Hütchen-Spiel

[Rainer Rosenthal]

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Wir haben es mit zwei Ordnungen der natürlichen Zahlen zu tun:

Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]

und

Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]


Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Leute pausiert. Dabei wollte ich neulich bereits erfahren, was oben steht:

Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?

Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form

Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Ganzhinterseher]

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Oben.

Post by Rainer Rosenthal
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Natürlich. Da besteht kein Dissens.

Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?

Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?

Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.

Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen. Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt. Die Rechtfertigung nimmt er aus der Eigenschaft, dass "der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand" leidet. [Cantor, p. 239]

Diese Eigenschaft zeigt aber keineswegs Surjektivität. Denn in

Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

leidet die Tatsache, dass die 1 niemals näher ans Ziel kommt, auch keinen Stillstand. Es kommt eben immer darauf an, was man ins Auge fasst.

Kurz: Wenn die behauptete Surjektivität angenommen wird, dann ist jede Umordnung möglich. Dann aber sind dunkle Zahlen erforderlich, denn dann ist auch 2, 3, 4, ..., 1 möglich, aber die 1 sitzt nicht auf einem definierbaren Platz.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen.

Statt Behauptungen waeren *BEWEISE* aussagekraeftiger, aber Beweise fuer
IHRER Meinung nach "offensichtliche" Aussagen haben SIE ja hier in der
Gruppe noch nie vernueftig hinbekommen ...

Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...
Jede solche Argumentation ist komplett fuer die Tonne, auch wenn SIE es nicht
wahrhaben wollen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. (*)
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...

Es ist keine Behauptung, sondern ein Beweis. Wären alle natürlichen Zahlen definierbar, dann brauchte man doch nicht unendlich viele übrig zu lassen. Warum sollte man das tun?

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher

Post by Juergen Ilse
Schon wieder dieser hahnebuechene Unsinn mit "definierbaren Plaetzen" ...

Es ist keine Behauptung, sondern ein Beweis.

Ein Beweis ist kein duemmliches Geblubber mit seltsamen Begriffen, sondern
das zurueckfuehren der zu beweisenden Aussage auf Axiome oder bereits be-
wiesene Aussagen. So etwas findet sich in IHREM sinnlosen Gefasel noch
nicht einmal ansatzweise ...

Post by Ganzhinterseher
Wären alle natürlichen Zahlen definierbar, dann brauchte man doch nicht
unendlich viele übrig zu lassen. Warum sollte man das tun?

Warum SIE so etwas tun, weiss ich nicht. Warum solch intellektuellen
Sondermuell in dieser Newsgroup absondern, ist mir ebenfalls nicht
bekannt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Me]

Post by Ganzhinterseher
er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt.

Das haben surjektive Abbildungen von irgendeiner Menge auf IN so an sich, sie mathematischer Pfeifenkopf.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt.

Das haben surjektive Abbildungen von irgendeiner Menge auf IN so an sich

Richtig. Weshalb aber sollte eine natürliche Zahl von der Umordnungsmöglichkeit ausgeschlossen sein, hinter alle Zahlen, die es außer ihr gibt, eingeordnet zu werden. Alle, die es gibt, ist doch keine verbotene Bezeichnung in einer Theorie, in der alles gleichzeitig nebeneinander existiert und nicht erst nach und nach in Existenz gebracht wird.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Oben.

Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
und

Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Natürlich. Da besteht kein Dissens.

Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?

Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.

Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen. Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber er behauptet dass bei seiner surjektiven Abbildung keine Zahl übrig bleibt. Die Rechtfertigung nimmt er aus der Eigenschaft, dass "der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand" leidet. [Cantor, p. 239]
Diese Eigenschaft zeigt aber keineswegs Surjektivität. Denn in
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
leidet die Tatsache, dass die 1 niemals näher ans Ziel kommt, auch keinen Stillstand. Es kommt eben immer darauf an, was man ins Auge fasst.
Kurz: Wenn die behauptete Surjektivität angenommen wird, dann ist jede Umordnung möglich. Dann aber sind dunkle Zahlen erforderlich, denn dann ist auch 2, 3, 4, ..., 1 möglich, aber die 1 sitzt nicht auf einem definierbaren Platz.
Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Oben.

Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
und

Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Natürlich. Da besteht kein Dissens.

Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?

Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.

Er hat aber vergessen, zu behandeln, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Oben.

Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
und

Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Natürlich. Da besteht kein Dissens.

Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Ich behaupte, dass jede Ordnung der natürlichen Zahlen möglich ist, WENN alle so vollständig existieren dass eine surjektive Abbildung in sie möglich ist und WENN alle endlich sind und auf endlichen Plätzen sitzen. Was sollte unter diesen Umstanden jeder beliebigen Ordnung entgegenstehen?

Die beiden Ordnungen sind nicht ordnungsisomorph, es gibt also keine Bijektion f: Ord_A -> Ord_Z mit x <_A y genau wenn x <_Z y für alle x, y e |N. Das hat Cantor ausführlich behandelt.

Hier fehlt bei mir hinten das f, also "… genau wenn f(x) <_Z f(y) für alle x, y e |N". Dein gefordertes Produkt von Transpositionen, nämlich die Identität von |N als Produkt von 0 Transpositionen, gibt es. Freilich ist die Identität hier nicht ordnungserhaltend. Du kannst also nicht erwarten, dass unmittelbar vor der 1 in der neuen Ordnung eine Zahl steht. Z-kleiner sind vielmehr die Zahlen, die A-größer als 1 sind.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
Er hat aber vergessen, zu behandeln, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.
Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Am Freitag, 27. März 2020 11:00:12 UTC+1 schrieb Michael Klemm:

Dein gefordertes Produkt von Transpositionen, nämlich die Identität von |N als Produkt von 0 Transpositionen, gibt es. Freilich ist die Identität hier nicht ordnungserhaltend. Du kannst also nicht erwarten, dass unmittelbar vor der 1 in der neuen Ordnung eine Zahl steht.

Was steht da wohl?

Wenn es sich nur um eine Umordnung durch unendlich viele Transpositionen handelt, dann steht dort eine Zahl. Wenn das nicht möglich ist, wenn also nicht alle Zahlen umgeordnet werden können, dann ist auch eine surjektive und injektive Abbildung dieser Zahlen nicht möglich.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Michael Klemm
Dein gefordertes Produkt von Transpositionen, nämlich die Identität von |N als Produkt von 0 Transpositionen, gibt es. Freilich ist die Identität hier nicht ordnungserhaltend. Du kannst also nicht erwarten, dass unmittelbar vor der 1 in der neuen Ordnung eine Zahl steht.
Was steht da wohl?
Wenn es sich nur um eine Umordnung durch unendlich viele Transpositionen handelt, dann steht dort eine Zahl. Wenn das nicht möglich ist, wenn also nicht alle Zahlen umgeordnet werden können, dann ist auch eine surjektive und injektive Abbildung dieser Zahlen nicht möglich.
Gruß, WM

Da bringst Du was durcheinander. Nimm die Güteklassen
2b < 3b < 4b < … < 1a
Da ist nichts so gut wie 1a. Trotzdem gibt es unter den schlechteren Klassen keine beste.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Post by Michael Klemm
Da bringst Du was durcheinander. Nimm die Güteklassen
2b < 3b < 4b < … < 1a
Da ist nichts so gut wie 1a. Trotzdem gibt es unter den schlechteren Klassen keine beste.

Dein Beispiel ist keines. Rainer hat die Ord_M definiert:

(2, 3, 4, ..., n, 1, n+1, ...)

Betrachtet man alle geordneten Mengen dieser Klasse, dann kann man alle definierbaren Zahlen vor die 1 ziehen. Es gibt keine definierbare Zahl, bei der das scheitern würde. Trotzdem bleiben fast alle Zahlen hinter der 1. Warum wohl?

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Michael Klemm
Da bringst Du was durcheinander. Nimm die Güteklassen
2b < 3b < 4b < … < 1a
Da ist nichts so gut wie 1a. Trotzdem gibt es unter den schlechteren Klassen keine beste.

(2, 3, 4, ..., n, 1, n+1, ...)
Betrachtet man alle geordneten Mengen dieser Klasse, dann kann man alle definierbaren Zahlen vor die 1 ziehen. Es gibt keine definierbare Zahl, bei der das scheitern würde. Trotzdem bleiben fast alle Zahlen hinter der 1. Warum wohl?
Gruß, WM

2b < 3b < 4b < … < 1a ist in Rainers Schreibweise Ord_Z = [2,3,4,...,1], wobei ich die beiden voneinander unabhängigen Bereiche mit b und a bezeichnet und die Ordnung explizit mit "<" angeben habe. Die Unbegriffe "undefinierbar" bzw. "dunkel" habe ich selbstverständlich auch gestrichen.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Post by Michael Klemm
2b < 3b < 4b < … < 1a ist in Rainers Schreibweise Ord_Z = [2,3,4,...,1], wobei ich die beiden voneinander unabhängigen Bereiche mit b und a bezeichnet und die Ordnung explizit mit "<" angeben habe. Die Unbegriffe "undefinierbar" bzw. "dunkel" habe ich selbstverständlich auch gestrichen.

Tja, du scheinst nicht zu begreifen, dass die Ordnung Z nicht ohne undefinierbare Zahlen aus der Ordnung A erzeugt werden kann und dass ohne die Erzeugbarkeit der Ordnung Z auch keine Surjektivität bei Bijektionen möglich ist.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Michael Klemm
2b < 3b < 4b < … < 1a ist in Rainers Schreibweise Ord_Z = [2,3,4,...,1], wobei ich die beiden voneinander unabhängigen Bereiche mit b und a bezeichnet und die Ordnung explizit mit "<" angeben habe. Die Unbegriffe "undefinierbar" bzw. "dunkel" habe ich selbstverständlich auch gestrichen.

Tja, du scheinst nicht zu begreifen, dass die Ordnung Z nicht ohne undefinierbare Zahlen aus der Ordnung A erzeugt werden kann und dass ohne die Erzeugbarkeit der Ordnung Z auch keine Surjektivität bei Bijektionen möglich ist.
Gruß, WM

Wer sagt denn, dass die Ordnung 2b < 3b < 4b < … < 1a aus einer anderen Ordnung erzeugt wird? Du darfst auch problemlos die Teilkette 2b < 3b < 4b < … als potentiell unendlich ansehen. Das ist so ähnlich wie bei der Hyperbel y = 1/x. Da gibt es zwei voneinander unabhängige Zweige, und den Kurvenverlauf kann man mit Hilfe der Differentialrechnung recht genau beschreiben, ohne auch nur ein einziges Paar (x,y) explizit anzugeben. Ein Rechenschieber für die Skizze genügt
vollkommen.

Gruß
Michael

[Me]

Post by Michael Klemm
Du darfst auch problemlos die Teilkette 2b < 3b < 4b < … als potentiell
unendlich ansehen.

Kannst Du mal erklären, was Du damit meinst? Wie genau unterscheidet sich eine potentiell unendliche Teilkette

2b < 3b < 4b < … [???]

von einer

(a) endlichen: 2b < 3b < 4b < .. <kb (mit k e IN, k > 4)

(b) unendlichen: 2b < 3b < 4b < …

Kannst Du das vielleicht mal kurz definieren, also den Begriff "potentiell unendliche Teilkette" im Gegensatz zu (a) bzw. (b).

[Michael Klemm]

Post by Me

Post by Michael Klemm
Du darfst auch problemlos die Teilkette 2b < 3b < 4b < … als potentiell
unendlich ansehen.

Kannst Du mal erklären, was Du damit meinst? Wie genau unterscheidet sich eine potentiell unendliche Teilkette
2b < 3b < 4b < … [???]
von einer
(a) endlichen: 2b < 3b < 4b < .. <kb (mit k e IN, k > 4)
(b) unendlichen: 2b < 3b < 4b < …
Kannst Du das vielleicht mal kurz definieren, also den Begriff "potentiell unendliche Teilkette" im Gegensatz zu (a) bzw. (b).

Das könnte vielleicht für Finitisten gelten, die die obere Schranke dynamisch anpassen oder wie WM diesbezüglich nichts genaues wissen?

Gruß
Michael

[Me]

Post by Michael Klemm
Das könnte vielleicht für Finitisten gelten, die die obere Schranke dynamisch
anpassen oder [...]

Aha? Haben wir hier ein "finitistisches System" als Grundlage? Welches?

[Michael Klemm]

Post by Me

Post by Michael Klemm
Das könnte vielleicht für Finitisten gelten, die die obere Schranke dynamisch
anpassen oder [...]

Aha? Haben wir hier ein "finitistisches System" als Grundlage? Welches?

Halt das adhoc erfundene.

Gruß
Michael

[Me]

Post by Michael Klemm

Post by Me
Aha? Haben wir hier ein "finitistisches System" als Grundlage? Welches?

Halt das adhoc erfundene.

Ok, ich frag' auch nicht mehr weiter. :-P

Aber WMs Gerede von "potentiell unendlichen Mengen" ist wirklich unerträglich.

Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll. Der Begriff ist auch in der einschlägigen Literatur nicht dokumentiert. Kurz: Er macht keinen Sinn.

Scheißdreck halt.

[Roalto]

A

Post by Me

Post by Michael Klemm

Post by Me
Aha? Haben wir hier ein "finitistisches System" als Grundlage? Welches?

Halt das adhoc erfundene.

Ok, ich frag' auch nicht mehr weiter. :-P
Aber WMs Gerede von "potentiell unendlichen Mengen" ist wirklich unerträglich.

Ob "potentiell" oder "aktual" ist völlig ohne Belang für die heutige Mathematik.
Es ist eine philosophische Frage und spielte früher in den Diskussionen über die Mathematik eine Rolle.
95% aller Mathematiker sind Formalisten, der homöopathische Rest - Konstruktivisten, Finitisten, Ultrafinitisten und was sonst noch!

Für Formalisten ist wichtig, dass das zu Grunde liegende Axiomensystem widerspruchsfrei ist. Es sind bis dato keine Widersprüche gefunden worden!
WM mit seiner epochalen Dümmlichkeit glaubt nun Widersprüche gefunden zu haben.

Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen, da es sich nur um Philosophie handelt.
Im Gegensatz zu WM hat Zeilberger was auf der Pfanne.

Post by Me
Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll. Der Begriff ist auch in der einschlägigen Literatur nicht dokumentiert. Kurz: Er macht keinen Sinn.
Scheißdreck halt.

Ja, es ist Scheissdreck.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Helmut Richter]

Post by Roalto
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,

Darin unterscheidet sich Zeilberger von dieser Newsgruppe, deren
Mitglieder WMs Ausführung nicht nur für lesenswert, sondern sogar für
beantwortenswert halten.

[Ralf Bader]

Post by Helmut Richter

Post by Roalto
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,

Darin unterscheidet sich Zeilberger von dieser Newsgruppe, deren
Mitglieder WMs Ausführung nicht nur für lesenswert, sondern sogar für
beantwortenswert halten.

Auch das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
nicht um drei Ecken herum betrachtet:
https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html
Zeilberger ist zweifellos ein sehr fähiger Kombinatoriker. Seine
Ansichten über die Grundlagen der Mathematik sind jedoch bestenfalls
kleinkariert.

[Roalto]

Post by Ralf Bader

Post by Helmut Richter

Post by Roalto
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,

Darin unterscheidet sich Zeilberger von dieser Newsgruppe, deren
Mitglieder WMs Ausführung nicht nur für lesenswert, sondern sogar für
beantwortenswert halten.

Auch das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html
Zeilberger ist zweifellos ein sehr fähiger Kombinatoriker. Seine
Ansichten über die Grundlagen der Mathematik sind jedoch bestenfalls
kleinkariert.

Bist du sicher, dass du verstehst, was andere hier schreiben?
Was stellt sich durchaus anders dar?

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Me]

Post by Roalto

Post by Ralf Bader
Auch das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html

Was stellt sich durchaus anders dar?
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,
da es sich nur um Philosophie handelt.
Darin unterscheidet sich Zeilberger von dieser Newsgruppe, deren
Mitglieder WMs Ausführung nicht nur für lesenswert [halten], sondern <etc.>

Nun kann auch ich Ralf nur zustimmen, wenn er schreibt:

"[...] das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
nicht um drei Ecken herum betrachtet".

Tatsächlich äußert sich Zeilberger speziell in "Opionion 68" wie folgt:

Added Dec. 6, 2008: I am very pleased and honored that Wolfgang Mueckenheim quoted this opinion in lecture XI of his fascinating course.

Added March 27, 2011: Read Wolfgang Mueckenheim's fascinating book ! I especially like the bottom of page 112 and the top of page 113, that prove, once and for all, that (at least) the actual infinity is pure nonsense.

"Read Wolfgang Mueckenheim's fascinating book!" passt m. E. irgendwie nicht zu Deiner Aussage/Behauptung "Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen [...]".

Nun hat Zeilberger es aber nicht dabei belassen, sondern noch die folgende "höchst fragwürdige" Behauptung aufgestellt:

"I especially like the bottom of page 112 and the top of page 113, that prove, /once and for all/, that (at least) the actual infinity is pure nonsense."

Daraufhin hat er wohl etwas Gegenwind von Seiten seiner Kollegen zu spüren bekommen - denn im Kontext der *Mathematik* sollte man vorsichtig sein, mit dem Wort "Beweis" bzw. der Behauptung "hat bewiesen". --- Vermutlich hat man ihn nach diesem "Beweis" gefragt. :-)

Daraufhin hat er sich offenbar nicht anders zu helfen gewusst als folgende absurde "Erklärung" abzugeben (die in völligem WIDERSPRUCH zu obiger Aussage/Behauptung steht):

Clarification added Aug. 25, 2011: My endorsement of Wolfgang Mueckenheim's wonderful book is purely philosophical. I have no expertise, or interest, in checking any possible technical claims that he may have made.

Aber "Widersprüche" sehen derartige Typen n u r im Zusammenhang mit der Mengenlehre, NIE in dem Mist, den sie selbst verzapfen!

Hinweis: "endorsement" heißt "Befürwortung", "Zustimmung", "Billigung", etc.

Er meinte als KEINESWEGS, "er habe keine Lust das zu lesen, da es sich nur um Philosophie handelt", sondern er sagt hier explizit, dass seine "Befürwortung", "Zustimmung", "Billigung" in Bezug auf WMs Buch, *rein philosophisch* begründet sei. Zu "technischen" Behauptungen (also zu logisch-mathematischen Behauptungen) in WMs Buch wolle er sich aber nicht äußern: I have no expertise, or interest, in checking any possible technical claims that he may have made.

Ein feiger und m. E. intellektuell extrem unredlicher "Rückzieher", nachdem er kurz zuvor noch lautstark tropetet hatte: "the bottom of page 112 and the top of page 113 [...] prove, /once and for all/, that (at least) the actual infinity is pure nonsense."

Von einem *Mathematiker* sollte man eigentlich schon ein gewisses Interesse an den "technischen Aspekten" im Zusammenhang mit einem "Argument" erwarten können, das angeblich "/once and for all/ [proves] that (at least) the actual infinity is pure nonsense".

Naja...

Jedenfalls beim Lesen diverser Opinions dieses Mannes kann man sich des Eindrucks nicht verwehren, es mit "pure nonsense" zu tun zu haben.

[Roalto]

Post by Me

Post by Roalto

Post by Ralf Bader
Auch das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html

Was stellt sich durchaus anders dar?
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,
da es sich nur um Philosophie handelt.
Darin unterscheidet sich Zeilberger von dieser Newsgruppe, deren
Mitglieder WMs Ausführung nicht nur für lesenswert [halten], sondern <etc.>

"[...] das stellt sich durchaus anders dar, wenn man die Sache direkt und
nicht um drei Ecken herum betrachtet".
Added Dec. 6, 2008: I am very pleased and honored that Wolfgang Mueckenheim quoted this opinion in lecture XI of his fascinating course.
Added March 27, 2011: Read Wolfgang Mueckenheim's fascinating book ! I especially like the bottom of page 112 and the top of page 113, that prove, once and for all, that (at least) the actual infinity is pure nonsense.
"Read Wolfgang Mueckenheim's fascinating book!" passt m. E. irgendwie nicht zu Deiner Aussage/Behauptung "Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen [...]".
"I especially like the bottom of page 112 and the top of page 113, that prove, /once and for all/, that (at least) the actual infinity is pure nonsense."
Daraufhin hat er wohl etwas Gegenwind von Seiten seiner Kollegen zu spüren bekommen - denn im Kontext der *Mathematik* sollte man vorsichtig sein, mit dem Wort "Beweis" bzw. der Behauptung "hat bewiesen". --- Vermutlich hat man ihn nach diesem "Beweis" gefragt. :-)
Clarification added Aug. 25, 2011: My endorsement of Wolfgang Mueckenheim's wonderful book is purely philosophical. I have no expertise, or interest, in checking any possible technical claims that he may have made.
Aber "Widersprüche" sehen derartige Typen n u r im Zusammenhang mit der Mengenlehre, NIE in dem Mist, den sie selbst verzapfen!
Hinweis: "endorsement" heißt "Befürwortung", "Zustimmung", "Billigung", etc.
Er meinte als KEINESWEGS, "er habe keine Lust das zu lesen, da es sich nur um Philosophie handelt", sondern er sagt hier explizit, dass seine "Befürwortung", "Zustimmung", "Billigung" in Bezug auf WMs Buch, *rein philosophisch* begründet sei. Zu "technischen" Behauptungen (also zu logisch-mathematischen Behauptungen) in WMs Buch wolle er sich aber nicht äußern: I have no expertise, or interest, in checking any possible technical claims that he may have made.
Ein feiger und m. E. intellektuell extrem unredlicher "Rückzieher", nachdem er kurz zuvor noch lautstark tropetet hatte: "the bottom of page 112 and the top of page 113 [...] prove, /once and for all/, that (at least) the actual infinity is pure nonsense."
Von einem *Mathematiker* sollte man eigentlich schon ein gewisses Interesse an den "technischen Aspekten" im Zusammenhang mit einem "Argument" erwarten können, das angeblich "/once and for all/ [proves] that (at least) the actual infinity is pure nonsense".
Naja...
Jedenfalls beim Lesen diverser Opinions dieses Mannes kann man sich des Eindrucks nicht verwehren, es mit "pure nonsense" zu tun zu haben.

Meine Quelle liegt tief in sci.math, wenn ich mich richtig erinnere.
Such es dir raus.
Zeilberger, als ein Eitler, fühlte sich gebauchfidelt, dass er bei Mückenheim zitiert wurde. Im Übrigen sehe ich keinen wesentlichen Unterschied zwischen
seinen addenda und meinem Geschriebenen.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Me]

Post by Roalto
Meine Quelle liegt tief in sci.math, wenn ich mich richtig erinnere.
Such es dir raus.

Nicht so wichtig.

Post by Roalto
Zeilberger, als ein Eitler, fühlte sich gebauchfidelt, dass er bei Mückenheim
zitiert wurde.

Das wird wohl diese Stelle sein:

"Added Dec. 6, 2008: I am very pleased and honored that Wolfgang Mueckenheim quoted this opinion in lecture XI of his fascinating course."

Post by Roalto
Im Übrigen sehe ich keinen wesentlichen Unterschied zwischen
seinen addenda und meinem Geschriebenen.

Wie meinen? Außer dass er darin genau das GEGENTEIL dessen sagt, was Du ihm "angedichtet" hast? Da dann. Ja, hast Recht: Ist kein wesentlicher Unterschied. :-)

*Du* hattest wohl auch keine Lust, das von mir Geschriebene zu lesen. :-)

EOD

[Roalto]

Post by Me

Post by Roalto
Meine Quelle liegt tief in sci.math, wenn ich mich richtig erinnere.
Such es dir raus.

Nicht so wichtig.

Post by Roalto
Zeilberger, als ein Eitler, fühlte sich gebauchfidelt, dass er bei Mückenheim
zitiert wurde.

"Added Dec. 6, 2008: I am very pleased and honored that Wolfgang Mueckenheim quoted this opinion in lecture XI of his fascinating course."

Post by Roalto
Im Übrigen sehe ich keinen wesentlichen Unterschied zwischen
seinen addenda und meinem Geschriebenen.

Wie meinen? Außer dass er darin genau das GEGENTEIL dessen sagt, was Du ihm "angedichtet" hast? Da dann. Ja, hast Recht: Ist kein wesentlicher Unterschied. :-)
*Du* hattest wohl auch keine Lust, das von mir Geschriebene zu lesen. :-)
EOD

Na, endlich!!!

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Me]

Post by Roalto
Sein grosses Vorbild ist der Ultrafinitist Doron Zeilberger, dem hat er auch
seine Arbeiten präsentiert. Der meinte nur, er habe keine Lust das zu lesen,
da es sich nur um Philosophie handelt.

Das stellt sich mir anders dar. (Vielleicht beziehst Du Dich aber auf eine andere Quelle als die, die mir bekannt ist.)

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll. Der Begriff ist auch in der einschlägigen Literatur nicht dokumentiert. Kurz: Er macht keinen Sinn.

Es gibt das potentiell Unendliche in der Mathematik. Die Menge der ununterbrochenen Folgen der Ziffer 7 in der Dezimaldarstellung von pi (oder auch von allen irrationalen Zahlen) ist potentiell unendlich. Die Menge der Primzahllücken ist potentiell unendlich. Die Menge der Anfangsabschnitte der natürlichen Zahlen ist potentiell unendlich. Eigentlich gibt es überhaupt keine andere Unendlichkeit in der Mathematik.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll. Der Begriff ist auch
in der einschlägigen Literatur nicht dokumentiert. Kurz: Er macht keinen
Sinn.

Es gibt das potentiell Unendliche in der Mathematik.

Hatte ich DAS bestritten? :-)

Hinweis: Nein.

Ich hatte geschrieben:

"WMs Gerede von "potentiell unendlichen Mengen" ist wirklich unerträglich.

Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll. Der Begriff ist auch in der einschlägigen Literatur nicht dokumentiert. Kurz: Er macht keinen Sinn.

Scheißdreck halt."

Post by Ganzhinterseher
Die Menge der ununterbrochenen Folgen der Ziffer 7 in der Dezimaldarstellung
von pi (oder auch von allen irrationalen Zahlen) ist potentiell unendlich.
Die Menge der Primzahllücken ist potentiell unendlich. Die Menge der
Anfangsabschnitte der natürlichen Zahlen ist potentiell unendlich.

Wie ich schon sagte: Scheißdreck halt.

Post by Ganzhinterseher
Eigentlich gibt es überhaupt keine andere Unendlichkeit in der Mathematik.

Spätstens seit Cantor hat das sog. "aktual Unendliche" Eingang in die Mathematik gefunden. Im Kontext der sog. "klassischen Mathematik" ist das auch die einzige "Spielart" des Unendlichen, die von Relevanz ist. D. h. hier gibt es nur noch die Unterscheidung zwischen endlich und unendlich (=nicht endlich) - insbesondere in Bezug auf Mengen. :-)

Das "potentiell Unendliche" sielt in der heutigen Mathematik -wenn überhaupt- nur noch eine sehr untergeordnete Rolle.

[Me]

Post by Me
Spätstens seit Cantor hat das sog. "aktual Unendliche" Eingang in die
Mathematik gefunden. Im Kontext der sog. "klassischen Mathematik" ist das auch
die einzige "Spielart" des Unendlichen, die von Relevanz ist. D. h. hier gibt
es nur noch die Unterscheidung zwischen endlich und unendlich (=nicht endlich)
- insbesondere in Bezug auf Mengen. :-)
Das "potentiell Unendliche" spielt in der heutigen Mathematik -wenn überhaupt-
nur noch eine sehr untergeordnete Rolle.

"[...] potential infinity is almost forgotten now. In the ZFC set theory mindset, people tend not to even remember that distinction. They just think infinity means actual infinity and that's all there is to it." [S. Simpson quoted in N. Wolchover: "Dispute over infinity divides mathematicians",
Scientific American (3 Dec 2013)]

Im Kontext der ZFC ist das aber auch so. :-)

[Helmut Richter]

Post by Me
Spätstens seit Cantor hat das sog. "aktual Unendliche" Eingang in die
Mathematik gefunden. Im Kontext der sog. "klassischen Mathematik" ist
das auch die einzige "Spielart" des Unendlichen, die von Relevanz ist.
D. h. hier gibt es nur noch die Unterscheidung zwischen endlich und
unendlich (=nicht endlich) - insbesondere in Bezug auf Mengen. :-)

Ich halte nicht von vornherein für ausgeschlossen, dass es Zusammenhänge
geben mag, in denen eine solche Unterscheidung sinnvoll ist, die sich in
der Mainstream-Mathematik nicht durchgesetzt hat. Es hat ja schon öfter
Nicht-Mainstream-Logiken in der Mathematik gegeben, die sich nicht
durchgesetzt haben, ohne deswegen in sich falsch zu sein. Nur: die
Verfechter sollten dann auch klar sagen und definieren können, was sie
vorhaben und worin sich ihr Ansatz vom Mainstream unterscheidet. Und daran
fehlt es eben bei WM. Ich habe von ihm noch *nie* eine Definition gelesen
und auch noch nie einen Beweis, sondern nur Appelle an die Zustimmung der
Einsichtigen und Beschimpfungen der Uneinsichtigen. Das ist keine
Mathematik; deswegen lese ich das nicht mehr – mit wenigen Ausnahmen, wenn
mich *selbst* interessiert, wie man etwas auch exakt sagen könnte (z.B.
Limes von Folgen von Zahlenfolgen, was durchaus geht), aber dafür
interessiert sich niemand, auch WM selbst nicht.

Post by Me
Das "potentiell Unendliche" sielt in der heutigen Mathematik -wenn
überhaupt- nur noch eine sehr untergeordnete Rolle.

Manchmal habe ich den Verdacht, es stünde manchmal – nicht immer! – für
endlich aber unbeschränkt, etwa: die Mächtigkeit einer endlichen Mange ist
potentiell unendlich, d.h. nicht durch eine natürliche Zahl beschränkt.

[Me]

Post by Helmut Richter
Manchmal habe ich den Verdacht, es stünde manchmal – nicht immer! – für
endlich aber unbeschränkt

Eine Sichtweise, die in Bezug auf "Prozesse" vielleicht sinnvoll sein mag. (Sag ich jetzt mal so.)

Post by Helmut Richter
etwa: die Mächtigkeit einer endlichen Mange ist potentiell unendlich,

???

Wenn eine Menge endlich ist, dann ist sie endlich. Eine (bestimmte) Menge kann auch nicht wachsen oder kleiner werden, etc.

Post by Helmut Richter
d.h. nicht durch eine natürliche Zahl beschränkt.

Falls die von Dir betrachtete Menge c IN ist, würde ich sie dann (in diesem Fall) für _unendlich_ halten. Du nicht?

Vielleicht meinst Du aber eher eine "Kollektion" von Mengen:

{{}, {0}, {0,1}, {0,1,2}, ...} ?

Aber h i e r sind dann halt sämtliche Mengen der "Kollektion" endlich und die "Kollektion" (die im Kontext der ML ja selbst eine Menge ist) wiederum _unendlich_. Wo da der Begriff "potentiell unendlich" -sinvoll- reinkommen soll, sehe ich nicht.

Vielleicht kannst Du Deine Idee/Deinen Gedanken näher erklären?

(Hinweis: Ich fürchte in einem "klassischen Rahmen" macht die Sprechweise von "potentiell unendlich" generell keinen Sinn. Ich lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. Am ehesten kann ich den Begriff noch im Hinblick auf das Band einer TM nachvollziehen: endlich aber -bei Bedarf- beliebig verlängerbar. Aber selbst hier kann man "Einwände" dagegen erheben...)

[Michael Klemm]

Post by Me

Post by Helmut Richter
Manchmal habe ich den Verdacht, es stünde manchmal – nicht immer! – für
endlich aber unbeschränkt

Eine Sichtweise, die in Bezug auf "Prozesse" vielleicht sinnvoll sein mag. (Sag ich jetzt mal so.)

Post by Helmut Richter
etwa: die Mächtigkeit einer endlichen Mange ist potentiell unendlich,

???

Vielleicht aber: "Die Mächtigkeit endlicher Mengen ist potentiell unendlich (bzw. unbegrenzt)".

Post by Me
Wenn eine Menge endlich ist, dann ist sie endlich. Eine (bestimmte) Menge kann auch nicht wachsen oder kleiner werden, etc.

Post by Helmut Richter
d.h. nicht durch eine natürliche Zahl beschränkt.

Falls die von Dir betrachtete Menge c IN ist, würde ich sie dann (in diesem Fall) für _unendlich_ halten. Du nicht?
{{}, {0}, {0,1}, {0,1,2}, ...} ?
Aber h i e r sind dann halt sämtliche Mengen der "Kollektion" endlich und die "Kollektion" (die im Kontext der ML ja selbst eine Menge ist) wiederum _unendlich_. Wo da der Begriff "potentiell unendlich" -sinvoll- reinkommen soll, sehe ich nicht.
Vielleicht kannst Du Deine Idee/Deinen Gedanken näher erklären?
(Hinweis: Ich fürchte in einem "klassischen Rahmen" macht die Sprechweise von "potentiell unendlich" generell keinen Sinn. Ich lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. Am ehesten kann ich den Begriff noch im Hinblick auf das Band einer TM nachvollziehen: endlich aber -bei Bedarf- beliebig verlängerbar. Aber selbst hier kann man "Einwände" dagegen erheben...)

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Aber WMs Gerede von "potentiell unendlichen Mengen" ist wirklich unerträglich.
Es ist *völlig unklar*, was das überhaupt sein soll.

Wir besprechen doch gerade ein sehr schönes Beispiel:

Durch Transpositionen kann die 1 aus

1, 2, 3, ...

an den Nachfolgern vorbeidefilieren:

2, 3, 4, ..., n-1, 1, n, n+1, n+2, ...

aber nicht an allen. Also muss ein Puffer vorhanden sein. Die Menge der Endsegmente, die diesen Puffer bildet, besitzt nach dem Wohlordnungssatz ein niederstes Element m. Aber man kann es nicht definieren, da 1 mit jeder definierbaren Zahl vertauscht werden kann.

Sollte es tatsächlich eine Überforderung sein, das zu verstehen?

Gruß, WM

Natürlich ist das m nicht definierbar, also eine dunkle Zahl. Denn an jeder definierbaren Zahl n kann die 1 vorbeiziehen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Michael Klemm

Post by Ganzhinterseher

Post by Michael Klemm
2b < 3b < 4b < … < 1a ist in Rainers Schreibweise Ord_Z = [2,3,4,...,1], wobei ich die beiden voneinander unabhängigen Bereiche mit b und a bezeichnet und die Ordnung explizit mit "<" angeben habe. Die Unbegriffe "undefinierbar" bzw. "dunkel" habe ich selbstverständlich auch gestrichen.

Tja, du scheinst nicht zu begreifen, dass die Ordnung Z nicht ohne undefinierbare Zahlen aus der Ordnung A erzeugt werden kann und dass ohne die Erzeugbarkeit der Ordnung Z auch keine Surjektivität bei Bijektionen möglich ist.

Wer sagt denn, dass die Ordnung 2b < 3b < 4b < … < 1a aus einer anderen Ordnung erzeugt wird?

Ich sage, dass bei einer festen Menge endlicher Zahlen und endlich nummerierter Plätze jede Ordnung erzeugt werden kann. Zum Beispiel
Ord_Z = 2, 3, 4, ..., 1
kann durch unendlich viele Transpositionen der Form (i, j) zwischen den Plätzen i und j:
(1, 2), (2, 3), 3, 4) ...
aus
Ord_A = 1, 2, 3, 4, ...
erzeugt werden.

Dass tatsächlich alle Transpositionen drankommen, kann man aus der surjektiven Abbildung von |N auf die Menge der Transpositionen beweisen:
n --> (n-1, n).

Wenn das nicht ginge, dann ginge auch die Surjektion von |N auf die Menge der Brüche nicht.

Gruß, WM

[Me]

Ich sage [...]

Hast Du Dir schon den Unterschied zwischen unendlichen Folgen und geordneten Mengen klar gemacht?

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Ich sage [...]

Hast Du Dir schon den Unterschied zwischen unendlichen Folgen und geordneten Mengen klar gemacht?

Es gibt keinen Unterschied zwischen Folgen ohne Wiederholungen und geordneten Mengen der Mächtigkeit ℵo. Nach Cantor ist die geordnete Menge

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...

eine Reihe, womit er Folge meint.

Übrigens gibt es ebenfalls nach Cantor eine surjektive Abbildung von ℕ auf diese Menge.

Die geordnete Menge (1, 2, 3, ...) kann zur Menge (2, 3, 4, ..., 1) umgeformt werden, denn die Menge ((1, 2), (2, 3), (3, 4), ...) der Transpositionen (i, j) zwischen den Plätzen i und j, die das bewerkstelligen, kann ebenfalls surjektiv von ℕ aus abgebildet werden. Gott der Herr hat sie gezähelet, dass ihm auch nicht eine fehelet an der ganzen großen Zahl. Welches allerdings der Index der 1 ist, das bleibt sein Geheimnis. Wir Sterblichen dürfen es nicht wissen. Cantor weiß es vielleicht schon.

Gruß, WM

[Me]

Post by Me

Ich sage [...]

Hast Du Dir schon den Unterschied zwischen unendlichen Folgen und
geordneten Mengen klar gemacht?

Es gibt keinen Unterschied zwischen Folgen ohne Wiederholungen und geordneten Mengen der Mächtigkeit ℵo. Nach Cantor [...]

Sorry, aber in der modernen Mathematik gibt es den. Offenbar ist Dir das nicht bekannt.

[Rainer Rosenthal]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?

Oben.

Nein. Da sind zwei Umordnungen Ord_Z und Ord_A *notiert*, und Du
beschreibst, wo die 1 bei fortgesetztes Umordnen von Ord_A zu Ord_Z
schließlich landet. Dieses fortgesetzte Umordnen stellst Du Dir
"irgendwie" vor, aber Du beschreibst es nicht.

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.

Natürlich. Da besteht kein Dissens.

Post by Rainer Rosenthal
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?

Ich behaupte, ....

Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Wie auch immr Du es ausdrücken magst, wir sind uns einig, dass nur Ord_M
erreichbar ist. Du musst mir gar nicht erklären, wovon ich bereits
überzeugt bin.

Post by Ganzhinterseher
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Wie auch immer Du die Situation für Dich erklärst: da ist Konsens, das
nur Ord_M erreichbar ist.

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.

Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Du wiederholst nur, was Konsens ist.

Post by Ganzhinterseher
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen.

Soso, oben sagtest Du noch, das sei eine Behauptung von Dir ("Ich
behaupte ...")

Post by Ganzhinterseher
Das sagt er zwar nicht so deutlich, aber ...

Danke, das wollte ich gerne herausgearbeitet haben.

~~~

Wenn Cantor über Bijektionen zum Mächtigkeits-Vergleich spricht, dann
ist da von "Ordnung" überhaupt keine Rede. Es geht um Kardinalzahlen.
Allerdings hat sich Cantor sehr wohl auch über verschiedene Ordnungen
Gedanken gemacht, was ihn zu den Ordinalzahlen brachte.
Und er hat dabei die "Wohlordnung" erfunden, womit er solche Ordnungen
charakterisiert, in denen jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes
(niederstes) Element hat.

Es wäre schön, wenn Du nach Deinm profunden Literaturstudium zu
Mengenlehre es über Dich bringen könntest, anzuerkennen, dass vor Cantor
kein noch so großer Geist so tief gedacht hat.
Ich sehe da aber schwarz, weil Du selbst lieber vermischst als sauber
trennst.

[Me]

Es wäre schön, wenn Du nach Deinem profunden Literaturstudium zur
Mengenlehre es über Dich bringen könntest, anzuerkennen, dass vor Cantor
kein noch so großer Geist so tief gedacht hat.

Das ist jetzt zwar schön gesagt, aber m. E. etwas übertrieben. Wenn wir das aber auf das Gebiet der "Mengenlehre" (im allgemeinsten Sinne) einschränken wollen, muss man Dir sicher Recht geben. Er hat da wirklich Großes geleistet. Man übertreibt wohl nicht, wenn man sagt, dass er ein ganzes (mathematisches) Gebiet "begründet" hat.

Jedoch sollte man an dieser Stelle auch einmal auf einen "Vorläufer" hinweisen: nämlich auf Bolzano und dessen (posthum herausgegebenes) Büchlein "Paradoxien des Unendlichen". Man findet darin schon ein paar sehr interessante Gedanken zum Begriff der "Menge" (und insbesondere auch zu unendlichen Mengen), auch wenn das alles noch s e h r weit von einer mathematischen Theorie entfernt ist.

Siehe dazu auch:
https://glossar.hs-augsburg.de/Menge_(Mengenlehre)

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Jedoch sollte man an dieser Stelle auch einmal auf einen "Vorläufer" hinweisen: nämlich auf Bolzano und dessen (posthum herausgegebenes) Büchlein "Paradoxien des Unendlichen". Man findet darin schon ein paar sehr interessante Gedanken zum Begriff der "Menge" (und insbesondere auch zu unendlichen Mengen),

Insbesondere die sehr vernünftige Feststellung, dass Bijektionen zwischen unendlichen Mengen nichts über Gleichzahligkeit aussagen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Rainer Rosenthal
Nein. Da sind zwei Umordnungen Ord_Z und Ord_A *notiert*, und Du
beschreibst, wo die 1 bei fortgesetztes Umordnen von Ord_A zu Ord_Z
schließlich landet. Dieses fortgesetzte Umordnen stellst Du Dir
"irgendwie" vor, aber Du beschreibst es nicht.

Prinzipiell ist jede Anordnung durch unendlich viele zufallsbasierte Transpositionen erzielbar. Wenn alle natürlichen Zahlen existieren, dann können auch alle vor der 1 existieren. Aber wie die Anordnung auch immer zustandekommt: Die Indexmenge darf nicht wachsen.

Post by Rainer Rosenthal
Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.

Ich behaupte, dass jeder Übergang in jede Ordnung möglich ist, weil alle Zahlen endlich sind und auf endlichen Plätzen stehen.

Post by Rainer Rosenthal
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.

Das zeigt, dass nicht alle Zahlen in Ord_A definierbar sind. Alle definierbaren Zahlen können vor die 1 gestellt werden. Das liegt in der Definition der Definierbarkeit. Welche definierbare Zahl würde sich weigern?

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Wie auch immer Du es ausdrücken magst, wir sind uns einig, dass nur Ord_M
erreichbar ist. Du musst mir gar nicht erklären, wovon ich bereits
überzeugt bin.

Wenn in Ord_A alle Zahlen vor die 1 gestellt werden können, dann ist Ord_Z erreichbar. Wenn nicht alle Zahlen vor die 1 gestellt werden können, dann muss es eine Grund dafür geben. Dieser Grund ist entweder die Undefinierbarkeit der meisten Zahlen (denn es bleiben ja immer unendlich viele hinter der 1) oder die Nichtexistenz dieser Zahlen. Das würde aber jede Bijektion, zum Beispiel mit Q, ausschließen.

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Also bleiben stets unendlich viele übrig, die offenbar nicht definierbar sind (sonst würde sie ja aufgebraucht), aber trotzdem natürliche Zahlen sind.

Wie auch immer Du die Situation für Dich erklärst: da ist Konsens, das
nur Ord_M erreichbar ist.

Warum glaubst Du denn, dass was in Ord_M hinter der 1 steht, zur Nummerierung von Brüchen taugt. Was Brüche nummerierten kann, sollte auch beweglich sein.

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Wo? Schau Dein Beispiel an: Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Oder meines: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Du wiederholst nur, was Konsens ist.

Post by Ganzhinterseher
Cantor behauptet aber bis zum Ende zu kommen.

Wenn Cantor über Bijektionen zum Mächtigkeits-Vergleich spricht, dann
ist da von "Ordnung" überhaupt keine Rede.

Da liegst Du leider falsch. Jede natürliche Zahl hat einen Bruch als Partner. Weshalb sonst der Aufwand in
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ... ? Weshalb injektiv und surjektiv?

Post by Rainer Rosenthal
Es geht um Kardinalzahlen.
Allerdings hat sich Cantor sehr wohl auch über verschiedene Ordnungen
Gedanken gemacht, was ihn zu den Ordinalzahlen brachte.
Und er hat dabei die "Wohlordnung" erfunden, womit er solche Ordnungen
charakterisiert, in denen jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes
(niederstes) Element hat.

Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Prinzipiell ist jede Anordnung durch unendlich viele zufallsbasierte
Transpositionen erzielbar.

Das ist so nicht korrekt.

Post by Ganzhinterseher
Wenn alle natürlichen Zahlen existieren, dann können auch alle vor der 1
existieren.

SIE ignorieren, das zwar jede einzelne natuerliche Zahl endlich ist,
es aber *dennoch* unendlich viele diesrr endlichen natuerlichen Zahlen
gibt: es gibt keine "letzte" oder "groesste", da nach jeder beliebigen
noch eine weitere folgt, die ebenfalls wieder endlich ist. Und auch
dieser folgt dann wieder eine weitere (wiederum endliche) natuerliche
Zahl nach. Nur sind SIE unfaehig, das zu begreifen oder gar zu akzep-
tieren.

Post by Ganzhinterseher
Aber wie die Anordnung auch immer zustandekommt: Die Indexmenge darf nicht wachsen.

Es ist *kompletter* *Unfug* bei unendlichen Mengen mit einer "Anzal der
Elemente" oder gar "Gleichzahligkeit" argumentieren zu wollen. Das ist
doch gerade der Grund fuer die Einfuehrung des Begriffs der "Maechtigkeit",
weil das fuer endliche Mengen so praktische "Anzahl der Elemente" bei
unendlichen Mengen einfach nicht mehr passt.

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Ja, das ist mir inzwischen auch bewusst geworden, dass Du da etwas
behauptest. Du behauptest, dass der Übergang Ord_A ===> Ord_Z möglich
sein muss.

Ich behaupte, dass jeder Übergang in jede Ordnung möglich ist,

Das ist *nicht* der Fall (zumindest nicht unter Erhalt der "Ordnungs-
isomorphie").

Post by Ganzhinterseher
weil alle Zahlen endlich sind und auf endlichen Plätzen stehen.

... aber dennoch gibt es davon "unendlich viele" und eben keine "groesste"
(oder in deiner verdrehten Argumentation: "es gibt keinen *letzten* Platz).
Bei der zweiten von dir genannten Ordnung gibt es dagegen einen (von der
1 besetzten) *letzten* Platz, oder anders formuliert: in der Ordnung gibt
es ploetzlich eine "groesste Zahl". Die Ordnung ist also "grundsaetzlich
anders" als die "natuerliche Ordnung" der natuerlichen Zahlen. Wenn SIE
nicht gerade Scheuklappen von mindestens der Groesse unserer Galaxie
nutzen, sollte das sogar *IHNEN* auffallen.

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.

Das zeigt, dass nicht alle Zahlen in Ord_A definierbar sind.

Nein, das zeigt, dass SIE Mengenlehre noch nicht einmal im Ansatz verstanden
haben, und vermutlich auch unfaehig sind, auch nur irgend etwas an moderner
Mathematik zu begreifen.

Post by Ganzhinterseher
Alle definierbaren Zahlen können vor die 1 gestellt werden. Das liegt
in der Definition der Definierbarkeit.

Das SIE hier bereits behauptet haben, dass eine natuerliche Zahl genau
dann definierbar sei, wenn sie eine Dezimalendarstellung besitzt, sind
*alle* natuerlichen Zahlen definierbar. Der Beweis mittels vollstaendiger
Induktion und dem Algorithmus der "schriftlichen Addition" sollte sogar
fuer SIE hinreichend trivial sein, um zu zeigen, dass der unmittelbare
Nachfolger (+1) einer Zahl mit einer Dezimalendarstellung ebenfalls eine
Dezimalendarstellung besitzt. Zusammen mit der Tatsache, dass die *erste*
natuerliche Zahl (egal, ob man nun die 0 oder die 1 als kleinste bzw.
erste natuerliche Zahl betrachtet) eine Dezimalendarstellung besitzt,
ergibt sich dann, dass *alle* natuerlichen Zahlen "definierbar" sind.

Post by Ganzhinterseher
Welche definierbare Zahl würde sich weigern?

Zahlen koennen sich nicht "weigern", da sie weder einen eigenen Willen haben.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Prinzipiell ist jede Anordnung durch unendlich viele zufallsbasierte
Transpositionen erzielbar.

Das ist so nicht korrekt.

Wenn alle Zahlen auf endlichen Plätzen sitzen, dann kann jede durch endlich viele Umordnungen vor die 1 gebracht werden. Also können alle durch aleph_0 Umordnungen vor die 1 gebracht werden.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Wenn alle natürlichen Zahlen existieren, dann können auch alle vor der 1
existieren.

SIE ignorieren, das zwar jede einzelne natuerliche Zahl endlich ist,
es aber *dennoch* unendlich viele diesrr endlichen natuerlichen Zahlen

∀n ∈ ℕ: n*ℵo = ℵo .

Post by Juergen Ilse
es gibt keine "letzte" oder "groesste", da nach jeder beliebigen
noch eine weitere folgt, die ebenfalls wieder endlich ist.

Das sollte man den Abzählern sagen. Die scheinen das nämlich nicht zu wissen und tönen laut von Surjektion.

Post by Juergen Ilse
Und auch
dieser folgt dann wieder eine weitere (wiederum endliche) natuerliche
Zahl nach.

Ja, das ist die potentielle Unendlichkeit. Die Matheologen nehmen indessen an, dass man alle diese Zahlen paaren könnte. Wenn das der Fall wäre, so könnte man auch alle vor die 1 schieben.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Aber wie die Anordnung auch immer zustandekommt: Die Indexmenge darf nicht wachsen.

Es ist *kompletter* *Unfug* bei unendlichen Mengen mit einer "Anzal der
Elemente" oder gar "Gleichzahligkeit" argumentieren zu wollen.

Das ist eine erfrischend richtige Meinung. Allein die Cantorianer tun es trotzdem.

Post by Juergen Ilse
Das ist
doch gerade der Grund fuer die Einfuehrung des Begriffs der "Maechtigkeit",
weil das fuer endliche Mengen so praktische "Anzahl der Elemente" bei
unendlichen Mengen einfach nicht mehr passt.

Mächtigkeit erfordert surjektive Abbildung. Das ist die Abzählung in Verkleidung.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Ich behaupte, dass jeder Übergang in jede Ordnung möglich ist,

Das ist *nicht* der Fall (zumindest nicht unter Erhalt der "Ordnungs-
isomorphie").

Dann ist auch die Abzählung nicht möglich.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
weil alle Zahlen endlich sind und auf endlichen Plätzen stehen.

... aber dennoch gibt es davon "unendlich viele"

Aktual unendlich viele, also alle.

Die definierbaren Zahlen sind potentiell unendlich:

In Ord_M = 2, 3, 4, ..., 1, ... können alle definierbaren Zahlen vor die 1 gezogen werden. Beweis: Niemand kann eine definierbare Zahl finden, die das verweigern würde.

Die aktuale Unendlichkeit der Zahlen erfordert, dass jede in einer Bijektion festgelegt ist. Wenn das möglich ist, dann kann auch jede vor die 1 gezogen werden: 2, 3, 4, ..., 1, ohne dass ein Index unendlich wird. Aber nun sind die Vorgänger der 1 nicht mehr definierbar (denn alle definierbaren wurde ja schon in Ord_M vo die 1 gezogen.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal
Ich behaupte aber das Gegenteil: Du kannst so lange an Ord_A
Vertauschungen durchführen, wie Du willst, es entstehen stets nur Ord_M
Typen, aber niemals Ord_Z.

Das zeigt, dass nicht alle Zahlen in Ord_A definierbar sind.

Nein, das zeigt, dass SIE Mengenlehre noch nicht einmal im Ansatz verstanden
haben

Es zeigt, dass die Matheologen keinen Logik können. Es ist ausgesprochen lächerlich, dass es Experten für Mengenlehre und Logik gibt, jedenfalls nach deren eigenem Urteil.

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
Alle definierbaren Zahlen können vor die 1 gestellt werden. Das liegt
in der Definition der Definierbarkeit.

Das SIE hier bereits behauptet haben, dass eine natuerliche Zahl genau
dann definierbar sei, wenn sie eine Dezimalendarstellung besitzt, sind
*alle* natuerlichen Zahlen definierbar.

Das ist falsch. Schon in Deinen Behauptungen zu Endsegmenten kann man das klar erkennen. Definiere nur eine einzige Zahl, deren Endsegment nicht ohne Änderung des Ergebnisses aus

E(1) ∩ E(2) ∩ E(3) ∩ ... = { }

entfernt werden kann. Das kannst Du nicht? Warum wohl? Weil alle Endsegmente definierbarer Zahlen ohne Änderung des Ergebnisses entfernt werden können. Es gibt nämlich eine minimale Menge definierbarer Endsegmente: Sie ist leer.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch, was mich etwas enttäuscht.
Wo bleibt die Sorgfalt?

Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]
Hier ist die 1 an 2 bis 100 vorbei defiliert.
Die hinter 1 folgenden Zahlen haben 101 als kleinste Zahl.
Was ist da so schwierig?

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch,

Nein.

Post by Rainer Rosenthal
Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]

Nein, wir nehmen alle Ord_M. Gibt es eine größte Stelle für die 1? Nein. Trotzdem können niemals alle Nachfolger vorbeidefiliert sein. Das bedeutet, die Menge derer, die definierbar und damit auch defilierbar sind, ist potentiell unendlich. Beweis: Du kannst keine Ord_M annehmen, wo mehr als endliche viele Zahlen vor der 1 stehen. Ursache: Du könntest nicht mehr Zahlen beschreiben, ausdrücken, definieren.

Post by Rainer Rosenthal
Hier ist die 1 an 2 bis 100 vorbei defiliert.
Die hinter 1 folgenden Zahlen haben 101 als kleinste Zahl.
Was ist da so schwierig?

Jede kleinste Zahl, die Du benennen kannst, kann an der 1 vorbeidefilieren. Fast alle sind aber nicht benennbar. *Wenn* sie allerdings in Bijektionen surjektiv erfassbar sind (was im Gegensatz zu Deiner Meinung zur Kardinalitätsbestimmung erforderlich ist), dann sollten sie auch defilieren können. Hier liegt die Inkonsistenz der Mengenlehre.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch,

Nein.

Post by Rainer Rosenthal
Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]

Nein, wir nehmen alle Ord_M.

Nein, nehmen wir nicht. Es ging um Ord_M, und zwar um irgendeine der
Ordnungen dieses Typs.

Es ist wenig lustig, wenn Du stets was anderes schreibst, als was Du
meinst.

[Ganzhinterseher]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch,

Nein.

Post by Rainer Rosenthal
Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]

Nein, wir nehmen alle Ord_M.

Nein, nehmen wir nicht.

Ich sagte: "Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat." Dabei habe ich keine konkrete Ordnung angegeben. Falls Du ursprünglich wirklich nicht verstanden hast, was ich meinte, und mich für blöde genug hältst, die Behauptung für eine konkrete Ordnung zu machen, dann sollte dieser Hinweis wohl genügen.

Post by Rainer Rosenthal
Es ging um Ord_M, und zwar um irgendeine der
Ordnungen dieses Typs.

Nein. Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?

Merkwürdig ist, dass Du eine konkrete Anmerkung machst.
Sie ist allerdings falsch,

Nein.

Post by Rainer Rosenthal
Nehmen wir doch mal dieses Ord_M: [2,3,4,...,100,1,101,102, ...]

Nein, wir nehmen alle Ord_M.

Nein, nehmen wir nicht.

Ich sagte: "Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat." Dabei habe ich keine konkrete Ordnung angegeben. Falls Du ursprünglich wirklich nicht verstanden hast, was ich meinte, und mich für blöde genug hältst, die Behauptung für eine konkrete Ordnung zu machen, dann sollte dieser Hinweis wohl genügen.

Post by Rainer Rosenthal
Es ging um Ord_M, und zwar um irgendeine der
Ordnungen dieses Typs.

Nein. Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.

Das ist allerdings kein Wunder, da die 1 kein Element dieser Menge ist.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Post by Ganzhinterseher
Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.
Das ist allerdings kein Wunder, da die 1 kein Element dieser Menge ist.

Es geht um die auf die 1 folgende Menge:

2, 3, 4, ..., n-1, 1, n, n+1, n+2, ...

Wenn die 1 nicht an allen Zahlen vorbeidefilieren kann, dann muss ein Puffer vorhanden sein. Dann besitzt die Menge der Endsegmente, die diesen Puffer bildet, nach dem Wohlordnungssatz ein niederstes Element m.

Natürlich ist das m nicht definierbar, also eine dunkle Zahl. Denn an jeder definierbaren Zahl n kann die 1 vorbeiziehen.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher

Post by Ganzhinterseher
Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.
Das ist allerdings kein Wunder, da die 1 kein Element dieser Menge ist.

2, 3, 4, ..., n-1, 1, n, n+1, n+2, ...
Wenn die 1 nicht an allen Zahlen vorbeidefilieren kann, dann muss ein Puffer vorhanden sein. Dann besitzt die Menge der Endsegmente, die diesen Puffer bildet, nach dem Wohlordnungssatz ein niederstes Element m.
Natürlich ist das m nicht definierbar, also eine dunkle Zahl. Denn an jeder definierbaren Zahl n kann die 1 vorbeiziehen.
Gruß, WM

Nein, in dem von Dir Weggeschnittenen, ging es um die Menge von geortneten Mengen {{2,1}, {2,3,1}, {2,3,4,1},...}.

Gruß
Michael

[Rainer Rosenthal]

Post by Ganzhinterseher
Merkwürdig, dass die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1

folgenden Zahlen kein kleinstes Element hat. Findest Du nicht?
Hier ist von einer Ord_M die Rede.

Post by Ganzhinterseher
Nein. Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.

Na toll, jetzt bezieht sich Deine Aussage plötzlich auf die Menge der
Ord_M. Du musst Dich nicht wundern, wenn Du nicht ernst genommen wirst.

"die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen"
muss ich mir also nach einer sich ständig ändernden Bastelanleitung
erstellen, um mich dann mit Dir über ihre interessanten Eigenschaften
wundern zu dürfen. Mathematik sieht anders aus.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Post by Ganzhinterseher
Meine Bemerkung bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ord_M. Dort ist kein kleinstes auf die 1 folgendes Element auffindbar, obwohl die entsprechende Untermenge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist.
Na toll, jetzt bezieht sich Deine Aussage plötzlich auf die Menge der
Ord_M.

Nicht plötzlich., sondern schon immer. Wie dem auch sei: Bist Du in der Lage, diese Frage zu beantworten? Oder beschädigt das Dein Cantor-Bild zu sehr?

Post by Ganzhinterseher
"die wohlgeordnete Menge der in Ord_M hinter der 1 folgenden Zahlen"
muss ich mir also nach einer sich ständig ändernden Bastelanleitung
erstellen,

Nein, Du musst lediglich alle Mengen dieser Form betrachten. Bei Unendlichkeitsfreunden sollte das doch nicht auf unüberwindbare Schwierigkeiten stoßen.

Gruß, WM

[Uwe Weiss]

Post by Ganzhinterseher
Das liegt daran, dass nur solche Plätze definierbar sind. Denn für alle definierbaren natürlichen Zahlen gilt

...

Ja, die guten, alten, definierbaren natürlichen Zahlen. Wer kennt sie nicht?

Und für alle definierbaren natürlichen Zahlen, die noch nie in eine
Windel geschissen haben, gilt zudem:
Pfefferminzgeschmack ist donnerstags gleich Minussiebentausend.

Und nun?

[Me]

Post by Rainer Rosenthal
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]

Meinst Du damit "Ordnungen der Form"

[2, 3, 4, ... n, 1, n+1, ...]

mit n e IN (und n >= 2)?

[Ralf Bader]

Post by Rainer Rosenthal

Weil die 1 bei der Umordnung 2, 3, 4, ..., 1 von 1, 2, 3, 4, ...
auf einem Platz mit unendlichem Index landet.

Wo ist denn eine solche Umordnung beschrieben?
Ord_A = [1, 2, 3, 4, ...]
und
Ord_Z = [2, 3, 4, ..., 1]
Dabei ist Ord_A uns allen wohlbekannt, und über Ord_Z hatte ich mich mit
Dir unterhalten können. Dabei bekam ich sogar Zustimmung von Dir, dass
in Ord_Z gilt: das kleinste (niederste) Element in {1,2,3} ist die 2.
Danach ging es leider nicht mehr weiter, und ich habe auf Anraten kluger
Wo ist denn eine Abfolge von Umordnungen beschrieben, die von Ord_A zu
Ord_Z führen kann? Wer behauptet denn, dass das überhaupt möglich sei?
Wohin auch immer ich "die 1 defilieren lasse", startend bei Ord_A, komme
ich stets nur zu Ordnungen der Form
Ord_M = [2, 3, 4, ... , 1, ...]
Dein Hütchen-Spiel-Vergleich ist treffend. Angeblich hast Du Cantor
dabei erwischt. Aber wo? Du scheinst ihm eher vorzuwerfen, dass er dies
Hütchenspiel nicht sauber hinbekommen würde.
Gruß,
Rainer Rosenthal

Der Hütchen-Spiel-Vergleich ist Blödsinn, und Mückenheim hat Cantor bei
garnix erwischt, denn er ist in der Regel nicht fähig, zu verstehen, was
da steht.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1 - Du läßt Dich (zum Zwecke der Eindeutigkeit) auf ZFC ein, und zwar
konsequent. Du nimmst zur Kenntnis, daß eine Ordnunmgsrelation auf einer
Menge M eine Teilmenge des cartesischen Produktes MxM ist, daß
Abbildungen zwischen Mengen auf diesen gegebene Ordnungen respektieren
oder nicht, daß es insbesondere Ordnungsisomorphismen gibt, daß jede
Wohlordnung ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, daß in den
beiden vorliegenden Ordnungen diese Ordinalzahlen verschieden sind usw.

2 - Du eierst mit metaphorischem Gerede über vorbeidefilierende Zahlen,
Dreipünktchenausdrücken und dergleichen herum und versinkst in
Paradoxien des Unendlichen.

[Ganzhinterseher]

Post by Ralf Bader
1 - Du läßt Dich (zum Zwecke der Eindeutigkeit) auf ZFC ein, und zwar
konsequent.

Um blöd zu sein und blöd zu bleiben.

Post by Ralf Bader
Du nimmst zur Kenntnis, daß eine Ordnunmgsrelation auf einer
Menge M eine Teilmenge des cartesischen Produktes MxM ist,

oder Du erkennst, dass ausgehend von der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Plätzen in 1, 2, 3, ... jede Umordnung möglich ist (weil nur endliche Zahlen und Plätze vorhanden sind) ohne eine unendliche Zahl oder einen unendlich indizierten Platz einzuführen.

Das führt zu der Erkenntnis, dass die Behauptung, eine Bijektion sei möglich, aber nur wenn der Autor clever genug ist, einfach Schwachsinn ist. Aber wer sich darauf einlässt, muss das eben ertragen. Die meisten merken es wohl gar nicht.

Gruß, WM