Discussion:
Lotfällung und Minimalität bzgl. Supremumsnorm
(zu alt für eine Antwort)
Heiko Vogel
2018-09-12 10:39:33 UTC
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Hallo allerseits,

ich grüble nun schon einige Zeit an einer Frage:

Es ist ja bekannt, das das Lot, welches man von einem Vektor x auf einen
Span von Vektoren b1, b2, ..., bt fällt - minimale euklidische Länge
unter allen Vektoren hat, die in der Menge { x - |R*b1 - |R*b2 - ... -|R*bt }
liegen.

Nun stellt sich mir die Frage, ob dieses Lot nicht auch minimale
Länge bzgl. der Supremumsnorm unter all diesen Vektoren der
genannten Menge hat.

Geometrisch ist mir das klar, wenigstens insofern, das ich kein
Gegenbeispiel konstruieren kann - allerdings würder ich das Ganze auch
gerne beweisen - finde allerdings keinen konkreten Ansatz hierfür.

Hat irgendjemand eine paar hilfreiche Hinweise?

Herzlichen Dank und mathematische Grüße,
Heiko Vogel
Stephan Gerlach
2018-09-14 23:38:53 UTC
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Post by Heiko Vogel
Hallo allerseits,
Es ist ja bekannt, das das Lot, welches man von einem Vektor x auf einen
Span von Vektoren b1, b2, ..., bt fällt - minimale euklidische Länge
unter allen Vektoren hat, die in der Menge { x - |R*b1 - |R*b2 - ... -|R*bt }
liegen.
Mit der Menge { x - |R*b1 - |R*b2 - ... -|R*bt } meinst du vermutlich
{x - c1*b1 - c2*b2 - ... -ct*bt | ck \in |R für alle k von 1 bist t}?
D.h. du willst die Differenz von x mit einem beliebigen
Vektor aus span{b1, b2, ..., bt} bilden.

Davon abgesehen: Die Aussage sollte sogar in noch allgemeinerem Kontext
gültig sein.

Und zwar gilt das zum einen in beliebigen Hilberträumen H für beliebige
abgeschlossene Unterräume U von H; d.h. U muß nicht unbedingt (wie in
deinem Fall) endlich-dimensional sein.

Zum anderen gilt die Aussage für beliebige m-dimensionale
Mannigfaltigkeiten M im |R^n, m<n, wenn ich mich nicht irre.

Z.B. gilt das für irgendeine (hinreichend reguläre) Kurve im |R^2, oder
für eine (hinreichend reguläre) Fläche im |R^3. Sogar für eine Kurve im
|R^3 sollte es gelten.
Post by Heiko Vogel
Nun stellt sich mir die Frage, ob dieses Lot nicht auch minimale
Länge bzgl. der Supremumsnorm unter all diesen Vektoren der
genannten Menge hat.
Das ist nicht a priori klar.
Post by Heiko Vogel
Geometrisch ist mir das klar,...
Auf den ersten Blick vielleicht. Allerdings ist die Anschauung oder der
erste Eindruck in der Mathematik oft auch trügerisch.
Post by Heiko Vogel
... wenigstens insofern, das ich kein
Gegenbeispiel konstruieren kann - allerdings würder ich das Ganze auch
gerne beweisen - finde allerdings keinen konkreten Ansatz hierfür.
Das könnte daran liegen, daß die genannte Aussage (sofern ich sie
richtig verstanden habe) für die Supremumsnorm u.U. falsch ist.

IMHO könnte sich bereits im |R^2 ein Gegenbeispiel finden lassen.
Man gucke sich mal bitte die Einheitskugeln um den Nullpunkt bezüglich
der euklidischen 2-Norm ||.||_2 und der Supremumsnorm ||.||_oo an.
Dann findet man (auch anschaulich/geometrisch) Vektoren a und b, so daß
||a||_2 < ||b||_oo,
aber
||a||_oo > ||b||_2
gilt.

Ausgehend von dieser Idee könnte z.B. das folgende Beispiel interessant
sein:
U = span{(10, 1)}
x = (0, 11).

Zu betrachten sind Lot bzw. Abstand bezüglich der beiden Normen ||.||_2
und ||.||_oo vom Punkt x und dem Unterraum U.
--
Post by Heiko Vogel
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Martin Vaeth
2018-09-15 06:55:01 UTC
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Post by Heiko Vogel
Es ist ja bekannt, das das Lot, welches man von einem Vektor x auf einen
Span von Vektoren b1, b2, ..., bt fällt - minimale euklidische Länge
unter allen Vektoren hat, die in der Menge { x - |R*b1 - |R*b2 - ... -|R*bt }
liegen.
Nun stellt sich mir die Frage, ob dieses Lot nicht auch minimale
Länge bzgl. der Supremumsnorm unter all diesen Vektoren der
genannten Menge hat.
Die Vermutung ist schon für einen Vektor b1 in der Ebene R^2 falsch.
Genauer gilt sogar: Wenn eine Gerade g im R^2 weder senkrecht
noch waagerecht noch diagonal liegt und x nicht auf g liegt,
so ist der sup-Abstand von x zum Lotpunkt L auf g
größer als der sup-Abstand von x zu g.

Dies erkennt man daran, dass die Gerade V von x zu L weder
senkrecht noch waagerecht noch diagonal verläuft:
Da V nicht diagonal verläuft, hat eine der beiden
Koordinaten von x-L einen echt größeren Betrag als die
andere. Da V nicht senkrecht oder waagerecht verläuft,
kann man L entlang g leicht so verschieben, dass die
betragsgrößere Koordinate kleiner wird (wenn man wenig
genug verschiebt, bleibt die andere Koordinate immer noch
kleiner).

Da L für diese Überlegungen kein spezieller Punkt war,
erhält man so nebenbei für jede Gerade g, die weder
senkrecht noch waagerecht verläuft, dass es für jedes
x nicht auf g höchstens zwei sup-Bestapproximierende
auf g gibt, die man erhält, indem man durch x die
Diagonalen zeichnet und diese mit g schneidet.
(Im Falle einer Diagonalen g gibt es nur einen solchen
Schnittpunkt, und dieser fällt mit dem Lotpunkt zusammen.)

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