

> Nachdem die Liste jede natürliche Zahl (Index i) enthält, gilt für
> jedes i: i < aleph_0.

Ja, jede endliche Kardinalzahl ist kleiner als die erste (kleinste)
unendliche Kardinalzahl (aleph_0).

> Welchen Fehler mache ich hier?

Kein Fehler. Das ist so.

Man kann das vereinfacht (etwas vage/unpräzise) so formulieren:

Für alle n e IN gilt: n < oo.

MfG,
FF

--
A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

[netzweltler]

On 12 Okt., 23:00, Rainer Willis wrote:

> Am 12.10.2010 19:00, schrieb netzweltler:
> > Dann wiederum spukt auch immer wieder die Vorstellung in meinem Kopf,
> > dass - auf einem Zahlenstrahl betrachtet - die natürlichen Zahlen sich
> > ganz links in einem winzig kleinen Punkt tummeln.
>
> Das ist sehr poetisch ausgedrückt, ein Punkt ist dimensionslos. Egal,
> welche Phantastilliarden ich mir mir ausdenke, gegenüber "unendlich",
> besser omega oder aleph_0, sind sie nur ein Punkt.
>
> > Danach folgt eine unendlich große Lücke.
>
> Es gibt keine Lücke, wir betreiben lediglich einen Grenzübergang.
>
> > Ganz rechts steht dann Unendlich.
>
> Dieses "ganz rechts" gibt es in dem Sinne nicht, aleph_0 ist größer als
> jede natürliche Zahl. Dort gelten andere Regeln.
> Z.B. gilt a + a = a * a = a, wenn a = aleph_0. Mind-bending, ain't it? :-)

Was kann man über Sinn und Unsinn der folgenden Vorstellung von
Unendlich aussagen?

Ich stelle mir vor, dass die Zahl 0.333... auf einem Blatt Papier (DIN
A4) steht (natürlich mit unendlich kleinen 3ern vom linken bis zum
rechten Seitenrand geschrieben). Wenn das eine gültige Vorstellung
ist, kann man dann sagen, dass sich z.B. den Dreiern in der Mitte des
Blattes keine natürlichen Zahlen als Positionsnummer zuordnen lassen?

Gruß,
netzweltler

[Christopher Creutzig]

On 10/15/10 6:57 PM, netzweltler wrote:

> Ich stelle mir vor, dass die Zahl 0.333... auf einem Blatt Papier (DIN
> A4) steht (natürlich mit unendlich kleinen 3ern vom linken bis zum
> rechten Seitenrand geschrieben). Wenn das eine gültige Vorstellung

Das ist keine sinnvolle Vorstellung. Wenn die 3en unendlich klein sind,
was bedeutet es dann, dass Du rechts ankommst? (Wenn Du an rationale
oder reelle Zahlen denkst – vergiss den Bezug für den Moment. Maßtheorie
oder auch nur die Weise, wie rationale Zahlen eben nicht von links nach
rechts in einer Abzählung ein Intervall füllen, solltest Du Dir m.E. für
später aufheben.)

Wenn Du unbedingt eine geometrische Vorstellung haben möchtest,
betrachte lieber etwas, wo ein Grenzübergang sinnvoll funktioniert.
Beispielsweise so, dass jede natürliche Zahl die Hälfte des noch
ungenutzten Blattes einnimmt.

--
Argumente müssen nicht neu sein, nur gut und richtig.
(Herbert Nowak in de.soc.netzkultur)

[netzweltler]

On 15 Okt., 20:25, Christopher Creutzig wrote:
> On 10/15/10 6:57 PM, netzweltler wrote:
>
> > Ich stelle mir vor, dass die Zahl 0.333... auf einem Blatt Papier (DIN
> > A4) steht (natürlich mit unendlich kleinen 3ern vom linken bis zum
> > rechten Seitenrand geschrieben). Wenn das eine gültige Vorstellung
>
>  Das ist keine sinnvolle Vorstellung. Wenn die 3en unendlich klein sind,
> was bedeutet es dann, dass Du rechts ankommst?

Wenn ich vom linken Seitenrand her die 3en abzähle, komme ich nie am
rechten Seitenrand an. Ich bleibe am linken Seitenrand kleben
(poetisch ausgedrückt).

>  Wenn Du unbedingt eine geometrische Vorstellung haben möchtest,
> betrachte lieber etwas, wo ein Grenzübergang sinnvoll funktioniert.
> Beispielsweise so, dass jede natürliche Zahl die Hälfte des noch
> ungenutzten Blattes einnimmt.

Würde der Grenzübergang nicht auch so funktionieren?

1. Schritt: 0.3 nimmt das ganze Blatt ein
2. Schritt: 0.33 nimmt das ganze Blatt ein
3. Schritt: 0.333 nimmt das ganze Blatt ein
...

--
netzweltler

[netzweltler]

Ich schreibe auf folgende Weise unendlich viele 3en in eine Zeile auf
einem Blatt Papier:

Zeit 0: Ich schreibe 3 an den linken Seitenrand (Position 0)
Zeit 1/2: Ich schreibe 3 an den rechten Seitenrand (Position 1)
Zeit 3/4: Ich schreibe 3 mitten auf das Blatt (Position 1/2)
Zeit 7/8: Ich schreibe 3 an Position 1/4
Zeit 15/16: Ich schreibe 3 an Position 3/4
Zeit 31/32: Ich schreibe 3 an Position 1/8
Zeit 63/64: Ich schreibe 3 an Position 3/8
Zeit 127/128: Ich schreibe 3 an Position 5/8
Zeit 255/256: Ich schreibe 3 an Position 7/8
Zeit 511/512: Ich schreibe 3 an Position 1/16
Zeit 1023/1024: Ich schreibe 3 an Position 3/16
Zeit 2047/2048: Ich schreibe 3 an Position 5/16
Zeit 4095/4096: Ich schreibe 3 an Position 7/16
Zeit 8191/8192: Ich schreibe 3 an Position 9/16
...

Zeit 1: Sind die 3en auf dem Blatt jetzt abzählbar unendlich oder
überabzählbar unendlich viele?