Discussion:
Wer kann helfen, einen Grenzwert zu berechnen?
(zu alt für eine Antwort)
Ganzhinterseher
2020-06-03 10:38:36 UTC
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Georg Cantor nummeriert alle positiven rationalen Zahlen in seiner berühmten Folge:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .

Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?

Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.

Danke.

Gruß, WM
Me
2020-06-04 01:22:53 UTC
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Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].
Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen und auch der Begriff "Anzahl der ..." ist vielleicht auch etwas missverständlich, man kann aber immerhin sagen, dass die beiden "Intervalle" Q n (0, 1] und Q n (n, n+1] gleichmächtig sind (für bel. n e IN). Oder anders formuliert: Für jedes n e IN gilt:

card(Q n (0, 1]) = card(Q n (n, n+1]) .

Beweis: Für jede natürliche Zahl n ist die Funktion f_n: Q n (0, 1] --> Q n (n, n+1] mit f_n(x) = x + n (für alle x e Q n (0, 1] bijektiv.

Nun kann man auch leicht beweisen, dass card(Q n (0, 1]) = aleph_0 gilt. Also gilt:

An e IN: card(Q n (n, n+1]) = aleph_0 .

Das Problem mit Deiner Frage nach dem "Verhältnis der Anzahl <usw.>" ergibt sich nun aus dem Umstand, dass die Division für Kardinalzahlen im allgemeinen nicht definiert ist. Insbesondere ist auch aleph_0/aleph_0 nicht definiert.

EOD
Ganzhinterseher
2020-06-04 15:44:42 UTC
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Post by Me
Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].
Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen
Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.
Post by Me
card(Q n (0, 1]) = card(Q n (n, n+1]) .
Das sollte man meinen, da hier eindeutig Translationsinvarianz herrscht. Nur leider kann Cantor dies nicht nachvollziehen.
Post by Me
Beweis: Für jede natürliche Zahl n ist die Funktion f_n: Q n (0, 1] --> Q n (n, n+1] mit f_n(x) = x + n (für alle x e Q n (0, 1] bijektiv.
Unnötig. Selbstverständlich ist das wissenschaftlich nicht zu bestreiten.

Zum Verältnis von Wissenschaft und Mengenlehre gibt es übrigens ein neues Forum: https://groups.google.com/forum/#!forum/scivszfc
Post by Me
An e IN: card(Q n (n, n+1]) = aleph_0 .
Das Problem mit Deiner Frage nach dem "Verhältnis der Anzahl <usw.>" ergibt sich nun aus dem Umstand, dass die Division für Kardinalzahlen im allgemeinen nicht definiert ist. Insbesondere ist auch aleph_0/aleph_0 nicht definiert.
oo/oo ist auch nicht definiert, man kann aber, wie oben angedeutet, trotzdem Beweise führen, die Quotienten erbringen.

Gruß, WM
Uwe Weiss
2020-06-04 18:24:38 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].
Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen
Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.
Dann mach das doch! BEWEIS doch mal was!

In der Mathematik gibt es die Zahlentheorie.
In der realen Welt gibt es Verschwörungstheorien.

Was erhält man, wenn man das dümmste aus beiden miteinander kombiniert?

Irgendwann, in 100 Jahren, wird die Millionenfrage bei Jauch mal lauten:
Wer war der lange Zeit verkannte Begründer der Zahlenverschwörungtheorie?
WM
2020-06-04 19:50:17 UTC
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Post by Uwe Weiss
Post by Ganzhinterseher
Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.
Dann mach das doch! BEWEIS doch mal was!
Ist schon geschehen.
Post by Uwe Weiss
In der Mathematik gibt es die Zahlentheorie.
Vor allem gibt es die analytische Mathematik, mit der man Grenzwerte im Unendlichen berechnen kann. Analysiert man Cantor's Folge, so findet man, dass die Brüche in den verschiedenen Intervallen verschieden häufig sind. Der Grenzwert des Verhältnisses ist bestimmbar und nicht 1.

Aber jeden mathematischen Beweise kann man mit Glauben überwinden. Hier glaubt man einfach an die Gleichverteilung der Brüche auch in Cantors Folge, und behauptet, dass einfach das Verhältnis der Grenzwerte nicht mit dem Grenzwert des Verhältnisses identifizierbar ist. Ablehnung mathematischer Methoden ist "im Unendlichen" immer möglich.

Gruß, WM
Me
2020-06-04 19:58:10 UTC
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Post by WM
Post by Uwe Weiss
BEWEIS doch mal was!
Ist schon geschehen.
Ah ja? Könnten sie den BEWEIS bitte einmal hier posten?
Post by WM
Analysiert man Cantors Folge, so findet man, dass die Brüche in den
verschiedenen Intervallen verschieden häufig sind.
a) Man könnte jetzt sagen: Dann ist das halt so. (So what?)

b) Posten Sie doch bitte Ihren Beweis für diese Behauptung. Danke.

c) Mich würde vor allem interessieren, mit welchem "Maß" die die "Häufigkeit" der Brüche "in einem Intervall" messen/angeben.
h***@gmail.com
2020-06-05 13:49:59 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].
Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen
Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.
Nnatu
Michael Klemm
2020-06-04 06:19:40 UTC
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Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM
In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.

Gruß
Michael
Alfred Flaßhaar
2020-06-04 12:56:00 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM
In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.
Gruß
Michael
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort? Viel
interessanter wäre es zu ermitteln, wie und ob sich das Verhältnis
"Anzahl der Primzahlen" in den Intervallen (0, k] und (n, n+k ] mit nat.
n und k asymptotisch in n bei festem k einstellt.

Gruß, Alfred
Me
2020-06-04 13:24:30 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?
"About 90% of the effort in conversing with you is coming up
with things you might be trying to say."

(Gefunden in sci.math in einer Antwort auf ein Post von WM.)
Ganzhinterseher
2020-06-04 15:32:49 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?
Es geht darum, abwegige "Mathematik" zu korrigieren. Die Beantwortung dieser Frage zeigt, dass das Verhältnis aller mit natürlichen Zahlen indizierten Brüche in den Intervallen (0, 1) und (1000, 1001) keineswegs 1, sondern größer als 100 ist, wenn man es mit den Methoden der klassischen Mathematik berechnet und nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht nummeriert ist.

Aber die Mehrzahl der heute lebenden Mathematiker ist einfach total vernagelt und deswegen unfähig, diesen Gedanken auch nur ins Bewusstsein dringen lassen zu können.

Gruß, WM
Uwe Weiss
2020-06-04 18:35:30 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?
Es geht darum, abwegige "Mathematik" zu korrigieren.
Das wird dir nicht gelingen, indem du dich täglich barfuß auf einen
umgekehrten Bottich auf den Marktplatz eines 100-Seelen-Dorfes stellst,
und predigst, die Erde sei keine Scheibe, sondern eine Kugel.

Um deine Kugel-Erkenntnis zu etablieren, gibt es andere Wege als das
Usenet. Nutze sie, und werde berühmt!
Me
2020-06-04 18:44:21 UTC
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wenn man [...] nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche
nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht
nummeriert ist.
Mathematik: Alle Brüche sind X, da es keinen Bruch gibt, der nicht X ist.

In Zeichen: ~Ex~Phi(x) -> AxPhi(x) .

@Mückenheim: Es geht in der Mathematik nicht darum, ob irgendjemand etwas tun KANN oder nicht tun KANN, sondern um "mathematische Sachverhalte".

Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen". Im Kontext der üblichen Mathematik geht man aber dennoch davon aus, dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .
Me
2020-06-04 18:54:04 UTC
Permalink
Post by Me
wenn man [...] nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche
nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht
nummeriert ist.
Mathematik: Alle Brüche sind X, da es keinen Bruch gibt, der nicht X ist.
In Zeichen: ~Ex~Phi(x) -> AxPhi(x) .
@Mückenheim: Es geht in der Mathematik nicht darum, ob irgendjemand etwas tun
KANN oder nicht tun KANN, sondern um "mathematische Sachverhalte".
Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe
geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen".
Im Kontext der klassischen Mathematik geht man aber dennoch davon aus,
dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .
Hinweis: Wenn Sie Sich mit den ANNAHMEN und METHODEN der klassischen Mathematik nicht anfreunden können, Mückenheim, dann wenden Sie sich doch einfach der KONSTRUKIVISTISCHEN (oer INTUITIONISTISCHEN) Mathematik zu.

Lit.:

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mathematics

https://math.vanderbilt.edu/schectex/papers/difficult.html
WM
2020-06-04 19:55:29 UTC
Permalink
Post by Me
Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen". Im Kontext der üblichen Mathematik geht man aber dennoch davon aus, dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .
Die Häufigkeit der Brüche in Cantors Folge kann man aber mathematisch analysieren, und man findet, dass sie in verchiedenen Einheitsintervallen verschieden verteilt sind. Die Grenzwerte der Verhältnisse kann man bestimmen oder wenigstens abschätzen. Dieses Verhältnis g i b t es, basierend auf anerkannter Mathematik.

Cantor's Abzählung ist also nicht vollständig, sondern auf Betrug "im Unendlichen" gegründet, ebenso wie Hilberts Hotel. Lässt man die Gäste nicht namenlos im Unendlichen verschwinden, sondern hält die Namen fest, indem man immer denselben verwendet, dann versagt Hilberts Erklärung.

Gruß, WM
Me
2020-06-04 20:00:10 UTC
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Post by WM
dann versagt Hilberts Erklärung.
Sorry, aber da "versagt" gar nichts. Allenfalls Ihr "Vorstellungsvermögen".
WM
2020-06-04 20:07:54 UTC
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Post by Me
Post by WM
dann versagt Hilberts Erklärung.
Sorry, aber da "versagt" gar nichts. Allenfalls Ihr "Vorstellungsvermögen".
Hilbert erklärt, dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht. Das verliert sich im Unendlichen. Wenn aber der neue Gast jeweils um ein Zimmer weiter zieht, dann ist dieses Verschwinden nicht mehr möglich. Der neue Gast kann sich nicht "im Unendlichen" verlieren. Also scheitert die Cantor-Hilbert-Behauptung an präziser Mathematik. Ob Du das nun verstehen kannst oder nicht.

Gruß, WM
Me
2020-06-04 20:42:22 UTC
Permalink
Hilbert [geht davon aus], dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht.
Das verliert sich im Unendlichen.
Man kann das "so sehen", da wir uns so etwas natürlich nicht wirklich "in allen Einzelheiten" vorstellen können. Mathematisch gesehen "verliert" sich da aber nichts.
Wenn aber der neue Gast [in keines der Zimmer einziehen kann, dann...]
...findet er also in diesem Hotel (mit den veränderten "Regeln") "keinen Platz".
Also <bla>
Unsinn.
WM
2020-06-05 10:00:30 UTC
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Post by Me
Hilbert [geht davon aus], dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht.
Das verliert sich im Unendlichen.
Man kann das "so sehen", da wir uns so etwas natürlich nicht wirklich "in allen Einzelheiten" vorstellen können. Mathematisch gesehen "verliert" sich da aber nichts.
Doch, denn jeder Gats, der identifizierbar ist, zieht in ein vorher bereits belegtes Zimmer. Wenn ein weiterer Gast kommt, der stets identifizierbar bleibt, so findet er kein Zimmer.
Post by Me
Wenn aber der neue Gast [in keines der Zimmer einziehen kann, dann...]
...findet er also in diesem Hotel (mit den veränderten "Regeln") "keinen Platz".
Die Regel wird nicht verändert, denn die neue Zahl der Gäste wird nicht verändert. Lediglich die Namen werden verändert: Nicht Gast n zieht weiter, sondern Gast 0.
Post by Me
Unsinn.
Ist ein beschönigendes Wort für dieses Verfahren. Betrug wäre deutlicher. Aber wahrscheinlich haben die Apologeten dieses Verfahrens das selbst gar nicht bemerkt. Man kann also nicht von vorsätzlichem Betrug sprechen. Deine Position allerdings beruht auf vorsätzlicher Dummheit.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-06-07 20:54:40 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM
In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.
Gruß
Michael
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort? Viel
interessanter wäre es zu ermitteln, wie und ob sich das Verhältnis
"Anzahl der Primzahlen" in den Intervallen (0, k] und (n, n+k ] mit nat.
n und k asymptotisch in n bei festem k einstellt.
Gruß, Alfred
Die "seltsame Antwort" ist mir beim Vergleich von WMs ersten 12 Brüchen plus … mit Cantors Beschreibung (http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002156806 Seite 250 oben) eingefallen. Dort wird die Wohlordnung x <' y von Q n [0,1] beschrieben, die dort "x geht y voran" heißt.

Gruß
Michael

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