Discussion:
Wer kann helfen, einen Grenzwert zu berechnen?
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-06-23 19:52:03 UTC
Permalink
Cantors Abzählreim versagt. Er steht im Widerspruch zur Mathematik. Und das hat
meines Wissens in 150 Jahren bisher nicht ein einziger Mathematiker bemerkt.
Ja, das gibt einem schon zu denken... :-)
Ganzhinterseher
2020-06-23 19:52:21 UTC
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Wie daemlich muss man eigentlich sein, um nicht zu begreifen, dass "Anzahl"
in demn Sinne wie bei endlichen Mengen bei "Anzahl der Elemente" fuer unend-
liche Mengen ein voellig unbrauchbarer Begriff ist?
Nun etwas so wie Cantor.

Man muss nur glauben, dass Bijektionen zwischen unendlichen Mengen dieselbe Beweiskraft haben wie zwischen endlichen Mengen.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-06-23 19:54:07 UTC
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Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-06-23 21:46:34 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil *SIE* sich
dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen koennten, da diese
nur deswegen funktioniert, weil die Menge dernatuerlichen Zahlen die
minimle induktive Menge ist (man weisst nach, dass etwas fuer eine induktive
Menge gilt, und hat damit bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen
gilt, da die natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-06-24 14:14:58 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?
Wenn man Menge im Sinne von beendeter Unendlichkeit definiert, dann nicht.
Post by Juergen Ilse
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil *SIE* sich
dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen koennten, da diese
nur deswegen funktioniert, weil die Menge dernatuerlichen Zahlen die
minimle induktive Menge ist (man weisst nach, dass etwas fuer eine induktive
Menge gilt, und hat damit bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen
gilt, da die natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).
"Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff, zumindest bezüglich Induktion und Definierbarkeit. Definierbar sind nun einmal nur solche natürlichen Zahlen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben. Das wirst Du nicht ändern, auch nicht durch Fußaufstampfen und behaupten: Alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Denn da die Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind (denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche Kollektion anwenden.

Gruß, WM
Ralf Bader
2020-06-24 17:46:01 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Also ist die Menge der natuerlichen Zahlen keine induktive Menge?
Wenn man Menge im Sinne von beendeter Unendlichkeit definiert, dann nicht.
Post by Juergen Ilse
IHR Unsinn wird wiklich immer abstruser ... Insbesondere, weil
*SIE* sich dann auch nicht auf die vollstaendige Induktionberufen
koennten, da diese nur deswegen funktioniert, weil die Menge
dernatuerlichen Zahlen die minimle induktive Menge ist (man weisst
nach, dass etwas fuer eine induktive Menge gilt, und hat damit
bewiesen, dass es fuer *alle* natuerlichen Zahlen gilt, da die
natuerlichen Zahlen Teilmenge jeder anderen induktiven Menge
sind).
"Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff, zumindest
bezüglich Induktion und Definierbarkeit. Definierbar sind nun einmal
nur solche natürlichen Zahlen, die mehr Nachfolger als Vorgänger
haben. Das wirst Du nicht ändern, auch nicht durch Fußaufstampfen und
behaupten: Alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Denn da die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind
"Definierbar" sind also nun "nur solche natürlichen Zahlen, die mehr
Nachfolger als Vorgänger haben." Obzwar da immer noch die Frage
offenbleibt, alle solche Zahlen "definierbar" sind, oder nur manche,
wußten Sie das in
<954ea5b1-2b8b-4223-b3e1-***@googlegroups.com>
offenbar noch nicht. Dort erklärten Sie aber: "Undefinierbare Zahlen
sind keine Zahlen. Definieren kann man aber nur Zahlen aus endlichen
Anfangsabschnitten." Zusammen mit der obigen Erkenntnis, daß "die
Nachfolger auch natürliche Zahlen und offenbar nicht definierbar sind",
ergibt sich also, daß nicht alle natürlichen Zahlen Zahlen sind. Oder
auch nicht, weil "Alle natürlichen Zahlen" ist ein sinnloser Begriff.
Post by Ganzhinterseher
(denn es bleiben ja immer aleph_0 undefiniert), kann man nur wenige
definieren und Induktion nur auf diese potentiell unendliche
Kollektion anwenden.
Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-06-23 21:48:17 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltng.de=
Ganzhinterseher
2020-06-24 14:16:11 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.
und woraus besteht die Kollektion der undefinierten Nachfolger?

Gruß WM
Juergen Ilse
2020-06-24 15:47:46 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Das ist Unsinn. Mit vollstaendiger Induktion erreichen SIE alle natuerlichen
Zahlen,
Nein, nur diejenigen, die mehr Nachfolger als Vorgänger haben.
Das gilt fuer alle natuerlichen Zahlen.
und woraus besteht die Kollektion der undefinierten Nachfolger?
Aus der leeren Menge, weil es keine "undefinierten Zahlen" gibt (ausser
in der ausufernden Phantasie eines gewissen Herrn Mueckenheim).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-06-23 20:04:09 UTC
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By symmetry and translation invariance <bla>
Sie meinen wohl "by Dummheit und Ignoranz".
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert). Dieser Tatsache wird bei Cantors Nummerierung aller positiven Rationalzahlen aber nicht entsprochen. Ein Zwiespalt.

Hat das noch nie jemand bemerkt?

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-06-23 20:07:17 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert
Natürlich nur die rationalen.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-06-24 13:17:59 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert
Natürlich nur die rationalen.
Gruß, WM
Ist 1/3 bei Dir rational?

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-06-24 14:08:18 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert
Natürlich nur die rationalen.
Ist 1/3 bei Dir rational?
Wohl überall, im Gegensatz zu 1/pi.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-06-24 14:26:57 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Ich meine, dass die Nachkommaziffernfolgen ,xyz... in allen Einheitsintervallen in genau gleicher Gestalt und Anzahl auftreten (das kann man sogar mit Cantors Methode beweisen, indem man sie nummeriert
Natürlich nur die rationalen.
Ist 1/3 bei Dir rational?
Wohl überall, im Gegensatz zu 1/pi.
Gruß, WM
Schön, aber was sind dann die Nachkommaziffern von 1/3?
Gruß
Michael
Mostowski Collapse
2020-06-24 13:42:49 UTC
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Nettes Beispiel! Es gibt auch einen
Trick die Berechnung der asymptotischen
Dichten zu vereinfachen.

Yes the converse is not true, there are infinite
sequences, that have density zero.
First observe that we can compute the density
also a different way, assume the counts make

an increase by +1 after a certain number of steps:

a = (0, .., 0, 1, ..., 1, 2, ...)
b1 b2

Then we have:

a(n) n
lim n->oo ---- = lim n->oo ----
n b(n)

Right? Yes or No?

So we found a way to transform the notion of density
from monotonic one step sequences to subsets of N.
Namely we can now talk about the
density of an infinite subset of N:

b = {b1,b2,...}

A famouse infinite subset of N are the prime numbers.
Interestingly it has density zero.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

Which is the counter example for the converse,
i.e. infinite would imply non-zero. Das "Me"
Beispiel wäre ein anders solches Beispiel.
#(0,1]k/k + #(1,2]k/k + ... = 1
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... = 1
nicht [ohne weiteres zulässig --me]
Betrachten wir eine extrem degenerierte Enumeration, die gar keine
Enumeration ist, <usw.>
Dann ergibt sich
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... =
0 + 0 + ... =
0 =/= 1.
In der Tat. Gut aufgepasst! :-P
Ich habe mir auch eine konkrete Abzählung überlegt, für die das wohl so ist, wie oben beschrieben (ρ(n,n+1] ist also gleich 0 für alle n e IN).
Wir gehen aus von einer Abzählung (a_n) der Menge der positiven rationalen Zahlen.
Diese Folge kann man nun in "Teilfolgen" zerlegen und zwar so, dass die Terme jeder Teilfolge gerade die Termen der ursprünglichen Folge sind, die in einem bestimmten Intervall (n, n+1] als Elemente enthalten sind.
Seien diese neuen Folgen mit (a(0,1]_n), (a(1,2]_n), (a(2,3]_n), ... bezeichnet.
Dann ist offenbar die Folge (b_n) =
(a(0,1]_1; a(0,1]_2, a(1,2]_1, a(1,2]_2; a(0,1]_3, a(1,2]_3, a(2,3]_1, a(2,3]_2, a(2,3]_3; ...)
ebenfalls eine Abzählung der positiven rationalen Zahlen.
Bildungsgesetz: Die Folge beginnt mit einem Element aus dem ersten Intervall, dann geht es weiter mit einem weiteren Element aus dem ersten und zwei Elementen aus dem zweiten Intervall, dann geht es weiter mit einem einem weiteren Element aus dem ersten Intervall und einem weiteren Element aus dem zweiten Intervall und 3 Elementen aus dem dritten Intervall, usw.
(0,1]: 1
(0,1]: 1
(1,2]: 2
(0,1]: 1
(1,2]: 1
(2,3]: 3
usw.
(0,1]: 1 => #(0,1]1/1 = 1/1 = 1
k^2 = 4
(0,1]: 2 => #(0,1]4/4 = 2/4 = 1/2
(1,2]: 2 => #(1,2]4/4 = 2/4 = 1/2
(0,1]: 3 => #(0,1]9/9 = 3/9 = 1/3
(1,2]: 3 => #(1,2]9/9 = 3/9 = 1/3
(2,3]: 3 => #(2,3]9/9 = 3/9 = 1/3
usw.
ρ(n,n+1] = lim k->oo #(n,n+1]k/k = lim k->oo sqrt(k)/k = 0 .
Mostowski Collapse
2020-06-24 13:54:27 UTC
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Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.

Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts

gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.
Post by Mostowski Collapse
Nettes Beispiel! Es gibt auch einen
Trick die Berechnung der asymptotischen
Dichten zu vereinfachen.
Yes the converse is not true, there are infinite
sequences, that have density zero.
First observe that we can compute the density
also a different way, assume the counts make
a = (0, .., 0, 1, ..., 1, 2, ...)
b1 b2
a(n) n
lim n->oo ---- = lim n->oo ----
n b(n)
Right? Yes or No?
So we found a way to transform the notion of density
from monotonic one step sequences to subsets of N.
Namely we can now talk about the
b = {b1,b2,...}
A famouse infinite subset of N are the prime numbers.
Interestingly it has density zero.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
Which is the counter example for the converse,
i.e. infinite would imply non-zero. Das "Me"
Beispiel wäre ein anders solches Beispiel.
#(0,1]k/k + #(1,2]k/k + ... = 1
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... = 1
nicht [ohne weiteres zulässig --me]
Betrachten wir eine extrem degenerierte Enumeration, die gar keine
Enumeration ist, <usw.>
Dann ergibt sich
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... =
0 + 0 + ... =
0 =/= 1.
In der Tat. Gut aufgepasst! :-P
Ich habe mir auch eine konkrete Abzählung überlegt, für die das wohl so ist, wie oben beschrieben (ρ(n,n+1] ist also gleich 0 für alle n e IN).
Wir gehen aus von einer Abzählung (a_n) der Menge der positiven rationalen Zahlen.
Diese Folge kann man nun in "Teilfolgen" zerlegen und zwar so, dass die Terme jeder Teilfolge gerade die Termen der ursprünglichen Folge sind, die in einem bestimmten Intervall (n, n+1] als Elemente enthalten sind.
Seien diese neuen Folgen mit (a(0,1]_n), (a(1,2]_n), (a(2,3]_n), ... bezeichnet.
Dann ist offenbar die Folge (b_n) =
(a(0,1]_1; a(0,1]_2, a(1,2]_1, a(1,2]_2; a(0,1]_3, a(1,2]_3, a(2,3]_1, a(2,3]_2, a(2,3]_3; ...)
ebenfalls eine Abzählung der positiven rationalen Zahlen.
Bildungsgesetz: Die Folge beginnt mit einem Element aus dem ersten Intervall, dann geht es weiter mit einem weiteren Element aus dem ersten und zwei Elementen aus dem zweiten Intervall, dann geht es weiter mit einem einem weiteren Element aus dem ersten Intervall und einem weiteren Element aus dem zweiten Intervall und 3 Elementen aus dem dritten Intervall, usw.
(0,1]: 1
(0,1]: 1
(1,2]: 2
(0,1]: 1
(1,2]: 1
(2,3]: 3
usw.
(0,1]: 1 => #(0,1]1/1 = 1/1 = 1
k^2 = 4
(0,1]: 2 => #(0,1]4/4 = 2/4 = 1/2
(1,2]: 2 => #(1,2]4/4 = 2/4 = 1/2
(0,1]: 3 => #(0,1]9/9 = 3/9 = 1/3
(1,2]: 3 => #(1,2]9/9 = 3/9 = 1/3
(2,3]: 3 => #(2,3]9/9 = 3/9 = 1/3
usw.
ρ(n,n+1] = lim k->oo #(n,n+1]k/k = lim k->oo sqrt(k)/k = 0 .
Ganzhinterseher
2020-06-24 14:18:44 UTC
Permalink
Post by Mostowski Collapse
Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.
Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts
gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.
Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-06-24 16:01:30 UTC
Permalink
Dadurch das die Cantor Dichte != 0, wissen
wir dass es unendlich viele sind.

Beweis:
Angenommen es wärend endlich viele, dann wäre
die Dicht = 0, ein Widerspruch. Also sind

es unendlich viele.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.
Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts
gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.
Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-06-24 16:05:47 UTC
Permalink
Die Dichte wäre auch = 0, wenn es endlich viele
definierbare sind, und dannach unendlich viele
undefiniere, und die Dichte sich auf die definierbaren
bezieht. Also wenn immer die Dichte sich auf

eine endliche Aufzählung bezieht, ist diese = 0.
Man könnte jetzt den Mückenschuss anwenden:

forall A endlich ρ(A) = 0 => B unendlich ρ(B) = 0

Das würde bedeuten dass die Dichte wegen dem
Mücksenschuss auch bei ρ(0,1) = 0 sein müsste.
Aber Sie schwafeln ja selber immer davon dass
ρ(0,1) = 1/2. Aber es wäre nicht so schlimm

wenn ρ(0,1) = 0 gelten würde, es gibt auch
unendliche Mengen mit Dichte 0. Aber wenn die
Dichte != 0 ist, dann wissen wir es sind
unendlich viele.
Post by Mostowski Collapse
Dadurch das die Cantor Dichte != 0, wissen
wir dass es unendlich viele sind.
Angenommen es wärend endlich viele, dann wäre
die Dicht = 0, ein Widerspruch. Also sind
es unendlich viele.
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Dieser Dichtebegriff auf unendlichen Teilmengen
von N, hat den schönen Vorteil das er unabängig
von irgend einer Aufzählung ist.
Allerdings interessiert sich ja WM nicht für
Teilmengen von N, sondern für Teilmengen von Q,
also hat uns diese Exkursion nichts
gebracht, einen absoluten Begriff von Dichte
zu finden. Die Dichte von Rationalzahlen hängt
immernoch von einer Aufzählung ab.
Wir wollen hier nur einsehen, dass Cantors Aufzählung jedenfalls versagt. Damit wäre schon ein gut Teil des religiösen Wahns verraucht.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-06-24 14:24:14 UTC
Permalink
Aber dann passt ihm nicht, dass (für eine gegebene maximale Länge der Diagonale mehr Punkte in (0,1] liegen als in, sagen wir, (1000,1001].
Es geht nicht um einen gegeben maximal Länge, sondern um die vollständige Abzählung.

Gruß, WM
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