Discussion:
Laienfragen zu logarithmischer Entwicklung und e
(zu alt für eine Antwort)
J J Panury
2018-10-04 08:38:16 UTC
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Ich habe jetzt - natürlich in Wikipedia - nochmal ein bisschen was zu
e gelesen, - die vielerlei Darstellungen und Entwicklungen.

Am intuitivsten ist mir die gute alte Zinseszins-Formel.

K[neu] = K[alt] * (1 + (ZF / n))^n

wobei n die Anzahl der Verzinsungstermine pro Jahr ist.
Zinsfaktor (ZF) ist 1 im Fall 100%, im Fall bspw. 8% wäre er 0,08.

Je größer n, desto näher kommt - für den Fall des ZF=1 -
K[neu] dem Wert K[alt] * e

So weit, so e.

e wird oft im Zusammenhang mit Konzepten wie Zuwachs, Wachstum,
Anwachsen usw. gebracht, und das gängige Beispiel ist eben die
Kapitalverzinsung.
Nun wird aber doch eine Struktur wie eine - idealisierte -
Zinseszinsung allein nicht eine mathematische Fundamentalkonstante
begründen - nehme ich an.

Und dass etwas, wenn etwas hinzu kommt, mehr wird, ist doch trivial -
und stiftet keine e-Funktion.

Natürlich sind mir Fälle bekannt, wo, salopp gesprochen, die Natur
"logarithmisch" ist, aber die menschengemachte Beschreibung und
"Handhabung" linear. Zum Beispiel die Schwingungsfrequenzen, die
bestimmten musikalischen (auditiven) Phänomenen korrespondieren:
Oktavphänomen. Analog auch die "Lautstärke" (Schalldruck) und andere
"Pegelgrößen". Bei allen diesen spielt aber - ich mag mich irren -
doch mehr der dyadische Logarithmus eine Rolle, weniger der
natürliche.
Mir ist die Umrechnung beliebiger Logarithmen in den ln bekannt.
Aber was bedeutet das?

Kurzum: Worauf gründet die Prominenz von e?
Christian Gollwitzer
2018-10-04 13:03:13 UTC
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Post by J J Panury
Ich habe jetzt - natürlich in Wikipedia - nochmal ein bisschen was zu
e gelesen, - die vielerlei Darstellungen und Entwicklungen.
Mir ist die Umrechnung beliebiger Logarithmen in den ln bekannt.
Aber was bedeutet das?
Kurzum: Worauf gründet die Prominenz von e?
Nun, es gibt eine Reihe einfacher Fälle in denen e^x oder ln x
auftauchen. Z.B. ist A*exp(x) die Lösung der Differentialgleichung

dx/dt = x

also eine Funktion, deren Anstieg so schnell ist wie der Funktionswert.
ln(x) ist auch das Integral von x^(-1) - alle anderen Potenzen lassen
sich durch die simple Formel int(x^a) = 1/(a+1) x^(a+1) integrieren,
auch für krumme a, bei a=-1 jedoch ergibt sich eine Funktion aus einer
ganz anderen Klasse - letztlich führt das auf die DGL oben. Hier ergibt
sich der Logarithmus ganz natürlich, und daher heißt er auch der
natürliche Logarithmus.

Christian
J J Panury
2018-10-04 14:16:11 UTC
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Post by Christian Gollwitzer
Post by J J Panury
Ich habe jetzt - natürlich in Wikipedia - nochmal ein bisschen was zu
e gelesen, - die vielerlei Darstellungen und Entwicklungen.
Mir ist die Umrechnung beliebiger Logarithmen in den ln bekannt.
Aber was bedeutet das?
Kurzum: Worauf gründet die Prominenz von e?
Nun, es gibt eine Reihe einfacher Fälle in denen e^x oder ln x
auftauchen. Z.B. ist A*exp(x) die Lösung der Differentialgleichung
dx/dt = x
also eine Funktion, deren Anstieg so schnell ist wie der Funktionswert.
ln(x) ist auch das Integral von x^(-1) - alle anderen Potenzen lassen
sich durch die simple Formel int(x^a) = 1/(a+1) x^(a+1) integrieren,
auch für krumme a, bei a=-1 jedoch ergibt sich eine Funktion aus einer
ganz anderen Klasse - letztlich führt das auf die DGL oben. Hier ergibt
sich der Logarithmus ganz natürlich, und daher heißt er auch der
natürliche Logarithmus.
Gibt es etwas "in der Realität", in der "Natur" meinetwegen, das durch
das Obige sozusagen dargestellt wird; oder erklärt?

Mir kommt da immer die "Expansion des Universums" in den Sinn, wo
unabhängig vom Ort die Expansions*rate* stets gleich ist.
Wobei das eigentlich ein Pleonasmus - und trivial - ist: Expansion
*ist* genau das, und diese Formulierung sagt soviel, wie, dass
Expansion eine Eigenschaft von Expansion sei.
Aber lassen wir diese Universumsexpansion mal aus dem Spiel.
Welche Phänomene "genügen" einer e-Funktion bzw. stellen e dar?
Christian Gollwitzer
2018-10-05 20:35:29 UTC
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Post by J J Panury
Post by Christian Gollwitzer
Nun, es gibt eine Reihe einfacher Fälle in denen e^x oder ln x
auftauchen. Z.B. ist A*exp(x) die Lösung der Differentialgleichung
dx/dt = x
also eine Funktion, deren Anstieg so schnell ist wie der Funktionswert.
ln(x) ist auch das Integral von x^(-1) - alle anderen Potenzen lassen
sich durch die simple Formel int(x^a) = 1/(a+1) x^(a+1) integrieren,
auch für krumme a, bei a=-1 jedoch ergibt sich eine Funktion aus einer
ganz anderen Klasse - letztlich führt das auf die DGL oben. Hier ergibt
sich der Logarithmus ganz natürlich, und daher heißt er auch der
natürliche Logarithmus.
Gibt es etwas "in der Realität", in der "Natur" meinetwegen, das durch
das Obige sozusagen dargestellt wird; oder erklärt?
In der Physik gibt es einige Zerfalls- und Wachstumsprozesse, die
allgemein durch eine DGL der Form

dx/dt = k*x

beschrieben werden. Beispiele sind das Auf- oder Entladen eines
Kondensators, der radioaktive Zerfall, das Entstehen von Mustern in
nichtlinearen Systemen (da gilt die DGL nur solange eine kleine Störung
vorliegt), z.B. Oberflächenwellen auf kochendem Wasser. Eine
Exponentialfunktion ist immer der erste Versuch, einen Prozess zu
beschreiben der etwas mit Wachstum/Zerfall zu tun hat.

Jetzt ist es natürlich so, dass sich die Natur nicht groß um die Zahl
"e" schert. Die Wachstumsraten hängen von der o.g. Konstanten k ab, die
sind für jeden Prozess irgendwie festgelegt und selten wird k=1 sein.
Andererseits kann man meist k durch einfache physikalische Messungen
bestimmen, etwa beim Entladen eines Kondensators ist

k=-1/RC,

R= Widerstand und C=Kapazität

-1/k = R*C ist dann die Zeit, in der die Spannung auf 1/e des
Ausgangswertes abgesunken ist. Zwar kann man den Spannungsverlauf mit
jeder anderen Exponentialfunktion beschreiben, jedoch ist bei Benutzung
von "e" die der Zusammenhang der Konstante mit den messbaren Größen am
Einfachsten.

Christian
Martin Vaeth
2018-10-04 17:25:16 UTC
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Post by J J Panury
Am intuitivsten ist mir die gute alte Zinseszins-Formel.
K[neu] = K[alt] * (1 + (ZF / n))^n
Je größer n, desto näher kommt - für den Fall des ZF=1 -
K[neu] dem Wert K[alt] * e
oder allgemeiner K[alt] * e^ZF.
Post by J J Panury
Nun wird aber doch eine Struktur wie eine - idealisierte -
Zinseszinsung allein nicht eine mathematische Fundamentalkonstante
begründen - nehme ich an.
[...]
Post by J J Panury
Kurzum: Worauf gründet die Prominenz von e?
Grenzwerte von (1+x/n)^n tauchen überraschend häufig auf.
Ebenso erhält man e auch bei der Frage, bei welcher Ordinate z>1
die Fläche zwischen dem Graphen der Standardhyperbel (y=1/x),
der x-Achse und den Geraden x=1 und x=z gerade 1 ist.
Vor kurzem hatten wir hier auch ein stochastisches Problem
mit e als Erwartungswert.
Aber solche sporadischen Beispiele alleine wären in der Tat
wenig für eine Normierung.
Mathematisch sehe ich vor allem zwei Gründe, weshalb e
als Normierungskonstante eine gute Wahl ist, aber um sie
zu verstehen, muss man etwas mehr Mathematik voraussetzen:

1. Dynamische Systeme tauchen in Anwendungen allerorten auf.
Sobald man diese systematisch analysiert, kommt man auf lineare
Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten.
Wenn man diese in Normalform hat, kann man die Lösung
auf Lösungen einer einzigen Gleichung f' = cf (mit c nicht 0)
zurückführen.
Die Wahl von c ist hierbei eigentlich willkürlich, aber
es erscheint natürlich, dem Fall c=1 einen speziellen Namen
zu geben und die Lösungen mit Hilfe dieses Spezialfalls zu
schreiben. Damit hat man aber die Exponentialfunktion zur
Basis e als Normierung ausgezeichnet.

2. Komplexe Analyis/analytische Funktionen/Potenzreihen.
Die Eulersche Formel e^{it} = \cos t + i \sin t zeigt:
Genau dann, wenn man \sin und \cos (also \pi bzw. 2\pi) zur
Normalisierung des Bogenmaßes (für einen Halbkreis bzw. Kreis)
verwenden will, hat man automatisch auch für e eine
Normierungsrolle unter den positiven Zahlen festgelegt.
Carlo XYZ
2018-10-04 20:04:23 UTC
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Post by Martin Vaeth
Mathematisch sehe ich vor allem zwei Gründe, weshalb e
als Normierungskonstante eine gute Wahl ist, ...
Witzig ist auch, dass e in gewisser Weise die beste Wahl
als Zahlenbasis ist (d.h., Basis 2 - binär - und Basis 3
- ternär - sind in diesem Sinne gute Approximationen).

<https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_representation#Base_e>

<https://en.wikipedia.org/wiki/Radix_economy>

<https://math.stackexchange.com/questions/446664/what-is-the-most-efficient-numerical-base-system>
Andreas Leitgeb
2018-10-06 10:01:24 UTC
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Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Mathematisch sehe ich vor allem zwei Gründe, weshalb e
als Normierungskonstante eine gute Wahl ist, ...
Witzig ist auch, dass e in gewisser Weise die beste Wahl
als Zahlenbasis ist (d.h., Basis 2 - binär - und Basis 3
- ternär - sind in diesem Sinne gute Approximationen).
<https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_representation#Base_e>
<https://en.wikipedia.org/wiki/Radix_economy>
<https://math.stackexchange.com/questions/446664/what-is-the-most-efficient-numerical-base-system>
Ich kann die Wahl der "Economy"-definition nicht ganz nachvollziehen.

Die Basis wirkt sich doch quadratisch auf den Aufwand aus, da ja
Additions- und Multiplikations*tafeln* eben stets b^2 Einträge haben.

Mit einer alternativen "Economy", die etwa per b^2*log_b(N) definiert
wäre, käme man dann auf irgendwas in der Nähe von 1.65 (nur mal so
freiäugig aus dem Graph bei Google abgelesen).

Stephan Gerlach
2018-10-06 00:12:22 UTC
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Post by J J Panury
e wird oft im Zusammenhang mit Konzepten wie Zuwachs, Wachstum,
Anwachsen usw. gebracht, und das gängige Beispiel ist eben die
Kapitalverzinsung.
Nun wird aber doch eine Struktur wie eine - idealisierte -
Zinseszinsung allein nicht eine mathematische Fundamentalkonstante
begründen - nehme ich an.
Ja. Bei dem Geld-/Zins-Kram geht es einfach nur darum, daß irgendetwas
exponentiell steigt (oder fällt).

Solche Vorgänge gibt's aber nicht nnur bei Geld/Zinsen/Kapital.
Post by J J Panury
Natürlich sind mir Fälle bekannt, wo, salopp gesprochen, die Natur
"logarithmisch" ist, aber die menschengemachte Beschreibung und
"Handhabung" linear. Zum Beispiel die Schwingungsfrequenzen, die
Oktavphänomen. Analog auch die "Lautstärke" (Schalldruck) und andere
"Pegelgrößen". Bei allen diesen spielt aber - ich mag mich irren -
doch mehr der dyadische Logarithmus eine Rolle, weniger der
natürliche.
Ganz naiv gesagt:

Der natürliche Logarithmus ist mathematisch einfacher zu handhaben als
ein Logarithmus zu irgendeiner anderen Basis.
Post by J J Panury
Mir ist die Umrechnung beliebiger Logarithmen in den ln bekannt.
Aber was bedeutet das?
Ein Beispiel, naiv ausgedrückt:

Z.B. daß man eigentlich nur den ln "braucht". Das gilt z.B. auch für
technische Geräte wie Taschenrechner. Die brauchen keinen extra
log_b-Befehl zur Eingabe von z.B. log_2(5); man tippt einfach
ln(5)/ln(2) ein und bekommt das richtige Ergebnis.
Dafür genügt eine ln-Taste.
Post by J J Panury
Kurzum: Worauf gründet die Prominenz von e?
Naiv gesagt:

Die Funktion f(x) = e^x ist mathematisch einfacher zu handhaben als
f(x) = a^x mit irgendeiner anderen Basis a als e.
--
Post by J J Panury
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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