Discussion:
Eine Wahrscheinlichkeitsrechnung
(zu alt für eine Antwort)
Manfred Ullrich
2020-10-14 16:33:42 UTC
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Ich habe ein Spiel, bei dem ich mit 2/3-Wahrscheinlichkeit gewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 9 Spielen mindestens 5-mal gewinne?
Und wie rechnet man das?

Gruß, Manfred
Torn Rumero DeBrak
2020-10-14 18:36:14 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Ich habe ein Spiel, bei dem ich mit 2/3-Wahrscheinlichkeit gewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 9 Spielen mindestens 5-mal gewinne?
Und wie rechnet man das?
Gruß, Manfred
Binomialverteilung.
Stephan Gerlach
2020-10-14 22:40:17 UTC
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Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Manfred Ullrich
Ich habe ein Spiel, bei dem ich mit 2/3-Wahrscheinlichkeit gewinne.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 9 Spielen mindestens
5-mal gewinne?
Und wie rechnet man das?
Gruß, Manfred
Binomialverteilung.
Falls der Hinweis nicht reicht:
n = 9
p = 2/3
X = Anzahl Gewinne

P(X >= 5) ist gesucht.

Zu klären wäre noch, ob das ein Bernoulli-Versuch ist, wovon aufgrund
fehlender weiterführender Information in der Frage aber wohl auszugehen ist.
--
Post by Torn Rumero DeBrak
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Alfred Flaßhaar
2020-10-15 06:35:09 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Ich habe ein Spiel, bei dem ich mit 2/3-Wahrscheinlichkeit gewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 9 Spielen mindestens 5-mal gewinne?
Und wie rechnet man das?
Sei Ek=bin(n,k) der Binomialkoeffizient "n über k". In Deinem Fall ist
n=9 und k=5,...9. Der Ereignisraum besteht dann aus 5- bis 9-Tupeln
ausgewählt/gebildet aus 9 Elementen. Die Gesamtzahl der Spielereignisse
ist dann E=sum(bin(9,k), k=5,...9) und der _Anteil_ jeder Tupelzahl ist
dann Ek/E. Damit wird infolge "und"-Verbindung der je k-Tupel
erfolgreichen Spiele die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p=sum((Ek/E)*(2/3)^k, k=5,...9).

Gerechnet habe ich noch nicht,, bin in Eile. Und vielleicht ist etwas
fehlerhaft, bitte genau kontrollieren, mir ging es mehr um die
"Herangehensweise" über die Betrachtung des Ereignisraums. Auf jeden
Fall spielt hier eine Binomialverteilung mit. Fragen der
Unterscheidbarkeit der Tupel habe ich weggelassen.

Gruß, Alfred
Alfred Flaßhaar
2020-10-15 13:48:22 UTC
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(...)
Post by Alfred Flaßhaar
Damit wird infolge "und"-Verbindung der je k-Tupel
erfolgreichen Spiele die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p=sum((Ek/E)*(2/3)^k, k=5,...9).
Korrektur:
Anstelle Ek/E muß der binomische Verliererkoeffizient de la Carlos hin.
Das kommt davon, wenn man es eilig hat.

Carlos Naplos
2020-10-15 10:47:43 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Ich habe ein Spiel, bei dem ich mit 2/3-Wahrscheinlichkeit gewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 9 Spielen mindestens 5-mal gewinne?
Und wie rechnet man das?
Gruß, Manfred
Die Wahrscheinlichkeit, nie zu verlieren, ist (1/3)^0 * (2/3)^9.
Dafür gibt es nur eine Möglichkeit. (Immer gewinnen!)
Kurz: 1 * (1/3)^0 * (2/3)^9

Die Wahrscheinlichkeit, einmal zu verlieren, ist (1/3)^1 * (2/3)^8.
Dafür gibt es nur 9 Möglichkeiten. (Verliere das 1., ... 9. Spiel!)
Kurz: 9 * (1/3)^1 * (2/3)^8

Die Wahrscheinlichkeit, zweimal zu verlieren, ist (1/3)^2 * (2/3)^7.
Dafür gibt es nur B(9,2) = 36 Möglichkeiten.
Kurz: 36 * (1/3)^2 * (2/3)^7

Die Wahrscheinlichkeit, dreimal zu verlieren, ist (1/3)^3 * (2/3)^6.
Dafür gibt es nur B(9,3) = 84 Möglichkeiten.
Kurz: 84 * (1/3)^3 * (2/3)^6

Die Wahrscheinlichkeit, viermal zu verlieren, ist (1/3)^4 * (2/3)^5.
Dafür gibt es nur B(9,4) = 126 Möglichkeiten.
Kurz: 126 * (1/3)^4 * (2/3)^5

Diese 5 Fälle sind disjunkt, d.h. keine zwei davon können gleichzeitig
auftreten.
Deshalb darf man die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren, um die
Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass einer dieser Fälle auftritt, zu
erhalten.

Excel sagt mir, dass ungefähr 0,855 rauskommt. (Falls die Rundungsfehler
nicht zu groß sind.)

B(n,k) steht für den Binomialkoeffizienten. Sprich: "n über k"
Er gibt an, auf wieviele Arten man k aus n Elementen auswählen kann.

Hier gibt B(9,k) an, auf wieviele Arten man bei 9 Spielen genau k-mal
verlieren kann.

Gruß CN
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