Discussion:
Können Transpositionen Elemente verzaubern?
(zu alt für eine Antwort)
Ganzhinterseher
2020-03-12 09:11:43 UTC
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Cantor gelang es, eine Permutation aller positiven Brüche anzugeben:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...

Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation

1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...

Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings gibt es unendlich viele Brüche der Form 1/10^k (genauer ℵo). Wenn wir sie alle an die Front schicken, dann bleibt

1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...

und die anders geformten Brüche werden zumindest unsichtbar.

Ergebnis: Entweder gibt es dunkle Indizes, die nun von den anders geformten Brüchen belegt werden, aber wegen Dunkelheit nicht sichtbar sind, oder eine Transposition führt zu einem unkontrollierbaren Austausch von Elementen (mehr 1/10^k und weniger 1/2^k). Das wäre bedenklich, zumal in Zeiten des Corona-Virus.

Order gibt es noch eine dritte Alternative?

Gruß, WM
Rainer Rosenthal
2020-03-12 09:25:47 UTC
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Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...
Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings ...
Du näherst Dich der Grundidee, die hinter dem Begriff "Ordnung" steckt.
Das gefällt mir.
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1

Lieben Gruß,
Rainer
Ganzhinterseher
2020-03-12 11:29:24 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1
Die wesentlich Idee steckt in den drei Pünktchen. Wenn in

1, 2, 3, 4, ... (*)

alle Zahlen definiert sind und auf definierbaren Plätzen stehen, dann darf eine Transposition das nicht ändern. Also muss in

2, 3, 4, ..., 1 (**)

der Vorgänger von 1 ebenfalls definiert sein, denn keine Zahl geht bei einer Transposition innerhalb definierbarer Plätze verloren.

Der Vorgänger von 1 muss also in (**) definiert sein, wenn alle Plätze in (*) definiert sind. Das ist offenbar nicht der Fall. Also sind auch in (*) schon dunkle Plätze vorhanden.

Gruß, WM
Me
2020-03-12 11:57:03 UTC
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Kann man den Trottel nicht abschalten?
Juergen Ilse
2020-03-12 11:58:11 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1
Die wesentlich Idee steckt in den drei Pünktchen. Wenn in
1, 2, 3, 4, ... (*)
alle Zahlen definiert sind und auf definierbaren Plätzen stehen, dann darf eine Transposition das nicht ändern. Also muss in
2, 3, 4, ..., 1 (**)
der Vorgänger von 1 ebenfalls definiert sein, denn keine Zahl geht bei einer Transposition innerhalb definierbarer Plätze verloren.
Dunkel ist deiner Worte Sinn ...
Oder anders formuliert: wasw immer du damit sagen wollstest, es ist
hahnebuechener Unfug.
Post by Ganzhinterseher
Der Vorgänger von 1 muss also in (**) definiert sein, wenn alle Plätze in (*) definiert sind. Das ist offenbar nicht der Fall. Also sind auch in (*) schon dunkle Plätze vorhanden.
Das einzig dunkle in dieser Diskussion ist der Sinn IHRER Ausfuehrungen
sowie moeglicherweise IHR Verstand.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-03-12 12:13:50 UTC
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"Wirres Gestammel" trifft es wohl noch am besten.
Ganzhinterseher
2020-03-12 12:31:28 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1
Die wesentlich Idee steckt in den drei Pünktchen. Wenn in
1, 2, 3, 4, ... (*)
alle Zahlen definiert sind und auf definierbaren Plätzen stehen, dann darf eine Transposition das nicht ändern. Also muss in
2, 3, 4, ..., 1 (**)
der Vorgänger von 1 ebenfalls definiert sein, denn keine Zahl geht bei einer Transposition innerhalb definierbarer Plätze verloren.
Dunkel ist deiner Worte Sinn ...
Oder anders formuliert: wasw immer du damit sagen wollstest,
Du verstehst es nicht. Verstehe.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Der Vorgänger von 1 muss also in (**) definiert sein, wenn alle Plätze in (*) definiert sind. Das ist offenbar nicht der Fall. Also sind auch in (*) schon dunkle Plätze vorhanden.
Das einzig dunkle in dieser Diskussion ist der Sinn IHRER Ausfuehrungen
Weshalb musst Du Dich zu Unverstandenem Äußern? Lies doch einfach nur mit. Falls Dir Permutationen und Transpositionen und deren Gesetze zu schaffen machen, so empfehle ich [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), Index]

Gruß, WM
Me
2020-03-12 12:35:24 UTC
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Ach, halt doch' Maul!
Me
2020-03-12 12:36:18 UTC
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Ach, halt doch die Klappe!
Michael Klemm
2020-03-12 14:57:48 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1
Die wesentlich Idee steckt in den drei Pünktchen. Wenn in
1, 2, 3, 4, ... (*)
alle Zahlen definiert sind und auf definierbaren Plätzen stehen, dann darf eine Transposition das nicht ändern. Also muss in
2, 3, 4, ..., 1 (**)
der Vorgänger von 1 ebenfalls definiert sein, denn keine Zahl geht bei einer Transposition innerhalb definierbarer Plätze verloren.
Der Vorgänger von 1 muss also in (**) definiert sein, wenn alle Plätze in (*) definiert sind. Das ist offenbar nicht der Fall. Also sind auch in (*) schon dunkle Plätze vorhanden.
Gruß, WM
Die betrachtete Abbildung IN -> IN ist keine Transposition sondern eine nicht-surjektive Translation.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-03-12 15:44:55 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
Post by Rainer Rosenthal
Tatsächlich bleibt auch die Zahl 1 übrig, wenn man alle anderen Zahlen
"an die Front schickt": 2, 3, 4, ... 1
Die wesentlich Idee steckt in den drei Pünktchen. Wenn in
1, 2, 3, 4, ... (*)
alle Zahlen definiert sind und auf definierbaren Plätzen stehen, dann darf eine Transposition das nicht ändern. Also muss in
2, 3, 4, ..., 1 (**)
der Vorgänger von 1 ebenfalls definiert sein, denn keine Zahl geht bei einer Transposition innerhalb definierbarer Plätze verloren.
Der Vorgänger von 1 muss also in (**) definiert sein, wenn alle Plätze in (*) definiert sind. Das ist offenbar nicht der Fall. Also sind auch in (*) schon dunkle Plätze vorhanden.
Die betrachtete Abbildung IN -> IN ist keine Transposition
Dann müsste sich die Zahlenmenge geändert haben. Welche Zahl sollte denn fehlen? Welche Zahl sollte hinzugekommen sein?

Merke: Die Pünktchen in 0, 1, 2, 3, ... vertreten nach der Meinung der orthodoxen Matheologen natürliche Zahlen, die alle definierbar sind.
Die Pünktchen in 1, 2, 3, ..., 0 vertreten aber natürliche Zahlen, die nicht alle definierbar sind. Damit ist nachgewiesen, dass die Behauptung der Orthodoxen falsch ist.

Gruß, WM
Me
2020-03-12 15:52:15 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Damit ist nachgewiesen, dass die Behauptung der Orthodoxen falsch ist.
Ja, so ist es, und jetzt verpiss Dich!
Juergen Ilse
2020-03-12 09:27:36 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...
Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings gibt es unendlich viele Brüche der Form 1/10^k (genauer ℵo). Wenn wir sie alle an die Front schicken, dann bleibt
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...
und die anders geformten Brüche werden zumindest unsichtbar.
Das ist voellig irrelevant. Die Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit von Mengen
lautet: es gibt *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen der Mengen.
Ob es auch eine oder mehrere nicht bijektive Abbildungen zwischen den Elementen
beider Mengen gibt, spielt fuer die Gleichmaechtigkeit der Mengen keine Rolle.
Die Bedingung fuer die Gleichmaechtigkeit lautet auch keineswegs "alle Abbil-
dungen zwischen den Elementen beider Mengen muessten gleichmaechtig sein (das
ist bei unendlichen Mengen sogar niemals der Fall).
Post by Ganzhinterseher
Ergebnis: Entweder gibt es dunkle Indizes, die nun von den anders geformten
Brüchen belegt werden, aber wegen Dunkelheit nicht sichtbar sind,
Das ist voelliger Humbug. Statt zu akzeptieren, dass es zwischen 2 abzaehlbar
unendlichen Mengen sowohl bijektive als auch nicht bijektive Abbildungen zwi-
schen ihren Elementen gibt (wie es auch tatsaechlich zutrifft), kosntruierst
du eine nicht bijektive Abbildung, und versuchst mittels frei hinzuerfundener
"dunkler Indizes" zu erklaeren, wie de3nn diese nicht bisjektive Abbildung
doch bijektiv sein kann. Das ist Bloedsinn, Humbug, Nonsens und zeugt von
tiefgreifendem Unverstaendnis sowohl des Unendlichkeitsbegriffs wie auch
dem Begriff der Maechtigkeit.
Post by Ganzhinterseher
Order gibt es noch eine dritte Alternative?
Ja. Diese dritte Alternative lautet, dass deine ganze Argumentation fuer
die Tonne ist, weil die Existenz nicht bijektiver Abbildungen zwischen den
Elementen zweier abzaehlbar unendlicher Mengen keineswegs aussagt, dass
beide Mengen nicht gleichmaechtig waeren. Fuer Gleichmaechtigkeit ist es
ausreichend, wenn es *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen
beider Mengen gibt. Was es sonst evt. noch an nicht bisjektiven Abbildungen
zwischen den Elementen beider Mengen gibt, spielt keine Rolle.
Ganzhinterseher
2020-03-12 11:29:21 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...
Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings gibt es unendlich viele Brüche der Form 1/10^k (genauer ℵo). Wenn wir sie alle an die Front schicken, dann bleibt
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...
und die anders geformten Brüche werden zumindest unsichtbar.
Das ist voellig irrelevant. Die Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit von Mengen
lautet: es gibt *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen der Mengen.
Hier geht es nicht um Gleichmächtigkeit, sondern um Konstanz: Alle Elemente sind da und bleiben bei eier Transposition auch da.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Ergebnis: Entweder gibt es dunkle Indizes, die nun von den anders geformten
Brüchen belegt werden, aber wegen Dunkelheit nicht sichtbar sind,
kosntruierst
du eine nicht bijektive Abbildung,
Ich gebe eine Umordnung an, die alle Elemente erhalten sollte, wenn Umordnungen überhaupt möglich und alle Elemente vorhanden sind.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Order gibt es noch eine dritte Alternative?
weil die Existenz nicht bijektiver Abbildungen zwischen den
Elementen zweier abzaehlbar unendlicher Mengen keineswegs aussagt, dass
beide Mengen nicht gleichmaechtig waeren.
Darum geht es gar nicht. Es geht darum, dass bei einer Transposition keine Elemente verloren gehen dürfen und auch nicht verdunkelt werden dürfen - wenn es vorher keine dunklen Elemente gab.
Post by Juergen Ilse
Fuer Gleichmaechtigkeit ist es
Also versuche den Text nochmal mit Verständnis zu lesen: Es geht um eine Folge order geordnete Menge und eine Transposition zwischen zwei Permutationen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-03-12 12:22:26 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...
Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings gibt es unendlich viele Brüche der Form 1/10^k (genauer ℵo). Wenn wir sie alle an die Front schicken, dann bleibt
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...
und die anders geformten Brüche werden zumindest unsichtbar.
Das ist voellig irrelevant. Die Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit von Mengen
lautet: es gibt *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen der Mengen.
Hier geht es nicht um Gleichmächtigkeit,
Doch, genau darum geht es, auch wenn SIE da snicht begriffen haben.
Post by Ganzhinterseher
sondern um Konstanz: Alle Elemente sind da und bleiben bei eier
Transposition auch da.
Das durch beliebige Anordnung der Elemente eienr Menge keine Elemente
verloren gehen, ist ohnehin klar, da muss man gar nicht drueber reden.
Betrachtet man IHRE Argumentation etwas genauer, sieht man, dass sie
gar nicht die gesamte Menge betrachten, sondern die Bildmenge einer
Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf diese Menge. Der typische
Anwendungsfall eienr solchen Abbildung in der Mengenlehre ist der Ver-
gleich der Maechtigkeit der Mengen, und ihre Argumentation mit "verloren
gehen" bezieht sich nun genau auf die Abbildung von der Menge der natuer-
lichen Zahlen auf die Menge der positiven Brueche. Cantor hat *eine*
moegliche bijektive Abbildung von der Menge der natuerlichen Zahlen auf
die Menge der positiven Brueche aufgezeigt (und damit die Gleichmaechtig-
keit beider Mengen bewiesen). Was SIE gezeigt haben, ist, dass es offenbar
auch eine *nicht* *bijektive* Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche gibt (bei der nicht alle positiven Brueche
als Bild vorkommen). Was sagt uns das aber ueber die Menge der positiven
Brueche aus? Eigentlich nicht das geringste. Da sich durch IHRE "Umordnung"
nichts an den Elementen der Menge aendert (es kommen weder welche hinzu
noch fallen welche weg), aendert sich auch nichts an der Maechtigkeit
´der Menge. Und dass es IHNEN gelungen ist, eine nicht bijektive Abbildung
zwischen den natuerlichen Zahlen und der Menge der positiven Brueche zu
zeigen, aendert weder etwas an der von Cantor gezeigten Gleichmaechtigkeit
der Menge der natuerlichen Zahlen und der Menge der positiven Brueche, noch
etwas an den Mengen selbst. Und Nein, einen Hinweis auf "dunkle Zahlen"
bietet die von IHNEN aufgezeigte Abbildung ebensowenig, eher einen Hinweis
auf einen verwirrten Verstand bei IHNEN ...
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Ergebnis: Entweder gibt es dunkle Indizes, die nun von den anders geformten
Brüchen belegt werden, aber wegen Dunkelheit nicht sichtbar sind,
kosntruierst
du eine nicht bijektive Abbildung,
Ich gebe eine Umordnung an, die alle Elemente erhalten sollte, wenn Umordnungen überhaupt möglich und alle Elemente vorhanden sind.
Wenn SIE das mal mathematisch exakt formulieren, dann konstruieren SIE eine
Abbildung zwischen der Menge der natuerlichen Zahlen und der Menge der posi-
tiven Brueche. IHRE Abbildung (nach IHRER "Umordnung") ist dabei im Gegensatz
zu Cantors Abbildung aber keine bijektive Abbilödung mehr. Was folgt daraus?
Eigentlich gar nichts, ausser, dass es neben der von Cantor aufgezeigten
bijektiven Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die Menge der positiven
Brueche offebar auch "nicht bejiktive Abbildungen" zwischen beid3en Mengen
gibt. Das ist weder ueberraschend noch der Beweis fuer "dunkle Zahlen" oder
irgend welchen anderen Bloedsinn. Es ist scjlicht und ergreifend fuer jede
abzaehlbar unendliche Menge normal bzw. immer so: es gibt neben der bijektiven
Abbildungen zwischen 2 gleichmaechtigen unendlichen Mengen (mit der man die
Gleichmaechtigkeit gezeigt hat) eben auch nicht bijektive Abbildungen zwischen
den Elementen beider Mengen. Na und? Ist eben so.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Order gibt es noch eine dritte Alternative?
weil die Existenz nicht bijektiver Abbildungen zwischen den
Elementen zweier abzaehlbar unendlicher Mengen keineswegs aussagt, dass
beide Mengen nicht gleichmaechtig waeren.
Darum geht es gar nicht.
Doch, darum geht es. Auch wenn SIE mal wieder durch unklare formulierung
versuchen, genau das zu verschleiern.
Post by Ganzhinterseher
Es geht darum, dass bei einer Transposition keine Elemente verloren gehen dürfen und auch nicht verdunkelt werden dürfen - wenn es vorher keine dunklen Elemente gab.
Es passiert doch auch nichts dergleichen. Und die Menge an sich ist auch
nicht in irgend einer Weise geordnet, solange man keine Anordnung der
Elemente vorgibt. Das, was SIE in Form von "abzaehlen" versuchen, ist
*nichts* *anderes* als eine Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche. Und was SIE als Anordnung/Transposition oder
wie auch immer bezeichnen, ist nichts weiter als die Aenderung dieser
Abbildung. Und es ist bei unendlichen Mengen voellig normal, dass es bei
Gleichmaechtigkeit sowohl bijektive Abbildungen als auchg nicht bijektive
Abbildungen zwischen beiden Mengen gibt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-03-12 12:34:42 UTC
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Ich glaube, JETZT hat er es wirklich verstanden!

Falls nicht, kannst Du natürlich gerne noch ein paar Jahre darauf verschw... äh darauf verwenden, Herrn Mückenheim grundlegende mathematische Zusammenhänge näher zu bringen zu wollen. Offenbar ist das unzähligen anderen, die das auch schon lange vor Dir versucht haben, nicht gelungen; eben darum braucht es Deinen Beitrag!
Ganzhinterseher
2020-03-12 12:47:33 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
sondern um Konstanz: Alle Elemente sind da und bleiben bei eier
Transposition auch da.
Das durch beliebige Anordnung der Elemente eienr Menge keine Elemente
verloren gehen, ist ohnehin klar, da muss man gar nicht drueber reden.
Ja, dass das so ist, sollte klar sein.
Post by Juergen Ilse
Betrachtet man IHRE Argumentation etwas genauer, sieht man, dass sie
gar nicht die gesamte Menge betrachten, sondern die Bildmenge einer
Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf diese Menge.
Ich betrachte die gesamte Menge aller positiven Brüche in Bijection mit den natürlichen Zahlen, die hier als Indizes der Folgenglieder erscheinen.
Post by Juergen Ilse
Der typische
Anwendungsfall eienr solchen Abbildung in der Mengenlehre ist der Ver-
gleich der Maechtigkeit der Mengen
Das mag sein. Ich benötige davon nur die Tatsache dass "zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen".
Post by Juergen Ilse
Cantor hat *eine*
moegliche bijektive Abbildung von der Menge der natuerlichen Zahlen auf
die Menge der positiven Brueche aufgezeigt (und damit die Gleichmaechtig-
keit beider Mengen bewiesen). Was SIE gezeigt haben, ist, dass es offenbar
auch eine *nicht* *bijektive* Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche gibt (bei der nicht alle positiven Brueche
als Bild vorkommen).
Das ist auszuschließen, denn bei Transpositionen ändert sich die Menge der Elemente nicht. Also bleibt was übrig?
Post by Juergen Ilse
Was sagt uns das aber ueber die Menge der positiven
Brueche aus? Eigentlich nicht das geringste. Da sich durch IHRE "Umordnung"
nichts an den Elementen der Menge aendert (es kommen weder welche hinzu
noch fallen welche weg), aendert sich auch nichts an der Maechtigkeit
´der Menge.
Vor allem ändert sich nicht, dass jeder Bruch eine endlich indizierte Stelle in der Folge behält.
Post by Juergen Ilse
Und dass es IHNEN gelungen ist, eine nicht bijektive Abbildung
zwischen den natuerlichen Zahlen und der Menge der positiven Brueche zu
zeigen
Das wäre verwerflich, denn dann würden ja positive Brüche fehlen. Nein, der Clou ist ein anderer.
Post by Juergen Ilse
aendert weder etwas an der von Cantor gezeigten Gleichmaechtigkeit
der Menge der natuerlichen Zahlen und der Menge der positiven Brueche, noch
etwas an den Mengen selbst.
Also glaubst Du auch, dass die Brüche 1/2 und 2/1 usw. am Ende immer noch vorhanden sind? Ja wo laufen sie denn?
Post by Juergen Ilse
Und Nein, einen Hinweis auf "dunkle Zahlen"
bietet die von IHNEN aufgezeigte Abbildung ebensowenig,
Dann erkläre doch einfach, wo die Brüche, die nicht verlorengegangen sind, sich momentan aufhalten.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Darum geht es gar nicht.
Doch, darum geht es.
Nein, wenn ich es doch sage. Die Bijektion wird überhaupt nicht angezweifelt, schon weil ich nicht zulasse, dass sich auch nur ein Bruch absentiert oder hinzutritt. Es geht um die Frage, wo die sind.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es geht darum, dass bei einer Transposition keine Elemente verloren gehen dürfen und auch nicht verdunkelt werden dürfen - wenn es vorher keine dunklen Elemente gab.
Es passiert doch auch nichts dergleichen.
Richtig. Aber wo steht 1/2 in 1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...?
Post by Juergen Ilse
Und die Menge an sich ist auch
nicht in irgend einer Weise geordnet, solange man keine Anordnung der
Elemente vorgibt.
Die ist in jedem Falle vorgegeben, bei Cantor und bei mir - jedenfalls sofern es sich um definierbare Indizes handelt.
Post by Juergen Ilse
Das, was SIE in Form von "abzaehlen" versuchen, ist
*nichts* *anderes* als eine Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche. Und was SIE als Anordnung/Transposition oder
wie auch immer bezeichnen, ist nichts weiter als die Aenderung dieser
Abbildung. Und es ist bei unendlichen Mengen voellig normal, dass es bei
Gleichmaechtigkeit sowohl bijektive Abbildungen als auchg nicht bijektive
Abbildungen zwischen beiden Mengen gibt.
Mag ja normal sein, aber eben sagtest Du noch, dass nichts verlorengeht. Könntest Du Dich mit Dir selbst erstmal einigen? Also denke angestrengt darüber nach: Geht bei einer Transposition oder Umordnung etwas verloren oder nicht. Wenn nicht, wo ist 1/2? Kann ein Bereich, der nur endlich nummerierte Plätze enthält, diese Eigenschaft ändern?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-03-12 14:43:57 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Betrachtet man IHRE Argumentation etwas genauer, sieht man, dass sie
gar nicht die gesamte Menge betrachten, sondern die Bildmenge einer
Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf diese Menge.
Ich betrachte die gesamte Menge aller positiven Brüche in Bijection mit den natürlichen Zahlen, die hier als Indizes der Folgenglieder erscheinen.
Eben. Also die Bildmenge der natuerlichen Zahlen bei der von IHNEN vorge-
schlagenen Abbildung. Da ihre Abbildung im Gegensatz zu der Cantors *nicht*
bijektiv ist, sind bei IHRER abbildung in der Bildmenge der natuerlichen
Zahlen natuerlich nicht alle positiven Brueche enthalten. Das heisst aber
selbstverstaendlich nicht, dass sich die Menge der positiven Brueche ge-
aendert haette, sondern nur das nicht alle positiven Brueche bei IHRER
Abzaehlung erfasst werden (eben wiel die Abbildung bei IHREM Vorschlag
nicht bijektiv ist). Was kann man daraus nun folgern?

1. Die von IHNEN vorgegebene Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche ist nicht bisjektiv, und es tauchen nicht
alle positiven Brueche als Bilder von natuerlichen Zahlen auf.

2. Das besagt rein gar nichts ueber die Maechtigkeit der Menge der
positiven Brueche, da die Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit lediglich
die Existenz eienr bisjektiven Abbildung zwische den Elementen beider
Mengen erfordert, und keineswegs, dass *alle* Abbildungen zwische den
Elementen beider Mengen bisjektiv sein muessten (sind sie bei unendlichen
Mengen auch niemals *alle*).

3. Letzlich haben SIE nur die Existenz einer nicht bijektiven Abbildung
den natuerlichen Zahlen auf die Menge der positiven Brueche bewiesen.
Nur sagt die weder etwas ueber die von IHNEN herbeiphantasierten "dunklen
Zahlen" noch etwas ueber die Maechtigkeit der Menge der possitiven Brueche
noch sonst etwas ueber die Menge der positiven Brueche aus. Es ist wirklich
nur die aussage, dass es auch nicht bijektive Abbildungen von den natuer-
lichen Zahlen auf die positiven Brueche gibt, und das hat nie jemand
bezweifelt. Weitere Schlussfolgerungen lassen sich daraus *nicht* ableiten.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Der typische
Anwendungsfall eienr solchen Abbildung in der Mengenlehre ist der Ver-
gleich der Maechtigkeit der Mengen
Das mag sein. Ich benötige davon nur die Tatsache dass "zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen".
Richtig, Cantor schreibt hier (in moderner Mathematik notiert):
"Zwei Mengen sind gleichmaechtig, wenn es eine bisjektive Abbildung zwischen
den Elementen beider Mengen gibt". Er fordert aber keienswegs, dass *jede*
solche Abbildung wzischen den Elementen beider Mengen bijektiv sein muss.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Cantor hat *eine*
moegliche bijektive Abbildung von der Menge der natuerlichen Zahlen auf
die Menge der positiven Brueche aufgezeigt (und damit die Gleichmaechtig-
keit beider Mengen bewiesen). Was SIE gezeigt haben, ist, dass es offenbar
auch eine *nicht* *bijektive* Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche gibt (bei der nicht alle positiven Brueche
als Bild vorkommen).
Das ist auszuschließen, denn bei Transpositionen ändert sich die Menge der Elemente nicht. Also bleibt was übrig?
Das man neben einer existierenden bijektiven Abbildung eine ebenfalls
existierende nicht bijektive3 abbildung zwische den Elementen beider
Mengen gefunden hat. Bei 2 endlichen Mengen sind entweder *alle* injektiven
Abbildungen zwische den Elementen beider Mengen bijektiv sind, oder dass
*keine* dieser Abbildungen injektiv sind. Dies gilt aber nur fuer endliche
Mengen. Fuer 2 unendliche Mengen, fuer die es eine bijektive Abbildung
zwischen den Elementen beider Mengen gibt, ist das *nicht* mehr so, denn
da gibt es auch *immer* *nicht* *bijektive* Abbildungen zwischen den beiden
Mengen. das ist einfach eine Eigenschaft der Unendlichkeit. Teils wird als
Definition einer unendlichen Menge auch genommen, dass es eine bijektive
Abbildung von der Menge selbst auf eine echte Teilmenge dieser Menge gibt
(wenn man also z.B. eine bijektive Abbildung von der Menge der natuerlichen
Zahlen auf die Menge der positiven geraden Zahlen angeben kann, siehe
"Hilberts Hotel"). So etwas ist *genau* *dann* moeglich, wenn die Ausgangs-
menge unendlich war.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Was sagt uns das aber ueber die Menge der positiven
Brueche aus? Eigentlich nicht das geringste. Da sich durch IHRE "Umordnung"
nichts an den Elementen der Menge aendert (es kommen weder welche hinzu
noch fallen welche weg), aendert sich auch nichts an der Maechtigkeit
´der Menge.
Vor allem ändert sich nicht, dass jeder Bruch eine endlich indizierte Stelle in der Folge behält.
Auch wenn SIE es wieder nicht einsehen werden: Mit IHREM Geschwafel ueber
"endliche indizierte Stellen" machen SIE nichts anderes. als *IHRE* Abbildung
von der Menge der natuerlichen Zahlen auf die Menge der positiven Brueche zu
beschreiben. Dass *IHRE* Abbildung im Gegensatz zu Cantors *nicht* bijektiv
ist, haben wir schon gesehen. Es ist aber Unfug, zu fordern, diese Abbildung
durch das hinzufuegen von "dunklen Zahlen" bijektiv machen zu wollen, weil
ja die gleichzeitige Existenz bijektiver und nicht bijektiver Abbildungen
zwischen beiden Mengen nicht moeglich waere ... Das ist einfach nur Quatsch.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Und dass es IHNEN gelungen ist, eine nicht bijektive Abbildung
zwischen den natuerlichen Zahlen und der Menge der positiven Brueche zu
zeigen
Das wäre verwerflich, denn dann würden ja positive Brüche fehlen. Nein, der Clou ist ein anderer.
SIE haben den Begriff der Maechtigkeit imme rnoch nicht begriffen, tun aber
so, als wuessten SIE wovon SIE reden. Nein, dass SIE dabei den Begriff der
Maechtigkeit tunlichst vermeiden, aendert nichts daran, dass SIE genau da-
rueber schreiben (ohne den Begriff selbst zu verwenden), aber die damit zu-
sammenhaengenden Sachverhalte noch nicht einmal im Ansatz verstanden haben.
Post by Ganzhinterseher
Also glaubst Du auch, dass die Brüche 1/2 und 2/1 usw. am Ende immer noch vorhanden sind? Ja wo laufen sie denn?
Bei IHRER Abbildung tachen nicht beide als Bilder einer natuerlichen Zahl
auf, bei Cantors Abbildung schon. Cantors Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit
fordert aber keineswegs, dass alle injektiven Abbildungen zwischen den
Elementn der gleichmaechtigen Mengen auch surjektiv waeren, er fordert
lediglich, dass es *EINE* solche Abbildung gibt, die sowohl injektiv als
auch surjektiv ist. Dass SIE eine gefunden haben, die injektiv aber nicht
surjektiv ist, ist gleichgueltig.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Und Nein, einen Hinweis auf "dunkle Zahlen"
bietet die von IHNEN aufgezeigte Abbildung ebensowenig,
Dann erkläre doch einfach, wo die Brüche, die nicht verlorengegangen sind, sich momentan aufhalten.
Sie sind nach wie vor in der Menge der positiven Brueche vorhanden, nicht
aber in der Bildmenge der natuerlichen Zahlen bei Anwendung *IHRER* Abbildung.
Das macht aber nichts, denn Cantor fordert keienswegs, dass *alle* injektiven
Abbildungen zwischen den Elementen zweier gleichmechtiger Mengen auch surjek-
tiv sind, er fordert das nur fuer *eine* *einzige*, und er hat eine solche
angegeben. Wie viele nicht surjektive Abbildungen man noch zusaetzlich angeben
koennte ist voellig wumpe und spielt nicht die geriungste Rolle.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Darum geht es gar nicht.
Doch, darum geht es.
Nein, wenn ich es doch sage.
... liegen SIE damit treotzdem falsch. Was sie als "indeutiger endlich
indizierter Platz" Bezeichnen, ist nichts anderes als "dasBild einer
(endlichen) natuerlichen Zahl bei IHRER (nicht sujektiven) Abbildung
der natuerlichen Zahlen auf die positiven Brueche. SIE behaupten also,
"gar nicht ueber Abbildungen und Maechtigkeit zu schreiben", letztlich
tunSIE aber doch *GENAU* *DAS*, allerdings unter schon fast peinlich zu
nennender Vermeidung der Begriffe selbst.
Post by Ganzhinterseher
Die Bijektion wird überhaupt nicht angezweifelt,
Doch, und zwar von mir. Und das, weil die von IHNEN durch IHRE "Umordnung"
vorgegebene Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die positiven Brueche
eben *nicht* *surjektiv* ist.
Post by Ganzhinterseher
schon weil ich nicht zulasse, dass sich auch nur ein Bruch absentiert oder hinzutritt. Es geht um die Frage, wo die sind.
Bei IHRER Abbildung nicht in der Bildmenge der natuerlichen Zahlen, denn IHRE
Abbildung ist (im Gegensatz zu Cantors) *nicht* *surjektiv*.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Und die Menge an sich ist auch
nicht in irgend einer Weise geordnet, solange man keine Anordnung der
Elemente vorgibt.
Die ist in jedem Falle vorgegeben, bei Cantor und bei mir - jedenfalls sofern es sich um definierbare Indizes handelt.
Was SIE mit "Indizierung" bezeichnen, ist eine Abbildung der natuerlichen
Zahlen auf die positiven Brueche. Cantor hat eine solche Abbildung vorgegeben,
SIE haben eine andere vorgegeben. Cantors Abbildung ist surjektiv, IHRE nicht.
Na und? Zwischen gleichmaechtigen unendlichen Mengen kann es sowohl sujektive
als auch nicht surjektive injektive Abbildungen geben. Bei endlichen Mengen
ist das *nicht* moeglich. Was wollen SIE denn nun daraus schliessen, dass
die von IHNEN vorgegebene Abbildung eine nicht surjektive ist? SIE koennen
nichts daraus schliessenb, ausser, dass *IHRE* Abbildung nicht surjektiv ist.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Das, was SIE in Form von "abzaehlen" versuchen, ist
*nichts* *anderes* als eine Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche. Und was SIE als Anordnung/Transposition oder
wie auch immer bezeichnen, ist nichts weiter als die Aenderung dieser
Abbildung. Und es ist bei unendlichen Mengen voellig normal, dass es bei
Gleichmaechtigkeit sowohl bijektive Abbildungen als auchg nicht bijektive
Abbildungen zwischen beiden Mengen gibt.
Mag ja normal sein, aber eben sagtest Du noch, dass nichts verlorengeht.
us der Menge der positiven Brueche geht auch nichts verloren.
Aber bei IHRER und bei Cantors Abbildung von den natuerlkichen Zahlen auf
die Menge der positiven Brueche ist die Bildmenge unterschiedlich, weil IHRE
Abbildung nicht surjektiv ist. An der Menge der positiven Brueche aendert
sich dadurch gar cnits, an der Menge von positiven Bruechen, die als Bild
einer natuerliche nZahl auftauchen aber schon, die ist bei der nicht surjek-
tiven Abbildung natuerlkich kleiner (eine echte Tielmenge der bei der sur-
jektiven Abbildung als Bild eiinr natuerlichen Zahl auftauchenden positiven
Brueche). Na und? Zu was soll das IHRER Meinung nach ein Widerspruch sein?
So ist es eben, wenn man surjektive und nicht surjektive Abbildungen ver-
gleicht: die bildmengen sind unterschiedlich ...
Post by Ganzhinterseher
Könntest Du Dich mit Dir selbst erstmal einigen?
SIE stiften hier doch immer verwirrung, weil SIE staendig die Bildmenge der
natuerlichen Zahlen mit der Menge der positiven Brueche durcheinanderwerfen,
ohne jedesmal darauf hinzuweisen, welche von beiden Mengen (ud bezogen auf
welche Abbildung) SIE gerade meinen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-03-12 15:59:45 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Ich betrachte die gesamte Menge aller positiven Brüche in Bijection mit den natürlichen Zahlen, die hier als Indizes der Folgenglieder erscheinen.
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, ...
Post by Juergen Ilse
Eben. Also die Bildmenge der natuerlichen Zahlen bei der von IHNEN vorge-
schlagenen Abbildung. Da ihre Abbildung im Gegensatz zu der Cantors
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Post by Juergen Ilse
*nicht*
bijektiv ist, sind bei IHRER abbildung
< in der Bildmenge der natuerlichen
Post by Juergen Ilse
Zahlen natuerlich nicht alle positiven Brueche enthalten.
Dann müsste mindestens eine fehlen. Das ist aber nicht der Fall. Also kann man dieses Argument schon einmal vergessen.
Post by Juergen Ilse
1. Die von IHNEN vorgegebene Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die
Menge der positiven Brueche ist nicht bisjektiv, und es tauchen nicht
alle positiven Brueche als Bilder von natuerlichen Zahlen auf.
Es ist kein einziger Bruch verschwunden. Alle Brüche sind nur zwischen Plätzen mit endlichen Indizes ausgetauscht worden. So ist die Definition dieser Permutationen.
Post by Juergen Ilse
2. Das besagt rein gar nichts ueber die Maechtigkeit der Menge der
positiven Brueche,
Es besagt schon etwas, nämlich die Existenz dunkler Zahlen, die auch in der ursprünglichen Anordnung vorhanden sind. Nur wird dort frisch fromm fröhlich frei und wahrheitswidrig behauptet, alle Brüche und all Plätze seien definierbar. Mit der zweiten Permutation wird dies widerlegt. Damit ist der ganze Abzählbarkeitsbegriff als sinnlos entlarvt.

Gruß, WM

Juergen Ilse
2020-03-12 11:20:10 UTC
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Hallo,

Korrektur wegen Fehler: An einer stelle (wo ich es jetzt korrigiert habe)
musste es natuerlich "bijektiv" statt "gleichmaechtig" heissen ...
Post by Ganzhinterseher
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, ...
Wenn tatsächlich alle positiven Brüche in dieser Folge vorkommen, so dürfte eine Transposition nichts verändern. Als Beispiel wähle wir die Permutation
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ..., 1/10^k, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, ...
Das scheint tatsächlich problemlos zu gelingen. Allerdings gibt es unendlich viele Brüche der Form 1/10^k (genauer ℵo). Wenn wir sie alle an die Front schicken, dann bleibt
1/1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...
und die anders geformten Brüche werden zumindest unsichtbar.
Das ist voellig irrelevant. Die Bedingung fuer Gleichmaechtigkeit von Mengen
lautet: es gibt *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen der Mengen.
Ob es auch eine oder mehrere nicht bijektive Abbildungen zwischen den Elementen
beider Mengen gibt, spielt fuer die Gleichmaechtigkeit der Mengen keine Rolle.
Die Bedingung fuer die Gleichmaechtigkeit lautet auch keineswegs "alle Abbil-
dungen zwischen den Elementen beider Mengen muessten gleichmaechtig sein (das
^^^^^^^^^^^^^^
OOPS! Hie rnuss es natuerlich "bijektiv" statt "gleichmaechtig" heissen ...

ist bei unendlichen Mengen sogar niemals der Fall).
Post by Ganzhinterseher
Ergebnis: Entweder gibt es dunkle Indizes, die nun von den anders geformten
Brüchen belegt werden, aber wegen Dunkelheit nicht sichtbar sind,
Das ist voelliger Humbug. Statt zu akzeptieren, dass es zwischen 2 abzaehlbar
unendlichen Mengen sowohl bijektive als auch nicht bijektive Abbildungen zwi-
schen ihren Elementen gibt (wie es auch tatsaechlich zutrifft), kosntruierst
du eine nicht bijektive Abbildung, und versuchst mittels frei hinzuerfundener
"dunkler Indizes" zu erklaeren, wie de3nn diese nicht bisjektive Abbildung
doch bijektiv sein kann. Das ist Bloedsinn, Humbug, Nonsens und zeugt von
tiefgreifendem Unverstaendnis sowohl des Unendlichkeitsbegriffs wie auch
dem Begriff der Maechtigkeit.
Post by Ganzhinterseher
Order gibt es noch eine dritte Alternative?
Ja. Diese dritte Alternative lautet, dass deine ganze Argumentation fuer
die Tonne ist, weil die Existenz nicht bijektiver Abbildungen zwischen den
Elementen zweier abzaehlbar unendlicher Mengen keineswegs aussagt, dass
beide Mengen nicht gleichmaechtig waeren. Fuer Gleichmaechtigkeit ist es
ausreichend, wenn es *eine* bijektive Abbildung zwischen den Elementen
beider Mengen gibt. Was es sonst evt. noch an nicht bisjektiven Abbildungen
zwischen den Elementen beider Mengen gibt, spielt keine Rolle.
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