Discussion:
Primzahlen
(zu alt für eine Antwort)
Jens Kallup
2020-06-22 11:02:57 UTC
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Hallo Gruppe,

beim stöbern im Internet - vielmehr als erstes Suchergebnis
auf google.de:

Behauptung:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ..
seien Primzahlen.

Definition/Lemma:
- |P sind durch sich selbst, und durch 1 teilbar (ohne Rest)

gegeben |N:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...
0, und 1 entfallen.
(Division durch 0, nicht erlaubt)
(Division durch 1, würde wieder die gleiche |N ergeben)

somit ergibt sich:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...

2 / 1 = 2 => prime => 1 * 2 = 2
2 / 2 = 1 => prime => 2 * 1 = 2

3 / 1 = 3 => prime => 1 * 3 = 3
3 / 2 => no prime
3 / 3 = 1 => prime => 3 * 1 = 3

4 / 1 = 4 => prime => 4 * 1 = 4
4 / 2 = 2 => prime => 2 * 2 = 4
4 / 3 => no prime
4 / 4 = 1 => prime => 4 * 1 = 4

...

8 / 1 = 8 => prime => 8 * 1 = 8
8 / 2 = 4 => prime => 2 * 4 = 8
8 / 3 => no prime
8 / 4 = 2 => prime => 4 * 2 = 8
8 / 5 => no prime
8 / 6 => no prime
8 / 7 => no prime
8 / 8 = 1 => prime => 8 * 1 = 8

9 / 1 = 9 => prime => 9 * 1 = 9
9 / 2 => no prime
9 / 3 = 3 => prime => 3 * 3 = 9
9 / 4 => no prime
9 / 5 => no prime
9 / 6 => no prime
9 / 7 => no prime
9 / 8 => no prime
9 / 9 = 1 => prime => 9 * 1 = 9

10 / 1 = 10 => prime => 10 * 1 = 10
10 / 2 = 5 => prime => 2 * 5 = 10
10 / 3 = => no prime
10 / 4 = => no prime
10 / 5 = 2 => prime => 5 * 2 = 10
10 / 6 = => no prime
10 / 7 = => no prime
10 / 8 = => no prime
10 / 9 = => no prime
10 / 10 = 1 => prime => 10 * 1 = 10

So ergeben sich für mich:
|P = 1, 2, 3, 4, 5, ...

Wie kann das sein?

JEns
Elias Schwerdtfeger
2020-06-22 12:17:10 UTC
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Post by Jens Kallup
Hallo Gruppe,
- |P sind durch sich selbst, und durch 1 teilbar (ohne Rest)
|P = 1, 2, 3, 4, 5, ...
Wie kann das sein?
Das ist eine falsche Definition.

Jede natürliche Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar, es kann
sich hierbei also nicht um ein Merkmal handeln, das Primzahlen auszeichnet.

Richtig wäre:

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer 1, die *nur* durch 1 und sich
selbst teilbar sind.

Alternativ, und noch besser, weil der Sonderfall der Zahl Eins gleich
ohne zusätzliche Bedingung mitbehandelt wird, aber dafür nicht mehr so
unmittelbar klar:

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die *genau zwei Teiler* haben.
Jens Kallup
2020-06-22 12:30:24 UTC
Permalink
Also kann man das Internet nicht immer trauen,
oder ich habe das falsch aufgegriffen:



Jens
Rainer Rosenthal
2020-06-22 12:48:24 UTC
Permalink
Post by Elias Schwerdtfeger
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die *genau zwei Teiler* haben.
Cool, das hatte ich so noch nirgends gesehen.

Kleiner Schönheitsfehler:
Die obige Formulierung erlaubt die Vermutung, dass sich außer den
Primzahlen noch andere Zahlen im Topf der Zweiteiler befinden.
(Störche sind Tiere, die *genau zwei Flügel* haben.)

"Primzahlen sind diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler
haben."

Gruß aus Nitpick-City,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Michael Klemm
2020-06-22 13:11:35 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Elias Schwerdtfeger
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die *genau zwei Teiler* haben.
Cool, das hatte ich so noch nirgends gesehen.
Die obige Formulierung erlaubt die Vermutung, dass sich außer den
Primzahlen noch andere Zahlen im Topf der Zweiteiler befinden.
(Störche sind Tiere, die *genau zwei Flügel* haben.)
"Primzahlen sind diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler
haben."
Gruß aus Nitpick-City,
Rainer Rosenthal
"Primzahlen sind diejenigen natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und außerdem sich selbst teilbar sind."
Gruß
Michael
Me
2020-06-22 14:56:06 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
Post by Elias Schwerdtfeger
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die *genau zwei Teiler* haben.
Cool, das hatte ich so noch nirgends gesehen.
Das kann man auch schön in Mengenlehre packen:

Zuerst definiert man den Begriff der /Teilemenge/ einer nat. Zahl

T(n) := {t e IN : t|n} (n e IN)

und dann das Prädikat

prim(n) :<-> |T(n)| = 2 (n e IN) .

(Wir gehen hier von IN als "Domain" aus; ansonsten könnte man natürlich auch definieren

primzahl(n) :<-> n e IN & |T(n)| = 2 .)

Um prim() _auf diese Weise_ in C "implementieren" zu können, habe ich vor Jahren mal eigens eine kleine "Mengen-Bibliothek" für ints geschrieben (in C) - man gönnt sich ja sonst nichts!
Mostowski Collapse
2020-06-22 15:44:08 UTC
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Just for Fun, damit man die Menge nicht bilden muss:

|T(n)| = d(n), Anzahl der Divisoren.

Falls n = p1^n1*..*pm^nm mit p1,..,pm Primzahlen dann:

d(n) = (n1+1)...(nm+1)

Korrolar:

d(n) = 2 gdw n = p
Post by Me
Post by Rainer Rosenthal
Post by Elias Schwerdtfeger
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die *genau zwei Teiler* haben.
Cool, das hatte ich so noch nirgends gesehen.
Zuerst definiert man den Begriff der /Teilemenge/ einer nat. Zahl
T(n) := {t e IN : t|n} (n e IN)
und dann das Prädikat
prim(n) :<-> |T(n)| = 2 (n e IN) .
(Wir gehen hier von IN als "Domain" aus; ansonsten könnte man natürlich auch definieren
primzahl(n) :<-> n e IN & |T(n)| = 2 .)
Um prim() _auf diese Weise_ in C "implementieren" zu können, habe ich vor Jahren mal eigens eine kleine "Mengen-Bibliothek" für ints geschrieben (in C) - man gönnt sich ja sonst nichts!
Me
2020-06-22 19:23:22 UTC
Permalink
beim Stöbern im Internet - vielmehr als erstes Suchergebnis
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... => Primzahlen
Definition/Lemma: IP [...]
Mit anderen Worten, Primzahlen besitzen GENAU 2 "Teiler", wie man sagt.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...
0, und 1 entfallen.
In der Tat 0 hat unendlich viele Teiler und 1 hat nur sich selbst als Teiler.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...
2 / 1 = 2
2 / 2 = 1
Genau 2 Teiler => prim
3 / 1 = 3
3 / 2
3 / 3 = 1
Genau 2 Teiler => prim
4 / 1 = 4
4 / 2 = 2
4 / 3
4 / 4 = 1
Mehr als 2 Teiler => nicht prim
...
8 / 1 = 8
8 / 2 = 4
8 / 3
8 / 4 = 2
8 / 5
8 / 6
8 / 7
8 / 8 = 1
Mehr als 2 Teiler => nicht prim
9 / 1 = 9
9 / 2
9 / 3 = 3
9 / 4
9 / 5
9 / 6
9 / 7
9 / 8
9 / 9 = 1
Mehr als 2 Teiler => nicht prim

usw.
IP = {2, 3, 5, ...}
Jens Kallup
2020-06-23 09:14:20 UTC
Permalink
Ok,
Ein GROßES Danke an Euch Allen für das Feedbach,

Jens

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