Wer kann helfen, einen Grenzwert zu berechnen?

[Ganzhinterseher]

Georg Cantor nummeriert alle positiven rationalen Zahlen in seiner berühmten Folge:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .

Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?

Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.

Danke.

Gruß, WM

[Me]

Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].

Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen und auch der Begriff "Anzahl der ..." ist vielleicht auch etwas missverständlich, man kann aber immerhin sagen, dass die beiden "Intervalle" Q n (0, 1] und Q n (n, n+1] gleichmächtig sind (für bel. n e IN). Oder anders formuliert: Für jedes n e IN gilt:

card(Q n (0, 1]) = card(Q n (n, n+1]) .

Beweis: Für jede natürliche Zahl n ist die Funktion f_n: Q n (0, 1] --> Q n (n, n+1] mit f_n(x) = x + n (für alle x e Q n (0, 1] bijektiv.

Nun kann man auch leicht beweisen, dass card(Q n (0, 1]) = aleph_0 gilt. Also gilt:

An e IN: card(Q n (n, n+1]) = aleph_0 .

Das Problem mit Deiner Frage nach dem "Verhältnis der Anzahl <usw.>" ergibt sich nun aus dem Umstand, dass die Division für Kardinalzahlen im allgemeinen nicht definiert ist. Insbesondere ist auch aleph_0/aleph_0 nicht definiert.

EOD

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].

Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen

Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.

Post by Me
card(Q n (0, 1]) = card(Q n (n, n+1]) .

Das sollte man meinen, da hier eindeutig Translationsinvarianz herrscht. Nur leider kann Cantor dies nicht nachvollziehen.

Post by Me
Beweis: Für jede natürliche Zahl n ist die Funktion f_n: Q n (0, 1] --> Q n (n, n+1] mit f_n(x) = x + n (für alle x e Q n (0, 1] bijektiv.

Unnötig. Selbstverständlich ist das wissenschaftlich nicht zu bestreiten.

Zum Verältnis von Wissenschaft und Mengenlehre gibt es übrigens ein neues Forum: https://groups.google.com/forum/#!forum/scivszfc

Post by Me
An e IN: card(Q n (n, n+1]) = aleph_0 .
Das Problem mit Deiner Frage nach dem "Verhältnis der Anzahl <usw.>" ergibt sich nun aus dem Umstand, dass die Division für Kardinalzahlen im allgemeinen nicht definiert ist. Insbesondere ist auch aleph_0/aleph_0 nicht definiert.

oo/oo ist auch nicht definiert, man kann aber, wie oben angedeutet, trotzdem Beweise führen, die Quotienten erbringen.

Gruß, WM

[Uwe Weiss]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].

Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen

Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.

Dann mach das doch! BEWEIS doch mal was!

In der Mathematik gibt es die Zahlentheorie.
In der realen Welt gibt es Verschwörungstheorien.

Was erhält man, wenn man das dümmste aus beiden miteinander kombiniert?

Irgendwann, in 100 Jahren, wird die Millionenfrage bei Jauch mal lauten:
Wer war der lange Zeit verkannte Begründer der Zahlenverschwörungtheorie?

[WM]

Post by Uwe Weiss

Post by Ganzhinterseher
Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.

Dann mach das doch! BEWEIS doch mal was!

Ist schon geschehen.

Post by Uwe Weiss
In der Mathematik gibt es die Zahlentheorie.

Vor allem gibt es die analytische Mathematik, mit der man Grenzwerte im Unendlichen berechnen kann. Analysiert man Cantor's Folge, so findet man, dass die Brüche in den verschiedenen Intervallen verschieden häufig sind. Der Grenzwert des Verhältnisses ist bestimmbar und nicht 1.

Aber jeden mathematischen Beweise kann man mit Glauben überwinden. Hier glaubt man einfach an die Gleichverteilung der Brüche auch in Cantors Folge, und behauptet, dass einfach das Verhältnis der Grenzwerte nicht mit dem Grenzwert des Verhältnisses identifizierbar ist. Ablehnung mathematischer Methoden ist "im Unendlichen" immer möglich.

Gruß, WM

[Me]

Post by WM

Post by Uwe Weiss
BEWEIS doch mal was!

Ist schon geschehen.

Ah ja? Könnten sie den BEWEIS bitte einmal hier posten?

Post by WM
Analysiert man Cantors Folge, so findet man, dass die Brüche in den
verschiedenen Intervallen verschieden häufig sind.

a) Man könnte jetzt sagen: Dann ist das halt so. (So what?)

b) Posten Sie doch bitte Ihren Beweis für diese Behauptung. Danke.

c) Mich würde vor allem interessieren, mit welchem "Maß" die die "Häufigkeit" der Brüche "in einem Intervall" messen/angeben.

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Kann jemand [das] Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen
aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1]
[angeben].

Nun, mit einem Verhältnis kann ich zwar nicht dienen

Darum geht es aber. Man kann zum Beispiel mit mathematischen Methoden den Grenzwert des Quotienten x^2/3x^2 für x --> oo ausrechnen, obwohl beide Funktionen dort unendlich sind. Genau so kann man, so hoffe ich, den gewünschten Quotienten berechnen - und falls nicht, so kann man ihn zumindest abschätzen und damit bewiesen, dass Cantor keinesfalls alle Brüche nummeriert.

Nnatu

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM

In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.

Gruß
Michael

[Alfred Flaßhaar]

Post by Michael Klemm

Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM

In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.
Gruß
Michael

Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort? Viel
interessanter wäre es zu ermitteln, wie und ob sich das Verhältnis
"Anzahl der Primzahlen" in den Intervallen (0, k] und (n, n+k ] mit nat.
n und k asymptotisch in n bei festem k einstellt.

Gruß, Alfred

[Me]

Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?

"About 90% of the effort in conversing with you is coming up
with things you might be trying to say."

(Gefunden in sci.math in einer Antwort auf ein Post von WM.)

[Ganzhinterseher]

Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?

Es geht darum, abwegige "Mathematik" zu korrigieren. Die Beantwortung dieser Frage zeigt, dass das Verhältnis aller mit natürlichen Zahlen indizierten Brüche in den Intervallen (0, 1) und (1000, 1001) keineswegs 1, sondern größer als 100 ist, wenn man es mit den Methoden der klassischen Mathematik berechnet und nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht nummeriert ist.

Aber die Mehrzahl der heute lebenden Mathematiker ist einfach total vernagelt und deswegen unfähig, diesen Gedanken auch nur ins Bewusstsein dringen lassen zu können.

Gruß, WM

[Uwe Weiss]

Post by Ganzhinterseher

Post by Alfred Flaßhaar
Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort?

Es geht darum, abwegige "Mathematik" zu korrigieren.

Das wird dir nicht gelingen, indem du dich täglich barfuß auf einen
umgekehrten Bottich auf den Marktplatz eines 100-Seelen-Dorfes stellst,
und predigst, die Erde sei keine Scheibe, sondern eine Kugel.

Um deine Kugel-Erkenntnis zu etablieren, gibt es andere Wege als das
Usenet. Nutze sie, und werde berühmt!

[Me]

wenn man [...] nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche
nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht
nummeriert ist.

Mathematik: Alle Brüche sind X, da es keinen Bruch gibt, der nicht X ist.

In Zeichen: ~Ex~Phi(x) -> AxPhi(x) .

@Mückenheim: Es geht in der Mathematik nicht darum, ob irgendjemand etwas tun KANN oder nicht tun KANN, sondern um "mathematische Sachverhalte".

Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen". Im Kontext der üblichen Mathematik geht man aber dennoch davon aus, dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .

[Me]

Post by Me

wenn man [...] nicht dem Irrglauben erliegt, Cantor könnte alle Brüche
nummerieren - nur weil niemand einen Bruch angeben kann, der nicht
nummeriert ist.

Mathematik: Alle Brüche sind X, da es keinen Bruch gibt, der nicht X ist.
In Zeichen: ~Ex~Phi(x) -> AxPhi(x) .
@Mückenheim: Es geht in der Mathematik nicht darum, ob irgendjemand etwas tun
KANN oder nicht tun KANN, sondern um "mathematische Sachverhalte".
Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe
geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen".
Im Kontext der klassischen Mathematik geht man aber dennoch davon aus,
dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .

Hinweis: Wenn Sie Sich mit den ANNAHMEN und METHODEN der klassischen Mathematik nicht anfreunden können, Mückenheim, dann wenden Sie sich doch einfach der KONSTRUKIVISTISCHEN (oer INTUITIONISTISCHEN) Mathematik zu.

Lit.:

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mathematics

https://math.vanderbilt.edu/schectex/papers/difficult.html

[WM]

Post by Me
Niemand kann die 10^10^10-te Primzahl (in der Folge der nach der Größe geordneten PZen) explizit als Dezimalzahl "angeben" oder "aussprechen". Im Kontext der üblichen Mathematik geht man aber dennoch davon aus, dass es diese Zahl g i b t, und dass sie eine Dezimaldarstellung b e s i t z t .

Die Häufigkeit der Brüche in Cantors Folge kann man aber mathematisch analysieren, und man findet, dass sie in verchiedenen Einheitsintervallen verschieden verteilt sind. Die Grenzwerte der Verhältnisse kann man bestimmen oder wenigstens abschätzen. Dieses Verhältnis g i b t es, basierend auf anerkannter Mathematik.

Cantor's Abzählung ist also nicht vollständig, sondern auf Betrug "im Unendlichen" gegründet, ebenso wie Hilberts Hotel. Lässt man die Gäste nicht namenlos im Unendlichen verschwinden, sondern hält die Namen fest, indem man immer denselben verwendet, dann versagt Hilberts Erklärung.

Gruß, WM

[Me]

Post by WM
dann versagt Hilberts Erklärung.

Sorry, aber da "versagt" gar nichts. Allenfalls Ihr "Vorstellungsvermögen".

[WM]

Post by Me

Post by WM
dann versagt Hilberts Erklärung.

Sorry, aber da "versagt" gar nichts. Allenfalls Ihr "Vorstellungsvermögen".

Hilbert erklärt, dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht. Das verliert sich im Unendlichen. Wenn aber der neue Gast jeweils um ein Zimmer weiter zieht, dann ist dieses Verschwinden nicht mehr möglich. Der neue Gast kann sich nicht "im Unendlichen" verlieren. Also scheitert die Cantor-Hilbert-Behauptung an präziser Mathematik. Ob Du das nun verstehen kannst oder nicht.

Gruß, WM

[Me]

Hilbert [geht davon aus], dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht.
Das verliert sich im Unendlichen.

Man kann das "so sehen", da wir uns so etwas natürlich nicht wirklich "in allen Einzelheiten" vorstellen können. Mathematisch gesehen "verliert" sich da aber nichts.

Wenn aber der neue Gast [in keines der Zimmer einziehen kann, dann...]

...findet er also in diesem Hotel (mit den veränderten "Regeln") "keinen Platz".

Also <bla>

Unsinn.

[WM]

Post by Me

Hilbert [geht davon aus], dass jeder Gast um ein Zimmer weiter zieht.
Das verliert sich im Unendlichen.

Man kann das "so sehen", da wir uns so etwas natürlich nicht wirklich "in allen Einzelheiten" vorstellen können. Mathematisch gesehen "verliert" sich da aber nichts.

Doch, denn jeder Gats, der identifizierbar ist, zieht in ein vorher bereits belegtes Zimmer. Wenn ein weiterer Gast kommt, der stets identifizierbar bleibt, so findet er kein Zimmer.

Post by Me

Wenn aber der neue Gast [in keines der Zimmer einziehen kann, dann...]

...findet er also in diesem Hotel (mit den veränderten "Regeln") "keinen Platz".

Die Regel wird nicht verändert, denn die neue Zahl der Gäste wird nicht verändert. Lediglich die Namen werden verändert: Nicht Gast n zieht weiter, sondern Gast 0.

Post by Me
Unsinn.

Ist ein beschönigendes Wort für dieses Verfahren. Betrug wäre deutlicher. Aber wahrscheinlich haben die Apologeten dieses Verfahrens das selbst gar nicht bemerkt. Man kann also nicht von vorsätzlichem Betrug sprechen. Deine Position allerdings beruht auf vorsätzlicher Dummheit.

Gruß, WM

[Me]

Post by WM
Die Regel wird nicht verändert

Doch, bei Deiner "Variante" des Hilbertschen Hotels herrschen andere Regeln in Bezug auf den "Ablauf" beim Einzug eines neuen Gastes.

Ich habe aber wirklich keine Lust mehr, weiter auf den Unsinn, den Du hier verzapfst, einzugehen. Daher:

EOD.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by WM
Die Regel wird nicht verändert

Doch, bei Deiner "Variante" des Hilbertschen Hotels herrschen andere Regeln in Bezug auf den "Ablauf" beim Einzug eines neuen Gastes.

Es sind in beiden Fällen die Gäste 1, 2, 3, ... und 0. Aus wissenschaftlicher Sicht müssen aus gleichen Voraussetzungen gleiche Ergebnisse folgen. Zum Beweis habe ich in Hilberts Darstellung die Mona Lisa eingeführt. Wäre Hilberts Procedere zutreffend, dürfte sie nicht verschwinden.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
wenn Sie die Funktion:

f(x) = 2x

auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.

Betrachtet man die Translation:

g(x) = x+1

dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
gleichmächtig. Jetzt gilt aber:

[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)

Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
[0,1) und somit auch von [1,2) und [0,2):

X+X = X

Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Post by WM
Die Regel wird nicht verändert

Doch, bei Deiner "Variante" des Hilbertschen Hotels herrschen andere Regeln in Bezug auf den "Ablauf" beim Einzug eines neuen Gastes.

Es sind in beiden Fällen die Gäste 1, 2, 3, ... und 0. Aus wissenschaftlicher Sicht müssen aus gleichen Voraussetzungen gleiche Ergebnisse folgen. Zum Beweis habe ich in Hilberts Darstellung die Mona Lisa eingeführt. Wäre Hilberts Procedere zutreffend, dürfte sie nicht verschwinden.
Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Mostowski Collapse
Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
f(x) = 2x
auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.
g(x) = x+1
dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)
Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
X+X = X
Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Sie ist verrückt. Leider haben das die meisten nicht nicht gemerkt.

Wenn, eine Bijektion, Element für Element, zwischen zwei Mengen existiert, dann haben diese exakt dieselbe Anzahl von Elementen. Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern nur zwischen beliebig großen endlichen Anfangsabschnitten.

Cantor gibt das an versteckter Stelle selbst zu:

∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|.

Aber leider sind die meisten Matheologen so verwirrt, dass sie lieber an aktualen Unsinn glauben.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher
Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl
von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern

Wie heißt es doch so schön: Andersrum wird ein Schuh draus.

WEIL es (wie man leicht zeigen kann) eine Bijektion zwischen IN und Q gibt, haben die beiden Mengen (per Definition / nach Frege) dieselbe "Anzahl" von Elementen. :-)

"Indem ich [sachlich -me], wie ich glaube, mit Cantor übereinstimme, weiche ich doch
in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er "Mächtigkeit,"
während sein Begriff der Anzahl auf die Anordnung Bezug nimmt. Für endliche
Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine Unabhängigkeit von der
Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse. Nun enthält der
Sprachgebrauch des Wortes "Anzahl" und der Frage "wieviele?" keine
Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors Anzahl antwortet vielmehr
auf die Frage: "das wievielste Glied in der Succession ist das Endglied?"
Darum scheint mir meine Benennung besser mit dem Sprachgebrauche
übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines Wortes erweitert, so wird
man darauf zu achten haben, dass möglichst viele allgemeine Sätze ihre
Geltung behalten und zumal so grundlegende, wie für die Anzahl die
Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben gar keine Erweiterung
nöthig gehabt, weil unser Begriff der Anzahl sofort auch unendliche Zahlen
umfasst."

(Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, 1884)

[Me]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl
von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern

Wie heißt es doch so schön: Andersrum wird ein Schuh draus.
WEIL es (wie man leicht zeigen kann) eine Bijektion zwischen IN und Q gibt,
haben die beiden Mengen (per Definition / nach Frege) dieselbe "Anzahl" von
Elementen. :-)

Hierzu noch ein paar Bemerkungen aus Freges Büchlein "Die Grundlagen der Arithmetik" (1884):

"Ich will der Kürze wegen den Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig nennen, wenn die Möglichkeit vorliegt [die unter den einen den unter den andern Begriff fallenden Gegenständen beiderseits eindeutig zuzuordnen], muss aber bitten, dies Wort als eine willkührlich gewählte Bezeichnungsweise zu betrachten, deren Bedeutung nicht der sprachlichen Zusammensetzung, sondern dieser Festsetzung zu entnehmen ist."

"Es ist nöthig, die Gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen. Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und wie ich diesen Ausdruck verstehen will, ist jetzt darzulegen, weil man leicht etwas Anschauliches darin vermuthen könnte.
Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner sicher sein will, dass er ebensoviele Messer als Teller auf den Tisch legt, braucht er weder diese noch jene zu zählen, wenn er nur rechts neben jeden Teller ein Messer legt, sodass jedes Messer auf dem Tische sich rechts neben einem Teller befindet. Die Teller und Messer sind so beiderseits eindeutig einander zugeordnet ..."

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl
von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern

Wie heißt es doch so schön: Andersrum wird ein Schuh draus.
WEIL es (wie man leicht zeigen kann) eine Bijektion zwischen IN und Q gibt, haben die beiden Mengen (per Definition / nach Frege) dieselbe "Anzahl" von Elementen. :-)

Nach diesem Maß wäre auch die Anzahl der rationalen Punkte auf dem Radius eines Quarks gleich der Anzahl aller rationalen Punkte im Universum. Dass dies Maß falsch ist, sollte jedem denkbaren Menschen klar sein.

Folglich kann die Bijektion nur endliche Teile der Mengen betreffen. Und in der Tat sieht Cantor dies sogar selbst ein:

∀n ∈ ℕ_{in Bijektion}: |ω| - n = |ω| .

Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.

Für einen geistig gesunden Menschen, sollte diese Frage klar entscheidbar sein, zumal man auch eine Bijektion zwischen zwei Quarkradien herstellen kann. Für einen Matheologen mag Dummheit oder Eigennutz das Gegenteil hervorbringen.

"... Da aber sah ich, daß den meisten die Wissenschaft nur etwas ist, insofern sie davon leben, und daß sie sogar den Irrtum vergöttern, wenn sie davon ihre Existenz haben." [Goethe, zitiert nach Johann Peter Eckermann: "Gespräche mit Goethe in den letzten Jahren seines Lebens", Mittwoch, den 15. Oktober 1825]

Solche Betrüger wie die intelligenten Proponenten der transfiniten Mengenlehre gab es also schon immer. Dass die Dummen Mitläufer nichts dafür können, ist keinen Frage.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Nach diesem Maß wäre auch die Anzahl der rationalen Punkte auf dem Radius eines Quarks gleich der Anzahl aller rationalen Punkte im Universum. Dass dies Maß falsch ist, sollte jedem denkbaren Menschen klar sein.

Nein,das ist voellig korrekt. SIE haben noch immer nicht begriffen, dass
"Dedekind-Unendlichkeit" kein Widerspruch ist ...

Post by Ganzhinterseher
Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.

Omega ist eine "Limes-Ordinalzahl" und hat daher keinen direktenVorgaenger.
Man kann daher nicht von 1 bis Omega zaehlen, wohl aber von 1 bis zu jeder
beliebigen Ordinalzahl kleiner Omega. Nein, das ist kein Widerspruch.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Nach diesem Maß wäre auch die Anzahl der rationalen Punkte auf dem Radius eines Quarks gleich der Anzahl aller rationalen Punkte im Universum. Dass dies Maß falsch ist, sollte jedem denkbaren Menschen klar sein.

Nein,das ist voellig korrekt.

Mit dem rechten Glauben kann man jeden Blödsinn für korrekt erklären.

Post by Juergen Ilse
SIE haben noch immer nicht begriffen, dass
"Dedekind-Unendlichkeit" kein Widerspruch ist ...

Es ist kein Widerspruch potentieller Unendlichkeit. Leider wurde er missbraucht in der beendeten Unendlichkeit.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.

Omega ist eine "Limes-Ordinalzahl" und hat daher keinen direktenVorgaenger.
Man kann daher nicht von 1 bis Omega zaehlen, wohl aber von 1 bis zu jeder
beliebigen Ordinalzahl kleiner Omega. Nein, das ist kein Widerspruch.

Wenn eine Bijektion behauptet wird, so ist es ein Widerspruch. Das wird leider oft "übersehen".

"Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Gruß, WM

[Roalto]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl
von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern

Wie heißt es doch so schön: Andersrum wird ein Schuh draus.
WEIL es (wie man leicht zeigen kann) eine Bijektion zwischen IN und Q gibt, haben die beiden Mengen (per Definition / nach Frege) dieselbe "Anzahl" von Elementen. :-)

Nach diesem Maß wäre auch die Anzahl der rationalen Punkte auf dem Radius eines Quarks gleich der Anzahl aller rationalen Punkte im Universum. Dass dies Maß falsch ist, sollte jedem denkbaren Menschen klar sein.

Was ist das für ein Maß? Nach den "normalen" Maßen haben rationale Zahlen das Maß 0; also alle gleich. Erklären Sie doch mal!

Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ_{in Bijektion}: |ω| - n = |ω| .
Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.
Für einen geistig gesunden Menschen, sollte diese Frage klar entscheidbar sein, zumal man auch eine Bijektion zwischen zwei Quarkradien herstellen kann. Für einen Matheologen mag Dummheit oder Eigennutz das Gegenteil hervorbringen.

Haben rationale Zahlen eine Ausdehnung? Nach deine Schwachsinn üssten sie eine Ausdehnng haben

Post by Ganzhinterseher
"... Da aber sah ich, daß den meisten die Wissenschaft nur etwas ist, insofern sie davon leben, und daß sie sogar den Irrtum vergöttern, wenn sie davon ihre Existenz haben." [Goethe, zitiert nach Johann Peter Eckermann: "Gespräche mit Goethe in den letzten Jahren seines Lebens", Mittwoch, den 15. Oktober 1825]

Ja,ja, die goethesche Farbenlehre ist auch Gegenstand der wissenschaftlichen Erkenntnisse über Photonen.

Post by Ganzhinterseher
Solche Betrüger wie die intelligenten Proponenten der transfiniten Mengenlehre gab es also schon immer. Dass die Dummen Mitläufer nichts dafür können, ist keinen Frage.
Gruß, WM

Viel Spsss weiterhin
Roalto

[Ganzhinterseher]

Post by Roalto
Was ist das für ein Maß? Nach den "normalen" Maßen haben rationale Zahlen das Maß 0; also alle gleich. Erklären Sie doch mal!

Das steht im Widerspruch zur Translationsinvarianz der reellen Achse (da nimmt man alle Dezimaldarstellungen und ersetzt "0," durch "1,") und außerdem im Widerspruch zur Mathematik. Überdeckt man nämlich die positive reelle Achse mit Intervallen der Form I_n = [q_n - sqrt(2)/2^n, q_n + sqrt(2)/2^n], dann hat man weniger als das Maß 2sqrt(2) überdeckt, aber keine rationalen Zahlen mehr im Komplement. Also kann das Komplement überhaupt nichts mehr enthalten (denn zwischen jedem irrationalen Endpunkt eines Intervalls, der nicht in einem anderen Intervall liegt, und dem Komplement müsste eine rationale Zahl liegen.

Post by Roalto

Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ_{in Bijektion}: |ω| - n = |ω| .
Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.
Für einen geistig gesunden Menschen, sollte diese Frage klar entscheidbar sein, zumal man auch eine Bijektion zwischen zwei Quarkradien herstellen kann. Für einen Matheologen mag Dummheit oder Eigennutz das Gegenteil hervorbringen.

Haben rationale Zahlen eine Ausdehnung?
Nach deine Schwachsinn müssten sie eine Ausdehnng haben

Nein. Es genügt, dass es zu jeder Zahl 0,xyz auch eine Zahl 1,xyz gibt.

Gruß, WM

[Roalto]

Post by Ganzhinterseher

Post by Roalto
Was ist das für ein Maß? Nach den "normalen" Maßen haben rationale Zahlen das Maß 0; also alle gleich. Erklären Sie doch mal!

Das steht im Widerspruch zur Translationsinvarianz der reellen Achse (da nimmt man alle Dezimaldarstellungen und ersetzt "0," durch "1,") und außerdem im Widerspruch zur Mathematik. Überdeckt man nämlich die positive reelle Achse mit Intervallen der Form I_n = [q_n - sqrt(2)/2^n, q_n + sqrt(2)/2^n], dann hat man weniger als das Maß 2sqrt(2) überdeckt, aber keine rationalen Zahlen mehr im Komplement. Also kann das Komplement überhaupt nichts mehr enthalten (denn zwischen jedem irrationalen Endpunkt eines Intervalls, der nicht in einem anderen Intervall liegt, und dem Komplement müsste eine rationale Zahl liegen.

Post by Roalto

Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ_{in Bijektion}: |ω| - n = |ω| .
Die Frage ist nun, welches Argument schlagkräftiger ist: Cantors Behauptung, dass man trotz dieses Malus bis omega zähle kann, oder die Erkenntnis, dass die Zahl der Punkte im Universum nicht gleich der Zahl der Punkte im Quarkradius ist.

Wie groß ist denn der Radius vom z.B. Top-Quark? Hat ein Down-Quark den selben
Radius, obwohl die Massen sehr unterschiedlich sind?

Post by Ganzhinterseher

Post by Roalto

Post by Ganzhinterseher
Für einen geistig gesunden Menschen, sollte diese Frage klar entscheidbar sein, zumal man auch eine Bijektion zwischen zwei Quarkradien herstellen kann. Für einen Matheologen mag Dummheit oder Eigennutz das Gegenteil hervorbringen.

Haben rationale Zahlen eine Ausdehnung?
Nach deine Schwachsinn müssten sie eine Ausdehnng haben

Nein. Es genügt, dass es zu jeder Zahl 0,xyz auch eine Zahl 1,xyz gibt.

Wie das? Gibt es zwischen benachbarten rationalen Zahlen einen Abstand > 0?

Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.

Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein. Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.

Kleine Frage, was ist die Ethymologie
von Mückenheim? Gibts da Mückenfledermäuse?
Die sind aber sehr klein, die

gibts bei uns hier:
https://www.kreuzlinger-zeitung.ch/2020/06/12/den-jaegerinnen-der-nacht-auf-der-spur-3/

Post by Ganzhinterseher

Post by Mostowski Collapse
Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
f(x) = 2x
auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.
g(x) = x+1
dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)
Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
X+X = X
Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Sie ist verrückt. Leider haben das die meisten nicht nicht gemerkt.
Wenn, eine Bijektion, Element für Element, zwischen zwei Mengen existiert, dann haben diese exakt dieselbe Anzahl von Elementen. Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern nur zwischen beliebig großen endlichen Anfangsabschnitten.
∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|.
Aber leider sind die meisten Matheologen so verwirrt, dass sie lieber an aktualen Unsinn glauben.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

„Jede endliche Menge besitzt eine Anzahl der
Elemente, die durch eine natürliche Zahl
angegeben werden kann. Mit der Berechnung
solcher Anzahlen beschäftigt sich die
abzählende Kombinatorik.“
https://de.wikipedia.org/wiki/Anzahl

Post by Mostowski Collapse
Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein. Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.
Kleine Frage, was ist die Ethymologie
von Mückenheim? Gibts da Mückenfledermäuse?
Die sind aber sehr klein, die
https://www.kreuzlinger-zeitung.ch/2020/06/12/den-jaegerinnen-der-nacht-auf-der-spur-3/

Post by Ganzhinterseher

Post by Mostowski Collapse
Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
f(x) = 2x
auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.
g(x) = x+1
dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)
Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
X+X = X
Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Sie ist verrückt. Leider haben das die meisten nicht nicht gemerkt.
Wenn, eine Bijektion, Element für Element, zwischen zwei Mengen existiert, dann haben diese exakt dieselbe Anzahl von Elementen. Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern nur zwischen beliebig großen endlichen Anfangsabschnitten.
∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|.
Aber leider sind die meisten Matheologen so verwirrt, dass sie lieber an aktualen Unsinn glauben.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Mückenheimische Sprachschwäche, faselt
von Anzahl, wo keine ist.

Post by Mostowski Collapse
„Jede endliche Menge besitzt eine Anzahl der
Elemente, die durch eine natürliche Zahl
angegeben werden kann. Mit der Berechnung
solcher Anzahlen beschäftigt sich die
abzählende Kombinatorik.“
https://de.wikipedia.org/wiki/Anzahl

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Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein. Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.
Kleine Frage, was ist die Ethymologie
von Mückenheim? Gibts da Mückenfledermäuse?
Die sind aber sehr klein, die
https://www.kreuzlinger-zeitung.ch/2020/06/12/den-jaegerinnen-der-nacht-auf-der-spur-3/

Post by Ganzhinterseher

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Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
f(x) = 2x
auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.
g(x) = x+1
dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)
Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
X+X = X
Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Sie ist verrückt. Leider haben das die meisten nicht nicht gemerkt.
Wenn, eine Bijektion, Element für Element, zwischen zwei Mengen existiert, dann haben diese exakt dieselbe Anzahl von Elementen. Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern nur zwischen beliebig großen endlichen Anfangsabschnitten.
∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|.
Aber leider sind die meisten Matheologen so verwirrt, dass sie lieber an aktualen Unsinn glauben.
Gruß, WM

[Roalto]

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Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein. Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.
Kleine Frage, was ist die Ethymologie

Etymologie

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von Mückenheim? Gibts da Mückenfledermäuse?
Die sind aber sehr klein, die
https://www.kreuzlinger-zeitung.ch/2020/06/12/den-jaegerinnen-der-nacht-auf-der-spur-3/

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Wie erklären sie sich die Verdoppelung,
f(x) = 2x
auf das Interval [0,1) anwenden, dann
erhalten Sie das Interval [0,2), da
die Funktion f aber eine Bijektion ist,
sind [0,1) und [0,2) gleichmächtig.
g(x) = x+1
dann sind [0,1) und [1,2) ebenfalls
[0,1) vereinigt mit [1,2) = [0,2)
Oder anders, sei X die Mächtigkeit von
X+X = X
Die Mengenlehre muss verrückt sein.

Sie ist verrückt. Leider haben das die meisten nicht nicht gemerkt.
Wenn, eine Bijektion, Element für Element, zwischen zwei Mengen existiert, dann haben diese exakt dieselbe Anzahl von Elementen. Da die aktual unendlichen Mengen |N und |Q aber keinesfalls dieselbe Anzahl von Elementen haben, kann keine Bijektion zwischen ihnen bestehen, sondern nur zwischen beliebig großen endlichen Anfangsabschnitten.
∀n ∈ ℕ: |ω| - n = |ω|.
Aber leider sind die meisten Matheologen so verwirrt, dass sie lieber an aktualen Unsinn glauben.
Gruß, WM

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Ganzhinterseher]

Post by Mostowski Collapse
Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.

Falls die Bijektion eine wäre, so hieße das genau gleiche Anzahl von Elementen. Keines mehr und keines weniger.

Post by Mostowski Collapse
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein.

Sagt jeder vernünftige Mensch. Nach Cantor sind aber die wohlgeordneten Mengen Anzahlen.

Post by Mostowski Collapse
Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.

Deshalb sollte man den Begriff überhaupt weglassen. Cantor hat ihn nur erfunden, um sich bei Kardinal Franzelin einzuschmeicheln.

Post by Mostowski Collapse
Kleine Frage, was ist die Ethymologie

Irgendwas aus der Thymusdrüse? Oder Thymus praecox?

Gruß, WM

[Roalto]

Post by Ganzhinterseher

Post by Mostowski Collapse
Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.

Falls die Bijektion eine wäre, so hieße das genau gleiche Anzahl von Elementen. Keines mehr und keines weniger.

Post by Mostowski Collapse
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein.

Sagt jeder vernünftige Mensch. Nach Cantor sind aber die wohlgeordneten Mengen Anzahlen.

Post by Mostowski Collapse
Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.

Deshalb sollte man den Begriff überhaupt weglassen. Cantor hat ihn nur erfunden, um sich bei Kardinal Franzelin einzuschmeicheln.

Post by Mostowski Collapse
Kleine Frage, was ist die Ethymologie

Irgendwas aus der Thymusdrüse? Oder Thymus praecox?

Nein, das ist so etwas wie der Backfire-Effekt aus der Dunning-Kruger Umgebung!

Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Mostowski Collapse]

Es gibt kein Abzählung, Anzählungs, Zählungs
Axiom in ZFC. Was soll dieses "Counting" sein?

Post by Ganzhinterseher

Post by Mostowski Collapse
Nö, falls |A|=|B|=|ω| dann bedeutet
das nur dass A und B den gleichen Grad
an Unendlichkeit haben.

Falls die Bijektion eine wäre, so hieße das genau gleiche Anzahl von Elementen. Keines mehr und keines weniger.

Post by Mostowski Collapse
Aber eine Unendlichkeit kann keine
Anzahl mehr sein.

Sagt jeder vernünftige Mensch. Nach Cantor sind aber die wohlgeordneten Mengen Anzahlen.

Post by Mostowski Collapse
Nur die endlichen
Cardinalitäten sind Anzahlen.

Deshalb sollte man den Begriff überhaupt weglassen. Cantor hat ihn nur erfunden, um sich bei Kardinal Franzelin einzuschmeicheln.

Post by Mostowski Collapse
Kleine Frage, was ist die Ethymologie

Irgendwas aus der Thymusdrüse? Oder Thymus praecox?
Gruß, WM

[WM]

Post by Mostowski Collapse
Es gibt kein Abzählung, Anzählungs, Zählungs
Axiom in ZFC. Was soll dieses "Counting" sein?

Es gibt keine Abzählung, weil die Unendlichkeit nicht beendet oder *ab*geschlossen werden kann. Es gibt allenfalls *an*zählbare unendliche Mengen.

"eine überall dicht verbreitete, jedoch abzählbare Punctmenge" ist also eine allenfalls anzählbare Punktmenge.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Michael Klemm

Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ... .
Kann jemand den Grenzwert des Verhältnisses der Anzahl der positiven rationalen Zahlen aus dem ersten und dem n-ten Einheitsintervall, also aus (0, 1] und (n, n+1], ausrechnen?
Für den Anfang würde auch das Verhältnis aus (0, 1] und (1000, 1001] genügen.
Danke.
Gruß, WM

In Cantors Wohlordnung x <=' y von Q^+ sei A_q = {x e Q^+ | x <=' q}, q e Q^+. Dann stellt sich zunächst die möglicher Weise interessante Frage nach den (endlichen) Kardinalitäten der Mengen A_q n (n, n+1), n e N.
Gruß
Michael

Was soll diese abwegige Fragestellung und seltsame Antwort? Viel
interessanter wäre es zu ermitteln, wie und ob sich das Verhältnis
"Anzahl der Primzahlen" in den Intervallen (0, k] und (n, n+k ] mit nat.
n und k asymptotisch in n bei festem k einstellt.
Gruß, Alfred

Die "seltsame Antwort" ist mir beim Vergleich von WMs ersten 12 Brüchen plus … mit Cantors Beschreibung (http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002156806 Seite 250 oben) eingefallen. Dort wird die Wohlordnung x <' y von Q n [0,1] beschrieben, die dort "x geht y voran" heißt.

Gruß
Michael