Ralf Goertz
2025-03-13 09:36:47 UTC
Antworten
Permalinkprojektive Ebene anders darzustellen, als man es gewöhnlich tut
<https://de.wikipedia.org/wiki/Fano-Ebene>. An dem Bild stört mich, dass
eine der Geraden als Kreis dargestellt wird, deren drei Punkte den Kreis
regelmäßig teilen, während alle anderen Strecken mit Mittelpunkt als
drittem Punkt sind. Da die Fano-Ebene eigentlich vollkommen symmetrisch
ist, sollte es eine andere Darstellung geben, in der alle Geraden Kreise
sind mit Punkten, die ein gleichseitiges Dreieck bilden. Ganz offenbar
reicht ℝ² dafür nicht aus. Auch ℝ³ dürfte zu wenig sein.
Meine Frage ist also, was ist das minimale n, so dass die Fano-Ebene in
der oben beschriebenen Art in ℝ^n „eingebettet“ werden kann. (Ich
verwende Anführungszeichen, weil die Fano-Ebene ja eigentlich in 𝔽₂³
lebt, was nichts mit ℝ^n zu tun hat.) Die ersten drei Punkte sind noch
ganz einfach. Wir legen die „Gerade“, auf der diese Punkte liegen, in
die von den ersten beiden Koordinaten von ℝ^n aufgespannte Ebene, den
Mittelpunkt in den Ursprung und einen der Punkte auf (1,0,…,0), dann
haben die anderen beiden Punkte die Koordinaten
(sin(2*π/3),cos(2*π/3),0,…,0) und (sin(4*π/3),cos(4*π/3),0,…,0). (Das
entspricht ganz einfach der als Kreis dargestellten Geraden in der
herkömmlichen Darstellung.) Jeder dieser drei Punkte ist dann
Berührpunkt für jeweils zwei weitere „Geraden“. Bevor ich jetzt
anfange, mich durch die Kreisgleichungen zu kämpfen, würde mich
interessieren, ob es einen einfacheren Weg gibt. So ähnlich wie man die
Koordinaten eines regelmäßigen n-simplex in ℝ^n über
Matrix-Dekomposition bestimmen kann:
<https://math.stackexchange.com/questions/4285724/decomposition-of-matrix-occuring-in-problem-of-finding-n1-vectors-in-mathbb>
Hm, wenn ich das jetzt so schreibe, fällt mir auf, dass das genau schon
die Lösung sein könnte. Die Mittelpunkte der „Geraden“ (also die
Mittelpunkte der Kreise) müssen aus Symmetriegründen ein regelmäßiges
6-simplex bilden, also brauche ich tatsächlich ℝ^6. Für den Fall der
„entarteten“ projektiven Ebene mit drei Punkten funktioniert das. Da
wären die Geraden nicht Kreise, also die 1-Sphäre, sondern die 0-Sphäre
(also die beiden Punkte des R¹ mit Abstand 1 zur 0, nämlich 1 und -1).
Drei davon kann ich bequem in ℝ² legen:
*
+ +
* + *
Die + sind die Mittelpunkte der 0-Sphären und die * die 0 Sphären
selbst, also die Punkte der Ebene. Je zwei der Geraden berühren
(schneiden) sich in einem Punkt.
Ergibt das Sinn? Und wenn, wie kann ich dann die Koordinaten der
restlichen 4 Punkte im ℝ^6 bestimmen?