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Neue Erkenntnisse aus Augsburg (2)
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-05-08 13:26:57 UTC
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"0,999... ist keine Zahl." (W. Mückenheim)
Stephan Gerlach
2020-05-08 22:34:19 UTC
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Post by Me
"0,999... ist keine Zahl." (W. Mückenheim)
Vielleicht stört er sich doch bloß an den Punkten und denkt, solche
dürfen bei einer Zahl nicht da stehen. Vielleicht wird es ja
einfacher[°], wenn man erklärt, daß die Punkte nur eine
vereinfachende/veranschaulichende Schreibweise/Konvention sind für
"immer so weiter, unendlich viele 9en"
(was BTW sogar manche 9.-Klasse-Schüler in der Lage sind zu verstehen)
oder (genauer) für
Summe{k=1 bis unendlich} 9 * 0,1^k ?!

[°] Nein, wohl eher nicht.
--
Post by Me
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Me
2020-05-09 01:28:48 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"0,999... ist keine Zahl." (W. Mückenheim)
Vielleicht stört er sich doch bloß an den Punkten und denkt, solche
dürfen bei einer Zahl nicht da stehen.
So ist es! WM schreibt:

"Zahlen brauchen keine "...""
Post by Stephan Gerlach
Vielleicht wird es ja einfacher[°], wenn man erklärt, daß die Punkte nur
eine vereinfachende/veranschaulichende Schreibweise/Konvention sind für
"immer so weiter, unendlich viele 9en"
Ja, das KANN man (vielleicht?) so sehen, aber man kann es auch SO sehen, dass "0,999..." einfach nur ein (endliches) Symbol ist, das den GRENZWERT der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) bezeichnet, also einfach nur eine reelle Zahl. (Mit anderen Worten, außer der FOLGE der "Partialsummen" ist da dann nichts unendlich.)
Post by Stephan Gerlach
oder (genauer) für
Summe{k=1 bis unendlich} 9 * 1/10^k ?!
bzw. lim_(n->oo) Summe{k=1 bis n} 9 * 1/10^k.

Jep.

Eigentlich alles nicht so schwierig, würde man denken.

Wenn 0,999... (auch in entsprechenden Kontexten) WIRKLICH keine (reelle) Zahl wäre, wie Herr Professor Mückenheim behauptet, dann wäre die "Diskussion" 0,999... = 1 oder 0,999... =/= 1 ziemlich "überflüssig". Denn selbstverständlich würde dann gelten: 0,999... =/= 1 (allerdings auch weder 0,999... < 1, noch 0,999... > 1).
Stephan Gerlach
2020-05-11 16:55:33 UTC
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Post by Me
Post by Stephan Gerlach
Post by Me
"0,999... ist keine Zahl." (W. Mückenheim)
Vielleicht stört er sich doch bloß an den Punkten und denkt, solche
dürfen bei einer Zahl nicht da stehen.
"Zahlen brauchen keine "...""
In gewisser Weise kann man das sogar so sehen(?!).
Allerdings erleichtern derartige Punkt-Darstellungen wie gesagt manchmal
die Anschauung, besonders für niedrigere (Schul-)Klassen oder für Anfänger.
Post by Me
Post by Stephan Gerlach
Vielleicht wird es ja einfacher[°], wenn man erklärt, daß die Punkte nur
eine vereinfachende/veranschaulichende Schreibweise/Konvention sind für
"immer so weiter, unendlich viele 9en"
Ja, das KANN man (vielleicht?) so sehen, aber man kann es auch SO sehen,
dass "0,999..." einfach nur ein (endliches) Symbol ist, das den GRENZWERT
der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...) bezeichnet, also einfach nur eine reelle Zahl.
(Mit anderen Worten, außer der FOLGE der "Partialsummen" ist da dann nichts unendlich.)
Natürlich kann man 0,999... einfach als Symbol für den Grenzwert der
genannten Zahlenfolge ansehen, völlig richtig.
Allerdings ist dieses Symbol gerade wegen der Neunen und der
darauffolgenden drei Punkte schon suggestiv(?) bzw. anschaulich.

[...]
--
Post by Me
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Ganzhinterseher
2020-05-13 14:44:37 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Natürlich kann man 0,999... einfach als Symbol für den Grenzwert der
genannten Zahlenfolge ansehen, völlig richtig.
Allerdings ist dieses Symbol gerade wegen der Neunen und der
darauffolgenden drei Punkte schon suggestiv(?) bzw. anschaulich.
The series 0.9 + 0.99 + 0.999 + ..., abbreviated by 0.999..., is a sequence of partial sums and, like all strictly monotonic infinite sequences, does not contain its limit. That is: 1 does not belong to the series.

Nevertheless, since the difference is infinitely diminishing, the limit has been confused with the (not existing) sum and has been called "the sum of the series" or even "the series" by sloppy mathematicians.

Regards, WM
Ganzhinterseher
2020-05-13 14:49:28 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Natürlich kann man 0,999... einfach als Symbol für den Grenzwert der
genannten Zahlenfolge ansehen, völlig richtig.
Allerdings ist dieses Symbol gerade wegen der Neunen und der
darauffolgenden drei Punkte schon suggestiv(?) bzw. anschaulich.
The series 0.9 + 0.09 + 0.009 + ..., abbreviated by 0.999..., is a sequence of partial sums and, like all strictly monotonic infinite sequences, does not contain its limit. That is: 1 does not belong to the series.

Nevertheless, since the difference is infinitely diminishing, the limit has been confused with the (not existing) sum and has been called "the sum of the series" or even "the series" by sloppy mathematicians.

Regards, WM
Me
2020-05-13 15:26:26 UTC
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[bla und blub]
the limit has been confused with the [...] sum
No, it has not been "confused". But it is
called "the sum of the series"
these days.

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