Discussion:
Geschlossener Polygonzug im Kreis
(zu alt für eine Antwort)
Alfred Flaßhaar
2020-06-17 15:10:48 UTC
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Hallo,

beim "Gassi"-Gehen mit Hund sinniert man ja so vor sich her und ich kam
auf folgende Frage:

Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M, Durchmesser d=1 und einer Sehne
s<d. Beginnend in einem Sehnenendpunkt werden weitere Sehnen der Länge s
mit gleichem Umlaufsinn um M gezeichnet. Für welche Sehnenlänge wird der
Startpunkt dieser Konstruktion nach endlich vielen Schritten (und
möglicherweise mehrfachen Umrundungen von M) wieder getroffen?

Gruß, Alfred Flaßhaar
h***@gmail.com
2020-06-17 15:18:09 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Hallo,
beim "Gassi"-Gehen mit Hund sinniert man ja so vor sich her und ich kam
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M, Durchmesser d=1 und einer Sehne
s<d. Beginnend in einem Sehnenendpunkt werden weitere Sehnen der Länge s
mit gleichem Umlaufsinn um M gezeichnet. Für welche Sehnenlänge wird der
Startpunkt dieser Konstruktion nach endlich vielen Schritten (und
möglicherweise mehrfachen Umrundungen von M) wieder getroffen?
Das läuft offensichtlich darauf hinaus, von der Länge einer Seite (oder einer Diagonale) ein regelmässiges n-gon zu konstruieren. Das gelingt, falls n=FP(i)*2^k, wobei FP(i) eine Fermatprimzahl ist, und k eine natürliche Zahl (Gauss–Wantzel).
Alfred Flaßhaar
2020-06-22 18:16:43 UTC
Permalink
(...)
Post by h***@gmail.com
Post by Alfred Flaßhaar
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M, Durchmesser d=1 und einer Sehne
s<d. Beginnend in einem Sehnenendpunkt werden weitere Sehnen der Länge s
mit gleichem Umlaufsinn um M gezeichnet. Für welche Sehnenlänge wird der
Startpunkt dieser Konstruktion nach endlich vielen Schritten (und
möglicherweise mehrfachen Umrundungen von M) wieder getroffen?
Das läuft offensichtlich darauf hinaus, von der Länge einer Seite (oder einer Diagonale) ein regelmässiges n-gon zu konstruieren. Das gelingt, falls n=FP(i)*2^k, wobei FP(i) eine Fermatprimzahl ist, und k eine natürliche Zahl (Gauss–Wantzel).
Das ist natürlich altbekannt. Ich hatte vielmehr vor, eine
schülergerechte Aufgabe zu basteln, ohne die berühmten Gedankengänge z.
B. von C.F.Gauß als bekannt vorauszusetzen. Fragen wären dann: Kommt ein
Schüler darauf, den Polygonzug als Kette mit gelenkig gekoppelten
kongruenten Gliedern zu entwirren und diesen geschlossenen Polygonzug
nach dem Spreizen mit seinen Ecken auf einem umschreibenden Kreis
anzuordnen. Daran könnten einfache geometrische Berechnungen am
regelmäßigen Polygon angeschlossen werden.
Rainer Rosenthal
2020-06-23 10:57:41 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Das ist natürlich altbekannt. Ich hatte vielmehr vor, eine
schülergerechte Aufgabe zu basteln, ...
Das ist ein guter Moment, eine Geometrieaufgabe zu zeigen, an der ich
gerade knoble, die aber ganz sicher keine elementargeometrische Lösung
zulässt.

Es beginnt ganz harmlos mit einem gleichseitigen Dreieck ABC:

#
# C-------------B
# \ /
# \ /
# \ /
# \ /
# \ /
# \ /
# A
#
# _______________________________________________________________
# Figur-1 Gleichseitiges Dreieck ABC (Seitenlänge d)
#

Dann haben wir noch zwei Quadrate mit Seitenlänge q, die mit dem Dreieck
jeweils eine Eck gemeinsam haben:

#
# +-----E D-----+
# | | | |
# | | | |
# +-----C B-----+
#
# _______________________________________________________________
# Figur-2 Zwei Quadrate an den Ecken B und C des Dreiecks
#

#
# +-----E D-----+
# | | | |
# | | | |
# +-----C-------------B-----+
# \ / q
# \ /
# \ /
# \ / s
# \ /
# \ /
# A
#
# _______________________________________________________________
# Figur-3 Gleichseitiges Dreieck ABC (Seitenlänge d)
#

Die Quadrate sollen so um B bzw. C gedreht werden, dass die
Strecke DE eine Länge h hat, h < BC.
In dem von mir betrachteten Anwendungsfall wird D nach links und E nach
rechts gedreht, bis der Abstand h erreicht ist. Stellt man sich die
Punkte als starr verbundene Gelenke vor, bilden sie ein Gelenkviereck.

#
# h
# , D
# E '
# q ' q
# '
# ' '
# C - - - - - - - - - - B
# d
# _______________________________________________________________
# Figur-4 Das "Gelenkviereck" CBDE mit Seiten d-q-h-q
#

Nun kommt die Aufgabe: Finde eine Position dieser Konstruktion, so dass
der umhüllende Kreis kleinstmöglich ist.

In meinem Fall ist übrigens h = q = 1 und d etwa 1,93.

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Rainer Rosenthal
2020-06-23 12:23:22 UTC
Permalink
#
#           +-----E             D-----+
#           |     |             |     |
#           |     |             |     |
#           +-----C-------------B-----+
#                  \           /   q
#                   \         /
#                    \       /
#                     \     / s
#                      \   /
#                       \ /
#                        A
#
# _______________________________________________________________
#     Figur-3 Gleichseitiges Dreieck ABC (Seitenlänge d)
#
Nun kommt die Aufgabe: Finde eine Position dieser Konstruktion, so dass
der umhüllende Kreis kleinstmöglich ist.
Zu umhüllen ist nicht nur das Gelenkviereck CBDE, sondern auch Punkt A
soll im bzw. auf dem Kreis liegen. Sorry, das klang vorher missverständlich.

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Jens Kallup
2020-06-23 17:15:18 UTC
Permalink
Am 23.06.20 um 14:23 schrieb Rainer Rosenthal:

Hallo Rainer,

ich habe das jetzt nicht explizit ausgerechnet, und bin
mehr oder weniger mit ein wenig Logik vorgegangen.
Da in der Geometry ja eigentlich nur:

- Blatt Pappier,
- Lienal, und
- Zirkel

erlaubt sind, habe ich versucht das ganze erstmal
grafisch darzustellen.
Leider sind die Metriken nicht 100 prozentig genau; aber
ich Denke man kann das noch hübscher machen:

http://www.kallup.net/news/newspic1.pdf

Mit freundlichen Grüßen

Jens
Alfred Flaßhaar
2020-06-25 18:15:36 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
#
#           +-----E             D-----+
#           |     |             |     |
#           |     |             |     |
#           +-----C-------------B-----+
#                  \           /   q
#                   \         /
#                    \       /
#                     \     / s
#                      \   /
#                       \ /
#                        A
#
# _______________________________________________________________
#     Figur-3 Gleichseitiges Dreieck ABC (Seitenlänge d)
#
Nun kommt die Aufgabe: Finde eine Position dieser Konstruktion, so
dass der umhüllende Kreis kleinstmöglich ist.
Zu umhüllen ist nicht nur das Gelenkviereck CBDE, sondern auch Punkt A
soll im bzw. auf dem Kreis liegen. Sorry, das klang vorher
missverständlich.
Das hängt davon ab, wie q, h und d aufeinander abgestimmt sind (im
Prinzip Dreiecksungleichung). Nimmt man B, C als gelenkige Auflager des
ebenen Stabwerks CEDB an, dann ist CEDB eine kinematische Kette aus drei
"Scheiben". Bei Drehung z. B. des Stabes CB um C kann bei geeigneten
Längen für CE, BD und ED das Stabwerk in das Dreieck ABC eingedreht
werden und der gesuchte Kreis ist der Umkreis von ABC. Interessanter ist
der Fall, wenn bei Drehung von CE das Stabwerk CEDB nicht in ABC geführt
werden kann. Hier kann wohl ein Polplan (Hirschfeld, "Baustatik", S. 24)
helfen anzuschauen, wie sich die Bewegungen von E und D verhalten.

Viele Grüße, Alfred
Rainer Rosenthal
2020-06-26 22:13:16 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
#
#           +-----E             D-----+
#           |     |             |     |
#           |     |             |     |
#           +-----C-------------B-----+
#                  \           /   q
#                   \         /
#                    \       /
#                     \     / d <====== nicht s
#                      \   /
#                       \ /
#                        A
#
# _______________________________________________________________
#     Figur-3 Gleichseitiges Dreieck ABC (Seitenlänge d)
#
Das hängt davon ab, wie q, h und d aufeinander abgestimmt sind (im
Prinzip Dreiecksungleichung). Nimmt man B, C als gelenkige Auflager des
ebenen Stabwerks CEDB an, dann ist CEDB eine kinematische Kette aus drei
"Scheiben".
Ich habe das Bild korrigiert, wo fälschlich s statt d stand. Zur
Abstimmung von q, h und d hatte ich dies Bild gezeigt ...
#
# h
# , D
# E '
# q ' q
# '
# ' '
# C - - - - - - - - - - B
# d
# _______________________________________________________________
# Figur-4 Das "Gelenkviereck" CBDE mit Seiten d-q-h-q
#

... und bereits geschrieben:
"In meinem Fall ist übrigens h = q = 1 und d etwa 1,93".
Genauer: d = sqrt(2)*(1+sqrt(3))/2.
Post by Alfred Flaßhaar
Bei Drehung z. B. des Stabes CB um C kann bei geeigneten
Längen für CE, BD und ED das Stabwerk in das Dreieck ABC eingedreht
werden und der gesuchte Kreis ist der Umkreis von ABC. Interessanter ist
der Fall, wenn bei Drehung von CE das Stabwerk CEDB nicht in ABC geführt
werden kann. Hier kann wohl ein Polplan (Hirschfeld, "Baustatik", S. 24)
helfen anzuschauen, wie sich die Bewegungen von E und D verhalten.
Besten Dank, Alfred, wusste ich doch, dass das bekannte Dinge für Dich
sind. Und tatsächlich habe ich den interessanten Fall im Sinn, der in
meinem Anwendungsfall wichtig ist.

Dabei sind "Anwendung" und "wichtig" mit einem Augenzwinkern zu
verstehen. Was so Möchtegern-Mathematiker halt für wichtig halten :-)

Inzwischen habe ich die Aufgabe lösen können, und es hat viel Vergnügen
gemacht. Es ist interessant, sich die Kräfte vorzustellen, die daraus
resultieren, dass an einer bestimmten Stelle ein Zug oder Druck ausgeübt
wird. Darüber gibt dann sicher solch ein "Polplan" Auskunft. Schönes
Thema, wirklich.

Ich hatte mal im Fernsehen, ich glaube bei "TerraX" einen
hochinteressanten Beitrag über die Bauweise chinesischer Tempel gesehen,
die trotz immer wieder auftretender schwerer Erdbeben 500 Jahre und mehr
überstanden haben. Soweit ich mich erinnere, waren zwei wesentliche
Faktoren:
1. das gigantisch schwere Dach
2. die frei gelagerten Dachstützen
Bei einem Erdbeben "tanzt" dies tonnenschwere Gebilde, und Nachbauten im
Modell konnten Erschütterungen aushalten, die jedes echte Erdbeben um
Größenordnungen übertreffen. Spannend!

Lieben Gruß,
Rainer
Alfred Flaßhaar
2020-06-27 13:15:50 UTC
Permalink
Post by Rainer Rosenthal
(...)
gemacht. Es ist interessant, sich die Kräfte vorzustellen, die daraus
resultieren, dass an einer bestimmten Stelle ein Zug oder Druck ausgeübt
wird. Darüber gibt dann sicher solch ein "Polplan" Auskunft. Schönes
Thema, wirklich.
Und das ist eines der vielen zeichnerischen Verfahren, mit deren Hilfe
Tragwerksplaner/Statiker aus der Generation unserer Großväter und noch
früher Beanspruchungen für Tragwerke ermittelt haben, die heute noch
stehen (Brücken, Kuppeln,...) . Berühmte Verfasser von
Lehrbuchklassikern auf diesem Gebiet sind u. a. Müller-Breslau und
Martin Grüning. Irgendwie finde ich es traurig, daß heutzutage diese
Verfahren bei Berücksichtigung der aktuellen Möglichkeiten am Rechner
CAD zu betreiben, weitgehend in Vergessenheit geraten sind und für
Standsicheheitsnachweise immer gleich die numerische FEM-Keule
hervorgeholt wird.

Bemerkenswert zum Polplan ist, daß mitunter beim Zeichnen ein gewisser
Schnittpunkt aus den Lagebeziehungen für Haupt- und Nepenpole nicht
erzeugbar ist. Das ist eine Situation so ähnlich wie der gefährliche
Kreis in der Vermessungskunde (Vorwärtseinschnitt auf drei Punkte). Ein
sog. Korrekturverfahren hilft dem Polplan dann weiter und das ist der
Hit: Der Satz von Desargue steckt dahinter. Das steht natürlich nicht in
den Statiklehrbüchern und ich hatte auch eine Weile dazu gerätselt.
Post by Rainer Rosenthal
Ich hatte mal im Fernsehen, ich glaube bei "TerraX" einen
hochinteressanten Beitrag über die Bauweise chinesischer Tempel gesehen,
die trotz immer wieder auftretender schwerer Erdbeben 500 Jahre und mehr
überstanden haben. Soweit ich mich erinnere, waren zwei wesentliche
1. das gigantisch schwere Dach
2. die frei gelagerten Dachstützen
Bei einem Erdbeben "tanzt" dies tonnenschwere Gebilde, und Nachbauten im
Modell konnten Erschütterungen aushalten, die jedes echte Erdbeben um
Größenordnungen übertreffen. Spannend!
Ja, das ist die Anwendung sog. Tilger, hier in Altkonstruktionen
sicherlich aus Erfahrungsgründen strukturiert. Baukonstruktionen, die
planmäßige Tilgerkonstruktionen enthalten, lassen die Erregerenergie
sich dort in der Konstruktion austoben, wo möglichst wenig Schaden
entstehen kann. Mitunter wird das heute auch bei Maschinenaufstellung
mit exentrisch rotierenden Wellen ausgeführt. Z. B. manche
Generatoren/Turbinen in Kraftwerken hätten in der An-/Auslaufphase
Probleme, Durchlaufresonanzen zu verkraften.

Wie Du siehst, hast Du mit Deiner Aufgabe die Tür zu einer sehr
interessanten Welt in Theorie und Praxis aufgestoßen. Und Erinnerungen
werden wach, dafür Dank.

Herzliche Grüße, Alfred
Rainer Rosenthal
2020-06-27 13:51:25 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
Wie Du siehst, hast Du mit Deiner Aufgabe die Tür zu einer sehr
interessanten Welt in Theorie und Praxis aufgestoßen. Und Erinnerungen
werden wach, dafür Dank.
Gerne, ich habe zu danken.
Du hast interessante Verbindungen zur Praxis genannt.
Im Lauf meiner Untersuchungen bin ich auf etwas theoretisch
Interessantes gestoßen, womit ich diesen Polygonzug-Thread aber nicht
noch weiter verbeulen will. Ich schreibe dazu was Neues im Thread
"Minimumsuche mit ABCD-Methode".
Ich treffe damit wahrscheinlich Deinen Geschmack, weil ich lieber tüftle
als eine CAS-Keule zu schwingen.

Gruß,
Rainer

Jens Kallup
2020-06-17 15:23:43 UTC
Permalink
hatt sicherlich was mit der Nachricht von Heute morgen zu tun:
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht

möglicherweise kennt da mehr Informationen.

Jens
h***@gmail.com
2020-06-17 16:48:52 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht
Meinst du dieses hier:

https://www.popularmechanics.com/science/a32502357/inmate-math-discovery-prison-continued-fractions/
Alfred Flaßhaar
2020-06-17 16:53:29 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Post by Jens Kallup
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht
https://www.popularmechanics.com/science/a32502357/inmate-math-discovery-prison-continued-fractions/
Das kannte ich nicht.
Jens Kallup
2020-06-17 17:28:58 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
https://www.popularmechanics.com/science/a32502357/inmate-math-discovery-prison-continued-fractions/
ja, genau!

Das lustige ist auch der Artikel, der im Link weiter unten Stand...

8 / 2(2+2)
WTF

Also wenn ich meinen Verstand ein wenig benutze, dann kann ich das
auch ohne Computer ausrechnen:

1. Klammern immer zuerst, von innen nach außen auflösen:
(2 + 2) = 4

2. Bruchrechnung = hörere Priotät: 8 / 2 = 4

3. erstens und zweitens multiplizieren: 4 * 4 = 16

Ich mein, auf den ersten Blick ist das schon ein wenig tricky.
Aber eigentlich ganz normale Rechnung.

Eigentlich heißt es ja: Punktrechnung vor Strichrechnung.
Wodurch der Laie wohl irretiert wird bzw. werden kann.

Aber warum ist das so, hat sich das schon mal einer genauer gefragt?
Also:
Die Bruchrechnung im klassischen Stil (ohne Computer) kommt ja mit
1 Punkt - Strich - 1 Punkt daher. (folgend, neben der acht)

Die folgende 2 kommt ja auch mit 1 Punkt Zeichen daher.
Was die Mathematiker ja gerne weglassen.

Der "Punkt" hier bei ist aber:
1 Punkt und 1 Punkt (jetzt additive gesehen) ergeben 2 Punkt.

Da nun 2 Punkt einen höheren Wertstellung hat als 1 Punkt,
wird/muss die Rechnung von beiden Seiten betrachtet werden.

Vielleicht ein einfacher und kleiner Psychotest, um Stereotypen
zu testen.

Jens
Ralf Bader
2020-06-17 18:06:30 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Post by Jens Kallup
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht
https://www.popularmechanics.com/science/a32502357/inmate-math-discovery-prison-continued-fractions/
Warum auch nicht? Es gab ja auch den Fall
https://de.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Bloch_(Mathematiker)
und auch andere saßen gelegentlich mal im Knast, etwa hier:
https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=153
Ganzhinterseher
2020-06-17 19:00:14 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht
Ist doch naheliegend, dass ein Kettensträfling die Ketten brechen möchte und einen Kettenbruch macht.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-06-17 19:56:23 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Jens Kallup
Da hat in den USA ein Häftling irgendein Kettenbruch berechnet
was und wie und weshalb das nun so ist, weiss ich erstmal nicht
Ist doch naheliegend, dass ein Kettensträfling die Ketten brechen möchte und einen Kettenbruch macht.
(facepalm) Humor können Sie also genauso wenig wie Mathematik.
Juergen Ilse
2020-06-18 00:25:54 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Alfred Flaßhaar
beim "Gassi"-Gehen mit Hund sinniert man ja so vor sich her und ich kam
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M, Durchmesser d=1 und einer Sehne
s<d. Beginnend in einem Sehnenendpunkt werden weitere Sehnen der Länge s
mit gleichem Umlaufsinn um M gezeichnet. Für welche Sehnenlänge wird der
Startpunkt dieser Konstruktion nach endlich vielen Schritten (und
möglicherweise mehrfachen Umrundungen von M) wieder getroffen?
Das ist dann der Fall, wenn es eine ganze Zahl n gibt, so dass der n-fache
Zentriwinkel ueber der Sehne 2*PI (bzw. 360 Grad) ergibt. Die Laenge der
Sehne ueber einem Zentriwinkel mit der Groesse Alpha iin einem Kreis mit
Radius R waere (geometrische Definition des Sinus) 2*R*sin(alpha/2).
Beantworten diese Ueberlegungen deine Frage?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Juergen Ilse
2020-06-18 00:33:01 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Juergen Ilse
Post by Alfred Flaßhaar
beim "Gassi"-Gehen mit Hund sinniert man ja so vor sich her und ich kam
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M, Durchmesser d=1 und einer Sehne
s<d. Beginnend in einem Sehnenendpunkt werden weitere Sehnen der Länge s
mit gleichem Umlaufsinn um M gezeichnet. Für welche Sehnenlänge wird der
Startpunkt dieser Konstruktion nach endlich vielen Schritten (und
möglicherweise mehrfachen Umrundungen von M) wieder getroffen?
Das ist dann der Fall, wenn es eine ganze Zahl n gibt, so dass der n-fache
Zentriwinkel ueber der Sehne 2*PI (bzw. 360 Grad) ergibt. Die Laenge der
Sehne ueber einem Zentriwinkel mit der Groesse Alpha iin einem Kreis mit
Radius R waere (geometrische Definition des Sinus) 2*R*sin(alpha/2).
Beantworten diese Ueberlegungen deine Frage?
OOPS! Jetzt habe ich nur die Faelle betrachtet, bei denen bei einem
"einfachen Umlauf" wieder der Anfangspunkt erreich wird. Allgemein
kaeme man bei Zentriwinkeln, die "rationale vielfache von 2*PI bze.
360 Grad" sind, wieder genau auf den Anfangspunkt. Diie Sehnenlaenge
liesse sich wiederum aus dem Zentriwinkel bestimmen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Jens Kallup
2020-06-18 16:53:34 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
OOPS! Jetzt habe ich nur die Faelle betrachtet, bei denen bei einem
"einfachen Umlauf" wieder der Anfangspunkt erreich wird. Allgemein
kaeme man bei Zentriwinkeln, die "rationale vielfache von 2*PI bze.
360 Grad" sind, wieder genau auf den Anfangspunkt. Diie Sehnenlaenge
liesse sich wiederum aus dem Zentriwinkel bestimmen.
Hallo,

das Problem ist nur noch die "Zeit".
Einen Kreis kann man als Mensch ja nicht in 1nanosekunden zeichnen.
Dann würde aus dem Anfang Omega, und dann aleph_0, ...
Also sowas wie eine Wendeltreppe.

Ich weiss, eigentlich gibt es keine Zeit, wohl aber einen Raum.

Die weitere Frage ist nur:
gehen wir die Treppe rauf oder runter?

Es gibt ja für Normalbürger zwei oo
1x negative oo, und
1x positive oo.

Ich hatte glaube schon mal einen Post hinterlassen, in dem ich
schrieb, dass es 8 verschieden oo gibt, wobei die achte oo für
die Forscher noch Rätsel aufgibt.

Jens
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