Discussion:
Neue Erkenntnisse aus Augsburg (der Zahlenstrahl)
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-10-20 10:57:39 UTC
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Jemand schrieb im sci.logic:

"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).

WM: "That is wrong."

Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Me
2020-10-20 14:26:31 UTC
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"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).
WM: "That is wrong."
Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche
Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Vor allem, wo doch der/ein Beweis für obige Behauptung (der Mückenheim widerspricht) gar nicht so schwer ist!

Beweis: Sei x einen beliebige positive reelle Zahl. Also 0 < x. Dann gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl n0, so dass x < n0 gilt. Wir betrachten nun die Menge {n e IN: x < n} c IN aller natürlichen Zahlen, die größer als x sind. Wegen x < n0 ist diese Menge nicht leer. Daher gibt es (aufgrund der Wohlordnung von IN) ein kleinstes Element in dieser Menge. Sei m dieses Element. Es gilt also x < m. Da m die _keinste_ natürliche Zahl ist, die größer als x ist, gilt m-1 <= x < m mit m-1 e IN (da m nicht gleich 0 sein kann). Es gibt also eine natürliche Zahl n (nämlich m-1), so dass n <= x < n+1 und daher auch n <= x <= n+1 gilt. x ist also entweder n, n+1 oder liegt zwischen n und n+1, x ist also in jdem Fall "within 1 unit of a natural number". qed
Ganzhinterseher
2020-10-21 09:51:07 UTC
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"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).
WM: "That is wrong."
Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche
Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Vor allem, wo doch der/ein Beweis für obige Behauptung (der Mückenheim widerspricht) gar nicht so schwer ist!
Beweis: Sei x einen beliebige positive reelle Zahl. Also 0 < x. Dann gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl n0, so dass x < n0 gilt.
Das ist richtig. Aber um x und n_0 kennen zu können, muss n_0 durch eine lückenlose Folge 1, 2, 3, ..., n_0 mit dem Ursprung verbunden sein. Insbesondere wenn man ein festes x *wählen* will, darf 1/x nicht aus dem dunklen Intervall (0, 1/n) stammen, das für jeden wählbaren Stammbruch 1/n noch ℵo dunkle Stammbrüche enthält.
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Wir betrachten nun die Menge {n e IN: x < n} c IN aller natürlichen Zahlen, die größer als x sind.
Schon das ist nicht möglich. Dunkle Zahlen lassen sich nicht betrachten.
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Wegen x < n0 ist diese Menge nicht leer. Daher gibt es (aufgrund der Wohlordnung von IN) ein kleinstes Element in dieser Menge. Sei m dieses Element. Es gilt also x < m. Da m die _keinste_ natürliche Zahl ist, die größer als x ist, gilt m-1 <= x < m mit m-1 e IN (da m nicht gleich 0 sein kann). Es gibt also eine natürliche Zahl n (nämlich m-1), so dass n <= x < n+1 und daher auch n <= x <= n+1 gilt. x ist also entweder n, n+1 oder liegt zwischen n und n+1, x ist also in jedem Fall "within 1 unit of a natural number". qed
Der Ansatz ist falsch. m ist nicht beliebig wählbar (und x damit auch nicht), denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden, zwischen dem und 0 noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.

Versuche einfach das Intervall [1/n, 1] so zu bestimmen, dass weniger als ℵo dunkle Stammbrüche übrig bleiben.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-10-21 09:25:01 UTC
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"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).
WM: "That is wrong."
Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Aber gern. Man bemerke, dass "our natural numbers" sich auf solche bezieht, die in [1/n, 1] eingesetzt werden können und bekanntlich stets ℵo natürliche Zahlen zwischen 0 und 1/n übrig lassen. Die besitzen keine Verbindung zum Nullpunkt und auch nicht zu "our natural numbers". Dass jede within 1
unit of a *dark* natural number liegt, wäre richtig.

Gruß, WM
Me
2020-10-21 10:58:09 UTC
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Man bemerke, dass "our natural numbers" [....] bekanntlich stets ℵo natürliche
Zahlen zwischen 0 und 1/n übrig lassen.
Das mag in Ihrem Wahnsystem so sein. In der Mathematik gibt es für KEIN n e IN eine natürliche Zahl "zwischen" 0 und 1/n (wenn wir die 0 ausklammern). Es gilt also:

An e IN ~Em e IN: 0 < m < 1/n .

Hinweis: Für alle n e IN gilt: 0 < 1/n <= 1.

Wie dumm kann man eigentlich sein, Mückenheim?
<Rest Ihres psychotischen Gelabers gelöscht>
Me
2020-10-21 10:50:20 UTC
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"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).
WM: "That is wrong."
Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche
Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Vor allem, wo doch der/ein Beweis für obige Behauptung (der Mückenheim widerspricht) gar nicht so schwer ist!

Beweis: Sei x einen beliebige positive reelle Zahl. Also 0 < x. Dann gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl n0, so dass x < n0 gilt. Sie M = {n e IN: x < n} c IN. (M ist also die Menge aller natürlichen Zahlen, die größer als x sind.) Wegen x < n0 ist M nicht leer. Daher gibt es (aufgrund der Wohlordnung von IN) ein kleinstes Element in M. Sei m das kleinstes Element in M. Es gilt dann x < m. Da m (nach Definition) die _keinste_ natürliche Zahl ist, die größer als x ist, gilt weiterhin m-1 <= x < m mit m-1 e IN (da m nicht gleich 0 sein kann). Es gibt also eine natürliche Zahl n (nämlich m-1), so dass n <= x < n+1 und daher auch n <= x <= n+1 gilt. x ist also entweder n, n+1 oder liegt zwischen n und n+1, x ist also in jdem Fall "within 1 unit of a natural number". qed
Ganzhinterseher
2020-10-21 18:17:44 UTC
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"Each point in the positive number-line is within 1
unit of a natural number (our natural numbers).
WM: "That is wrong."
Eine bemerkenswerte Auffassung! Wir dürfen auf die ausführliche
Erläuterung/Erklärung Seitens Herrn Mückenheim gespannt sein.
Vor allem, wo doch der/ein Beweis für obige Behauptung (der Mückenheim widerspricht) gar nicht so schwer ist!
Beweis: Sei x einen beliebige positive reelle Zahl. Also 0 < x. Dann gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine natürliche Zahl n0, so dass x < n0 gilt. Sie M = {n e IN: x < n} c IN. (M ist also die Menge aller natürlichen Zahlen, die größer als x sind.) Wegen x < n0 ist M nicht leer. Daher gibt es (aufgrund der Wohlordnung von IN) ein kleinstes Element in M. Sei m das kleinstes Element in M. Es gilt dann x < m. Da m (nach Definition) die _keinste_ natürliche Zahl ist, die größer als x ist, gilt weiterhin m-1 <= x < m mit m-1 e IN (da m nicht gleich 0 sein kann). Es gibt also eine natürliche Zahl n (nämlich m-1), so dass n <= x < n+1 und daher auch n <= x <= n+1 gilt. x ist also entweder n, n+1 oder liegt zwischen n und n+1, x ist also in jdem Fall "within 1 unit of a natural number". qed
Der Ansatz ist falsch. m ist nicht beliebig wählbar (und x damit auch nicht), denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden, zwischen dem und 0 noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.

Versuche einfach das Intervall [1/n, 1] so zu bestimmen, dass weniger als ℵo dunkle Stammbrüche übrig bleiben.

Gruß, WM

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