Gleichseitiges Dreieck im Quadrat

[Franz Luwein]

Hallo,

dass man unterschiedlich große (Fläche) gleichschenklige Dreiecke bei dem
- eine Ecke des Dreiecks auf einer Ecke des Quadrats liegt,
- und die Ecken der gegenüberliegende Seite des Dreieckes die beiden
gegenüberliegenden Seiten des Quadrats berührt,

in ein Quadrat zeichnen kann, ist soweit klar.

Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, das die oben genannten Bedingungen
erfüllen könnte?

Meine Bemühungen waren bisher erfolglos.

Mit freundlichem Gruß

Franz Luwein

[Alfred Flaßhaar]

Am 19.12.2020 um 14:51 schrieb Franz Luwein:
(...)

Post by Franz Luwein
Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, das die oben genannten Bedingungen
erfüllen könnte?

(...)

Ja, die Seitenlänge des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks beträgt
a/(cos 15°) mit a = Quadratseite.

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Dieter Heidorn]

Post by Franz Luwein
Hallo,
dass man unterschiedlich große (Fläche) gleichschenklige Dreiecke bei dem
- eine Ecke des Dreiecks auf einer Ecke des Quadrats liegt,
- und die Ecken der gegenüberliegende Seite des Dreieckes die beiden
gegenüberliegenden Seiten des Quadrats berührt,
in ein Quadrat zeichnen kann, ist soweit klar.
Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, das die oben genannten Bedingungen
erfüllen könnte?

A, E und F seien die Eckpunkte des Dreiecks, wobei A mit einer Ecke des
Quadrats ABCD übereinstimmt:

D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B

Dann ist das Dreieck AEF gleichseitig, wenn der Winkel zwischen den
Strecken AE und AF 15° beträgt.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Post by Dieter Heidorn

Post by Franz Luwein
Hallo,
dass man unterschiedlich große (Fläche) gleichschenklige Dreiecke bei dem
- eine Ecke des Dreiecks auf einer Ecke des Quadrats liegt,
- und die Ecken der gegenüberliegende Seite des Dreieckes die beiden
gegenüberliegenden Seiten des Quadrats berührt,
in ein Quadrat zeichnen kann, ist soweit klar.
Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, das die oben genannten Bedingungen
erfüllen könnte?

A, E und F seien die Eckpunkte des Dreiecks, wobei A mit einer Ecke des
D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B
Dann ist das Dreieck AEF gleichseitig, wenn der Winkel zwischen den
Strecken AE und AF 15° beträgt.

Das muss natürlich "zwischen den Strecken AE und AB 15° beträgt"
heißen.

Dieter Heidorn

[Franz Luwein]

Hallo Dieter,

Ich bin ursprünglich so vorgegangen:
1. Ein Quadrat gezeichnet ABCD
2. Wie du von A nach E mit 15 ° eine Strecke gezeichnet
3. von A nach F das gleiche.
4. EF nachgemessen
5. festgestellt, die drei Strecken AE, AF und EF sind gleich lag.
Damit war klar: Zumindest zeichnerisch und mit der Linienstärke meiner
Zeichenwerkzeuge passt es!

Gibt es eine Erklärung warum das auch rechnerisch genau so sein muss?
Dass es so ist, hat ja Alfred (a/(cos 15°) mit a = Quadratseite) schon
geschrieben.

Gruß

Franz

Post by Dieter Heidorn

Post by Franz Luwein
Hallo,
dass man unterschiedlich große (Fläche) gleichschenklige Dreiecke bei dem
- eine Ecke des Dreiecks auf einer Ecke des Quadrats liegt,
- und die Ecken der gegenüberliegende Seite des Dreieckes die beiden
gegenüberliegenden Seiten des Quadrats berührt,
in ein Quadrat zeichnen kann, ist soweit klar.
Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, das die oben genannten Bedingungen
erfüllen könnte?

A, E und F seien die Eckpunkte des Dreiecks, wobei A mit einer Ecke des
  D   F       C
  *---*-------*
  |           |
  |           |
  |           |
  |           *E
  |           |
  *-----------*
  A           B
Dann ist das Dreieck AEF gleichseitig, wenn der Winkel zwischen den
Strecken AE und AF 15° beträgt.
Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Post by Franz Luwein
Hallo Dieter,
1. Ein Quadrat gezeichnet ABCD
2. Wie du von A nach E mit 15 ° eine Strecke gezeichnet
3. von A nach F das gleiche.
4. EF nachgemessen
5. festgestellt, die drei Strecken AE, AF und EF sind gleich lag.
Damit war klar: Zumindest zeichnerisch und mit der Linienstärke meiner
Zeichenwerkzeuge passt es!
Gibt es eine Erklärung warum das auch rechnerisch genau so sein muss?
Dass es so ist, hat ja Alfred (a/(cos 15°) mit a = Quadratseite) schon
geschrieben.

Das lässt sich mit elementar-geometrischen Überlegungen zeigen:

D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B

* Das Dreieck FEC ist gleichschenklig und hat bei C einen rechten
Winkel.
Die Winkel bei F und E in diesem Dreieck betragen daher jeder 45°.

* Das Dreieck AEF soll gleichseitig sein, seine Innenwinkel betragen
daher 60°.

* Bei F hat man jetzt 45° vom Innenwinkel des Dreiecks FEC,
60° vom Innenwinkel des Dreicks AEF, d.h. die Strecken FA und FD
bilden einen Winkel phi, für den gilt:

45° + 60° + phi = 180°,

also phi = 75°.

* Bei D liegt ein rechter Winkel vor, also muss das Dreieck AFD bei A
den Innenwinkel 15° haben.

Für den Winkel zwischen AB und AE ergibt sich wegen der Symmetrie der
Figur natürlich auch 15°.

Dieter Heidorn

[Helmut Richter]

Post by Dieter Heidorn
D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B
* Das Dreieck FEC ist gleichschenklig und hat bei C einen rechten
Winkel.
Die Winkel bei F und E in diesem Dreieck betragen daher jeder 45°.
* Das Dreieck AEF soll gleichseitig sein, seine Innenwinkel betragen
daher 60°.
* Bei F hat man jetzt 45° vom Innenwinkel des Dreiecks FEC,
60° vom Innenwinkel des Dreicks AEF, d.h. die Strecken FA und FD
45° + 60° + phi = 180°,
also phi = 75°.
* Bei D liegt ein rechter Winkel vor, also muss das Dreieck AFD bei A
den Innenwinkel 15° haben.
Für den Winkel zwischen AB und AE ergibt sich wegen der Symmetrie der
Figur natürlich auch 15°.

Oder so:

Die Figur ist symmetrisch bezüglich das Achse AC.

Der Winkel DAB beträgt 90°.
Der Winkel FAE beträgt 60° wegen Gleichseitigkeit.

Bleiben für die Winkel DAF und EAB je 15°.

[Jens Kallup]

Hallo,

Post by Dieter Heidorn
D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B

Ein gleichseitiges Dreieck hat immer die Winkel:

A = alpha = 60 Grad,
B = beta = 60 Grad, und
C = gamma = 60 Grad

Das macht dann insgesamt 180 Grad
Der Innenkreis-Radius r_i berechnet sich mit:

r_i = a / (2 * sqrt(3) )

Die Höhe kann man aus nun gegebenen Winkeln:
__
AB / 2 = 90 Grad
beta = 60 Grad, und
C / 2 = 30 Grad

berechnen.

Da die durch einzeichnen der Höhe das Dreieck
teilt, haben wir 2 Dreiecke. __
Diese können wir an der Hypothenuse BC = c
zusammenführen und erhalten ein Quadrat.

Nun ist es egal, was für eine Seitenlänge für das
Quadrat wählen:
sagen wir mal:
__ __ __ __
AB = 10cm, BC = 10cm, CD = 10cm, DA = 10cm

Die Höhe beträgt also 10cm:

wir wissen nun, die Hälfte einer Länge des Quadrates
beträgt 5cm.

nun Pythagoras: (c = Hypothenuse)
c^2 = a^2 + b^2
c = sqrt(a^2 + b^2)

h = 10cm
l = AB/2 = 10/2 = 5cm

c = sqrt(l^2 + h^2)
= sqrt(5^2 + 10^2)
= sqrt(25 + 100)
= sqrt(125)
= 11,18

c * 3 = 33,54 (3 Seiten)

Jetzt kann man den Mittelpunkt der Höhhe berechnen:

h = h/2
h = 10cm / 2
h = 5cm

Nun berechnet man l2 Mh zu B (c2) , l bleibt gleich:

c2 = sqrt(l^2 + h^2)
c2 = sqrt(5^2 + 5^2)
c2 = sqrt(25 + 25)
c2 = sqrt(50)
c2 ~ 7,071

durch c2 ist nun der Radius "r" für den Außenkreis
gegeben.
Nun kann man da einen Kreis einzeichnen, und daraus
kann man nun das Dreieck bzw. das Quadrat mit Innen-
Dreieck auf beliebige Position drehen.

Jens

[Franz Luwein]

Hallo Alfred, Dieter, Helmut und Jens,

DANKE!

Jetzt ist mir einiges klarer geworden.

Gruß

Franz

[Jens Kallup]

h2 = h/2
h2 = 5cm / 2
h2 = 2.5 cm

l2 = l/2
l2 = 5cm / 2
l2 = 2.5cm

c2 = sqrt(l^2 + h^2)
c2 = sqrt(2.5^2 + 2.5^2)
c2 = sqrt(6.25 + 6.25)
c2 = sqrt(12.5)
c2 ~ 3,54

durch c2 ist nun der Radius "r" für den Außenkreis
im Quadrat gegeben.
Nun kann man da einen Kreis einzeichnen, und daraus
kann man nun das Dreieck bzw. das Quadrat mit Innen-
Dreieck auf beliebige Position drehen.

Jens

[Jens Kallup]

Hallo,

wem das nicht ganz klar ist, hier noch ein paar
Informationen:

- durch das einzeichner der Höhe, wird das Dreieck
geteilt,
- dieses Dreieck muss nochmals geteilt werden, weil
das zusammen führen des ersten Teile zu einen
Rechteck führt

hierzu ein Versuch das texttechnisch darzustellen:

1. Das Quadrat:
D +--------+ C
| |
| |
| |
A +--------+ B

2. Das Dreieck:
D +----*----+ C
| / \ |
| / \ |
| / \ |
|/ \|
A *---------* B

3. Quadrat und Dreieck mit Höhe:
D +----*----+ C
| /|\ |
| / | \ |
c | / h| \ | b
|/ | \|
A *----*----* B
l_1 a l_2

4. Rechteck (l_1 + l_2)
D +----+ C
| /|
| / |
c | / h| b
|/ |
A *----* B
a

5. Rechteck / 2 = Quadrat
D +---+ C
| |
A +---+ B

6. resultierendes Quadrat mit h = h/2
und 2. Dreieck:
D +-*-+ C
|/ \|
A *---* B

7. den Kreis um 6, als mit Berühungspunkt:
A,B,C, und D, hab ich hier nicht
hinbekommen, ich bitte um Nachsicht.

Jens

[Christian Gollwitzer]

Post by Helmut Richter

Post by Dieter Heidorn
D F C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *E
| |
*-----------*
A B

Die Figur ist symmetrisch bezüglich das Achse AC.
Der Winkel DAB beträgt 90°.
Der Winkel FAE beträgt 60° wegen Gleichseitigkeit.
Bleiben für die Winkel DAF und EAB je 15°.

So hab ich mir das auch überlegt, aber dann mus man doch noch zeigen,
dass das Dreieck AFE wirklich gleichseitig ist, oder irre ich mich?

Also, dass das geht und wirklich ein gleichseitiges, nicht nur
gleichschenkliges Dreieck herauskommt, wenn man einen 60°-Winkel
symmetrisch in die Ecke einschreibt. Dazu kann man den Winkel AFE
berechnen:

DAF = 15° -> AFD=75° -> AFC = 105°

FCE ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck und damit EFC = 45°

-> AFE = AFC - EFC = 60°


Christian

[Jens Kallup]

Hallo,

ich habe das auch nochmal durchgerechnet, und komme
zur folgende Lösung:

http://www.kallup.net/news/dreieck.pdf

nun weiß ich aber nicht, ob dies gesucht wurde?

Gruß, Jens

[Franz Luwein]

Hallo Jens,

deine bei deiner Annahme, stimmt deine Rechnung! Dein Dreieck hat die
gleiche Seitenlänge wie das Quadrat (10 cm) und ist somit das kleinste
mögliche gleichseitige Dreieck in dem "Umquadrat"

Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass
in einem Dreieck mit den Eckpunkten A,B,C,D eine gleichseitiges Dreieck
liegt, dessen Eckpunkt E auf dem Eckpunkt A des Quadrats liegt und F auf
der Strecke BC sowie G auf der Strecke CD liegt und habe sozusagen das
größte gleichseitige Dreieck in dem "Umquadrat" gesucht.

D G C
*---*-------*
| |
| |
| |
| *F
| |
*-----------*
A + E B

Dieses gleichseitige Dreieck ist etwas größer als deins.
Es hat eine Seitenlänge von ca. 11,18 cm.

Ohne die Bedingung (Ecke E auf Ecke A) sind alle gleichseitigen Dreiecke
zwischen 10 und 11,18 cm Seitenlänge möglich.
Wenn du z.B. dein Dreieck etwas drehst und dabei die Seitenlängen
kontinuierlich anpasst, sollte bei einer Seitenlänge von 10,746 cm das
Dreieck die Hälfte der Quadratfläche überdecken.

Ich hoffe, ich liege nicht ganz daneben?

Gruß

Franz

Post by Franz Luwein
Hallo,
ich habe das auch nochmal durchgerechnet, und komme
http://www.kallup.net/news/dreieck.pdf
nun weiß ich aber nicht, ob dies gesucht wurde?
Gruß, Jens

[Jens Kallup]

Hallo,

Post by Franz Luwein
Ohne die Bedingung (Ecke E auf Ecke A) sind alle gleichseitigen Dreiecke
zwischen 10 und 11,18 cm Seitenlänge möglich.
Wenn du z.B. dein Dreieck etwas drehst und dabei die Seitenlängen
kontinuierlich anpasst, sollte bei einer Seitenlänge von 10,746 cm das
Dreieck die Hälfte der Quadratfläche überdecken.
Ich hoffe, ich liege nicht ganz daneben?

nun, Du weißt ja jetzt das ein gleichseitiges Dreieck 3 Winkel
mit je 60 Grad besitzt.
In der ersten Annahme von mir, hatte ich einfach gedacht, das
__ ______
man das Dreieck einfach von AB = 5cm + 5cm, und CD / 2 = 5 cm;
quasi an dem Mittelpunkt von CD / 2 = 5cm Einzeichen kann, und
dann lustig damit rechnen.

Später ist mir aber eingefallen, das die Seitenlängen:
______ ______
A CD/2 , und B CD/2

ja gestreckt werden.
Ich habe mir nicht die Mühe gemacht, dies Exackt mit den
trigometrischen Formel sinus und cosinus zu berechnen.
Mir war schon kler, das eine Differenz rauskommen würde -
egal ob diese nun kleiner oder größer wäre.

Es stellte sich aber heraus, das die Differenz von der Dreiecks-
spitze zu CD / 2 innen größer sein musste.
Damit war mir klar, dass, wenn ich wie oben beschrieben, die
3 Seitenlängen nicht einheitlich mehr sein konnten.

Daraus konnten dann auch die Winkel nicht mehr stimmen, denn
diese wären dann etwas kleiner als 60 Grad.

Ok, zurück ...
Man konnte also nicht so einfach das Dreieck in zwei Teile
zerlegen, diese dann spiegelnd wieder zu einen Quadrat zusammen
führen.
Es blieb immer ein Rest des großen Quadrates übrig, wenn man
das Dreieck füllend in/auf das große Quadrat legen würde.

Man hat nun 2 Rechtecke (ein Quadrat fällt auch in die Kategorie
Rechteck) :
______
1x ein in der breite sehr kleines, und in der Länge AB / 2 , und
1x das geteilte Dreieck zu einen Quadrat anliegend an:
_____________________
AC - (AC - (dA + dC))

Ich versuche es hier mal textgrafisch:

D +-----------+ C
| R2 |
dD +-----+ dC |
| d2/ | |
| / d1| R1 |
A +-----+-----+ B
dA dB

Legende:

A, B, C, D = großes Quadrat
dA, dB, dC, dD = kleines Quadrat
d1, und d2 = die 2 Hälften des Dreiecks

die beiden / sollen das getrennte Dreieck zu
einen Quadrat zusammen gefügt darstellen.

Achja, ein kleiner Taschengaunerdiebtrick:
Nimm die eine Hälfte des Quadrates (d1 bleibt an der
Position, d2 kannst du nun nach oben klappen, und dA
sollte nun a D anstoßen.

Hihi, klar, das geht so nicht, da du ja noch den Rest
bleibt, aber dieser Klamauck ist auf Belustigungs Schausteller
sehr beliebt.

Hab ich was vergessen - zu umständlich erklärt?
Einfach schreiben ...

Danke der Aufmerksamkeit

Jens

[Jens Kallup]

Post by Franz Luwein
Hallo Jens,
deine bei deiner Annahme, stimmt deine Rechnung! Dein Dreieck hat die
gleiche Seitenlänge wie das Quadrat (10 cm) und ist somit das kleinste
mögliche gleichseitige Dreieck in dem "Umquadrat"
   D   G       C
   *---*-------*
   |           |
   |           |
   |           |
   |           *F
   |           |
   *-----------*
 A + E         B
Dieses gleichseitige Dreieck ist etwas größer als deins.
Es hat eine Seitenlänge von ca. 11,18 cm.

Das Problem ist, Du kannst die Seitenlängen nicht einfach
verlängern (oder hast Du schonmal, ein aus Eisen bestehdendes
Dreieck größer machen können ? :)

1. Überlegung:
Das Umquadrat teilen, um zu prüfen, ob die Winkel gleich
bleiben (man hat ja schon ein einen Winkel vorgegeben, sa
ein rechtwinkliges Dreieck einen Winkel von 90 Grad hat:
__ __
AB = 10 cm, BC = 10 cm, Winkel a = 90 Grad
__
AC = x gesuchte cm
__
Berechnung von AC x:

Pythagoras-Formel c^2 = sqrt(a^2 + b^2)

a^2 = AB = 10 cm
b^2 = BC = 10 cm
c^2 = AC = x cm

Eingesezuz in Formel:

x cm^2 = sqrt(10^2 + 10^2)
= sqrt(100 + 100 )
= sqrt(200 )
= 14,14 cm

x cm ist also 14,14 cm, und damit etwa 4,14 cm länger als die
4 Seiten des Quadrates mit 10,00 cm.

wenn man nun die 14,14 cm mit sich selbst addiert (quasi um zu
testen, wie groß die andere Hyptothenuse BD ist, sollte es doch
reichen, die 14,14 cm einfach zu addieren

14,14 oder: 14,14 * 2 = 28,28
+ 14,14
-------
= 28,28

28,28 sind also die 2 Hypothenusen

Umquadrat:

10,00 länge des Quadrates AD
* 10,00 länge des Quadrates BC
--------------------------------
10,00 breite des Quadrates AB
* 10,00 breite des Quadrates CD

bedingt durch die Rundungen, ergibt der rechte Winkel
89,983 Grad, und die beiden anderen Winkel des Dreiecks
45,009 Grad.

und der Flächeninhalt beträgt zu je 2 Teilen 50 cm.

wenn man davon ausgeht, das die beiden Winkel des Dreiecks
(45 + 45) Grad = 90 Grad ergeben, kann man schlußfolgern,
das:

1. 90 Grad, zu keinen gleichseitigen Dreiecks-Winkel gehört,
da jeder Winkel in einen gleichseitigen Dreieck ja 60 Grad
aufweisen muss, und gesamt 180 Grad ausmachen.

2. (90 + 45 + 45) Grad zwar auch 180 Grad ergeben, jedoch
haben die unterschiedlichen Winkel nahezu andere Werte,
während diese bei einen gleichseitigen Dreieck gleich bleiben.

Fläche Dreieck_u1: 50 cm
Fläche Dreieck_u2: 50 cm
Fläche u1 * u2 : 250 cm^2

2. Schritt:
Nun zeichnet man auf der Hälfte der Seiten AB einen Punkt ein.
Ich brauche das hier zum Glück nicht machen, weil ich weiß, das
dieser Punkt bei 5 cm (also AB / 2) auf der Dreieckseite a liegen wird.

Mit einen Zirkel überträgt man nun die Länge (5cm) für die beiden
anderen beiden Seiten b und d einen kleine Kreismarkierung.
Also von rechts und links aus gesehen.

Anschließend wiederholt man den Vorgang, ohne den Zirkel zu verstellen,
an den Punkten A und B des Umqadrates.

Man erhält also somit 2 Punkte (A und B sind ja schon vorgegeben).

Nun zeichnet man mit einen Lineal erst von Punkt A nach dem linken
eingetragenen Punkt, den man mit den Zirkel zuvor konstruiert hat, und
zeichnen eine Linie von A nach Punkt_links bis etwas über vom Rand des
Umquadrates.
Gleiches macht man mit den rechten konstruiert Punkt und den schon
vorhanden B.

Man kann nun feststellen, das man ein Dreieck mit den gleich langen
Seiten mit je 10 cm konstruiert hat.

Um es einfach zu Halten, kann man nun die Höhe des gleichseitigen
Dreiecks in den Graphen einzeichnen, da man ja den Punkt 5 cm schon an
der Strecke AB ermittelt hat, und die obere Spitze des Dreiecks auch
vorhanden ist.
Also von diesen 2 Punkten kann man nun die Höhe vom Dreieck einzeichnen.
Zusätzlich wird das Lot/resultierende Line bis etwas über dem Umquadrat
eingezeichnet.

Jetzt kann man wiederum mit den Zirkel den Abstand, ausgehend von der
Spitze des Dreiecks und dem resultierenden Punkt am Umquadrat (der
natürlich auch bei 5cm liegt :), abmessen, und am Zahlenstrahl ablesen.

Jens

[Stephan Gerlach]

Post by Franz Luwein
Hallo Dieter,
1. Ein Quadrat gezeichnet ABCD
2. Wie du von A nach E mit 15 ° eine Strecke gezeichnet
3. von A nach F das gleiche.
4. EF nachgemessen
5. festgestellt, die drei Strecken AE, AF und EF sind gleich lag.
Damit war klar: Zumindest zeichnerisch und mit der Linienstärke meiner
Zeichenwerkzeuge passt es!
Gibt es eine Erklärung warum das auch rechnerisch genau so sein muss?
Dass es so ist, hat ja Alfred (a/(cos 15°) mit a = Quadratseite) schon
geschrieben.

Wie die anderen schon geschrieben haben, nochmal der wesentliche Punkt
als Zusammenfassung:

"Ein Dreieck ist gleichseitig" bedeutet nicht nur, daß alle 3 Seiten
gleich lang sind, sondern auch alle 3 Innenwinkel gleich groß sind.
Zusammen mit dem (immer gültigen) Innenwinkelsatz für Dreiecke läßt sich
leicht zeigen, daß alle 3 Innenwinkel 60° groß sind.