Discussion:
Wahrscheinlichkeit: Wie rechnet man das?
(zu alt für eine Antwort)
Manfred Ullrich
2020-05-24 13:16:05 UTC
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Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei jeder Gelegenheit immer eines und nur eines ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?

Manfred
pirx42
2020-05-24 15:00:07 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei jeder Gelegenheit immer eines und nur eines ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Manfred
Genau 1/2.
Hans Crauel
2020-05-24 16:02:13 UTC
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Manfred Ullrich schrieb
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei
jeder Gelegenheit immer eines und nur eines ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten
A öfter eintritt als B?
Kommt drauf an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten A bzw. B
auftreten (oder genauer: auf deren Verhältnis).

Hans
Manfred Ullrich
2020-05-24 18:13:28 UTC
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Post by Hans Crauel
Manfred Ullrich schrieb
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei
jeder Gelegenheit immer eines und nur eines ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Kommt drauf an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten A bzw. B
auftreten (oder genauer: auf deren Verhältnis).
Hans
Und eben dafür habe ich eine Formel erwartet!
Manfred
Hans Crauel
2020-05-24 22:47:12 UTC
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Manfred Ullrich schrieb
Hans Crauel schrieb
Post by Hans Crauel
Manfred Ullrich schrieb
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei
jeder Gelegenheit immer eines und nur eines ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Kommt drauf an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten A bzw. B
auftreten (oder genauer: auf deren Verhältnis).
Und eben dafür habe ich eine Formel erwartet!
Sollen A, B und C dann die Werte der Wahrscheinlichkeiten sein,
also z.b. A=1/4, B=1/3, C=5/12?
Was bedeutet dann die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass
bei n Gelegenheiten 1/4 öfter eintritt als 1/3?

Aber du hattest eine Formel erwartet. Die Frage mal so
interpretierend, wie sie möglicherweise gemeint sein sollte,
hier eine Formel:

\sum_{k=0}^n
(\sum_{j=[\frac k2]+1}^k{k\choose j}\frac{A^jB^{k-j}}{(A+B)^k})
{n\choose k}C^k(A+B)^{n-k}

in LaTeX-Schreibweise, wobei [\cdot], wie üblich, für die
Gauß-Klammer steht. Am besten einmal LaTeX drüberlaufen
lassen, um es lesbar zu kriegen. Ist hier aber ohne
"Kosmetik" bei Klammergrößen. Und insgesamt ohne
Gewährleistung, es ist gut möglich, dass was nicht stimmt.

Hans
Ralf Goertz
2020-05-24 16:09:44 UTC
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Am Sun, 24 May 2020 06:16:05 -0700 (PDT) schrieb Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei jeder
Gelegenheit immer eines und nur eines ein. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Manfred
Ich gehe davon aus, dass n fest ist. Dann berechne ich zunächst die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Ereignissen k-Mal A oder B
auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist binomialverteilt mit p=p_A+p_B.
Nun berechne man für jedes k die Wahrscheinlichkeit, dass A öfter
auftritt als B. Dies ist die kumulierte Binomialverteilung mit
p=p_B/(p_A+p_B) für den abgerundeten Wert (k+1)/2. Dieser Wert muss nun
mit dem ersten Wert mulitpliziert und über k addiert werden.

Beispiel: p_A=1/3, p_B=1/6, C=1/2, n=3. Dann tritt A oder B bzw. A>B
mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:

k p_AB p_A>B
0 1*(1/2^3)=1/8 0
1 3*(1/2^3)=3/8 2/3
2 3*(1/2^3)=3/8 4/9
3 1*(1/2^3)=1/8 20/27

Da A doppelt so wahrscheinlich wie B ist, nehmen wir nun p_B=1/3 und
p_A=2/3. k=0 können wir uns offenbar schenken. Bei k=1 ist die
Wahrscheinlichkeit, dass A häufiger vorkommt logischerweise 2/3. Bei k=2
müssen beide Ereignisse A sein, also p=(2/3)^2=4/9. Und bei k=3 muss
für die günstigen Fälle A zwei oder dreimal auftreten, also 4/9 und
8/27. In Summe 20/27. Zweite Spalte mal dritte Spalte und über die
Zeilen summiert ergibt 55/108, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Das
ist nur wenig mehr als 1/2 und ziemlich überraschend, da A ja deutlich
Post by Manfred Ullrich
counter=0;N=10000;s=rbinom(N,3,1/2);for (i in 1:N) {t=rbinom(1,s[i],1/3);if(t<s[i]/2) counter=counter+1}; c(counter/N,55/108)
[1] 0.5142000 0.5092593

Eigentlich ist es doch nicht ganz so überraschend, da es ja in 1/8 der
Fälle A oder B gar nicht vorkommt. Die Simulation mit n=10 ergibt dafür
einen Wert von etwa 71% und mit n=100 99%.
Manfred Ullrich
2020-05-24 18:29:55 UTC
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Post by Ralf Goertz
Am Sun, 24 May 2020 06:16:05 -0700 (PDT) schrieb Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei jeder
Gelegenheit immer eines und nur eines ein. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Manfred
Ich gehe davon aus, dass n fest ist. Dann berechne ich zunächst die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Ereignissen k-Mal A oder B
auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist binomialverteilt mit p=p_A+p_B.
Nun berechne man für jedes k die Wahrscheinlichkeit, dass A öfter
auftritt als B. Dies ist die kumulierte Binomialverteilung mit
p=p_B/(p_A+p_B) für den abgerundeten Wert (k+1)/2. Dieser Wert muss nun
mit dem ersten Wert mulitpliziert und über k addiert werden.
Beispiel: p_A=1/3, p_B=1/6, C=1/2, n=3. Dann tritt A oder B bzw. A>B
k p_AB p_A>B
0 1*(1/2^3)=1/8 0
1 3*(1/2^3)=3/8 2/3
2 3*(1/2^3)=3/8 4/9
3 1*(1/2^3)=1/8 20/27
Da A doppelt so wahrscheinlich wie B ist, nehmen wir nun p_B=1/3 und
p_A=2/3. k=0 können wir uns offenbar schenken. Bei k=1 ist die
Wahrscheinlichkeit, dass A häufiger vorkommt logischerweise 2/3. Bei k=2
müssen beide Ereignisse A sein, also p=(2/3)^2=4/9. Und bei k=3 muss
für die günstigen Fälle A zwei oder dreimal auftreten, also 4/9 und
8/27. In Summe 20/27. Zweite Spalte mal dritte Spalte und über die
Zeilen summiert ergibt 55/108, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Das
ist nur wenig mehr als 1/2 und ziemlich überraschend, da A ja deutlich
Post by Manfred Ullrich
counter=0;N=10000;s=rbinom(N,3,1/2);for (i in 1:N) {t=rbinom(1,s[i],1/3);if(t<s[i]/2) counter=counter+1}; c(counter/N,55/108)
[1] 0.5142000 0.5092593
Eigentlich ist es doch nicht ganz so überraschend, da es ja in 1/8 der
Fälle A oder B gar nicht vorkommt. Die Simulation mit n=10 ergibt dafür
einen Wert von etwa 71% und mit n=100 99%.
Vielen Dank, Ralf, aber könntest Du dafür eine Formel (mit A, B, C, n) angeben - falls das nicht zu schwer ist. Wobei A+B+C=1 ist.
Manfred
Stephan Gerlach
2020-05-24 22:48:03 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Post by Ralf Goertz
Am Sun, 24 May 2020 06:16:05 -0700 (PDT) schrieb Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
Bei drei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit A, B, C tritt bei jeder
Gelegenheit immer eines und nur eines ein. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Gelegenheiten A öfter eintritt als B?
Erstmal etwas zur Notation:
Man sollte die Ereignisse von ihren Wahrschenlichkeiten unterscheiden.
Zunächst schreibst du, die Wahrscheinlichkeiten selbst seien A, B und C.
Später hingegen schreibst du, daß A bzw. B "eintreten".
Wahrscheinlichkeiten treten jedoch (nach üblichem Sprachgebrauch in der
Wahrscheinlichkeitstheorie) nicht ein, sondern Ereignisse.

Vermutlich meinst du:
A, B, C sind Ereignisse.
p_A, p_B, p_C sind die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.
Post by Manfred Ullrich
Post by Ralf Goertz
Post by Manfred Ullrich
Manfred
Ich gehe davon aus, dass n fest ist. Dann berechne ich zunächst die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Ereignissen k-Mal A oder B
auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist binomialverteilt mit p=p_A+p_B.
Nun berechne man für jedes k die Wahrscheinlichkeit, dass A öfter
auftritt als B. Dies ist die kumulierte Binomialverteilung mit
p=p_B/(p_A+p_B) für den abgerundeten Wert (k+1)/2.
Sollte hier evtl. besser (k-1)/2 stehen?
Das Abrunden ist dann ohnehin nur für den Fall notwendig, daß k gerade ist.
Oder man nimmt k/2-1, dann muß man im Fall eines ungeraden k tatsächlich
aufrunden, und bei geradem k nicht runden.

Bsp.:

k = 8
Hier sollte B genau 0-, 1-, 2- oder 3-mal eintreten und A folglich 8-,
7-, 6- oder 5-mal, damit A öfter als B eintritt.
Die 3 als maximale "B-Anzahl" ist entweder ganzzahlig
abrunden((8-1)/2) oder aufrunden(8/2-1).

k = 7
Hier sollte B genau 0-, 1-, 2- oder 3-mal eintreten und A folglich 7-,
6-, 5- oder 4-mal, damit A öfter als B eintritt.
Die 3 als maximale "B-Anzahl" ist entweder
abrunden((7-1)/2) oder aufrunden(7/2-1).
Post by Manfred Ullrich
Post by Ralf Goertz
Dieser Wert muss nun
mit dem ersten Wert mulitpliziert und über k addiert werden.
Beispiel: p_A=1/3, p_B=1/6, C=1/2, n=3. Dann tritt A oder B bzw. A>B
k p_AB p_A>B
0 1*(1/2^3)=1/8 0
1 3*(1/2^3)=3/8 2/3
2 3*(1/2^3)=3/8 4/9
3 1*(1/2^3)=1/8 20/27
Da A doppelt so wahrscheinlich wie B ist, nehmen wir nun p_B=1/3 und
p_A=2/3. k=0 können wir uns offenbar schenken. Bei k=1 ist die
Wahrscheinlichkeit, dass A häufiger vorkommt logischerweise 2/3. Bei k=2
müssen beide Ereignisse A sein, also p=(2/3)^2=4/9. Und bei k=3 muss
für die günstigen Fälle A zwei oder dreimal auftreten, also 4/9 und
8/27. In Summe 20/27. Zweite Spalte mal dritte Spalte und über die
Zeilen summiert ergibt 55/108, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Das
ist nur wenig mehr als 1/2 und ziemlich überraschend, da A ja deutlich
Post by Manfred Ullrich
counter=0;N=10000;s=rbinom(N,3,1/2);for (i in 1:N) {t=rbinom(1,s[i],1/3);if(t<s[i]/2) counter=counter+1}; c(counter/N,55/108)
[1] 0.5142000 0.5092593
Eigentlich ist es doch nicht ganz so überraschend, da es ja in 1/8 der
Fälle A oder B gar nicht vorkommt. Die Simulation mit n=10 ergibt dafür
einen Wert von etwa 71% und mit n=100 99%.
Vielen Dank, Ralf, aber könntest Du dafür eine Formel (mit A, B, C, n) angeben
- falls das nicht zu schwer ist. Wobei A+B+C=1 ist.
Korrekte Schreibweise:
p_A+p_B+p_C = 1,
wie gesagt ergibt A+B+C = 1 keinen Sinn.


Um auf die gewünschte Formel zu kommen, braucht man i.W. nur bei Ralf
"abgucken" und die dort gemachten Aussagen in Formeln formulieren:

Bezeichnungen (zur Abkürzung) für bestimmte Ereignisse:
A_öfter_B = A tritt bei n Durchführungen öfter ein als B
k_A_oder_B = bei n Versuchen tritt genau k-mal A oder B ein

P(k_A_öfter_B | k_A_oder_B) =
bedingte Wahrscheinlichkeit für die in der Klammer stehenden Ereignisse

Die Idee von Ralf ist dann, wenn ich richtig verstehe, erstmal:

P(A_öfter_B)
= Summe{k=0 bis n} P(k_A_oder_B) * P(A_öfter_B | k_A_oder_B). [1]

Wenn man P(k_A_oder_B) berechnen will, dann betrachtet man den
BERNOULLI-Versuch
"gucken, ob {A oder B} eintritt oder nicht",
das ganze n-mal. Hierbei ist
Anzahl der Durchführungen = n
p = p_A+p_B.

Damit ist
P(k_A_oder_B)
= (n über k) * (p_A+p_B)^k * (1-p_A-p_B)^(n-k)
= (n über k) * (p_A+p_B)^k * p_C^(n-k).

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A_öfter_B | k_A_oder_B)
betrachtet man nun einen anderen BERNOULLI-Versuch, und zwar
"gucken, ob B oder nicht_B eintritt, und zwar genau bei den k Versuchen,
in denen (laut Bedingung) {A oder B} eingetreten ist}",
das ganze also k-mal. Hierbei gelten
Anzahl der Durchführungen = k
p' = p_B/(p_A+p_B)

Damit gilt
P(A_öfter_B | k_A_oder_B)
= Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (1-p_B/(p_A+p_B))^{k-j}
= Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (p_A/(p_A+p_B))^{k-j}.

Die obere Summationsgrenze k' ist hier entweder
k' = abrunden((k-1)/2) oder
k' = aufrunden(k/2-1).
Wenn (k-1)/2 bzw. k/2-1 ganzzahlig ist, muß BTW überhaupt nicht gerundet
werden.

Nun setzt man die erhaltenen Formeln für P(k_A_oder_B) und
P(A_öfter_B | k_A_oder_B) in die Ausgangs-Formel [1] ein und erhält

P(A_öfter_B)
= Summe{k=0 bis n}
(n über k) * (p_A+p_B)^k * p_C^(n-k) *
[Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (p_A/(p_A+p_B))^{k-j}].

Ich hoffe mal, man kann das einigermaßen lesen. Vermutlich muß man dafür
eine feste Schriftbreite einstellen. Wie man sieht, ist die Formel eine
verschachtelte Summe. Beachte, daß die obere Summations-Grenze k' der
inneren Summe selbst von k abhängt.
Es ist eher zweifelhaft, daß man die Formel noch großartig vereinfachen
kann.
--
Post by Manfred Ullrich
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Ralf Goertz
2020-05-25 07:36:23 UTC
Permalink
Am Mon, 25 May 2020 00:48:03 +0200
Post by Stephan Gerlach
Man sollte die Ereignisse von ihren Wahrschenlichkeiten unterscheiden.
Zunächst schreibst du, die Wahrscheinlichkeiten selbst seien A, B und
C. Später hingegen schreibst du, daß A bzw. B "eintreten".
Wahrscheinlichkeiten treten jedoch (nach üblichem Sprachgebrauch in
der Wahrscheinlichkeitstheorie) nicht ein, sondern Ereignisse.
A, B, C sind Ereignisse.
p_A, p_B, p_C sind die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.
Post by Ralf Goertz
Post by Manfred Ullrich
Manfred
Ich gehe davon aus, dass n fest ist. Dann berechne ich zunächst die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Ereignissen k-Mal A oder B
auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist binomialverteilt mit
p=p_A+p_B. Nun berechne man für jedes k die Wahrscheinlichkeit,
dass A öfter auftritt als B. Dies ist die kumulierte
Binomialverteilung mit p=p_B/(p_A+p_B) für den abgerundeten Wert
(k+1)/2.
Sollte hier evtl. besser (k-1)/2 stehen?
Das Abrunden ist dann ohnehin nur für den Fall notwendig, daß k
gerade ist. Oder man nimmt k/2-1, dann muß man im Fall eines
ungeraden k tatsächlich aufrunden, und bei geradem k nicht runden.
Ja, danke. Ich habe immer zwischen der Beschreibung A häufiger als B und
B höchstens so häufig wie A gewechselt, weil die erste formulierung der
Aufgabenstellung entsprach, die zweite sich aber leichter mit der
kumulativen Binomialverteilung verträgt. Dabei haben sich die Rundungen
verheddert. :-)
Post by Stephan Gerlach
Um auf die gewünschte Formel zu kommen, braucht man i.W. nur bei Ralf
A_öfter_B = A tritt bei n Durchführungen öfter ein als B
k_A_oder_B = bei n Versuchen tritt genau k-mal A oder B ein
P(k_A_öfter_B | k_A_oder_B) =
bedingte Wahrscheinlichkeit für die in der Klammer stehenden
Ereignisse
P(A_öfter_B)
= Summe{k=0 bis n} P(k_A_oder_B) * P(A_öfter_B | k_A_oder_B). [1]
Genauso ist es gemeint.
Post by Stephan Gerlach
Wenn man P(k_A_oder_B) berechnen will, dann betrachtet man den
BERNOULLI-Versuch
"gucken, ob {A oder B} eintritt oder nicht",
das ganze n-mal. Hierbei ist
Anzahl der Durchführungen = n
p = p_A+p_B.
Damit ist
P(k_A_oder_B)
= (n über k) * (p_A+p_B)^k * (1-p_A-p_B)^(n-k)
= (n über k) * (p_A+p_B)^k * p_C^(n-k).
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A_öfter_B | k_A_oder_B)
betrachtet man nun einen anderen BERNOULLI-Versuch, und zwar
"gucken, ob B oder nicht_B eintritt, und zwar genau bei den k
Versuchen, in denen (laut Bedingung) {A oder B} eingetreten ist}",
das ganze also k-mal. Hierbei gelten
Anzahl der Durchführungen = k
p' = p_B/(p_A+p_B)
Damit gilt
P(A_öfter_B | k_A_oder_B)
= Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (1-p_B/(p_A+p_B))^{k-j}
= Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (p_A/(p_A+p_B))^{k-j}.
Die obere Summationsgrenze k' ist hier entweder
k' = abrunden((k-1)/2) oder
k' = aufrunden(k/2-1).
Wenn (k-1)/2 bzw. k/2-1 ganzzahlig ist, muß BTW überhaupt nicht
gerundet werden.
Das ist richtig, aber wenn ich eine ganze Zahl abrunde kommt eben diese
Zahl dabei heraus, weshalb ich es nicht für nötig hielt, darauf
hinzuweisen
Post by Stephan Gerlach
Nun setzt man die erhaltenen Formeln für P(k_A_oder_B) und
P(A_öfter_B | k_A_oder_B) in die Ausgangs-Formel [1] ein und erhält
P(A_öfter_B)
= Summe{k=0 bis n}
(n über k) * (p_A+p_B)^k * p_C^(n-k) *
[Summe{j=0 bis k'}
(k über j) * (p_B/(p_A+p_B))^j * (p_A/(p_A+p_B))^{k-j}].
Ich hoffe mal, man kann das einigermaßen lesen. Vermutlich muß man
dafür eine feste Schriftbreite einstellen. Wie man sieht, ist die
Formel eine verschachtelte Summe. Beachte, daß die obere
Summations-Grenze k' der inneren Summe selbst von k abhängt.
Es ist eher zweifelhaft, daß man die Formel noch großartig
vereinfachen kann.
So sehe ich das auch. Danke für die Übersetzung in Formeln.

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