Discussion:
Warum manche bjiektiven Funktionen keine Umkehrfunktion in geschlossener Form haben
(zu alt für eine Antwort)
IV
2020-10-19 15:31:45 UTC
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Hallo,

in https://www.matheplanet.eu/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=249558 habe ich meine Vermutung vorgestellt, und in https://mathoverflow.net/questions/320801/how-to-extend-ritts-theorem-on-elementary-invertible-bijective-elementary-funct/373838#373838 einen Beweisansatz.

Bitte gebt Rückmeldungen.

Schön wäre es, wenn sich ein oder mehrere Mathematiker finden würden, die mit mir gemeinsam Satz und Beweis formulieren und publizieren.

Der Satz ist von einiger Bedeutung für mathematische und außermathematische Anwendungen.

Vielen Dank.
Jens Kallup
2020-10-19 19:58:20 UTC
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Post by IV
Hallo,
Hallo,

ich habe mir mal deinen Webpost angeschaut, und möchte hier
erst einmal das gröbste überschreiben...

1.) Definition, wie die so da steht ist keine Definition im
dem Sinne. Es ist vielmehr eine Allgemeine Notierung im
Sinne einer Vereinbarkeit(snotiz).

Also:

n e |N_+ := e Element von
:= n ist Element von |N_+
wobei ich davon ausgehen, das Du mit _+ die
positiven Elemente der Menge |N meinst...
:= n ist eine beliebige natürliche Zahl innerhalb
von |N_+

Hinweis von mir:
|N^0 := |N u { 0 } | ist wichtig !

unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl
Von Neumann Model, zweiter Absatz:

ist ein wenig falsch aufgeschrieben: Beweis:

In der Informationstechnik gibt es nur 0 und 1, also 1 Bit
ist die kleinste Menge B, die die Mächtigkeit von 2 Elementen
hat - nämlich die 0 und die 1:

B := { 0, 1 } .

das Startelement ist immer die Null (0), daraus ergibt sich,
das 0 existiert, weil erforderlich, um ein mathematisches
Objekt darzustellen - egal ob nun Strom fließt oder nicht -
hier ist es das Element 0 (Null).

Es ist daher nicht geignet zu schreiben, das für Null die
leere Menge als Darstellung für die 0 zu wählen, weil der
Zustand bzw. das Objekt 0 ja schon existent ist.

Gleichermaßen gilt es nicht, wenn die Menge B die Mächtigkeit
von 2 Objekten besitzt ,zu schreiben/meinen, dass das Element
1 gleich die Menge B := { 0 }.

Das ist totaler Quatsch, was dort in Wikipedia geschrieben wird;
da das Element 1 ja signalisiert "Strom fließt, und die Wertig-
keit 1 einnimmt.".

Da ein 1 Bit 2 Zustände einnehmen kann, ist ratsam hier von
einen *Paar* zu reden/schreiben/denken;
Also:

1. Paar:
B_00 -> Bp_00 := { 00 };
B_01 -> Bp_01 := { 01 };

2. Paar:
B_02 -> Bp_10 := { 10 };
B_03 -> Bp_11 := { 11 };
...

=>

B_0 := { { Bp_00 }
B_1 := { { Bp_00 } u { Bp_01 } }
B_2 := { { Bp_00 } u { Bp_01 } u { Bp_10 } }
B_3 := { { Bp_00 } u { Bp_01 } u { Bp_10 } u { Bp_11 } }
...

Weiter geht es:

f_1, ..., f_n sind Ableitungen
dabei gilt:

- wenn f_n steigt, dann ist f_n positiv [1]
- wenn f_n sinkt , dann ist f_n negativ [2]
- sonst f_n := HP oder TP oder SP := Nullstelle [3]

[1] verläuft über der X - Achse
[2] verläuft unter der X - Achse
[3] HP := höchster Punkt (maximum)
TP := tiefster Punkt (minimum)
SP := Scheitel Punkt

F_1, ..., F_n

dies seien die Funktions-Mengen zur Funktion f_n, also:
( f_n : F_n )

F_n -> f_n(F_n)
dies seien die Funktion-Mengen F_n, mit der
Ümkehrfunktion f_n.

Das in Klammern stehende, also: (F_n) würde ich hier nicht
hinzuschreiben, da dies verwirrend dem Betrachter vorkommen
könnte (also: man kann hier nicht erkennen was gemeint ist;
ist hier dier Multiplikator weggelassen, oder das (F_n)
doch zu viel? ... ).

So, weiter:

g
sei die erste Ableitung der Funktion f_2, da f_1 eine
eigenständige, und normale Funktion ist, wird hier angenommen
bzw. vorausgesetzt, das:

g_0 := f_1 | die Null wird hier für gewöhnlich weggelassen
g_1 := f_2
g_2 := f_3
g_n := f_n
...

gilt/ist-

durch die Ableitungen ergeben sich die Mengen-Resultate - ich
nehme mal an, hier entstehen Summen:

G_0, ... , G_n

dann würde die erste Funktion (2te eigentlich) mit der ersten
Ableitung g also:

g:G_1 x ... G_n) -> g(G_1 x ... G_n)

also Du bist der Meinung, das g: nach g() abgebildet wird?
verwechslet Du in Deiner Denkweise, das
g: nicht für "zu g gehört ..." sondern
g: dividiert durch die Summen aller Summen von G_gesamt ?

und
g() für "g * ()", also das Bild/der Graph g wird nochmals
mit der Summe aller Summen von G_gesamt multipliziert?

An dieser Stelle würde ich eher schreiben, das hier die
Inverse gebildet wird...

Also:

für g: := 1/n
für g* := 1^n

hier sei auch nochmal darauf hingewiesen, das die Null hier
eine Sonderstellung einnimmt - also weder dividiert, noch
als leere Menge angesehen werden darf !
Also es existieren hier mindestens 2 Bedingungen, die eingehalten
werden sollten.

Siehe dazu auch meinen Einwand für den Wikipedia Artikel im
Eingangs-Text.

jetzt hast Du also die Formel:

g (f_1, ..., f_n)
h_1 := --- * -----------------
1 (F_1, ..., F_n)

jetzt prüfen wir erstmal:

F_1 ist eine 1. Menge
F_2 ist eine 2. Menge
F_n ist eine nte Menge

Die Mengen F enthalten die Werte der Funktionen f_1 ibs
f_n.

Nehmen wir also an, wir schließen hier mal die 0 außen
raus, wir haben 2 Funktionen, diese 2 Funktionen haben
das Resultat, also Endwert 4.

Dann haben wir einmal:

f_1 := 4 (1)
f_2 := 4 (2)

da Du anscheinend Multiplizieren willst Ergebit sich
ein f_gesamt - also:

f_1 * f_2 := 4 * 4 := 16 (3)

Nun haben wir noch die Funktions-Mengen F_1 und F_2 .
Diese setzen sich ja laut Vereinbarung durch f_1 und
f_2 zusammen.
Also hat:

F_1 := { ((f_1 * f_2) := 4) } | 2 * 2 := 4 (4)
F_2 := { ((f_1 * f_2) := 4) } | 2 * 2 := 4 (5)

so erhalten wir die Funktions-Mengen:

F_1 := { 4 } (6)
F_2 := { 4 } (7)

nach Deiner Vorlage würde dann unter dem Bruchstrich
stehen:

4 * 4 = 16 (8)

somit ergibt sich dann die Rechnung:

4 * 4 16 1
h = ------- = ---- = --- = 1 (9)
4 * 4 16 1

jetzt sind wir aber noch nicht fertig, einen haben wir noch:

g * 1 g
h = -------- = h = --- = g (10)
1 * 1 1

also Ergebnis:

h = g (11)

wir haben ja oben schon behandelt, das g die erste Ableitung
der Funktion f_2 ist.
Also könnten wir auch hinschreiben:

h = 4 (12)

jetzt wo wir h haben könnte man weiter machen, laut Vorlage:

h -> h * (F_1 x F_n)

dann würde daraus dann:

4 * 4 * 4 = 4^3 | oder
= 16 * 4 | oder
= 64 (13)

man hätte hier also eine Skalierung um Faktor 3 auf einen
Graphen bezogen.

jetzt willst Du aber auch noch dieses Toppen mit:

h * (z_1, ..., z_n) = g * (f_1 * (z_1), ... f_n * (z_n))

fassen wir hier erst einmal wieder zusammen:

f_1 wie unter (1) gleich := 4
f_n -> f_2 wie unter (2) gleich := 4

h := 4
g := 4

jetzt haben wir nun z_1 und z_n :

für z_1 setze ich einfach mal 2,
und z_2 erhält einfach mal 2

dann würde dann aus der Formel:

h4 * (2 * 4) = g4 * ((4 * 2) * (4 * 2))
h4 * 8 = ( 8 * 8 )
h32 = g64

um jetzt noch die Nullstelle zu berechnen, werden links
und rechts 32 Einheiten dividiert Also:

h * 32 = g * 64 | : 32
h = 2g

Lösungsmenge hier sind 2g.

So, nun kannst Dir ja mal was einfallen lassen...
Bin gespannt.

Gruß, Jens
IV
2020-10-20 16:00:46 UTC
Permalink
Am Montag, 19. Oktober 2020 21:58:24 UTC+2 schrieb Jens Kallup:
Hallo Jens,

Du hast Dir wie immer wieder sehr viel Mühe gemacht.

Muss ich in der Definition "Multikomposition" noch angeben, dass f_1,...,f_n Funktionen sind? Sind hier alle dieser Meinung?
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