Wer kann helfen, einen Grenzwert zu berechnen?

Wie daemlich muss man eigentlich sein, um nicht zu begreifen, dass "Anzahl"
in demn Sinne wie bei endlichen Mengen bei "Anzahl der Elemente" fuer unend-
liche Mengen ein voellig unbrauchbarer Begriff ist?

Nun etwas so wie Cantor.

Man muss nur glauben, dass Bijektionen zwischen unendlichen Mengen dieselbe Beweiskraft haben wie zwischen endlichen Mengen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-23 19:54:07 UTC

Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,

Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-06-23 21:46:34 UTC

Hallo,

Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,

Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil *SIE* sich
dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen koennten, da diese
nur deswegen funktioniert, weil die Menge dernatuerlichen Zahlen die
minimle induktive Menge ist (man weisst nach, dass etwas fuer eine induktive
Menge gilt, und hat damit bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen
gilt, da die natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-24 14:14:58 UTC

Post by Ganzhinterseher
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?

Wenn man Menge im Sinne von beendeter Unendlichkeit definiert, dann nicht.

Post by Juergen Ilse
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil *SIE* sich
dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen koennten, da diese
nur deswegen funktioniert, weil die Menge dernatuerlichen Zahlen die
minimle induktive Menge ist (man weisst nach, dass etwas fuer eine induktive
Menge gilt, und hat damit bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen
gilt, da die natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).

"Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff, zumindest bezüglich Induktion und Definierbarkeit. Definierbar sind nun einmal nur solche natürlichen Zahlen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben. Das wirst Du nicht ändern, auch nicht durch Fußaufstampfen und behaupten: Alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Denn da die Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind (denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche Kollektion anwenden.

Gruß, WM

Ralf Bader

2020-06-24 17:46:01 UTC

Post by Ganzhinterseher
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?

Wenn man Menge im Sinne von beendeter Unendlichkeit definiert, dann nicht.

Post by Juergen Ilse
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil
*SIE* sich dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen
koennten, da diese nur deswegen funktioniert, weil die Menge
dernatuerlichen Zahlen die minimle induktive Menge ist (man weisst
nach, dass etwas fuer eine induktive Menge gilt, und hat damit
bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen gilt, da die
natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).

"Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff, zumindest
bezüglich Induktion und Definierbarkeit. Definierbar sind nun einmal
nur solche natürlichen Zahlen, die mehr Nachfolger als Vorgänger
haben. Das wirst Du nicht ändern, auch nicht durch Fußaufstampfen und
behaupten: Alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Denn da die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind

"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben." Obzwar da immer noch die Frage
offenbleibt, alle solche Zahlen "definierbar" sind, oder nur manche,
wußten Sie das in
<954ea5b1-2b8b-4223-b3e1-***@googlegroups.com>
offenbar noch nicht. Dort erklärten Sie aber: "Undefinierbare Zahlen
sind keine Zahlen. Definieren kann man aber nur Zahlen aus endlichen
Anfangsabschnitten." Zusammen mit der obigen Erkenntnis, daß "die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind",
ergibt sich also, daß nicht alle natürlichen Zahlen Zahlen sind. Oder
auch nicht, weil "Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff.

Post by Ganzhinterseher
(denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige
definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche
Kollektion anwenden.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-24 18:41:03 UTC

Post by Ganzhinterseher
"Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff, zumindest
bezüglich Induktion und Definierbarkeit. Definierbar sind nun einmal
nur solche natürlichen Zahlen, die mehr Nachfolger als Vorgänger
haben. Das wirst Du nicht ändern, auch nicht durch Fußaufstampfen und
behaupten: Alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Denn da die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind

"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der unendlich viel kleiner ist als alles darauf folgende.

Versuch also ein n ∈ ℕ zu definieren, für das gilt:

|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Post by Ralf Bader
Obzwar da immer noch die Frage
offenbleibt, alle solche Zahlen "definierbar" sind, oder nur manche,
wußten Sie das in
offenbar noch nicht.

Die Menge der definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Zu jeder definierten Zahl kann man größere finden. Trotzdem bleibt die Kollektion stets verschwindend klein gegen die aktual unendliche Menge (falls diese existiert).

Post by Ralf Bader
Dort erklärten Sie aber: "Undefinierbare Zahlen
sind keine Zahlen. Definieren kann man aber nur Zahlen aus endlichen
Anfangsabschnitten."

Ja, das halte ich nach wie vor für richtig.

Post by Ralf Bader
Zusammen mit der obigen Erkenntnis, daß "die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind",
ergibt sich also, daß nicht alle natürlichen Zahlen Zahlen sind.

Das ist eine Aussage, die man bei Annahme der aktual unendlichen Menge in Kauf nehmen muss: Dunkle Zahlen. Siehe Dark natural numbers in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

Man kann auch auf die aktuale Unendlichkeit verzichten. Mathematisch ist da nichts verloren. Ich habe hier versucht, diesen Aspekt der Mengenlehre zu retten.

Post by Ralf Bader
Oder
auch nicht, weil "Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff.

Das gilt wiederum für jede potentiell unendliche Menge. Nehmen wir aktual Unendlichkeit an, dann können wir selbstverständlich von "allen" sprechen.

Also bitte immer die Prämisse berücksichtigen.

Post by Ganzhinterseher
(denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige
definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche
Kollektion anwenden.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-06-25 05:47:06 UTC

Hallo,

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren,

Das was SIE hier als "Zahlen definieren" bezeichnen, ist schlich das "nennen"
der Zahlen (in welcher Form auch immer), denn definiert ist die Menge der
natuerlichen Zahlen (bis auf Isomorphie) bereits durch die Peano Axiome.

Post by Ganzhinterseher
die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört,

Jede natuerliche Zahl gehoert zu einem endlichen Anfangsabschnitt. Fuer jede
natuerliche Zahl n ist die Menge { k element |N | k<=n } ein endlicher An-
fangsabschnitt, der n enthaelt.

Post by Ganzhinterseher
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Was soll dieser Unsinn? Abgeseen davon, dass die Dievision durch aleph0 in
der Mathematik meines Wissens nach gar bicht definiert ist, ist es selbst-
verstaendlich, dass jede *endliche* Menge weniger maechtig als die Menge
der natuerlichen Zahlen ist.

Post by Ganzhinterseher
Die Menge der definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Zu jeder definierten Zahl kann man größere finden. Trotzdem bleibt die Kollektion stets verschwindend klein gegen die aktual unendliche Menge (falls diese existiert).

Wenn man in endlich vielen Schritten interaktiv jeweils eine Zahlhinzufuegt,
kommt man ie bei einer unendlichen Menge an. Das hat auch niemand bestritten.
Das endert aber nicht das geringste daran, dass die Menge der natuerlichen
Zahlen unendlich (und nicht nur "potentiell unendlich") ist. aus der Tatsache,
dass es keine groesste natuerliche Zahl gibt laesst sich IHR Schwachsinn der
"potentiell unendlichenMengen" nicht folgern.

Post by Ralf Bader
Dort erklärten Sie aber: "Undefinierbare Zahlen
sind keine Zahlen. Definieren kann man aber nur Zahlen aus endlichen
Anfangsabschnitten."

Ja, das halte ich nach wie vor für richtig.

Das ist Unsinn (nicht, dass SIE diesen Unsinn fuer richtig halten, sondern
der Unsinn mit den "undefinierbaren Zahlen").

Nein, das muss man eben nicht, wenn man die Existenz der unendlichen Menge
der natuerllichen Zahlen als solche akzeptiert.

Post by Ganzhinterseher
Man kann auch auf die aktuale Unendlichkeit verzichten.

Nein, denn das ist das Wesen der "Unendlichkeit von Mengen".

Post by Ganzhinterseher
Mathematisch ist da nichts verloren.

Bloedsinn.

Post by Ganzhinterseher
Ich habe hier versucht, diesen Aspekt der Mengenlehre zu retten.

... und dabei die Konsistenz der Mengenlehre komplett zerstoert ...

Post by Ralf Bader
Oder
auch nicht, weil "Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff.

Das gilt wiederum für jede potentiell unendliche Menge.

Derganze Sermon bzgl. "potentiell unendlicher Mengen" ist kompletter Unsinn,
voellig sinnfreier Bloedsinn, fuer den es keinerlei mathematische Relevanz
geben kann, und den man niemals widerspruchsfrei mit den Peano-Axiomen zu-
sammenbekommen kann.

Post by Ganzhinterseher
Nehmen wir aktual Unendlichkeit an, dann können wir selbstverständlich
von "allen" sprechen.

Na bitte, geht doch.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-25 19:43:52 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren,

Das was SIE hier als "Zahlen definieren" bezeichnen, ist schlich das "nennen"
der Zahlen

Dann nenne ein n,

Post by Ganzhinterseher
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Was soll dieser Unsinn? Abgeseen davon, dass die Dievision durch aleph0 in
der Mathematik meines Wissens nach gar nicht definiert ist

Dann wähle

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0.

Auch hierbei stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht.

Post by Juergen Ilse
, ist es selbst-
verstaendlich, dass jede *endliche* Menge weniger maechtig als die Menge
der natuerlichen Zahlen ist.

Da aber jede definierbare oder nennbare Zahl zu einer endlichen Menge gehört, ist die Menge der nennbaren Zahlen weniger mächtig als die Menge aller.

Wenn man in endlich vielen Schritten interaktiv jeweils eine Zahlhinzufuegt,
kommt man ie bei einer unendlichen Menge an. Das hat auch niemand bestritten.

In unendlich vielen Schritten geschieht das, es gibt nämlich keinen letzten. Und auch da kommt man nie an.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-06-26 09:44:49 UTC

Hallo,

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren,

Das was SIE hier als "Zahlen definieren" bezeichnen, ist schlich das "nennen"
der Zahlen

Dann nenne ein n,

Post by Ganzhinterseher
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Was soll dieser Unsinn? Abgeseen davon, dass die Dievision durch aleph0 in
der Mathematik meines Wissens nach gar nicht definiert ist

Dann wähle
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0.

Definieren SIE erst einmal eine widerspruchsfreie Arithmetik auf unendlichen
Kardinalzahlen, die als Differenz zweier unendlicher Kardinalzahlen eine
natuerliche Zahl groesser 0 zulaesst.

Post by Ganzhinterseher
Auch hierbei stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht.

Eine "Bijektion zwischen Mengen" besteht nicht, es kann nur bijektive
Abbildungen zwischen Mengen geben (dann sind sie gleichmaechtig). Das
bedeutet bei *unendlichen* Mengen aber keineswegs, dass *alle* Abbildungen
zwischen den Mengen bijektiv sein muessen (muessen sie nicht). Im Gegenteil:
bei *unendlichen* Mengen gibt es *immer* auch "nicht bijektive" Abbildungen
zwischen den Mengen.

Post by Juergen Ilse
, ist es selbst-
verstaendlich, dass jede *endliche* Menge weniger maechtig als die Menge
der natuerlichen Zahlen ist.

Da aber jede definierbare oder nennbare Zahl zu einer endlichen Menge gehört, ist die Menge der nennbaren Zahlen weniger mächtig als die Menge aller.

Hoeren SIE doch endlich mit IHREM voellig unhaltbaren Quatsch mit "definer-
baren" und "undefinierbaren" Zahlen auf. Das ist und bleibt hanebuechener
Unsinn, der mit den Peano-Axiomen nicht widerspruchsfrei unter einen Hut
zu bringen ist.

Post by Juergen Ilse
Wenn man in endlich vielen Schritten interaktiv jeweils eine Zahl hinzufuegt,
kommt man nie bei einer unendlichen Menge an. Das hat auch niemand bestritten.

In unendlich vielen Schritten geschieht das, es gibt nämlich keinen letzten. Und auch da kommt man nie an.

Man kann keine "unendlich vielen Schritte" einzaln nacheinander ausfuehren.
Es ist *KEIN* Widerspruch, dass *alle* natuerlichen Zahlen endlich sind,
waehrend die Menge aller natuerlichen Zahlen unendlich ist. Auch wenn SIE
intellektuell nicht faehig sind, das zu begreifen, es ist dennoch kein
Widerspruch. Wenn SIE gleuben, es waere einer, dann weisen SIE einen Wider-
spruch nach (anhand der Axiome, nicht anhand von IHREN unsaeglichen Behaup-
tungen, die angeblich auf "Logik" basieren wuerden).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-26 14:03:01 UTC

Post by Juergen Ilse
Definieren SIE erst einmal eine widerspruchsfreie Arithmetik auf unendlichen
Kardinalzahlen, die als Differenz zweier unendlicher Kardinalzahlen eine
natuerliche Zahl groesser 0 zulaesst.

Ich werde doch keine Zeit darauf verwenden, Unsinn zu bearbeiten. Ich stelle nur fest, dass für alle definierbaren Indizes n gilt

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Post by Ganzhinterseher
Auch hierbei stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht.

Eine "Bijektion zwischen Mengen" besteht nicht

Das ist falsch.

Post by Juergen Ilse
, es kann nur bijektive
Abbildungen zwischen Mengen geben

Das bezeichnet man als Bijektion.

Post by Juergen Ilse
Das
bedeutet bei *unendlichen* Mengen aber keineswegs, dass *alle* Abbildungen
bei *unendlichen* Mengen gibt es *immer* auch "nicht bijektive" Abbildungen
zwischen den Mengen.

Das liegt daran, dass die ganze Idee falsch ist.

Post by Juergen Ilse
, ist es selbst-
verstaendlich, dass jede *endliche* Menge weniger maechtig als die Menge
der natuerlichen Zahlen ist.

Da aber jede definierbare oder nennbare Zahl zu einer endlichen Menge gehört, ist die Menge der nennbaren Zahlen weniger mächtig als die Menge aller.

Hoeren SIE doch endlich mit IHREM voellig unhaltbaren Quatsch mit "definer-
baren" und "undefinierbaren" Zahlen auf.

Das ist Mathematik. Du solltest statt zu Fluchen, ein Gegenbeispiel zu

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

finden oder endlich einsehen, dass Du keines finden kannst.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-26 14:07:34 UTC

Das gleiche hier oo-n, geht auch nicht.
Müssten sie einen Limes nehmen:

lim k->oo |{n + 1, n + 2, n + 3, ..., k}| - |{1, 2, 3, ..., n}|

Der Wert diese Limes ist Divergenz in Richtung oo.

Ich werde doch keine Zeit darauf verwenden, Unsinn zu bearbeiten. Ich stelle nur fest, dass für alle definierbaren Indizes n gilt
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Post by Ganzhinterseher
Auch hierbei stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht.

Eine "Bijektion zwischen Mengen" besteht nicht

Das ist falsch.

Post by Juergen Ilse
, es kann nur bijektive
Abbildungen zwischen Mengen geben

Das bezeichnet man als Bijektion.

Post by Juergen Ilse
Das
bedeutet bei *unendlichen* Mengen aber keineswegs, dass *alle* Abbildungen
bei *unendlichen* Mengen gibt es *immer* auch "nicht bijektive" Abbildungen
zwischen den Mengen.

Das liegt daran, dass die ganze Idee falsch ist.

Post by Juergen Ilse
, ist es selbst-
verstaendlich, dass jede *endliche* Menge weniger maechtig als die Menge
der natuerlichen Zahlen ist.

Da aber jede definierbare oder nennbare Zahl zu einer endlichen Menge gehört, ist die Menge der nennbaren Zahlen weniger mächtig als die Menge aller.

Hoeren SIE doch endlich mit IHREM voellig unhaltbaren Quatsch mit "definer-
baren" und "undefinierbaren" Zahlen auf.

Das ist Mathematik. Du solltest statt zu Fluchen, ein Gegenbeispiel zu
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
finden oder endlich einsehen, dass Du keines finden kannst.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-26 18:37:51 UTC

Post by Mostowski Collapse
Das gleiche hier oo-n, geht auch nicht.

Natürlich geht es. Für jede definierbare Zahl n gilt omega - n = omega. Was soll da nicht gehen? Der Beweis steht fester als jeder ZFC Beweis, denn er besteht in der absoluten Unfähigkeit, eine größere Zahl n zu definieren.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-26 21:56:00 UTC

Und bei den undefinierbaren Zahlen?

Zu viel Fledermaussuppe geschlürft?

LMAO!

Post by Mostowski Collapse
Das gleiche hier oo-n, geht auch nicht.

Ganzhinterseher

2020-06-27 10:59:03 UTC

Post by Ganzhinterseher
Für jede definierbare Zahl n gilt omega - n = omega. Was soll da nicht gehen? Der Beweis steht fester als jeder ZFC Beweis, denn er besteht in der absoluten Unfähigkeit, eine größere Zahl n zu definieren.

Und bei den undefinierbaren Zahlen?

Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert. Ob die Angabe sinnvoll ist, sei dahingestellt. Wahrscheinlich ist sie Blödsinn. Ich unterstptze sie jedenfalls nicht. Aber in jedem Falle gilt für alle definierbaren Zahlen n:

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .

Gruß, WM

Michael Klemm

2020-06-27 11:35:21 UTC

Und bei den undefinierbaren Zahlen?

Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.
Hinzu kommt die Vereinbarung: Die Aussage "x ist eine natürliche Zahl" wird mit "x e |N" abgekürzt. Weiter hinzu kommen sinnvolle Regeln für das Hantieren mit Mengen.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-27 13:53:10 UTC

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre. Denn dort lautet die zentrale Aussage (ohne die alles langweilige und richtige Mathematik wäre): Eine unendliche Menge zum Beispiel von indizierten Ziffern kann so vollständig sein, dass durch sie genau eine reelle Zahl eindeutig und von allen anderen reellen Zahlen unterscheidbar definiert oder benannt ist.

Aber auch dort kann man für alle definierbaren Zahlen n beweisen:

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .

Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-27 15:45:34 UTC

But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element

is not enough for infinity. This happens
also here in this round table.

A
/ \
E B
\ __ /
D C

B follows A, C follows B, D follows E,
E follows D, A follows E, etc.. infinitely
"often", but they are not infinitely "many".
infinitely "often" and infinitely "many"

are not the same. An infinite sequence (A,
B,C,D,E,A,B,C,D,E,....) has not infinitely
many elements in its range. This here does
not proof infinitely "many":

forall x exists y = x u {x}

it shows infinitely "often". But you need
a little bit more for infinitely "many".
Usually you need reference to the collection,
this is seen in the following Peano axiom:

Axiom 1
forall x (0 =/= s(x))
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

This prevents a round table, going round
and round and having only finitely many.
The above axiom is a complete forall, which
doesn't exists in MathRealism.

Its a complete forall, since its not a
dependent forall. The forall/exists in
your successor is a maybe compatible to
potential infinity, but I doubt that

Axiom 1 can be sustained in potential
infinity. Since defined natural numbers are
only finitely many, you never know whether
for some undefined natural number n,

suddently n+1=0.

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre. Denn dort lautet die zentrale Aussage (ohne die alles langweilige und richtige Mathematik wäre): Eine unendliche Menge zum Beispiel von indizierten Ziffern kann so vollständig sein, dass durch sie genau eine reelle Zahl eindeutig und von allen anderen reellen Zahlen unterscheidbar definiert oder benannt ist.
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.
Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-27 16:05:27 UTC

Also there is no axiom forall x(x =/= s(x))
in Peano, this follows from these axioms:

forall x (0 =/= s(x))
forall x,y (s(x) = s(y) => x = y)
Induction Schema

Through induction and injectivity,
x =/= s(x) reduces to 0 =/= s(0).

But forall x(x =/= s(x)) is not
equivalent to Peano.

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity. This happens
also here in this round table.
A
/ \
E B
\ __ /
D C
B follows A, C follows B, D follows E,
E follows D, A follows E, etc.. infinitely
"often", but they are not infinitely "many".
infinitely "often" and infinitely "many"
are not the same. An infinite sequence (A,
B,C,D,E,A,B,C,D,E,....) has not infinitely
many elements in its range. This here does
forall x exists y = x u {x}
it shows infinitely "often". But you need
a little bit more for infinitely "many".
Usually you need reference to the collection,
Axiom 1
forall x (0 =/= s(x))
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
This prevents a round table, going round
and round and having only finitely many.
The above axiom is a complete forall, which
doesn't exists in MathRealism.
Its a complete forall, since its not a
dependent forall. The forall/exists in
your successor is a maybe compatible to
potential infinity, but I doubt that
Axiom 1 can be sustained in potential
infinity. Since defined natural numbers are
only finitely many, you never know whether
for some undefined natural number n,
suddently n+1=0.

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre. Denn dort lautet die zentrale Aussage (ohne die alles langweilige und richtige Mathematik wäre): Eine unendliche Menge zum Beispiel von indizierten Ziffern kann so vollständig sein, dass durch sie genau eine reelle Zahl eindeutig und von allen anderen reellen Zahlen unterscheidbar definiert oder benannt ist.
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-27 18:45:36 UTC

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn man weiß, dass es akkumulativ zustandekommt.

Im übrigen

Post by Ganzhinterseher
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-27 22:30:22 UTC

Akkumulativ, wie in Akkumulator. Was soll
den der Akkumulator sein? Eine Menge?

Und dann? Wie formulieren Sie das?

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn man weiß, dass es akkumulativ zustandekommt.
Im übrigen

Post by Ganzhinterseher
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-28 15:55:27 UTC

Post by Mostowski Collapse
Akkumulativ, wie in Akkumulator. Was soll
den der Akkumulator sein? Eine Menge?

Eine Folge oder wohlgeordnete Menge.

Post by Mostowski Collapse
Und dann? Wie formulieren Sie das?

Mit dem ">"-Zeichen.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-29 09:27:25 UTC

Aber die Frage war wie sie unendlich viele
Dinge definieren, ohne dass diese geordnet sind.
Ein "<" ist hier nicht vorausgesetzt. Aber
Sie können uns schon mal zeigen wie ihr

Unendlichkeitsbegriff funktionieren soll,
vielleicht kommt da wirklich was anderes
heraus als unendlich "oft", vielleicht gibts
ja wirklich ein unendlich "viele".

Post by Mostowski Collapse
Akkumulativ, wie in Akkumulator. Was soll
den der Akkumulator sein? Eine Menge?

Eine Folge oder wohlgeordnete Menge.

Post by Mostowski Collapse
Und dann? Wie formulieren Sie das?

Mit dem ">"-Zeichen.
Gruß, WM

2020-06-29 15:49:04 UTC

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal

Ax e M: x' e M (*)

nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.

Beweis: Sei M = {0, 1}, x' = x + 1 für alle x e M (wobei hier "+" die Addition auf Z_2 sein soll).

Es gilt dann zwar zusätzlich zu (*)

Ax e M: x' =/= x ,

aber das impliziert noch nicht, dass M unendlich ist.

Auch

Ax,y e M: x' = y' -> x = y

reicht dazu noch nicht aus. Es fehlt, wie MC richtig bemerkt, in diesem Fall:

Ax e M: x' =/= 0 .

Diese 3 Axiome sollten also (zusammen mit 0 e M) erfüllt sei,

1. Ax e M: x' e M
2. Ax e M: x' =/= 0
3. Ax,y e M: x' = y' -> x = y

um sicher zu stellen, dass M unendlich ist.

Sie können das ja auch einmal "von Hand durchspielen". Nach Voraussetzung ist 0 e M. Dann ist aufgrund von Axiom 1 auch 0' e M. Kann 0' = 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Also gilt schon mal dass M die beiden (verschiedenen) Elemente 0 und 0' als Elemente enthält. Betrachten wir nun 0''. Wegen 0' e M ist auch 0'' e M. Kann 0'' gleich 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Kann 0'' gleich 0' sein? Nein, denn dann wäre wegen Axiom 3 0' = 0 (was ja nicht der Fall ist). Also enthält M mindestens die drei (paarweise verschiedenen) Elemente 0, 0' und 0'' als Elemente. etc.

Es ist bemerkenswert, dass bei den Axiomen "für die natürlichen Zahlen", die sie in ihrem Buch angeben GERADE die 2 WESENTLICHEN Axiome 2 und 3 (von oben) fehlen. Und nein, dass 1 + 1 =/= 0 ist, ist NICHT "selbstverständlich" (siehe das oben angegebene Modell).

Lit.: https://en.wikipedia.org/wiki/GF(2)#Definition

Juergen Ilse

2020-06-30 13:35:07 UTC

Hallo,

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal
Ax e M: x' e M (*)
nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.

Stimmt. Zusammen mit der aussage, dass jeder Nachfolger verschieden von seinem
Vorganger, dessen Vorganegen, usw. (also verschieden vopn allen seinen direkten
oder indirekten Vorgaern) ist, sollte es aber genuegen, oder? Auch diese An-
forderung findet man in den Peano-Axiomen. Ich bin mir nicht sicher, wie man
das mit den "der direkte Vorgaenger und alle indirekten Vorgaenger" vernueftig
kurz und knackig formal formulieren koennte, ohne weitere Anforderungen zu
stellen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

h***@gmail.com

2020-06-30 16:19:42 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Mostowski Collapse
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infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal
Ax e M: x' e M (*)
nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.

Nein, das reicht nicht. Du musst sicherstellen, dass es ein kleinstes Element gibt, sonst hängt alles in der Luft, weil du M={} nicht ausschliessen kannst.

Aber weshalb nimmst du dir die Mühe, die Peano-Axiome ein zweites Mal zu erfinden? Reicht es nicht, diese zu zitieren und u.U. darauf hinzuweisen, wie deine Formulierung von den P-A abgeleitet werden kann?

2020-06-29 15:51:50 UTC

Post by Mostowski Collapse
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infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal

Ax e M: x' e M (*)

nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.

Beweis: Sei M = {0, 1}, x' = x + 1 für alle x e M (wobei hier "+" die Addition auf Z_2 sein soll).

Es gilt dann zwar zusätzlich zu (*)

Ax e M: x' =/= x ,

aber das impliziert noch nicht, dass M unendlich ist.

Auch

Ax,y e M: x' = y' -> x = y

reicht dazu noch nicht aus. Es fehlt, wie MC richtig bemerkt, in diesem Fall:

Ax e M: x' =/= 0 .

Diese 3 Axiome sollten also (zusammen mit 0 e M) erfüllt sei,

1. Ax e M: x' e M
2. Ax e M: x' =/= 0
3. Ax,y e M: x' = y' -> x = y

um sicher zu stellen, dass M unendlich ist.

Sie können das ja auch einmal "von Hand durchspielen". Nach Voraussetzung ist 0 e M. Dann ist aufgrund von Axiom 1 auch 0' e M. Kann 0' = 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Also gilt schon mal dass M die beiden (verschiedenen) Elemente 0 und 0' als Elemente enthält. Betrachten wir nun 0''. Wegen 0' e M ist auch 0'' e M. Kann 0'' gleich 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Kann 0'' gleich 0' sein? Nein, denn dann wäre wegen Axiom 3 0' = 0 (was ja nicht der Fall ist). Also enthält M mindestens die drei (paarweise verschiedenen) Elemente 0, 0' und 0'' als Elemente. etc.

Es ist bemerkenswert, dass bei den Axiomen "für die natürlichen Zahlen", die Sie in ihrem Buch angeben, GERADE die 2 WESENTLICHEN Axiome 2 und 3 (von oben) fehlen. Und nein, dass 1 + 1 =/= 0 ist, ist NICHT "selbstverständlich" (siehe das oben angegebene Modell).

Lit.: https://en.wikipedia.org/wiki/GF(2)#Definition

Mostowski Collapse

2020-06-29 16:31:59 UTC

Gehts ohne Induktion? Ja vielleicht...

Post by Mostowski Collapse
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is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal
Ax e M: x' e M (*)
nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.
Beweis: Sei M = {0, 1}, x' = x + 1 für alle x e M (wobei hier "+" die Addition auf Z_2 sein soll).
Es gilt dann zwar zusätzlich zu (*)
Ax e M: x' =/= x ,
aber das impliziert noch nicht, dass M unendlich ist.
Auch
Ax,y e M: x' = y' -> x = y
Ax e M: x' =/= 0 .
Diese 3 Axiome sollten also (zusammen mit 0 e M) erfüllt sei,
1. Ax e M: x' e M
2. Ax e M: x' =/= 0
3. Ax,y e M: x' = y' -> x = y
um sicher zu stellen, dass M unendlich ist.
Sie können das ja auch einmal "von Hand durchspielen". Nach Voraussetzung ist 0 e M. Dann ist aufgrund von Axiom 1 auch 0' e M. Kann 0' = 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Also gilt schon mal dass M die beiden (verschiedenen) Elemente 0 und 0' als Elemente enthält. Betrachten wir nun 0''. Wegen 0' e M ist auch 0'' e M. Kann 0'' gleich 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Kann 0'' gleich 0' sein? Nein, denn dann wäre wegen Axiom 3 0' = 0 (was ja nicht der Fall ist). Also enthält M mindestens die drei (paarweise verschiedenen) Elemente 0, 0' und 0'' als Elemente. etc.
Es ist bemerkenswert, dass bei den Axiomen "für die natürlichen Zahlen", die Sie in ihrem Buch angeben, GERADE die 2 WESENTLICHEN Axiome 2 und 3 (von oben) fehlen. Und nein, dass 1 + 1 =/= 0 ist, ist NICHT "selbstverständlich" (siehe das oben angegebene Modell).
Lit.: https://en.wikipedia.org/wiki/GF(2)#Definition

Mostowski Collapse

2020-06-29 17:09:08 UTC

Ja, geht auch ohne Induktion. Wenn man dieses
Axiom umschreibt:

Ax,y e M: x' = y' -> x = y

in das logisch aequivalente, einfach Contraposition
anwenden, dann erhält man:

Ax,y e M: x =/= y -> x' =/= y'

Das besagt aber dass die Sukzessorfunktion ' injektiv
ist. Und somit bijektiv zu diesem Bild hier ist:

M' := { x' | x e M }

Jetzt muss man nur noch zeigen dass M' eine
echte Teilmenge von M ist. Aber das ergibt sich
aus diesem Axiom:

Ax e M: x' =/= 0

damit kann man folgern ~(0 e M'), und schon hat man
Dedekind Unendlichkeit, weil somit M' echte Teilmenge
von M ist. Mit der Bijektion hatten wir aber auch

Gleichmächtigkeit M' ~ M gezeigt.

"Eine Menge gilt als unendlich, falls sie
zu einer echten Teilmenge gleichmächtig ist."
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Dedekind-Unendlichkeit

Post by Mostowski Collapse
Gehts ohne Induktion? Ja vielleicht...

Post by Mostowski Collapse
But you always talk about an element following
an element, never about a collection being
infinite. That an element follows an element
is not enough for infinity.

Doch, das ist genug, wenn <bla>

Was MC hier vermutlich meint, ist, dass rein formal
Ax e M: x' e M (*)
nicht ausreicht, um sicherzustellen, dass M eine unendliche Menge ist.
Beweis: Sei M = {0, 1}, x' = x + 1 für alle x e M (wobei hier "+" die Addition auf Z_2 sein soll).
Es gilt dann zwar zusätzlich zu (*)
Ax e M: x' =/= x ,
aber das impliziert noch nicht, dass M unendlich ist.
Auch
Ax,y e M: x' = y' -> x = y
Ax e M: x' =/= 0 .
Diese 3 Axiome sollten also (zusammen mit 0 e M) erfüllt sei,
1. Ax e M: x' e M
2. Ax e M: x' =/= 0
3. Ax,y e M: x' = y' -> x = y
um sicher zu stellen, dass M unendlich ist.
Sie können das ja auch einmal "von Hand durchspielen". Nach Voraussetzung ist 0 e M. Dann ist aufgrund von Axiom 1 auch 0' e M. Kann 0' = 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Also gilt schon mal dass M die beiden (verschiedenen) Elemente 0 und 0' als Elemente enthält. Betrachten wir nun 0''. Wegen 0' e M ist auch 0'' e M. Kann 0'' gleich 0 sein? Nein, denn das wird durch Axiom 2 ausgeschlossen. Kann 0'' gleich 0' sein? Nein, denn dann wäre wegen Axiom 3 0' = 0 (was ja nicht der Fall ist). Also enthält M mindestens die drei (paarweise verschiedenen) Elemente 0, 0' und 0'' als Elemente. etc.
Es ist bemerkenswert, dass bei den Axiomen "für die natürlichen Zahlen", die Sie in ihrem Buch angeben, GERADE die 2 WESENTLICHEN Axiome 2 und 3 (von oben) fehlen. Und nein, dass 1 + 1 =/= 0 ist, ist NICHT "selbstverständlich" (siehe das oben angegebene Modell).
Lit.: https://en.wikipedia.org/wiki/GF(2)#Definition

2020-06-29 19:33:33 UTC

Post by Mostowski Collapse
Ja, geht auch ohne Induktion.

So ist es.

Post by Mostowski Collapse
Ax,y e M: x' = y' -> x = y
in das logisch aequivalente, einfach Contraposition
Ax,y e M: x =/= y -> x' =/= y'
Das besagt aber dass die Sukzessorfunktion ' injektiv
ist.

Jep.

Post by Mostowski Collapse
M' := { x' | x e M }

Jep.

Post by Mostowski Collapse
Jetzt muss man nur noch zeigen dass M' eine
echte Teilmenge von M ist. Aber das ergibt sich
Ax e M: x' =/= 0
damit kann man folgern ~(0 e M'),

Genau.

Post by Mostowski Collapse
und schon hat man Dedekind Unendlichkeit, weil somit M' echte Teilmenge
von M ist.

In der Tat. Man kann sich in diesem Zusammenhang auch vergegenwärtigen, dass Peano explizit auf Dedekind als Quelle für seine Axiome hingewiesen hat (tatsächliche hat Dedekind sie im wesentlichen schon formuliert):

Siehe: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/numbers/peano.pdf

Das Induktions-Axiom ist vor allem eine "Minimalitätsforderung" an die Menge IN; auch wenn es dann als "Beweisprinzip" Anwendung findet/benutzt wird.

Michael Klemm

2020-06-27 17:58:55 UTC

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre.

Das ist die Logik des Allquantors. "Allquantor" ist ein Fachbegriff, dessen Anwendung ich umformuliert habe. Die Mengenlehre beginnt erst, nachdem man "n ist eine natürliche Zahl" mit "n e |N" abgekürzt hat und sich allgemein überlegt, wie man solchen, "Mengen" genannten mathematischen Objekten umgeht.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
Denn dort lautet die zentrale Aussage (ohne die alles langweilige und richtige Mathematik wäre): Eine unendliche Menge zum Beispiel von indizierten Ziffern kann so vollständig sein, dass durch sie genau eine reelle Zahl eindeutig und von allen anderen reellen Zahlen unterscheidbar definiert oder benannt ist.
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Beweis: Unfähigkeit jedes Geschöpfs und sogar jedes Gottes, eine größere Zahl n zu finden.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-27 18:42:13 UTC

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre.

Das ist die Logik des Allquantors. "Allquantor" ist ein Fachbegriff,

der für unendliche Mengen nicht anwendbar ist. Beweis:

∀n ∈ ℕ: |{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .

Nicht alle natürlichen Zahlen können in der zu subtrahierenden Menge auftreten, obwohl dort alle definierbaren natürlichen Zahlen eingesetzt werden können.

Post by Michael Klemm
Die Mengenlehre beginnt erst, nachdem man "n ist eine natürliche Zahl" mit "n e |N" abgekürzt hat und sich allgemein überlegt, wie man solchen, "Mengen" genannten mathematischen Objekten umgeht.

Offenbar haben nur Versager diese Überlegung ausgeführt und gelernt. Sonst hätte doch jemand merken müssen, dass in {n + 1, n + 2, n + 3, ...,} zwar nur endliche natürliche Zahlen vorkommen können, die aber nicht alle definierbar sind, weil sie in {1, 2, 3, ..., n} nicht alle vorkommen können.

Gruß, WM

Michael Klemm

2020-06-27 22:26:04 UTC

Post by Ganzhinterseher
Falls ES alle gibt, dann auch einen letzte, denn die Angabe "alle" besagt, dass keine einzige fehlt oder außerhalb der Menge existiert.

Nein, die zentrale Aussage lautet: Was immer x ist, kann aus "x ist eine natürliche Zahl" auf "x+1 ist eine natürliche Zahl" geschlossen werden.

Das wäre Mathematik, nicht Mengenlehre.

Das ist die Logik des Allquantors. "Allquantor" ist ein Fachbegriff,

∀n ∈ ℕ: |{n + 1, n + 2, n + 3, ...,}| - |{1, 2, 3, ..., n}| > 0 .
Nicht alle natürlichen Zahlen können in der zu subtrahierenden Menge auftreten, obwohl dort alle definierbaren natürlichen Zahlen eingesetzt werden können.

Offenbar haben nur Versager diese Überlegung ausgeführt und gelernt.

Post by Ganzhinterseher
Sonst hätte doch jemand merken müssen, dass in {n + 1, n + 2, n + 3, ...,} zwar nur endliche natürliche Zahlen vorkommen können, die aber nicht alle definierbar sind, weil sie in {1, 2, 3, ..., n} nicht alle vorkommen können.
Gruß, WM

Wie kommst Du darauf, dass jede natürliche Zahl > n zugleich <= n sein muss?

Gruß
Michael

Ganzhinterseher

2020-06-28 16:08:59 UTC

Wie kommst Du darauf, dass jede natürliche Zahl > n zugleich <= n sein muss?

Gar nicht. Die Aussage ist: Jede natürliche Zahl n, die definierbar ist, hat unendlich viele Nachfolger, von denen unendlich viele undefinierbar sind.

Gruß, WM

2020-06-28 18:46:00 UTC

Jede natürliche Zahl [...] hat unendlich viele Nachfolger [...].

Genau.

Michael Klemm

2020-06-28 19:51:51 UTC

Wie kommst Du darauf, dass jede natürliche Zahl > n zugleich <= n sein muss?

Gar nicht. Die Aussage ist: Jede natürliche Zahl n, die definierbar ist, hat unendlich viele Nachfolger, von denen unendlich viele undefinierbar sind.
Gruß, WM

Wenn Du ohne Mengenlehre auskommen willst, musst Du die gemeinsamen Eigenschaften der natürlichen Zahlen kennen, da jede Zahl einzeln aufzuzählen nicht möglich ist. Eine diese Eigenschaften ist, dass sie ohne Ausnahme einen Nachfolger besitzen. Von "unendlich viel" darf da noch nicht die Rede sein. Diese etwas saloppe Sprechweise ist erst erlaubt, wenn man in der Relation
"n e |N" weiß, wie man mit den neuen Symbolen "e" und "|N" umgeht.

Gruß
Michael

2020-06-29 16:08:59 UTC

Post by Michael Klemm
"Allquantor" ist ein Fachbegriff,

der für unendliche Mengen nicht anwendbar ist.

Das mag in Ihrem Wahnsystem namens "Mückenmatik" so sein, Herr Garnixversteher. In der Mathematik jedoch gelten die "logischen Gesetze" (mithin also auch die Gesetze und Regeln der sog. Quantifikationstheorie) für ALLE Objekte, also insbesondere auch für alle (sic!) Mengen. Um es so zu formulieren, dass auch Sie es es verstehen können: In der Mathematik gibt es keine Objekte, für die die "logischen Gesetze" NICHT gelten.

Lit.: https://www.britannica.com/topic/quantification

Post by Ganzhinterseher
<Schwachsinn gelöscht>

Juergen Ilse

2020-06-26 14:55:05 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Eine "Bijektion zwischen Mengen" besteht nicht

Das ist falsch.

Doch, das ist richtig.

Post by Juergen Ilse
, es kann nur bijektive Abbildungen zwischen Mengen geben

Das bezeichnet man als Bijektion.

Das habe ich nicht bestritten, aber vermutlich sind SIE unfaehig den
Unterschied zwischen den Aussagen zu erkennen.

Post by Juergen Ilse
Das
bedeutet bei *unendlichen* Mengen aber keineswegs, dass *alle* Abbildungen
bei *unendlichen* Mengen gibt es *immer* auch "nicht bijektive" Abbildungen
zwischen den Mengen.

Das liegt daran, dass die ganze Idee falsch ist.

Nein, das liegt daran, dass es unendliche Mengen sind, und bei unendlichen
Mengen (im Gegensatz zu endlichen Mengen) sowohl bisjektive als auch nicht
bijektive Abbildungen zwischen den Mengen *gleichzeitig* moeglich sein
koennen. Genau *das* ist ja Dedekinds Kriterium fuer "unendlichkeit von
Mengen": Eine Menge ist unendlich, wenn es eine Bijektion zwische nder Menge
selbst und einer ihrer echten Teilmengen gibt.

Post by Juergen Ilse
Hoeren SIE doch endlich mit IHREM voellig unhaltbaren Quatsch mit "definer-
baren" und "undefinierbaren" Zahlen auf.

Das ist Mathematik.

Nein, das ist SCHWACHSINN!

Post by Ganzhinterseher
Du solltest statt zu Fluchen, ein Gegenbeispiel zu
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da die Maechtigkeiten beider Mengen unendliche Kardinalzahlen sind, und auf
unendlichen Kardinalzahlen keine Subtraktion definiert ist, ist das dort oben
nichts alsw hanebuechener Bloedsinn.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-26 18:33:21 UTC

Post by Ganzhinterseher
Du solltest statt zu Fluchen, ein Gegenbeispiel zu
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da die Maechtigkeiten beider Mengen unendliche Kardinalzahlen sind,

Falsch. Die zweite Menge ist endlich.

Post by Juergen Ilse
und auf
unendlichen Kardinalzahlen keine Subtraktion definiert ist

Das ist erstens falsch https://math.stackexchange.com/questions/140930/cardinal-number-subtraction
und zweitens, wäre es richtig, so läge es daran, dass Kardinalzahlen keine mathematischen Objekte sind. Aber, wie gesagt, Deine Aussage ist gänzlich falsch.

Gruß, WM

2020-06-26 19:30:39 UTC

Post by Ganzhinterseher
dass Kardinalzahlen keine mathematischen Objekte sind

Ja, klar.

Hinweis: Ihr psychotisches Geschwalle hat in der Tat mit Mathematik (oder mathematischen Objekten) nichts zu tun.

Juergen Ilse

2020-06-27 23:42:33 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Du solltest statt zu Fluchen, ein Gegenbeispiel zu
|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da die Maechtigkeiten beider Mengen unendliche Kardinalzahlen sind,

Falsch. Die zweite Menge ist endlich.

OOPS! Nicht gruendlich genug gelesen. Das aendert aber nichts daran, dass
die von dir hier durchgefuehrte mathematische Operation (Subtraktion einer
natuerlichen Zahl von einer unendlichen Kardinalzahl) nur eine einzige
sinnvolle Definition zulaesst: Das Ergebnis ist wieder die *selbe* un-
endliche Kardinalzahl.

Post by Juergen Ilse
und auf unendlichen Kardinalzahlen keine Subtraktion definiert ist

Das ist erstens falsch https://math.stackexchange.com/questions/140930/cardinal-number-subtraction

Eine allgemeie Subtraktion zwischen Kardinalzahlen ist im Falle, dass
mindestens eine der beteiligten Kardinalzahlen unendlich ist, nicht sinnvoll
definierbar. Sie ist nur in sehr wenigen Faellen ueberhaupt definiert (dann,
wenn der Subtrahend eine kleinere Kardinalzahl ist als der Minuend). Das
steht auch so in dem von IHNEN genannten Link, und dort steht ebenfalls, dass
das Ergebnis unter dieser Voraussetzung *immer* gleich dem Minuend ist ...
Was soll also IHRE saudaemliche Frage, und was soll diese Frage damit zu tun
haben, ob es "aktual unendliche Mengen" gibt oder nicht? Da gibt es exakt
*gar* *keinen* Zusammenhang.

Post by Ganzhinterseher
und zweitens, wäre es richtig, so läge es daran, dass Kardinalzahlen
keine mathematischen Objekte sind.

Selbstverstaendlich sind Kardinalzahlen mathematische Objekte, was denn sonst?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-28 16:01:55 UTC

Post by Juergen Ilse
Das aendert aber nichts daran, dass
die von dir hier durchgefuehrte mathematische Operation (Subtraktion einer
natuerlichen Zahl von einer unendlichen Kardinalzahl) nur eine einzige
sinnvolle Definition zulaesst: Das Ergebnis ist wieder die *selbe* un-
endliche Kardinalzahl.

Egal, wie man es beschreiben möchte, Fakt ist, dass für jede definierbare natürliche Zahl n gilt

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Also muss jede definierbare natürliche Zahl unendlich viele undefinierbare Nachfolger haben.

Gruß, WM

2020-06-28 18:53:11 UTC

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Also muss jede [...] natürliche Zahl unendlich viele [...] Nachfolger haben.

Das kann man auch einfacher haben. Nämlich so:

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ℵo

bzw. so:

|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Jens Kallup

2020-07-08 19:42:19 UTC

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Also muss jede [...] natürliche Zahl unendlich viele [...] Nachfolger haben.

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ℵo
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

sorry, wenn ich diesen scheinbar abgeschlossenen Thread nochmals
herauspicke.

Wie ist das gemeint:

|{m e IN : m > n}| = ℵo .

etwa: m ist Element von |N in m > n = aleph_0 ?

ist hierbei m und n konstant oder variabel ?
ich nehme mal an m ist der Vorgänger und n der Nachfolger ?
zum Beispiel:

m = 0
n = 1

Weil, wenn die konstant sind, dann stimmt doch die Formel nicht.

|{ m + n, m + n, m + n, ...}| = aleph_0

dann unterscheiden die sich ja nicht.
fehlen da nicht indices ?

Also in der Form von;

m_0 = 0 n_0 = 1
m_1 = 1 n_1 = 2
m_2 = 2 n_2 = 3
m_n = aleph_n

dann müsste also demnach schon nach der ersten Abzählung aleph_0
überschritten sein, usw. usw. ... ?

Ist das dann ein Kontineum ?
Weder Anfang noch Ende ist bekannt, weil wir wissen ja nicht, was
für ein m vorher da war.

Ich weiss jetzt nicht, ob man das so pauschal vereinbaren kann:

[{ m_0 + n_0, m_1 + n_1, ...}| = aleph_0 .

womit ich dann wieder bei 3 raus komme, also: m_1 + n_1 = 1 + 2 = 3.

weil m_0 ist nen wenig doof; muss ja irgendwas vorher da gewesen sein.
Ne zündende Idee ?

Jens

2020-07-08 20:36:44 UTC

Post by Jens Kallup

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Also muss jede [...] natürliche Zahl unendlich viele [...] Nachfolger haben.

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ℵo
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

sorry, wenn ich diesen scheinbar abgeschlossenen Thread nochmals
herauspicke.

Warum nicht - wenn sich eine konkrete Frage ergeben hat?

Post by Jens Kallup
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Das ist so gemeint:

Die Kardinalzahl der Menge {m e IN : m > n} ist aleph_0.

Die Menge {m e IN : m > n} ist die Menge aller natürlicher Zahlen, die größer sind als (die natürliche Zahl) n.

Die Aussage war: Für jede natürliche Zahl n gilt:

|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Also in Worten: Für jede natürliche Zahl n ist die Kardinalzahl der Menge aller natürlicher Zahlen, die größer sind als n, gleich aleph_0.

Etwas einfacher formuliert:

Für jede natürliche Zahl n gibt es abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen, die größer sind als n (nämlich jeweils n+1, n+2, n+3, ...).

Anschaulich auf der "Zahlengerade":

0---1---2---3---4---5---6--- ...

Rechts jeder natürlichen Zahl liegen (jeweils) abzählbar unendlich viele weitere natürliche Zahlen.

Ohne Zahlengerade: Auf jede natürliche Zahl "folgen" abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen.

Jens Kallup

2020-07-08 20:54:23 UTC

Post by Me
0---1---2---3---4---5---6--- ...
Rechts jeder natürlichen Zahl liegen (jeweils) abzählbar unendlich viele weitere natürliche Zahlen.
Ohne Zahlengerade: Auf jede natürliche Zahl "folgen" abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen.

also ist Null (0) die kleinste, logische Einheit/Objekt?

Weil, wie ich aus den Threads hier in der Gruppe gelesen und gelernt
habe, das es unerheblich ist, die negativen Objekte zu betrachten bzw.
mit aufzuführen?

Also muss schon bei der Definition angegeben werden (Wertebereich),
an welcher Stelle der Zahlenstrahl anfängt ?

Weil, die Tage habe ich mich mit Musiktheorie beschäftigt und weiss
nun, das der Violinenschlüßel - viele sagen auch Notenschlüßel - die
Stammform der Tasten angibt.

Zum Beispiel: Deutsch, Englisch ...

Aber zurück...

Bei der Definition, ist es da üblich (oder hat es sich so eingebürgert)
dass 0 nicht mehr angegeben wird, um Platz zu sparen - so wie mit den
Multiplikator-Zeichen ?

Jens

2020-07-08 21:09:59 UTC

Post by Jens Kallup

Post by Me
0---1---2---3---4---5---6--- ...
Rechts jeder natürlichen Zahl liegen (jeweils) abzählbar unendlich viele
weitere natürliche Zahlen.
Ohne Zahlengerade: Auf jede natürliche Zahl "folgen" abzählbar unendlich
viele natürliche Zahlen.

also ist Null (0) die kleinste, logische Einheit/Objekt?

Wenn Du nicht mit 1 anfangen willst, ist 0 in der Tat die kleinste _natürliche Zahl_.

Jedoch bist Du da auf etwas gestoßen: Wenn wir uns für die ANZAHL DER ELEMENTE endlicher Mengen interessieren, so stellen wir fest, dass die Anzahl der Elemente _der leere Menge_ gleich 0 ist. Weniger geht also nicht. :-P

Post by Jens Kallup
Weil, wie ich aus den Threads hier in der Gruppe gelesen und gelernt
habe, das es unerheblich ist, die negativen Objekte zu betrachten bzw.
mit aufzuführen?

Eine Menge kann nicht "weniger" Elemente enthalten als GAR KEINE. :-P

Somit ist 0 die kleinste Zahl, wenn es um die Anzahl der Elemente (endlicher) Mengen geht.

Post by Jens Kallup
Also muss schon bei der Definition angegeben werden (Wertebereich),
an welcher Stelle der Zahlenstrahl anfängt ?

Ja.

Die Zahlengerade für Z is beidseits von 0 unendlich:

... --(-3)---(-2)---(-1)---(0)---(1)---(2)---(3)- ...

Post by Jens Kallup
Weil, die Tage habe ich mich mit Musiktheorie beschäftigt und weiss
nun, das der Violinenschlüßel - viele sagen auch Notenschlüßel - die
Stammform der Tasten angibt.

Ah! Nun ja, es ist immer gut, gewisse Dinge explizit "vorauszusetzen" (=als gültig anzunehmen).

Post by Jens Kallup
Bei der Definition, ist es da üblich (oder hat es sich so eingebürgert)
dass 0 nicht mehr angegeben wird, um Platz zu sparen - so wie mit den
Multiplikator-Zeichen ?

Bei der Definition WOVON? :-)

Wenn man von der /Menge der natürlichen Zahlen/, IN, spricht ist es immer gut, wenn man mit angibt, ob man nun 0 zu den natürlichen Zahlen rechnet oder nicht.

Jens Kallup

2020-07-08 22:03:52 UTC

Wenn man von der/Menge der natürlichen Zahlen/, IN, spricht ist es immer gut, wenn man mit angibt, ob man nun 0 zu den natürlichen Zahlen rechnet oder nicht.

Ich weiss jetzt nicht genau, ob das den Rahmen hier sprengt;
aber schon sehr frühe Computerpioniere, die Computereinheiten
programmiert haben, sind davon ausgegangen, das Aufzählungen
bei/mit 0 Anfangen.

Im Deutschunterricht ist es aber kommischerweise so, dass
Aufzählungen meist mit 1 beginnen.

Ein Baby zum Beispiel hat von Mathe meist keine Vorkenntnisse.
Also 0 Ahnung.
In Klasse (1) wird aber Heute schon verlangt, das Kinder von
0 bis 9 Zählen können.
Das mit den Englisch mal davon abgesehen.

Wie bringt man also einen Baby bei, das 0 Finger hat, an statt
10 (mit Daumen) ?

Gut, eigentliche haben Menschen ja 11 Finger:

10, 9, 8, 7, 6 +
1 2 3 4 5 = 11 ;-)

Jens

2020-07-08 22:17:41 UTC

[...] schon sehr frühe Computerpioniere, die Computereinheiten
programmiert haben, sind davon ausgegangen, das Aufzählungen
bei/mit 0 Anfangen.

In der Tat.

Allerdings war das in der Frühzeit der Informatik noch nicht so:

"... one of the main causes of the fall of the Roman Empire was that, lacking zero, they had no way to indicate successful termination of their C programs."

(Robert Firth)

Im Deutschunterricht ist es aber komischerweise so, dass
Aufzählungen meist mit 1 beginnen.

Warum soll das seltsam sein? Die 0 ist ja doch eher eine mathematische "Erfindung" und hat erst über den Umweg über die Mathematik in die "Umgangssprache" Einzug gehalten.

Die meisten Leute werden beim Zählen mit /eins/ beginnen. :-)

Ein Baby zum Beispiel hat von Mathe meist keine Vorkenntnisse.
Also 0 Ahnung.

Ja, aber eine Biene scheint das Konzept der 0 schon zu verstehen:
https://www.welt.de/kmpkt/article177729028/Bienen-haben-ein-Verstaendnis-von-Null.html
https://www.scinexx.d
e/news/biowissen/bienen-verstehen-das-prinzip-der-null/

In Klasse (1) wird aber Heute schon verlangt, das Kinder von
0 bis 9 Zählen können.

Bestimmt gehört 10 auch noch dazu, nein?

Wie bringt man also einen Baby bei [...]

Muss man das? :-)

Ganzhinterseher

2020-07-09 08:45:40 UTC

Post by Me
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Jedes definierbare Element n von ℕ ist endlich und gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt: {1, 2, 3, ..., n}. Beweis: Versuche ein größeres n zu definieren. Geht nicht. Um alle endlichen Anfangsabschnitte
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
zu zählen, sind die Zahlen eines endliche n Anfangsabschnittes erforderlich und ausreichend.

Wenn also, wie die Matheologie behauptet, die Menge ℕ größer als alle endlichen Anfangsabschnitte ist, so muss sie mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte enthalten, viel mehr, ℵo mehr.

Gruß, WM

Ralf Bader

2020-07-09 15:05:24 UTC

Post by Me
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Es sind nicht die Zahlen eines festgelegten und damit unveränderlichen
Anfangsabschnittes ausreichend. Um "alle endlichen
Anfangsabschnitte {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... zu zählen" (was auch
immer das heißen soll) sind auch alle endlichen Anfangsabschnitte nötig.
Die umgangssprachliche Formulierung "eines endlichen Anfangsabschnittes"
ist, wie nahezu alles in der Umgangssprache, mehrdeutig: "Einer" im
Sinne eines bestimmten, eindeutig und unveränderlich festgelegten,
"einer" im Sinne von "irgendeiner, der nicht näher bestimmt ist und
möglicherweise sogar wechseln kann".

Sind Sie tatsächlich unfähig, diesen Unterschied zu verstehen?

Post by Ganzhinterseher
Wenn also, wie die Matheologie behauptet, die Menge ℕ größer als alle
endlichen Anfangsabschnitte ist, so muss sie mehr als alle endlichen
Anfangsabschnitte enthalten, viel mehr, ℵo mehr.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-07-09 18:56:29 UTC

Post by Me
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Es sind nicht die Zahlen eines festgelegten und damit unveränderlichen
Anfangsabschnittes ausreichend.

Nein, warum sollte das auch so sein? Nur weil ein paar Matheologen sich nichts unter potentiell unendlich vorstellen können?

Post by Ralf Bader
Um "alle endlichen
Anfangsabschnitte {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... zu zählen" (was auch
immer das heißen soll) sind auch alle endlichen Anfangsabschnitte nötig.

Richtig, aber es ist kein Abschnitt erforderlich, der größer ls alle endlichen ist.

Post by Ralf Bader
Die umgangssprachliche Formulierung "eines endlichen Anfangsabschnittes"

Das ist irrelevant. Mathematik ist hier angebracht und macht eine präzise Aussage: Die Vereinigung von endlichen Anfangsabschnitten kann niemals zu einem unendlichen Ergebnis führen, also zu einem Ergebnis, das größer als alle endlichen Anfangsabschnitte ist.

Genau diese Behauptung wird aber im Transfiniten benötigt. Sie zeugt von einem unendlichem Maß an Denkunvermögen. Die Vereinigung kann nämlich nicht größer sein als die Projektion aller auf die Grundlinie:

(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Post by Ralf Bader
"einer" im Sinne von "irgendeiner, der nicht näher bestimmt ist und
möglicherweise sogar wechseln kann".

Das ist die Lösung, das ist potentielle Unendlichkeit, das ist der einzig mögliche Sachverhalt. Leider sind die meisten Logiker zu beschränkt, um das zu begreifen.

Gruß, WM

2020-07-09 20:16:08 UTC

Post by Ganzhinterseher
Die Vereinigung kann nämlich nicht größer sein als die Projektion aller auf
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...
(1)
(1, 2)
(1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5)
...

Die "Projektion" ist dann offensichtlich

(1, 2, 3, 4, 5, ...)

Also die unendliche Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = n.

Aber was die "Vereinigung" hier sein soll, ist nicht so offensichtlich.

Andererseits, wenn man z. B. die Mengen

{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...

betrachtet, bzw. die unendliche Menge

{{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...} ,

dann ist die Vereinigung dieser Menge, also

U{{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...}

gleich

{1, 2, 3, ...} .

Aber ich glaube, das hat man Ihnen inzwischen schon einige hundert Male erklärt (ohne dass es irgend etwas gebracht hätte).

Ganzhinterseher

2020-07-10 11:32:37 UTC

Post by Ganzhinterseher
(1)
(1, 2)
(1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5)
...

Die "Projektion" ist dann offensichtlich

nicht größer als endlich.

Post by Me
(1, 2, 3, 4, 5, ...)
Also die unendliche Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = n.

Post by Ganzhinterseher
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Post by Me
Aber was die "Vereinigung" hier sein soll, ist nicht so offensichtlich.

Doch, es ist in allen Fällen nichts Größeres als ein endlicher Anfangsabschnitt, wenn auch kein bestimmter. Aber es gibt ja genug.

Gruß, WM

jvr

2020-07-10 13:28:01 UTC

Post by Ganzhinterseher
(1)
(1, 2)
(1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5)
...

Die "Projektion" ist dann offensichtlich

nicht größer als endlich.

Post by Me
(1, 2, 3, 4, 5, ...)
Also die unendliche Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = n.

Post by Ganzhinterseher
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Post by Me
Aber was die "Vereinigung" hier sein soll, ist nicht so offensichtlich.

Doch, es ist in allen Fällen nichts Größeres als ein endlicher Anfangsabschnitt, wenn auch kein bestimmter. Aber es gibt ja genug.
Gruß, WM

Diese mückmeatische Beweismethode, die hier jahraus jahrein täglich vorgebetet
wird, ist eigentlich genial:

In Mückenhausen sind also abzählbare Mengen nicht unendlich, wenn
jedes ihrer Elemente unendlich viele Nachfolger hat.

Und wer's nicht glsubt, der irrt sich.

2020-07-10 13:44:52 UTC

Post by Ganzhinterseher
Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten
Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Wie ich schon sagte: Reif für die Klapsmühle.

Ganzhinterseher

2020-07-10 14:17:27 UTC

Post by Ganzhinterseher
Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten
Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Wie ich schon sagte: Reif für die Klapsmühle.

Andernfalls würdest Du die Richtigkeit meiner Bemerkung wohl erkannt haben:

(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
...
(n, ..., 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen bis zur n-ten Zeile ist identisch mit der endlichen Folge in der n-ten Zeile (rückwärts gelesen) für alle endlichen n. Und nur ein Wahnsinniger könnte glauben, es gäbe mehr natürliche Zahlen n, die man zu betrachten hätte.

Gruß, WM

2020-07-10 14:45:07 UTC

Post by Ganzhinterseher
Und nur ein Wahnsinniger könnte glauben, es gäbe mehr natürliche Zahlen n,
die man zu betrachten hätte.

Soll das eine Aussage sei? <facepalm>

EOD

Juergen Ilse

2020-07-11 13:25:17 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
(1)
(1, 2)
(1, 2, 3)
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4, 5)
...

Die "Projektion" ist dann offensichtlich

nicht größer als endlich.

Post by Me
(1, 2, 3, 4, 5, ...)
Also die unendliche Folge (a_n)_(n e IN) mit a_n = n.

Post by Ganzhinterseher
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Solange SIE bei nur endlich vielen bleiben, ist das Ergebnis selbstver-
staendlich immer nur endlich, aaber die Menge aller endlichen Anfangs-
abschnitte der natuerlichen Zahlen ist gleichmaechtig zur Menge der
natuerlichen Zahlen, wie man trivialerweise anhand der Abbildung

A(n) -> max(A(n))

(jeder endliche Anfangsabschnitt wird auf sein Maximum abgebildet) sehen
kann: Die Abbildung ist injektiv, da verschiedene endliche Anfangsabschnitte
auch verschiedene Mxima haben (ansonsten waeren die Anfangsabschnitte gleich)
und sie ist surjektiv, weil es zu jeder natuerlichen Zahl n einen endlichen
Anfangsabschnitt gibt, der n als Maximum hat, naemlich

A(n) = { k element |N | k <= n }

und dieser wird ja durch die oben genannte Abbildung auf n abgebildet.
Damit ist die Mene *aller* endlichen Anfangsabschnitte *abzaehlbar*
*unendlich, weil gleichmaechtig zur Menge der natuerlichen Zahlen.

Post by Me
Aber was die "Vereinigung" hier sein soll, ist nicht so offensichtlich.

Doch, es ist in allen Fällen nichts Größeres als ein endlicher Anfangsabschnitt, wenn auch kein bestimmter. Aber es gibt ja genug.

Dann nennen SIE die groesste Zahl der Vereinigung aller endlichen Anfangs-
abschnitte, denn da ja IHRER Meinung nach die Vereinigung aller endlichen
Anfangsabschnitt endlich ist, muss diese Menge auch ein maximales Element
haben, alsponennen SIE es. Koennen SIE nict? Eben weil die Vereinigung
aller (unendlich vieler) endlichen Anfangsabschnitte nicht mehr endlich
sondern abzaehlbar unendllich ist. Und wenn SIE mathematischer Duennbrett-
bohrer nicht so verbohrt waeren, waeren SIE auch in der Lage, dass zu
begreifen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

2020-07-11 13:33:03 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Ich mache IHNEN einen Vorschlag: Ich akzeptiere, dass die Vereinigung
endlich ist, wenn sie *alle* endlichen Anfangsabschnitte auflisten (da
es IHRER Meinung nach nur endlich viele endliche Anfangsabschnitte der
natuerlichen Zahlen gibt, sollte IHNEN das ja moeglich sein, und die
Letzte Zeile ihrer Auflistung wuerde dann die endliche Vereinigung
aller endlichen Anfangsabschnitte darstellen). enn ihnen die Liste
zu lang wird, wuerde mir auch die letzte Zeile genuegen. Wenn ich dann
zu dieser letzten Zeile keinen groesseren endlichen Anfangsabschnitt
finde, akzeptiere ich IHREN "Beweis", vorher aber nicht.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-07-11 16:37:31 UTC

Post by Ganzhinterseher
(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

Die Folge der ersten Zahlen ist identisch mit der endlichen Folge der letzten Zeile für alle möglichen letzten Zeilen, die stets endlich sind.

Falsch. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, aber keine natürliche Zahl aleph_0. Dasselbe gilt für die Anfangsabschnitte und alle ihre Vereinigungen:

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

Die Vereinigung übersteigt jede endliche Zahl, erreicht aber niemals aleph_0.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-07-11 17:11:27 UTC

Post by Juergen Ilse
Ich mache IHNEN einen Vorschlag: Ich akzeptiere, dass die Vereinigung
endlich ist, wenn sie *alle* endlichen Anfangsabschnitte auflisten (da
es IHRER Meinung nach nur endlich viele endliche Anfangsabschnitte der
natuerlichen Zahlen gibt,

Falsch.

Was kann an einer Aufforderung "nennen SIE die letzte Zeile ihrer
Auszaehlung" falsch sein? Oder meinen SIE, dass meine Aussage "wenn
SIE die letzte Zeile angeben, nenne ich IHNEN eine weitere Zeile
die in IHRER Aufzaehlung dahinter einzuordnen waere, oder wenn ich
das dann nicht kkann, akzeptiere ich IHRE Argumentation" sei falsch?
Ich kann IHNEN garantieren: Wenn SIE mir die letzte Zeile IHRER Auf-
zaehlung nennen, werde ich IHRE Argumentaation akzeptieren.
Wenn es keinen "letzten" endlichen Anfangsabschnitt gibt, muss es unendlich
viele endliche Anfangsabschnitte geben (gaebe es nur endlich viele. koennte
man einen "maximalen" angeben, der die Elemente aller anderen enthaelt).
Und dafuer, dass die Vereinigung unendlich vieler endlicher Mengen eine un-
endliche Menge ergeben kann, hatte ich IHNEN bereits ein Beispiel gegeben.
Da sie keinen *letzten* endlichen Anfangsabschnitt in IHRER Aufzaehlung an-
geben koennen, koennen Sie auch keinen angeben, der mit der Vereinigung aller
Anfangsabschnitte uebereinstimmt, womit ihre Argumentation nur noch fuer die
Tonne ist. SIE sind einfach zu unfaehig fuer jede ernsthafte Mathematik der
letzten 120 Jahre.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

2020-07-11 12:41:11 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Das ist irrelevant. Mathematik ist hier angebracht

In der Tat ...

Post by Ganzhinterseher
und macht eine präzise Aussage: Die Vereinigung von endlichen Anfangsabschnitten kann niemals zu einem unendlichen Ergebnis führen,

Beweisen SIE das doch mal. Fuer endliche Vereinigungen isst das trrivial
und korrekt. Fuer unendliche Vereinigungen ist es trivial ein Gegenbeispiel
zu finden: Betrachtet man alle einelementigen Mengen natuerlicher Zahlen,
so ist die Vereinigung aller solcher Mengen offensichtlich die gesamte
Menge der natuerlichen Zahlen. Waere das nicht so, muesste man ja eine
natuerliche Zahl nennen koennen, die in dieser Vereinigungsmenge *nicht*
enthalten ist, nur kann man diese nicht inden. Beweis: Sie n eine solche
natuerliche Zahl, dann ist { n } in der Menge aller einelementigen Mengen
natuerlicher Zahlen enthalten, da n ja eine natuerliche Zahl ist. Damit
wurde aber { n } mit vereinigt und n muss in der Vereinigung enthalten
sein. Daa die Menge aller natuerlichen Zahlen aber unendlich ist, muss
auch die Vereinigung all dieser einelementigen (und damit natuerlich
endlichen) Mengen unendlich sein.

Post by Ganzhinterseher
also zu einem Ergebnis, das größer als alle endlichen Anfangsabschnitte ist.

Das ist Bloedsinn, siehe oben.

Post by Ganzhinterseher
Genau diese Behauptung wird aber im Transfiniten benötigt. Sie zeugt von einem unendlichem Maß an Denkunvermögen.

Bei IHNEN, ja. Denn offensichtlich ist IHRE annahme, eine Vereinigung
unendlich vieler endlicher Mengen koenne niemals unedlich sein falsch
(wie oben anhand eines Beispiels gezeigt (bewiesen) wurde.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Jens Kallup

2020-07-11 13:25:59 UTC

Post by Juergen Ilse
Beweisen SIE das doch mal. Fuer endliche Vereinigungen isst das trrivial
und korrekt. Fuer unendliche Vereinigungen ist es trivial ein Gegenbeispiel
zu finden: Betrachtet man alle einelementigen Mengen natuerlicher Zahlen,
so ist die Vereinigung aller solcher Mengen offensichtlich die gesamte

Hallo Juergen,

kann man das so gelten lassen:

+---------------+
| n = 9 |
| +-----------+ |
| | 2 | |
| | +-------+ | |
| | | 1 | | |
| | | +---+ | | |
| | | | 0 | | | |
| | | +---+ | | |
| | +-------+ | |
| +-----------+ |
+---------------+

wobei die Kästchen jeweils ein Element/Digit bis n = 9
darstellen ?

Jens

Ganzhinterseher

2020-07-11 16:37:57 UTC

Post by Ganzhinterseher
und macht eine präzise Aussage: Die Vereinigung von endlichen Anfangsabschnitten kann niemals zu einem unendlichen Ergebnis führen,

Beweisen SIE das doch mal. Fuer endliche Vereinigungen isst das trrivial
und korrekt.

Da jeder endliche Anfangsabschnitt endlich ist, können nur endlich viele existieren. Daher gibt es keine aktual unendliche Vereinigung.

Post by Juergen Ilse
Fuer unendliche Vereinigungen ist es trivial ein Gegenbeispiel
zu finden: Betrachtet man alle einelementigen Mengen natuerlicher Zahlen,
so ist die Vereinigung aller solcher Mengen offensichtlich die gesamte
Menge der natuerlichen Zahlen.

Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch. Es gibt keine gesamte Menge definierbarer natürlicher Zahlen.

Post by Juergen Ilse
Waere das nicht so, muesste man ja eine
natuerliche Zahl nennen koennen, die in dieser Vereinigungsmenge *nicht*
enthalten ist, nur kann man diese nicht inden

Das ist eine falsche Aussage, die klar den Mangel an Verständnis des Unendlichen aufzeigt. Es gibt keinen größte Zahl, aber alle Zahlen sind endlich und damit auch alle Anfangsabschnitte kleiner als eine Menge der KZ aleph_0.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-07-11 17:20:11 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Beweisen SIE das doch mal. Fuer endliche Vereinigungen isst das trrivial
und korrekt.

Da jeder endliche Anfangsabschnitt endlich ist, können nur endlich viele existieren. Daher gibt es keine aktual unendliche Vereinigung.

Da man mit:

f(A(n)) = max(A(n))

eine triviale bijektive Abbildung der endlichen Anfangsabschnitte der
natuerlichen Zahlen auf die natuerlichen Zahlen angeben kann und die
Menge der natuerlichen Zahlen bekanntermassen eine abzaehlbar unend-
liche Menge ist, trifft das trivialerweise auch auf die Menge der
endlichen Anfangsabschnitte zu, womit IHRE saudaemliche Behauptung
(die SIE auch nicht bewiesen haben) eindeutig widerlegt, SIEmathema-
tischer Vollpfosten.

Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine gesamte Menge definierbarer natürlicher Zahlen.

Es gibt eine "gesamte Menge der natuerlichen Zahlen", und auf die habe ich
mich bezogen. Welche davon IHRER WIRREN Ansicht nach "definierbar oder auch
nicht sind" spielt fuer den Beweis nicht die geringste Rolle, SIE mathema-
tische Flachpfeife. SIE sind offensichtlich unfaehig zu jeglicher Einsicht
in mathematische Sachverhalte.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

2020-07-11 17:25:46 UTC

Post by Juergen Ilse
Es gibt eine "gesamte Menge der natuerlichen Zahlen", und auf die habe ich
mich bezogen. Welche davon IHRER WIRREN Ansicht nach "definierbar oder auch
nicht sind" spielt fuer den Beweis nicht die geringste Rolle, SIE mathema-
tische Flachpfeife. SIE sind offensichtlich unfaehig zu jeglicher Einsicht
in mathematische Sachverhalte.

Dir ist schon klar, dass Du mit einem Spinner "diskutierst", oder?

Und ja, er ist offensichtlich (jedenfalls kann man nach über einem Jahrzehnt fruchtloser Bemühungen zu dieser Ansicht gelangen) "unfähig zu jeglicher Einsicht in mathematische Sachverhalte".

Oder, wie Herr Bader gerne sagt: "zu dumm für jede Art von Mathematik" (oder so ähnlich).

Mostowski Collapse

2020-07-12 17:42:38 UTC

WM hat corona brain damage, schon bevor es corona gab.

Dir ist schon klar, dass Du mit einem Spinner "diskutierst", oder?
Und ja, er ist offensichtlich (jedenfalls kann man nach über einem Jahrzehnt fruchtloser Bemühungen zu dieser Ansicht gelangen) "unfähig zu jeglicher Einsicht in mathematische Sachverhalte".
Oder, wie Herr Bader gerne sagt: "zu dumm für jede Art von Mathematik" (oder so ähnlich).

Ganzhinterseher

2020-07-12 16:42:56 UTC

Post by Ganzhinterseher
Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

Die natürlichen Zahlen ergeben dieselbe Vereinigungsmenge wie die endlichen Anfangsabschnitte. Und die ist nicht größer als alle endlichen Anfangsabschnitte:

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

Gruß, WM

Jens Kallup

2020-07-12 18:55:08 UTC

Post by Ganzhinterseher
Die natürlichen Zahlen ergeben dieselbe Vereinigungsmenge wie die
endlichen Anfangsabschnitte. Und die ist nicht größer als alle
{1} = {1} {1} U {1, 2} = {1, 2} {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,} {1} U {1, 2}
U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Das kann nicht sein.

A = {1} = B{1}

-> falsch, Menge A kann nicht bestimmt, die gleiche
Menge B sein

A = {1} u B = {1,2}

-> falsch, Menge A u B = C
müsste lauten: B u A = C -> ((1) 2)

A = {1} u B = {1, 2} u C = {1, 2, 3}

+------------- 1. Endsegment/Menge Erweiterung
| +---------- 2. Endsegment/Menge Erweiterung
| | +------- 3. Endsegment/Menge Erweiterung
| | | +---- 4. Endsegment/Menge Erweiterung
| | | |
{ 1 } = A -> ( 1) | | |
A u B = C -> (( 1) 2) | |
C u B u A = D -> ((( 1) 2) 3) |
D u C u B u A = E -> (((( 1) 2) 3) 4)

nun könnte man hergehen und sagen: "Gut, wir haben 4 Segmente, und
3 Erweiterungen. Wie können wir nun die Anzahl der nächsten, oder
oo Erweiterung herausfinden?"

Schauen wir uns mal die vordersten Klammern an:

A -> ( | 1 Klammer minus 1 Klammer ergibt ein Element
C -> (( | 2 Klammer minus 1 Klammer ergibt ein Element

D -> ((( | 3 Klammer minus 1 Klammer ergibt zwei Elemente
E -> (((( | 4 Klammer minus 1 Klammer ergibt drei Elemente

Wie man schon sehen kann sind hier mind. 2 Bedingungen erforderlich
bzw. versteckt:

a) 1x nicht gerade, sowie
b) 1x gerade

Diese Bedingung kann mit dem Modulo % berechnet werden.

ABER: Wie lange dauert die Modulo-Berechnung von oo ?
hier müsste ein gewisses Maß an Menschenverstand
ansetzen und eine Obergrenze bzw. Untergrenze gesetzt werden.

Warum nun schon wieder minus (Untergrenze) ?
Nun, irgendwann kippt oo und negativt sich selbst v.v.

Und genau hier setzt dann nach der Mengenlehre, die Integral-
Rechnung an.
Also kann daraus geschlußfolgert werden, das die 5. Klässler
indirekt schon an die Integralrechung herangeführt werden.

Als Beispiel:

D u C u B u A = E

E ist die resultierende Obermenge, die sich aus den vier:
D, C, B, und A Untermengen zusammensetzt.

schriftlich wird das dann in etwa so gemacht:

_1
_/
4

dies ist das einfachste Integral, ich sag mal naiv: 1. Grad.

wenn man sich nun überlegt, ok die Grenze kann kippen, dann
braucht man eigentlich nur noch eine Reziproke bzw. FlipFlop-
Schaltung basteln:

_1 _4
_/ = _/ = 1
4 1

dies ist nun etwas komplexer, ich sag mal naiv: 2. Grad;
Integrale 2. Grades werden aus Platzgründen auch zusammen gefasst
mit 2 Ringen dargestellt.

Ich will jetzt nicht das 3. Integrad behandeln, und belasse das
erstmal so.

Da nun die Unendlichkeit bzw. aleph_0 immer nur "einmal" vorkommen
so kann man dann mit Hilfe des 2. Integrals beweisen, dass es egal
ist, wie man mit Unendlichkeiten umgeht:

sprich: Man kann oo addieren, summieren, multiplizieren, und
dividieren.
Egal was man tut, es kommt immer das gleich Ergebnis.

weil nun aber oo sich ins negative sowie ins positive ausdehnen
kann, ist es auch egal, welchen Anteil man sich gerade anschaut.
Bei Berechnungen schaut man sich einfach immer nur den positiven
Anteil und spart hier sogar noch das Pluszeichen.

Erstmal dazu.

Jens

2020-07-12 20:15:27 UTC

Post by Juergen Ilse
Betrachtet man alle einelementigen Mengen natuerlicher Zahlen,
so ist die Vereinigung aller solcher Mengen offensichtlich die
gesamte Menge der natuerlichen Zahlen.

Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

Die natürlichen Zahlen ergeben dieselbe Vereinigungsmenge wie <blubber>

Ja, ja, so irgendwas wird's sein, Mückenheim.

Ganzhinterseher

2020-07-13 13:45:35 UTC

Post by Juergen Ilse
Betrachtet man alle einelementigen Mengen natuerlicher Zahlen,
so ist die Vereinigung aller solcher Mengen offensichtlich die
gesamte Menge der natuerlichen Zahlen.

Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

Die natürlichen Zahlen ergeben dieselbe Vereinigungsmenge wie die endlichen Anfangsabschnitte.

Ja, ja, so irgendwas wird's sein,

Genau so ist es. Bei der Vereinigung der natürlichen Zahlen kann man geistarmen Aspiranten noch die vollendet Unendlichkeit vortäuschen. Wer das bei den Anfangsabschnitten noch glaubt, ist geistlos.

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-07-12 22:17:45 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

Bestreiten SIE mittlerweile sogar die Unendlichkeit der natuerlichen
Zahhlen?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-07-13 13:50:11 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Das ist nicht offensichtlich, sondern offensichtlich falsch.

Dann zeigen SIE den Fehler auf.

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

Post by Juergen Ilse
Bestreiten SIE mittlerweile sogar die Unendlichkeit der natuerlichen
Zahhlen?

Nicht mittlerweile und nicht die Unendlichkeit. Aber seit langem bestreite und beweise ich, dass die definierbaren natürlichen Zahlen nicht aktual unendlich sind. Bestes Beispiel: Die nummerierten Brüche in Cantors Folge = geordneter Menge

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ...

Im Intervall (100, 101] werden weniger Indizes vergeben als im Intervall (0, 1] - unendlich viele zwar, aber nicht genug.

Gruß, WM

2020-07-13 14:56:16 UTC

Post by Ganzhinterseher
Im Intervall (100, 101] werden weniger Indizes vergeben als im Intervall (0, 1]

Hinweis: Gott vergibt… Django nie!

https://de.wikipedia.org/wiki/Gott_vergibt%E2%80%A6_Django_nie!

Aber auch Gott hat seine Grenzen (wie es scheint):

„Darum sage ich euch: Alle Sünde und Lästerung wird den Menschen vergeben; aber die Lästerung gegen den Geist wird nicht vergeben. Und wer etwas redet gegen den Menschensohn, dem wird es vergeben; aber wer etwas redet gegen den Heiligen Geist, dem wird's nicht vergeben, weder in dieser noch in jener Welt.“

(Matthäus 12,31-32)

Juergen Ilse

2020-07-13 18:51:35 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Aber seit langem bestreite und beweise ich,

Das einzige, was SIE je bewiesen haben, ist IHRE komplette Unfaehigkeit zu
jeglicher Art von Mathematik.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Mostowski Collapse

2020-07-10 18:10:41 UTC

Es gibt überabzählbar viele "Wege" um abzählbar
unendlich viele definierbare Realzahlen zu produzieren.

Post by Me
|{m e IN : m > n}| = ℵo .

Jedes definierbare Element n von ℕ ist endlich und gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt: {1, 2, 3, ..., n}. Beweis: Versuche ein größeres n zu definieren. Geht nicht. Um alle endlichen Anfangsabschnitte
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
zu zählen, sind die Zahlen eines endliche n Anfangsabschnittes erforderlich und ausreichend.
Wenn also, wie die Matheologie behauptet, die Menge ℕ größer als alle endlichen Anfangsabschnitte ist, so muss sie mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte enthalten, viel mehr, ℵo mehr.
Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-07-11 12:22:15 UTC

Hallo,

Post by Jens Kallup
sorry, wenn ich diesen scheinbar abgeschlossenen Thread nochmals
herauspicke.
|{m e IN : m > n}| = ℵo .
etwa: m ist Element von |N in m > n = aleph_0 ?

Die "|" um die Mengendefinition herum stehen dafuer, dass die MAechtigkeit
der Menge und nicht die Menge selbst gemeint ist. Und fuer jede natuerliche
Zahl m ist die Menge aller natuerlichen Zahlen, die groesser als m sind,
eine Menge mit der MAechtigkeit aleph0 (eine abzaehlbar unendliche Menge).
Das ist eine solche Trivialitaet, dass man es normalerweise noch nicht
einmal erwaehnen wuerde.

Post by Jens Kallup
ist hierbei m und n konstant oder variabel ?

Aufgrund seiner "Quantorenlegasthenie" laesst WM immer mal gern den
Allquantor weg, wo er erforderlich waere (wie in diesem Fall) oder ordnet
den Quantoren auch mal andere Bedeutungen zu als sie normalerweise haben ...

Eigentlich muesste es heissen:

Fuer alle m element |N ist die Menge aller natuerlichen Zahlen groesser
als m eien abzaehlbar unendliche Menge.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

2020-06-28 20:49:31 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Also muss jede definierbare natürliche Zahl unendlich viele undefinierbare Nachfolger haben.

Wenn SIE jetzt noch das Wort "undefinierbare" weglassen, wird sogar eine
korrekte mathematische Aussaage draus ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Michael Klemm

2020-06-25 11:11:52 UTC

"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der unendlich viel kleiner ist als alles darauf folgende.

Da stellt sich doch die Frage, ob bei Dir auch 1 km "tausend viel kleiner", "millionen viel kleiner",..., "unendlich viel kleiner" als 2 km ist.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Post by Ralf Bader
Obzwar da immer noch die Frage
offenbleibt, alle solche Zahlen "definierbar" sind, oder nur manche,
wußten Sie das in
offenbar noch nicht.

Post by Ralf Bader
Dort erklärten Sie aber: "Undefinierbare Zahlen
sind keine Zahlen. Definieren kann man aber nur Zahlen aus endlichen
Anfangsabschnitten."

Ja, das halte ich nach wie vor für richtig.

Das ist eine Aussage, die man bei Annahme der aktual unendlichen Menge in Kauf nehmen muss: Dunkle Zahlen. Siehe Dark natural numbers in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
Man kann auch auf die aktuale Unendlichkeit verzichten. Mathematisch ist da nichts verloren. Ich habe hier versucht, diesen Aspekt der Mengenlehre zu retten.

Post by Ralf Bader
Oder
auch nicht, weil "Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff.

Post by Ganzhinterseher
(denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige
definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche
Kollektion anwenden.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-25 19:34:22 UTC

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der unendlich viel kleiner ist als alles darauf folgende.

Da stellt sich doch die Frage, ob bei Dir auch 1 km "tausend viel kleiner", "millionen viel kleiner",..., "unendlich viel kleiner" als 2 km ist.

Nein, die stellt sich sicher nicht. Es stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht, um die Aufgabe

|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ?

zu lösen und

|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0

zu finden.

Gruß, WM

Michael Klemm

2020-06-25 20:34:49 UTC

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der unendlich viel kleiner ist als alles darauf folgende.

Da stellt sich doch die Frage, ob bei Dir auch 1 km "tausend viel kleiner", "millionen viel kleiner",..., "unendlich viel kleiner" als 2 km ist.

Nein, die stellt sich sicher nicht. Es stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht, um die Aufgabe
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ?
zu lösen und
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0
zu finden.
Gruß, WM

Bei jeder Abzählung der rationalen Punkte z.B. eines reellen Intervalls [a,b] sind die sämtlichen reellen Punkte des Intervalls Häufungspunkte der Abzählung. Da darfst Du also Deine Verhältnisse endlicher Anzahlen und ihre Limites weitgehend beliebig vorgeben.

Gruß
Michael

Ganzhinterseher

2020-06-26 13:56:29 UTC

Post by Michael Klemm
Bei jeder Abzählung der rationalen Punkte z.B. eines reellen Intervalls [a,b] sind die sämtlichen reellen Punkte des Intervalls Häufungspunkte der Abzählung.

Bei jeder *vollständigen* Abzählung mag das so sein. Aber solange nur solche natürlichen Indizes n zur Anwendung kommen, für die gilt

|{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| - |{1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

ist das nicht so.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-26 14:00:20 UTC

n/oo ist undefiniert, oo ist keine rationale Zahl,
sie müssten eine Limes nehmen.

lim k->oo |{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ..., k}|

Der Wert dieses Limes ist 0 für jedes n.

Post by Ralf Bader
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben."

Offenbar. Versuche doch einmal eine natürliche Zahl zu definieren, die nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der unendlich viel kleiner ist als alles darauf folgende.

Da stellt sich doch die Frage, ob bei Dir auch 1 km "tausend viel kleiner", "millionen viel kleiner",..., "unendlich viel kleiner" als 2 km ist.

Nein, die stellt sich sicher nicht. Es stellt sich allein die Frage, ob eine Bijektion zwischen der Menge {1, 2, 3, ..., n} und der Menge {n + 1, n + 2, n + 3, ..., 2n} besteht, um die Aufgabe
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| = ?
zu lösen und
|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0
zu finden.
Gruß, WM

Juergen Ilse

2020-06-23 21:48:17 UTC

Hallo,

Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,

Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltng.de=

Ganzhinterseher

2020-06-24 14:16:11 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,

Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.

und woraus besteht die Kollektion der undefinierten Nachfolger?

Gruß WM

Juergen Ilse

2020-06-24 15:47:46 UTC

Hallo,

Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,

Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.

und woraus besteht die Kollektion der undefinierten Nachfolger?

Aus der leeren Menge, weil es keine "undefinierten Zahlen" gibt (ausser
in der ausufernden Phantasie eines gewissen Herrn Mueckenheim).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2020-06-24 19:06:20 UTC

Post by Juergen Ilse
Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.

und woraus besteht die Kollektion der undefinierten Nachfolger?

Aus der leeren Menge, weil es keine "undefinierten Zahlen" gibt

Versuch also ein n ∈ ℕ zu definieren, für das gilt:

|{1, 2, 3, ..., n}| / |{n + 1, n + 2, n + 3, ...}| > 0.

Du wirst scheitern. Was steht unterm Bruchstrich? Die Untermenge ℕ_def\ℕ der aktual unendlichen Menge ℕ, darüber die potentiell unendliche Kollektion definierter Zahlen ℕ_def. Sie ist induktiv. Zu jedem n gibt es n+1. Trotzdem gilt:

|pot. unendliche Kollektion ℕ_def| / |Komplement ℕ\ℕ_def| = 0.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-23 20:04:09 UTC

By symmetry and translation invariance <bla>

Sie meinen wohl "by Dummheit und Ignoranz".

Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert). Dieser Tatsache wird bei Cantors Nummerierung aller positiven Rationalzahlen aber nicht entsprochen. Ein Zwiespalt.

Hat das noch nie jemand bemerkt?

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-23 20:07:17 UTC

Post by Ganzhinterseher
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert

Natürlich nur die rationalen.

Gruß, WM

Michael Klemm

2020-06-24 13:17:59 UTC

Natürlich nur die rationalen.
Gruß, WM

Ist 1/3 bei Dir rational?

Gruß
Michael

Ganzhinterseher

2020-06-24 14:08:18 UTC

Natürlich nur die rationalen.

Ist 1/3 bei Dir rational?

Wohl überall, im Gegensatz zu 1/pi.

Gruß, WM

Michael Klemm

2020-06-24 14:26:57 UTC

Natürlich nur die rationalen.

Ist 1/3 bei Dir rational?

Wohl überall, im Gegensatz zu 1/pi.
Gruß, WM

Schön, aber was sind dann die Nachkommaziffern von 1/3?
Gruß
Michael

Mostowski Collapse

2020-06-24 13:42:49 UTC

Nettes Beispiel! Es gibt auch einen
Trick die Berechnung der asymptotischen
Dichten zu vereinfachen.

Yes the converse is not true, there are infinite
sequences, that have density zero.
First observe that we can compute the density
also a different way, assume the counts make

an increase by +1 after a certain number of steps:

a = (0, .., 0, 1, ..., 1, 2, ...)
b1 b2

Then we have:

a(n) n
lim n->oo ---- = lim n->oo ----
n b(n)

Right? Yes or No?

So we found a way to transform the notion of density
from monotonic one step sequences to subsets of N.
Namely we can now talk about the
density of an infinite subset of N:

b = {b1,b2,...}

A famouse infinite subset of N are the prime numbers.
Interestingly it has density zero.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

Which is the counter example for the converse,
i.e. infinite would imply non-zero. Das "Me"
Beispiel wäre ein anders solches Beispiel.

#(0,1]k/k + #(1,2]k/k + ... = 1
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... = 1
nicht [ohne weiteres zulässig --me]
Betrachten wir eine extrem degenerierte Enumeration, die gar keine
Enumeration ist, <usw.>

Dann ergibt sich

ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... =
0 + 0 + ... =
0 =/= 1.

In der Tat. Gut aufgepasst! :-P
Ich habe mir auch eine konkrete Abzählung überlegt, für die das wohl so ist, wie oben beschrieben (ρ(n,n+1] ist also gleich 0 für alle n e IN).
Wir gehen aus von einer Abzählung (a_n) der Menge der positiven rationalen Zahlen.
Diese Folge kann man nun in "Teilfolgen" zerlegen und zwar so, dass die Terme jeder Teilfolge gerade die Termen der ursprünglichen Folge sind, die in einem bestimmten Intervall (n, n+1] als Elemente enthalten sind.
Seien diese neuen Folgen mit (a(0,1]_n), (a(1,2]_n), (a(2,3]_n), ... bezeichnet.
Dann ist offenbar die Folge (b_n) =
(a(0,1]_1; a(0,1]_2, a(1,2]_1, a(1,2]_2; a(0,1]_3, a(1,2]_3, a(2,3]_1, a(2,3]_2, a(2,3]_3; ...)
ebenfalls eine Abzählung der positiven rationalen Zahlen.
Bildungsgesetz: Die Folge beginnt mit einem Element aus dem ersten Intervall, dann geht es weiter mit einem weiteren Element aus dem ersten und zwei Elementen aus dem zweiten Intervall, dann geht es weiter mit einem einem weiteren Element aus dem ersten Intervall und einem weiteren Element aus dem zweiten Intervall und 3 Elementen aus dem dritten Intervall, usw.
(0,1]: 1
(0,1]: 1
(1,2]: 2
(0,1]: 1
(1,2]: 1
(2,3]: 3
usw.
(0,1]: 1 => #(0,1]1/1 = 1/1 = 1
k^2 = 4
(0,1]: 2 => #(0,1]4/4 = 2/4 = 1/2
(1,2]: 2 => #(1,2]4/4 = 2/4 = 1/2
(0,1]: 3 => #(0,1]9/9 = 3/9 = 1/3
(1,2]: 3 => #(1,2]9/9 = 3/9 = 1/3
(2,3]: 3 => #(2,3]9/9 = 3/9 = 1/3
usw.
ρ(n,n+1] = lim k->oo #(n,n+1]k/k = lim k->oo sqrt(k)/k = 0 .

Mostowski Collapse

2020-06-24 13:54:27 UTC

Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.

Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts

gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.

Post by Mostowski Collapse
Nettes Beispiel! Es gibt auch einen
Trick die Berechnung der asymptotischen
Dichten zu vereinfachen.
Yes the converse is not true, there are infinite
sequences, that have density zero.
First observe that we can compute the density
also a different way, assume the counts make
a = (0, .., 0, 1, ..., 1, 2, ...)
b1 b2
a(n) n
lim n->oo ---- = lim n->oo ----
n b(n)
Right? Yes or No?
So we found a way to transform the notion of density
from monotonic one step sequences to subsets of N.
Namely we can now talk about the
b = {b1,b2,...}
A famouse infinite subset of N are the prime numbers.
Interestingly it has density zero.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
Which is the counter example for the converse,
i.e. infinite would imply non-zero. Das "Me"
Beispiel wäre ein anders solches Beispiel.

#(0,1]k/k + #(1,2]k/k + ... = 1
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... = 1
nicht [ohne weiteres zulässig --me]
Betrachten wir eine extrem degenerierte Enumeration, die gar keine
Enumeration ist, <usw.>

Dann ergibt sich

ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... =
0 + 0 + ... =
0 =/= 1.

Ganzhinterseher

2020-06-24 14:18:44 UTC

Post by Mostowski Collapse
Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.
Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts
gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.

Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-24 16:01:30 UTC

Dadurch das die Cantor Dichte != 0, wissen
wir dass es unendlich viele sind.

Beweis:
Angenommen es wärend endlich viele, dann wäre
die Dicht = 0, ein Widerspruch. Also sind

es unendlich viele.

Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.
Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-24 16:05:47 UTC

Die Dichte wäre auch = 0, wenn es endlich viele
definierbare sind, und dannach unendlich viele
undefiniere, und die Dichte sich auf die definierbaren
bezieht. Also wenn immer die Dichte sich auf

eine endliche Aufzählung bezieht, ist diese = 0.
Man könnte jetzt den Mückenschuss anwenden:

forall A endlich ρ(A) = 0 => B unendlich ρ(B) = 0

Das würde bedeuten dass die Dichte wegen dem
Mücksenschuss auch bei ρ(0,1) = 0 sein müsste.
Aber Sie schwafeln ja selber immer davon dass
ρ(0,1) = 1/2. Aber es wäre nicht so schlimm

wenn ρ(0,1) = 0 gelten würde, es gibt auch
unendliche Mengen mit Dichte 0. Aber wenn die
Dichte != 0 ist, dann wissen wir es sind
unendlich viele.

Post by Mostowski Collapse
Dadurch das die Cantor Dichte != 0, wissen
wir dass es unendlich viele sind.
Angenommen es wärend endlich viele, dann wäre
die Dicht = 0, ein Widerspruch. Also sind
es unendlich viele.

Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-24 18:21:37 UTC

Post by Mostowski Collapse
Dadurch das die Cantor Dichte != 0, wissen
wir dass es unendlich viele sind.

Unendlich viele können zu wenig sein.

Beispiel (1): 1/x --> oo für x --> 0
1/x^2 --> oo für x --> 0

(1/x)/(1/x^2) --> 0 für x --> 0.

Beispiel (2):

#(100, 101] / #(0, 1] < 0,01 für k --> oo.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2020-06-24 14:24:14 UTC

Aber dann passt ihm nicht, dass (für eine gegebene maximale Länge der Diagonale mehr Punkte in (0,1] liegen als in, sagen wir, (1000,1001].

Es geht nicht um einen gegeben maximal Länge, sondern um die vollständige Abzählung.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2020-06-25 01:31:55 UTC

Erst einmal sollte man doch vielleicht versuchen
zu Beweisen dass "Me" Formel gilt, oder das zu
wiederlegen. Hier eine neue Idee.

In the present Cantor enumeration the problem
whether gcd(x,y)=1, could be indeed related
to the problem whether z is squarefree.

Basically we have:

gcd(x,y)=1 iff x*y is squarefree

But the way Cantor enumeration sweeps the
square is not the same like when we would
level the plane by z=1,2,3,.. and then

look at all x,y where z=x*y. This would
be discrete hyperbolas. But maybe we are
now one step closer in solving the problem?

A simple proof that the square-free numbers have density 6/pi^2
January 2013 - Rafael Jakimczuk
https://www.researchgate.net/publication/321579649

Cantors Abzählreim versagt. Er steht im Widerspruch zur Mathematik. Und das hat
meines Wissens in 150 Jahren bisher nicht ein einziger Mathematiker bemerkt.

Ja, das gibt einem schon zu denken... :-)

Michael Klemm

2020-06-25 08:36:56 UTC

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM

Cantor nummeriert nicht so. Er benutzt ganzzahlige Indexpaare (n_1,n_2) mit 1 <= n_2 < n_1 und ggT(n_1,n_2) = 1. Da musst Du also erst einmal erläutern, wie Du von Cantors "Reihe" auf Deine Folge kommst.

Schon klar, für normale Menschen.
Cantor konstruiert eine Folge, die die rationalen Zahlen im Intervall (0,1) abzählt und benutzt dann eine Bijektion von (0,1) auf (0,oo). Aber Mückenheim will natürlich was besonderes, weil er meint, daraus einen Widerspruch herleiten zu können. (As if!!) Also verwendet er beliebige Indexpaare (n_1,n_2) und stellt sie in einem Diagonalenschema zusammen, (1,1); (1,2), (2,1); ((1,3), (2,2), (3,1); ... Hierbei hat man natürliche Paare (n_1,n_2) und (n_2,n_1), die die Bijektion zwischen (0,1] und [1,oo) darstellen. Aber dann passt ihm nicht, dass (für eine gegebene maximale Länge der Diagonale mehr Punkte in (0,1] liegen als in, sagen wir, (1000,1001].
Dass das über die Abzählbarkeit von (0,oo) genau nichts aussagt, geht ihm wie so vieles andere nicht ins Hirn.

Stimmt, Cantors Methode ist übersichtlicher.

Gruß
Michael

Ganzhinterseher

2020-06-25 19:47:40 UTC