Nettes Beispiel! Es gibt auch einen
Trick die Berechnung der asymptotischen
Dichten zu vereinfachen.
Yes the converse is not true, there are infinite
sequences, that have density zero.
First observe that we can compute the density
also a different way, assume the counts make
an increase by +1 after a certain number of steps:
a = (0, .., 0, 1, ..., 1, 2, ...)
b1 b2
Then we have:
a(n) n
lim n->oo ---- = lim n->oo ----
n b(n)
Right? Yes or No?
So we found a way to transform the notion of density
from monotonic one step sequences to subsets of N.
Namely we can now talk about the
density of an infinite subset of N:
b = {b1,b2,...}
A famouse infinite subset of N are the prime numbers.
Interestingly it has density zero.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
Which is the counter example for the converse,
i.e. infinite would imply non-zero. Das "Me"
Beispiel wäre ein anders solches Beispiel.
#(0,1]k/k + #(1,2]k/k + ... = 1
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... = 1
nicht [ohne weiteres zulässig --me]
Betrachten wir eine extrem degenerierte Enumeration, die gar keine
Enumeration ist, <usw.>
Dann ergibt sich
ρ(0,1] + ρ(1,2] + ... =
0 + 0 + ... =
0 =/= 1.
In der Tat. Gut aufgepasst! :-P
Ich habe mir auch eine konkrete Abzählung überlegt, für die das wohl so ist, wie oben beschrieben (ρ(n,n+1] ist also gleich 0 für alle n e IN).
Wir gehen aus von einer Abzählung (a_n) der Menge der positiven rationalen Zahlen.
Diese Folge kann man nun in "Teilfolgen" zerlegen und zwar so, dass die Terme jeder Teilfolge gerade die Termen der ursprünglichen Folge sind, die in einem bestimmten Intervall (n, n+1] als Elemente enthalten sind.
Seien diese neuen Folgen mit (a(0,1]_n), (a(1,2]_n), (a(2,3]_n), ... bezeichnet.
Dann ist offenbar die Folge (b_n) =
(a(0,1]_1; a(0,1]_2, a(1,2]_1, a(1,2]_2; a(0,1]_3, a(1,2]_3, a(2,3]_1, a(2,3]_2, a(2,3]_3; ...)
ebenfalls eine Abzählung der positiven rationalen Zahlen.
Bildungsgesetz: Die Folge beginnt mit einem Element aus dem ersten Intervall, dann geht es weiter mit einem weiteren Element aus dem ersten und zwei Elementen aus dem zweiten Intervall, dann geht es weiter mit einem einem weiteren Element aus dem ersten Intervall und einem weiteren Element aus dem zweiten Intervall und 3 Elementen aus dem dritten Intervall, usw.
(0,1]: 1
(0,1]: 1
(1,2]: 2
(0,1]: 1
(1,2]: 1
(2,3]: 3
usw.
(0,1]: 1 => #(0,1]1/1 = 1/1 = 1
k^2 = 4
(0,1]: 2 => #(0,1]4/4 = 2/4 = 1/2
(1,2]: 2 => #(1,2]4/4 = 2/4 = 1/2
(0,1]: 3 => #(0,1]9/9 = 3/9 = 1/3
(1,2]: 3 => #(1,2]9/9 = 3/9 = 1/3
(2,3]: 3 => #(2,3]9/9 = 3/9 = 1/3
usw.
ρ(n,n+1] = lim k->oo #(n,n+1]k/k = lim k->oo sqrt(k)/k = 0 .