Discussion:
Gregor Contra aus Walhalla, primus inter parias, spricht:
(zu alt für eine Antwort)
WM
2020-07-26 13:36:08 UTC
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Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.

Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.

Gruß, WM
Roalto
2020-07-26 16:33:36 UTC
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Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Gruß, WM
Wieder den Aluminiumhut vergessen?

Viel Spass weiterhin
Roalto
h***@gmail.com
2020-07-26 17:23:54 UTC
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Post by WM
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Ganz richtig, Herr Professor. Schliessen Sie das etwa?
WM
2020-07-26 21:29:57 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by WM
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Ganz richtig, Herr Professor. Schliessen Sie das etwa?
Man sollte Logik anwenden. Was für alle Ziffern gilt, gilt für alle Ziffern. Man kann das auf S. 194f meines Buches "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015) genauer nachlesen: Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar.

Ein einfaches Beispiel für schlichte Gemüter: Keiner der unendlich vielen Brüche 1/n ist 0.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 07:45:47 UTC
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Ist ja falsch diese Aussage:
"Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar."

Wann wird Ihr Buch eingestampft?
Post by WM
Post by h***@gmail.com
Post by WM
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Ganz richtig, Herr Professor. Schliessen Sie das etwa?
Man sollte Logik anwenden. Was für alle Ziffern gilt, gilt für alle Ziffern. Man kann das auf S. 194f meines Buches "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015) genauer nachlesen: Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar.
Ein einfaches Beispiel für schlichte Gemüter: Keiner der unendlich vielen Brüche 1/n ist 0.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 08:02:08 UTC
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Take this infinite binary sequence, it is aperiodic:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_word

So it doesn't denote a rational number.
Post by Mostowski Collapse
"Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar."
Wann wird Ihr Buch eingestampft?
Post by WM
Post by h***@gmail.com
Post by WM
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von den ersten n Einträgen L_n der Liste L. Daraus schließt man, dass die ganze Diagonalzahl von allen Einträgen der Liste verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Jede Ziffernfolge D_n = d1d2...dn der Diagonalzahl D unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl, weil D_n rational ist. Daraus schließt man aber nicht, dass die ganze Diagonalzahl von jeder Irrationalzahl verschieden ist. ∀n ∈ ℕ: D_n ∉ L_n → D ∉ L.
Ganz richtig, Herr Professor. Schliessen Sie das etwa?
Man sollte Logik anwenden. Was für alle Ziffern gilt, gilt für alle Ziffern. Man kann das auf S. 194f meines Buches "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015) genauer nachlesen: Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar.
Ein einfaches Beispiel für schlichte Gemüter: Keiner der unendlich vielen Brüche 1/n ist 0.
Gruß, WM
WM
2020-07-27 10:46:13 UTC
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Post by Mostowski Collapse
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_word
So it doesn't denote a rational number.
It is not defined by digits but by an algorithm.

Write digits as lond as you like, never an irrational number is defined by digits.

Write fractions 1/n as long as you like, never 0 is defined by your writings.

Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 11:20:35 UTC
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No its not using digits, its using bits.

digit = digitus (Latein Finger), 0,1,2,3,..,9

bits = 0,1

Whats wrong with you?
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_word
So it doesn't denote a rational number.
It is not defined by digits but by an algorithm.
Write digits as lond as you like, never an irrational number is defined by digits.
Write fractions 1/n as long as you like, never 0 is defined by your writings.
Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 11:24:49 UTC
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And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,

0100101001001010010...

not some of the many algorithms that
would produce it. The infinite binary
sequence is aperiodic,

so it doesn't denote a rational number
in fractional base 2.
Post by Mostowski Collapse
No its not using digits, its using bits.
digit = digitus (Latein Finger), 0,1,2,3,..,9
bits = 0,1
Whats wrong with you?
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_word
So it doesn't denote a rational number.
It is not defined by digits but by an algorithm.
Write digits as lond as you like, never an irrational number is defined by digits.
Write fractions 1/n as long as you like, never 0 is defined by your writings.
Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 11:35:03 UTC
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The rabbit sequence is also aperiodic:

1011010110110101101...

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html#section5.2

Actually there exist uncountably infinit
many aperiodic sequence, just check
Cantors theorem.
Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it. The infinite binary
sequence is aperiodic,
so it doesn't denote a rational number
in fractional base 2.
Post by Mostowski Collapse
No its not using digits, its using bits.
digit = digitus (Latein Finger), 0,1,2,3,..,9
bits = 0,1
Whats wrong with you?
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_word
So it doesn't denote a rational number.
It is not defined by digits but by an algorithm.
Write digits as lond as you like, never an irrational number is defined by digits.
Write fractions 1/n as long as you like, never 0 is defined by your writings.
Regards, WM
WM
2020-07-27 12:36:39 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Actually there exist uncountably infinit
many aperiodic sequence, just check
Cantors theorem.
Yes, there are some fools who have not yet understood that Cantor's theory is pure nonensense as he proved himself: Wäre Königs Satz, daß alle „endlich definirbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit 0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlencontinuum sei abzählbar,

Regards, WM
WM
2020-07-27 12:33:30 UTC
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Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it.
In any case you wrote a finite expression, not an infinite sequence. The expression produces a sequence of bits or digits without end, approximating an irrational number by infinitely many rational numbers.


Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 12:44:37 UTC
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A finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.

You are highly confused.
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it.
In any case you wrote a finite expression, not an infinite sequence. The expression produces a sequence of bits or digits without end, approximating an irrational number by infinitely many rational numbers.
Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 12:47:30 UTC
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Same for the "rabbit sequence", its also
an infinite binary sequence:

1011010110110101101...

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html#section5.2

Any finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.

You are highly confused.
Post by Mostowski Collapse
A finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.
You are highly confused.
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it.
In any case you wrote a finite expression, not an infinite sequence. The expression produces a sequence of bits or digits without end, approximating an irrational number by infinitely many rational numbers.
Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 12:56:52 UTC
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Corr.:

Any finit initial segment of the infinite binary
sequence called "rabbit sequence", is not the
same as the infinite binary sequence.

But there is a fancy relationship between
the "rabbit sequence" and the "Fibonacci Word",
one is the complement of the other.

1011010110110101101... /* rabbit sequence */

0100101001001010010... /* Fibonacci Word */

So we can conclude that the corresponding
irrational numbers add up to 1, if r is
the irrational number that corresponds to

the rabbit sequence, then 1-r is the
irrational number that corresponds to the
Fibonacci Word. Namely:

0.7098034428612... /* rabbit sequence */

https://mathworld.wolfram.com/RabbitConstant.html

0.2901965571387... /* Fibonacci Word */
Post by Mostowski Collapse
Same for the "rabbit sequence", its also
1011010110110101101...
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html#section5.2
Any finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.
You are highly confused.
Post by Mostowski Collapse
A finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.
You are highly confused.
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it.
In any case you wrote a finite expression, not an infinite sequence. The expression produces a sequence of bits or digits without end, approximating an irrational number by infinitely many rational numbers.
Regards, WM
Mostowski Collapse
2020-07-27 12:59:14 UTC
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Diese Zahlen sind sogar transcendental.

0.7098034428612... /* rabbit sequence */

https://mathworld.wolfram.com/RabbitConstant.html

0.2901965571387... /* Fibonacci Word */

Und sie könnten auf einem Billiard Tisch entstehen:

"Such a sequence can be generated by considering a
game of English billiards on a square table. The
struck ball will successively hit the vertical
and horizontal edges labelled 0 and 1 generating
a sequence of letters. This sequence is a Sturmian word."
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturmian_word

Sozusagen ein Physikalischer Algorithmus.
Post by Mostowski Collapse
Any finit initial segment of the infinite binary
sequence called "rabbit sequence", is not the
same as the infinite binary sequence.
But there is a fancy relationship between
the "rabbit sequence" and the "Fibonacci Word",
one is the complement of the other.
1011010110110101101... /* rabbit sequence */
0100101001001010010... /* Fibonacci Word */
So we can conclude that the corresponding
irrational numbers add up to 1, if r is
the irrational number that corresponds to
the rabbit sequence, then 1-r is the
irrational number that corresponds to the
0.7098034428612... /* rabbit sequence */
https://mathworld.wolfram.com/RabbitConstant.html
0.2901965571387... /* Fibonacci Word */
Post by Mostowski Collapse
Same for the "rabbit sequence", its also
1011010110110101101...
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html#section5.2
Any finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.
You are highly confused.
Post by Mostowski Collapse
A finit initial segment of the infinite binary
sequence called "Fibonacci Word", is not the
same as the infinite binary sequence.
You are highly confused.
Post by WM
Post by Mostowski Collapse
And I did write down an algorithms.
The phrase "Fibonacci Word" refers to
an infinite binary sequence,
0100101001001010010...
not some of the many algorithms that
would produce it.
In any case you wrote a finite expression, not an infinite sequence. The expression produces a sequence of bits or digits without end, approximating an irrational number by infinitely many rational numbers.
Regards, WM
Jens Kallup
2020-07-29 02:05:05 UTC
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Post by Mostowski Collapse
"Keine irrationale Zahl ist durch eine Ziffernfolge definierbar."
ehm Mostowski,

die Essenz steckt in:

"keine" und ("eine" Ziffernfolge)

soll heißen:
irrationalen Zahlen bestehen mindestens aus 3 Zeichen:
1. eine "oder" mehrere Pre/Vor-Objekte (2,1, oder 42, etc..)
2. einen führenden Komma "oder" Punkt als Kennzeichnung je nach Gebiets-
schema
3. eine "oder" mehrere Post/Nach-Objekte (siehe 1.)


irrationale Zahl := R \ Q

Q = ganze Zahl 0, ... , 9
R = -Q, -(Q div Q), 0, +Q, +(Q div Q)

Beispiel:
R := 1/2 = 0.5 = 100/2 % = 50 %
R := 1/25 = 0.04 = 100/25 % = 4 %

somit ist: 1/2 = 0.5 und: 1/25 = 0.04
wie oben beschrieben eine irrationale Zahl

Ich muss natürlich auch dazu schreiben, das es hier *immer* an den
zu Grunde liegenden Kontext ankommt.
Was ich in dieser Newsgruppe immer als Haarspalterrei monieren muss.

BTW: Der Kontext hier ist bei der Angabe der Prozentanteile, bei
Betrachtung der Dezimaldarstellung, nicht jedoch der Bruchdarstell-
ung.
Es ist auch von Bedeutung, welche Zahlenbasis zu Grunde liegt.

Aber:
Auch das sei hier erwähnt, das ich mir mit 1 oder 1/1 nicht genau
sicher bin ob diese Zahl in dieser Betrachtung auch gültig ist.

Jens

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