Discussion:
Hütchen-Spiel
(zu alt für eine Antwort)
Rainer Rosenthal
2020-03-26 11:06:54 UTC
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Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Wir haben es mit zwei Ordnungen der natürlichen Zahlen zu tun:

Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]

und

Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]


Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Leute pausiert. Dabei wollte ich neulich bereits erfahren, was oben steht:

Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?

Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form

Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Ganzhinterseher
2020-03-26 15:45:47 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Oben.
Post by Rainer Rosenthal
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Natürlich. Da besteht kein Dissens.
Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?
Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen. Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt. Die Rechtfertigung nimmt er aus der Eigenschaft, dass "der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand" leidet. [Cantor, p. 239]

Diese Eigenschaft zeigt aber keineswegs Surjektivität. Denn in

Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

leidet die Tatsache, dass die 1 niemals näher ans Ziel kommt, auch keinen Stillstand. Es kommt eben immer darauf an, was man ins Auge fasst.

Kurz: Wenn die behauptete Surjektivität angenommen wird, dann ist jede Umordnung möglich. Dann aber sind dunkle Zahlen erforderlich, denn dann ist auch 2, 3, 4, ..., 1 möglich, aber die 1 sitzt nicht auf einem definierbaren Platz.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-03-26 16:22:05 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen.
Statt Behauptungen waeren *BEWEISE* aussagekraeftiger, aber Beweise fuer
IHRER Meinung nach "offensichtliche" Aussagen haben SIE ja hier in der
Gruppe noch nie vernueftig hinbekommen ...
Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...
Jede solche Argumentation ist komplett fuer die Tonne, auch wenn SIE es nicht
wahrhaben wollen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-03-26 17:00:14 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. (*)
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...
Es ist keine Behauptung, sondern ein Beweis. Wären alle natürlichen Zahlen definierbar, dann brauchte man doch nicht unendlich viele übrig zu lassen. Warum sollte man das tun?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-03-26 21:40:19 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...
Es ist keine Behauptung, sondern ein Beweis.
Ein Beweis ist kein duemmliches Geblubber mit seltsamen Begriffen, sondern
das zurueckfuehren der zu beweisenden Aussage auf Axiome oder bereits be-
wiesene Aussagen. So etwas findet sich in IHREM sinnlosen Gefasel noch
nicht einmal ansatzweise ...
Post by Ganzhinterseher
Wären alle natürlichen Zahlen definierbar, dann brauchte man doch nicht
unendlich viele übrig zu lassen. Warum sollte man das tun?
Warum SIE so etwas tun, weiss ich nicht. Warum solch intellektuellen
Sondermuell in dieser Newsgroup absondern, ist mir ebenfalls nicht
bekannt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-03-26 17:12:41 UTC
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Post by Ganzhinterseher
er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt.
Das haben surjektive Abbildungen von irgendeiner Menge auf IN so an sich, sie mathematischer Pfeifenkopf.
Ganzhinterseher
2020-03-26 17:21:53 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt.
Das haben surjektive Abbildungen von irgendeiner Menge auf IN so an sich
Richtig. Weshalb aber sollte eine natürliche Zahl von der Umordnungsmöglichkeit ausgeschlossen sein, hinter alle Zahlen, die es außer ihr gibt, eingeordnet zu werden. Alle, die es gibt, ist doch keine verbotene Bezeichnung in einer Theorie, in der alles gleichzeitig nebeneinander existiert und nicht erst nach und nach in Existenz gebracht wird.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-03-26 17:23:49 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Oben.
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Natürlich. Da besteht kein Dissens.
Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?
Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.

Gruß
Michael
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen. Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt. Die Rechtfertigung nimmt er aus der Eigenschaft, dass "der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand" leidet. [Cantor, p. 239]
Diese Eigenschaft zeigt aber keineswegs Surjektivität. Denn in
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
leidet die Tatsache, dass die 1 niemals näher ans Ziel kommt, auch keinen Stillstand. Es kommt eben immer darauf an, was man ins Auge fasst.
Kurz: Wenn die behauptete Surjektivität angenommen wird, dann ist jede Umordnung möglich. Dann aber sind dunkle Zahlen erforderlich, denn dann ist auch 2, 3, 4, ..., 1 möglich, aber die 1 sitzt nicht auf einem definierbaren Platz.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-03-26 19:24:17 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Oben.
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Natürlich. Da besteht kein Dissens.
Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?
Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.
Er hat aber vergessen, zu behandeln, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-03-27 10:00:10 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Oben.
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Natürlich. Da besteht kein Dissens.
Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?
Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.
Hier fehlt bei mir hinten das f, also "… genau wenn f(x) <_Z f(y) für alle x, y e |N". Dein gefordertes Produkt von Transpositionen, nämlich die Identität von |N als Produkt von 0 Transpositionen, gibt es. Freilich ist die Identität hier nicht ordnungserhaltend. Du kannst also nicht erwarten, dass unmittelbar vor der 1 in der neuen Ordnung eine Zahl steht. Z-kleiner sind vielmehr die Zahlen, die A-größer als 1 sind.

Gruß
Michael
Post by Ganzhinterseher
Er hat aber vergessen, zu behandeln, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-03-27 19:53:36 UTC
Permalink
Am Freitag, 27. März 2020 11:00:12 UTC+1 schrieb Michael Klemm:

Dein gefordertes Produkt von Transpositionen, nämlich die Identität von |N als Produkt von 0 Transpositionen, gibt es. Freilich ist die Identität hier nicht ordnungserhaltend. Du kannst also nicht erwarten, dass unmittelbar vor der 1 in der neuen Ordnung eine Zahl steht.

Was steht da wohl?

Wenn es sich nur um eine Umordnung durch unendlich viele Transpositionen handelt, dann steht dort eine Zahl. Wenn das nicht möglich ist, wenn also nicht alle Zahlen umgeordnet werden können, dann ist auch eine surjektive und injektive Abbildung dieser Zahlen nicht möglich.

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-03-26 22:10:16 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Oben.
Nein. Da sind zwei Umordnungen Ord_Z und Ord_A *notiert*, und Du
beschreibst, wo die 1 bei fortgesetztes Umordnen von Ord_A zu Ord_Z
schließlich landet. Dieses fortgesetzte Umordnen stellst Du Dir
"irgendwie" vor, aber Du beschreibst es nicht.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Natürlich. Da besteht kein Dissens.
Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, ....
Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Wie auch immr Du es ausdrücken magst, wir sind uns einig, dass nur Ord_M
erreichbar ist. Du musst mir gar nicht erklären, wovon ich bereits
überzeugt bin.
Post by Ganzhinterseher
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Wie auch immer Du die Situation für Dich erklärst: da ist Konsens, das
nur Ord_M erreichbar ist.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Du wiederholst nur, was Konsens ist.
Post by Ganzhinterseher
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen.
Soso, oben sagtest Du noch, das sei eine Behauptung von Dir ("Ich
behaupte ...")
Post by Ganzhinterseher
Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber ...
Danke, das wollte ich gerne herausgearbeitet haben.

~~~

Wenn Cantor über Bijektionen zum Mächtigkeits-Vergleich spricht, dann
ist da von "Ordnung" überhaupt keine Rede. Es geht um Kardinalzahlen.
Allerdings hat sich Cantor sehr wohl auch über verschiedene Ordnungen
Gedanken gemacht, was ihn zu den Ordinalzahlen brachte.
Und er hat dabei die "Wohlordnung" erfunden, womit er solche Ordnungen
charakterisiert, in denen jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes
(niederstes) Element hat.

Es wäre schön, wenn Du nach Deinm profunden Literaturstudium zu
Mengenlehre es über Dich bringen könntest, anzuerkennen, dass vor Cantor
kein noch so großer Geist so tief gedacht hat.
Ich sehe da aber schwarz, weil Du selbst lieber vermischst als sauber
trennst.
Me
2020-03-26 23:07:53 UTC
Permalink
Es wäre schön, wenn Du nach Deinem profunden Literaturstudium zur
Mengenlehre es über Dich bringen könntest, anzuerkennen, dass vor Cantor
kein noch so großer Geist so tief gedacht hat.
Das ist jetzt zwar schön gesagt, aber m. E. etwas übertrieben. Wenn wir das aber auf das Gebiet der "Mengenlehre" (im allgemeinsten Sinne) einschränken wollen, muss man Dir sicher Recht geben. Er hat da wirklich Großes geleistet. Man übertreibt wohl nicht, wenn man sagt, dass er ein ganzes (mathematisches) Gebiet "begründet" hat.

Jedoch sollte man an dieser Stelle auch einmal auf einen "Vorläufer" hinweisen: nämlich auf Bolzano und dessen (posthum herausgegebenes) Büchlein "Paradoxien des Unendlichen". Man findet darin schon ein paar sehr interessante Gedanken zum Begriff der "Menge" (und insbesondere auch zu unendlichen Mengen), auch wenn das alles noch s e h r weit von einer mathematischen Theorie entfernt ist.

Siehe dazu auch:
https://glossar.hs-augsburg.de/Menge_(Mengenlehre)
Ganzhinterseher
2020-03-27 19:53:50 UTC
Permalink
Post by Me
Jedoch sollte man an dieser Stelle auch einmal auf einen "Vorläufer" hinweisen: nämlich auf Bolzano und dessen (posthum herausgegebenes) Büchlein "Paradoxien des Unendlichen". Man findet darin schon ein paar sehr interessante Gedanken zum Begriff der "Menge" (und insbesondere auch zu unendlichen Mengen),
Insbesondere die sehr vernünftige Feststellung, dass Bijektionen zwischen unendlichen Mengen nichts über Gleichzahligkeit aussagen.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-03-27 19:43:51 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Nein. Da sind zwei Umordnungen Ord_Z und Ord_A *notiert*, und Du
beschreibst, wo die 1 bei fortgesetztes Umordnen von Ord_A zu Ord_Z
schließlich landet. Dieses fortgesetzte Umordnen stellst Du Dir
"irgendwie" vor, aber Du beschreibst es nicht.
Prinzipiell ist jede Anordnung durch unendlich viele zufallsbasierte Transpositionen erzielbar. Wenn alle natürlichen Zahlen existieren, dann können auch alle vor der 1 existieren. Aber wie die Anordnung auch immer zustandekommt: Die Indexmenge darf nicht wachsen.
Post by Rainer Rosenthal
Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.
Ich behaupte, dass jeder Übergang in jede Ordnung möglich ist, weil alle Zahlen endlich sind und auf endlichen Plätzen stehen.
Post by Rainer Rosenthal
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.
Das zeigt, dass nicht alle Zahlen in Ord_A definierbar sind. Alle definierbaren Zahlen können vor die 1 gestellt werden. Das liegt in der Definition der Definierbarkeit. Welche definierbare Zahl würde sich weigern?
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Wie auch immer Du es ausdrücken magst, wir sind uns einig, dass nur Ord_M
erreichbar ist. Du musst mir gar nicht erklären, wovon ich bereits
überzeugt bin.
Wenn in Ord_A alle Zahlen vor die 1 gestellt werden können, dann ist Ord_Z erreichbar. Wenn nicht alle Zahlen vor die 1 gestellt werden können, dann muss es eine Grund dafür geben. Dieser Grund ist entweder die Undefinierbarkeit der meisten Zahlen (denn es bleiben ja immer unendlich viele hinter der 1) oder die Nichtexistenz dieser Zahlen. Das würde aber jede Bijektion, zum Beispiel mit Q, ausschließen.
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.
Wie auch immer Du die Situation für Dich erklärst: da ist Konsens, das
nur Ord_M erreichbar ist.
Warum glaubst Du denn, dass was in Ord_M hinter der 1 steht, zur Nummerierung von Brüchen taugt. Was Brüche nummerierten kann, sollte auch beweglich sein.
Post by Rainer Rosenthal
Post by Ganzhinterseher
Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Du wiederholst nur, was Konsens ist.
Post by Ganzhinterseher
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen.
Wenn Cantor über Bijektionen zum Mächtigkeits-Vergleich spricht, dann
ist da von "Ordnung" überhaupt keine Rede.
Da liegst Du leider falsch. Jede natürliche Zahl hat einen Bruch als Partner. Weshalb sonst der Aufwand in
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ... ? Weshalb injektiv und surjektiv?
Post by Rainer Rosenthal
Es geht um Kardinalzahlen.
Allerdings hat sich Cantor sehr wohl auch über verschiedene Ordnungen
Gedanken gemacht, was ihn zu den Ordinalzahlen brachte.
Und er hat dabei die "Wohlordnung" erfunden, womit er solche Ordnungen
charakterisiert, in denen jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes
(niederstes) Element hat.
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-03-27 21:33:31 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Prinzipiell ist jede Anordnung durch unendlich viele zufallsbasierte
Transpositionen erzielbar.
Das ist so nicht korrekt.
Post by Ganzhinterseher
Wenn alle natürlichen Zahlen existieren, dann können auch alle vor der 1
existieren.
SIE ignorieren, das zwar jede einzelne natuerliche Zahl endlich ist,
es aber *dennoch* unendlich viele diesrr endlichen natuerlichen Zahlen
gibt: es gibt keine "letzte" oder "groesste", da nach jeder beliebigen
noch eine weitere folgt, die ebenfalls wieder endlich ist. Und auch
dieser folgt dann wieder eine weitere (wiederum endliche) natuerliche
Zahl nach. Nur sind SIE unfaehig, das zu begreifen oder gar zu akzep-
tieren.
Post by Ganzhinterseher
Aber wie die Anordnung auch immer zustandekommt: Die Indexmenge darf nicht wachsen.
Es ist *kompletter* *Unfug* bei unendlichen Mengen mit einer "Anzal der
Elemente" oder gar "Gleichzahligkeit" argumentieren zu wollen. Das ist
doch gerade der Grund fuer die Einfuehrung des Begriffs der "Maechtigkeit",
weil das fuer endliche Mengen so praktische "Anzahl der Elemente" bei
unendlichen Mengen einfach nicht mehr passt.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.
Ich behaupte, dass jeder Übergang in jede Ordnung möglich ist,
Das ist *nicht* der Fall (zumindest nicht unter Erhalt der "Ordnungs-
isomorphie").
Post by Ganzhinterseher
weil alle Zahlen endlich sind und auf endlichen Plätzen stehen.
... aber dennoch gibt es davon "unendlich viele" und eben keine "groesste"
(oder in deiner verdrehten Argumentation: "es gibt keinen *letzten* Platz).
Bei der zweiten von dir genannten Ordnung gibt es dagegen einen (von der
1 besetzten) *letzten* Platz, oder anders formuliert: in der Ordnung gibt
es ploetzlich eine "groesste Zahl". Die Ordnung ist also "grundsaetzlich
anders" als die "natuerliche Ordnung" der natuerlichen Zahlen. Wenn SIE
nicht gerade Scheuklappen von mindestens der Groesse unserer Galaxie
nutzen, sollte das sogar *IHNEN* auffallen.
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.
Das zeigt, dass nicht alle Zahlen in Ord_A definierbar sind.
Nein, das zeigt, dass SIE Mengenlehre noch nicht einmal im Ansatz verstanden
haben, und vermutlich auch unfaehig sind, auch nur irgend etwas an moderner
Mathematik zu begreifen.
Post by Ganzhinterseher
Alle definierbaren Zahlen können vor die 1 gestellt werden. Das liegt
in der Definition der Definierbarkeit.
Das SIE hier bereits behauptet haben, dass eine natuerliche Zahl genau
dann definierbar sei, wenn sie eine Dezimalendarstellung besitzt, sind
*alle* natuerlichen Zahlen definierbar. Der Beweis mittels vollstaendiger
Induktion und dem Algorithmus der "schriftlichen Addition" sollte sogar
fuer SIE hinreichend trivial sein, um zu zeigen, dass der unmittelbare
Nachfolger (+1) einer Zahl mit einer Dezimalendarstellung ebenfalls eine
Dezimalendarstellung besitzt. Zusammen mit der Tatsache, dass die *erste*
natuerliche Zahl (egal, ob man nun die 0 oder die 1 als kleinste bzw.
erste natuerliche Zahl betrachtet) eine Dezimalendarstellung besitzt,
ergibt sich dann, dass *alle* natuerlichen Zahlen "definierbar" sind.
Post by Ganzhinterseher
Welche definierbare Zahl würde sich weigern?
Zahlen koennen sich nicht "weigern", da sie weder einen eigenen Willen haben.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Rainer Rosenthal
2020-03-27 21:39:03 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?
Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch, was mich etwas enttäuscht.
Wo bleibt die Sorgfalt?

Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]
Hier ist die 1 an 2 bis 100 vorbei defiliert.
Die hinter 1 folgenden Zahlen haben 101 als kleinste Zahl.
Was ist da so schwierig?

Gruß,
RR

Me
2020-03-26 17:07:54 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Meinst Du damit "Ordnungen der Form"

[2, 3, 4, ... n, 1, n+1, ...]

mit n e IN (und n >= 2)?
Ralf Bader
2020-03-26 18:02:33 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.
Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Gruß,
Rainer Rosenthal
Der Hütchen-Spiel-Vergleich ist Blödsinn, und Mückenheim hat Cantor bei
garnix erwischt, denn er ist in der Regel nicht fähig, zu verstehen, was
da steht.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1 - Du läßt Dich (zum Zwecke der Eindeutigkeit) auf ZFC ein, und zwar
konsequent. Du nimmst zur Kenntnis, daß eine Ordnunmgsrelation auf einer
Menge M eine Teilmenge des cartesischen Produktes MxM ist, daß
Abbildungen zwischen Mengen auf diesen gegebene Ordnungen respektieren
oder nicht, daß es insbesondere Ordnungsisomorphismen gibt, daß jede
Wohlordnung ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, daß in den
beiden vorliegenden Ordnungen diese Ordinalzahlen verschieden sind usw.

2 - Du eierst mit metaphorischem Gerede über vorbeidefilierende Zahlen,
Dreipünktchenausdrücken und dergleichen herum und versinkst in
Paradoxien des Unendlichen.
Ganzhinterseher
2020-03-26 19:23:44 UTC
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Post by Ralf Bader
1 - Du läßt Dich (zum Zwecke der Eindeutigkeit) auf ZFC ein, und zwar
konsequent.
Um blöd zu sein und blöd zu bleiben.
Post by Ralf Bader
Du nimmst zur Kenntnis, daß eine Ordnunmgsrelation auf einer
Menge M eine Teilmenge des cartesischen Produktes MxM ist,
oder Du erkennst, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.

Das führt zu der Erkenntnis, dass die Behauptung, eine Bijektion sei möglich, aber nur wenn der Autor clever genug ist, einfach Schwachsinn ist. Aber wer sich darauf einlässt, muss das eben ertragen. Die meisten merken es wohl gar nicht.

Gruß, WM
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