Discussion:
Algorithmus für Anullator?
(zu alt für eine Antwort)
J?rgen Will
2004-08-22 19:20:47 UTC
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Hallo,

wie läßt sich der Annullator einer Menge von Vektoren ermitteln?
Gibt es einen entsprechenden Algorithmus, der in Software umgesetzt werden kann?
Danke!
Carsten König
2004-08-23 09:03:01 UTC
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Hallo,

Was genau meist Du mit "Annullator einer Menge von Vektoren"?
Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln, da ist er
die Menge aller Elemente des Ringes, deren Rechts(bzw. Links)
multiplikation alle Elemente des Moduls auf Null abbildet.
Natürlich ist das bei Vektorräumen trivialerweise nur das
Nullelement des Körpers, also kannst Du das nicht meinen.
Post by J?rgen Will
Hallo,
wie läßt sich der Annullator einer Menge von Vektoren ermitteln?
Gibt es einen entsprechenden Algorithmus, der in Software umgesetzt werden kann?
Danke!
Carsten König
2004-08-23 09:04:14 UTC
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Sorry für den dummen Rechtschreibfehler,
es muß natürlich "Anullator" nicht "Annullator"
heißen.
Post by J?rgen Will
Hallo,
Was genau meist Du mit "Annullator einer Menge von Vektoren"?
Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln, da ist er
die Menge aller Elemente des Ringes, deren Rechts(bzw. Links)
multiplikation alle Elemente des Moduls auf Null abbildet.
Natürlich ist das bei Vektorräumen trivialerweise nur das
Nullelement des Körpers, also kannst Du das nicht meinen.
Post by J?rgen Will
Hallo,
wie läßt sich der Annullator einer Menge von Vektoren ermitteln?
Gibt es einen entsprechenden Algorithmus, der in Software umgesetzt
werden kann?
Post by J?rgen Will
Danke!
J?rgen Will
2004-08-23 16:53:11 UTC
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Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln
Ja, das ist es wohl. Bin kein Mathematiker, und meine Literatur geht
in Algebra nicht so weit. Im Internet hatte ich lediglich eine
Definition des Annullators einer "Menge von Vektoren" gefunden. Es
dürfte aber dasselbe gemeint sein.

R^n sei ein Modul.
Die Definition des Annullators eines Elements verwendet, wie Du schon
andeutest, das innere Produkt:
Ann[R](f) = {g|g € R^w, Summe(f[i]*g[i],i=1..|f|)=0}; f,g:
Tupel.

Nach welchem Algorithmus also wird der Annullator bei gegebenem f
ermittelt?
Beispiele:
Ann([4,-1,0]) = {[1,4,0],[0,0,1]}
Ann[K]([1,-1,0])= {[1,1,0][0,0,1]}
Ann[K]([0])=([1],[0])

Es ist schon mal interessant, zu hören, daß der Annullator eine Menge
von Vektoren ist.

Ich habe mich jetzt so beholfen, daß ich das Gleichungssystem aus der
obigen Definition löse, und alle übrigbleibenden Variablen einmal 0
und einmal 1 setze. Von der so erhaltenen Menge von Vektoren bilde ich
die Basis. Kann man das so machen? Gibt es bessere Algorithmen? Ich
möchte es programmieren, z. B. in Maple.

Danke!
Thomas Mautsch
2004-08-27 15:57:26 UTC
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Post by J?rgen Will
Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln
Ja, das ist es wohl. Bin kein Mathematiker, und meine Literatur geht
in Algebra nicht so weit. Im Internet hatte ich lediglich eine
Definition des Annullators einer "Menge von Vektoren" gefunden. Es
dürfte aber dasselbe gemeint sein.
Vergiss das mit den Moduln,
wenn du damit nicht klar kommst.
Ich glaube auch gar nicht, dass die beide Sachen dasselbe sind.

Was Du willst, ist das,
was man manchmal auch als Komplementaer- oder Orthogonalraum
eines Unterraums
eines Vektorraums bezueglich eines Skalarproduktes bezeichnet

Der Unterraum ist in Deinem Fall
der von Deinem gegebenen Vektor aufgespannte (Unter-)Vektorraum
des R^n.
Das Skalarprodukt ist das Standardskalarprodukt auf R^n.
Post by J?rgen Will
Die Definition des Annullators eines Elements verwendet, wie Du schon
Tupel.
Genau.
Post by J?rgen Will
Nach welchem Algorithmus also wird der Annullator bei gegebenem f
ermittelt?
Wenn f ein einzelner Vektor ist, machst Du es so,
wie Du das unten schreibst.
Wenn man mehrere Vektoren zusammen gegeben hat,
nimmt man den Gaussschen Algorithmus oder Aehnliches.
Post by J?rgen Will
Ann([4,-1,0]) = {[1,4,0],[0,0,1]}
Ann[K]([1,-1,0])= {[1,1,0][0,0,1]}
Ann[K]([0])=([1],[0])
Es ist schon mal interessant, zu hören, daß der Annullator eine Menge
von Vektoren ist.
Es ist schon mal *falsch*, wenn man das hoert.
Der Annulator von [4,-1,0]
sollte der von den beiden Vektoren [1,4,0] und [0,0,1]
im R^3 *aufgespannte* zweidimensionale Unterraum sein.
Die Summe von beiden, [1,4,1], liegt z.B. auch im Annulator.
(Ueberpruefe mit der Definition von oben!)

Analog fuer Ann([1,-1,0]).

Dass Ann([0]) von [0] und [1] aufgespannt wird,
ist zwar richtig,
aber die [0] koennte man auch weglassen, da sie ein Vielfaches von [1] ist.
Post by J?rgen Will
Ich habe mich jetzt so beholfen, daß ich das Gleichungssystem aus der
obigen Definition löse, und
alle übrigbleibenden Variablen einmal 0 und einmal 1 setze.
Das sind zu viele.
Es reicht, fuer jede der freien ("übrigbleibenden") Variablen
jeweils diese Variable auf 1 zu setzen
und die anderen freien Variablen alle auf 0.
Das gibt weniger Vektoren (genau (n-1), falls der Vektor nicht Null ist).
Post by J?rgen Will
Von der so erhaltenen Menge von Vektoren bilde ich
die Basis.
Das kannst Du Dir *dann* sparen.
Post by J?rgen Will
Kann man das so machen? Gibt es bessere Algorithmen? Ich
möchte es programmieren, z. B. in Maple.
Sieht o.K. aus.

In Maple brauchst Du das aber nicht zu programmieren,
Maple kann das:

with(LinearAlgebra):
v:= Matrix([[4,-1,0]]);
NullSpace(v);
J?rgen Will
2004-08-29 14:24:17 UTC
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Thomas Mautsch <***@math.ethz.ch> wrote in message news:<***@pisano.math.ethz.ch>...
Alles klar. Vielen Dank! Es hat mit sehr geholfen. Algebra kann doch
die Arbeit enorm erleichtern, und das nicht nur in der Mathematik.
Marc Olschok
2004-08-23 14:31:29 UTC
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Post by J?rgen Will
Hallo,
Was genau meist Du mit "Annullator einer Menge von Vektoren"?
Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln, da ist er
die Menge aller Elemente des Ringes, deren Rechts(bzw. Links)
multiplikation alle Elemente des Moduls auf Null abbildet.
Natürlich ist das bei Vektorräumen trivialerweise nur das
Nullelement des Körpers, also kannst Du das nicht meinen.
Vielleicht meint er ja die Situation eines k-Vektorraum zusammen mit
einer festen linearen Abbildung, den man dann als k[X]-Modul auffasst.

Marc
Thomas Nordhaus
2004-08-23 16:19:56 UTC
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Post by Marc Olschok
Post by J?rgen Will
Hallo,
Was genau meist Du mit "Annullator einer Menge von Vektoren"?
Ich kenne nur den Annullator in Zusammenhang mit Moduln, da ist er
die Menge aller Elemente des Ringes, deren Rechts(bzw. Links)
multiplikation alle Elemente des Moduls auf Null abbildet.
Natürlich ist das bei Vektorräumen trivialerweise nur das
Nullelement des Körpers, also kannst Du das nicht meinen.
Vielleicht meint er ja die Situation eines k-Vektorraum zusammen mit
einer festen linearen Abbildung, den man dann als k[X]-Modul auffasst.
Mein Tip: Die Teilmenge des Dualraums, deren Elemente alle Vektoren
auf Null abbilden.

Thomas
Post by Marc Olschok
Marc
J?rgen Will
2004-08-26 17:22:42 UTC
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Post by Thomas Nordhaus
Mein Tip: Die Teilmenge des Dualraums, deren Elemente alle Vektoren
auf Null abbilden.
Hmm. Bin kein Mathematiker. Habe leider keine weitergehende
Algebra-Literatur zur Verfügung. Kenne höchstens Vektor- und
Matrizenrechnung. Wie also kann ein Laie den "Annullator eines
Elementes eines Moduls"? in einem Körper ermitteln? Schön wäre ein
allgemein anwendbarer, klar definierter Algorithmus.
Vielen Dank im voraus!
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