Unterschied zwischen affinem und euklidischem Raum

[timm]

Hallo zusammen,

mir ist der Unterschied zwischen einem affinen Raum und seinem euklidischen
Bruder nicht klar. Ist es einfach der, dass es im euklidischen Raum keine
Punkte, sondern nur Richtungen und Entfernungen gibt?

Danke und Gruß, Timm

[Peter Niessen]

Post by timm
Hallo zusammen,
mir ist der Unterschied zwischen einem affinen Raum und seinem euklidischen
Bruder nicht klar. Ist es einfach der, dass es im euklidischen Raum keine
Punkte, sondern nur Richtungen und Entfernungen gibt?

Ganz stark vereinfacht ohne Axiome:
Wenn du einen euklidischen (Vektor)-Raum hast, dann gehen alle Geraden
durch den Nullpunkt. Damit man den aus der Schule vertrauten Raum erhält
"klebt" man an jeden Punkt dieses Raumes Geraden (genauer einen Raum da
Geraden Räume sind). Jetzt wird also der Raum durch Geraden beschrieben die
durch einen Punkt P vom Nullpunkt verschoben sind. Das ist ja auch eine
übliche Beschreibung der Geraden: Sie geht durch den Punkt P und hat die
Richtung (x,y). So ein Gebilde heisst affiner Raum. Diese Kurzfassung
müsste man natürlich mit Axiomen genauer fassen, da man mit solchen
"affinen Räumen" viel mehr anstellen kann, als nur elementare Geometrie zu
betreiben.

[Joachim Mohr]

Post by timm
Hallo zusammen,
mir ist der Unterschied zwischen einem affinen Raum und seinem euklidischen
Bruder nicht klar. Ist es einfach der, dass es im euklidischen Raum keine
Punkte, sondern nur Richtungen und Entfernungen gibt?

Hallo Peter, Deine Antwort ist zu vereinfachend.
Ich muß es allerdings axiomatisch begründen (was Du ja vermeiden
wolltest). Ist aber gar nicht so kompliziert.

Was ein Vektorraum ist, brauche ich wohl nicht zu sagen
(Eine addidiv geschriebene Gruppe mit einer skalaren Multiplikation
mit folgenden Axiomem ...).

Ein affiner Raum ist eine Menge, die mit einem
Vektorraum folgendermaßen verknüpft ist.

I Je zwei Punkten A und B ist eindeutig ein Vektor v zugeordnet.
Geschrieben v=AB
II Zu jedem Punkt A und jedem Vektor v gibt es einen Punkt B mit v=AB

III AB + BC = AC.


Ein metrischer Vektorraum V ist ein Vektorraum, in dem ein
Skalarprodukt und damit auch eine Norm |v| für v Element V
definiert ist.

Ein metrischer affiner Raum ist ein affiner Raum über einem metrischen
Raum. Der Abstand von zwei Punkten ist dann als |AB| definiert.

Nebenbei bemerkt: Ein metrischer Raum ist eine Menge M mit einer
Abbildung d:MxM -> R mit folgenden Eigenschaften:

d(a,b) = 0 genau für a=b (Idendität)

d(a,b)=d(b,a) (Symmetrie)

d(a,b) + d(b,c) <= d(a,c) (Dreiecksungleichung)

Damit ist ein metrischer affiner Raum auch ein metrischer Raum.

MFG Joachim

P.S. Ich hätte natürlich auch antworten können.

Google doch mal unter dem Stichwort ...

Aber das verhindert ja eben produktive Diskussionen.
Eine kompetente Antwort (das versuche ich zu geben)
ist tausendmal anregender (auch für die, die nur mitlesen.
Und das waren wir ja mal alle).

[Peter Niessen]

Post by Joachim Mohr
Hallo Peter, Deine Antwort ist zu vereinfachend.
Ich muß es allerdings axiomatisch begründen (was Du ja vermeiden
wolltest). Ist aber gar nicht so kompliziert.
Was ein Vektorraum ist, brauche ich wohl nicht zu sagen
(Eine addidiv geschriebene Gruppe mit einer skalaren Multiplikation
mit folgenden Axiomem ...).

[SNIP da bekannt]

Hallo Joachim
Du hast schon recht. Das war arg vereinfachend. Hier hätte ich wohl am
bestem ein x-post und f-up nach news:schule.mathematik setzen sollen. Ich
war mir beim Antworten ja schon sicher das dem Frager überhaupt nicht klar
ist was ein Vektorraum ist, und das muss man eigentlich wissen bevor man
einen euklidschen Vektorraum und dann einen affinen euklidischen Raum
definiert. Die Gruppe Schule ist schlieslich dafür da solche Dinge in
epischer Breite zu erklären. Ausserdem kann dort ein wenig Leben nicht
schaden. Ein schöne Anwendung wäre dann: Wie verhindert man das
zusammenstossen von Flugzeugen?

[Klaus-R. Loeffler]

Joachim Mohr <***@web.de> wrote:

[..]

Post by Joachim Mohr
Ein metrischer Vektorraum V ist ein Vektorraum, in dem ein
Skalarprodukt und damit auch eine Norm |v| für v Element V
definiert ist.
Ein metrischer affiner Raum ist ein affiner Raum über einem metrischen
Raum. Der Abstand von zwei Punkten ist dann als |AB| definiert.
Nebenbei bemerkt: Ein metrischer Raum ist eine Menge M mit einer
d(a,b) = 0 genau für a=b (Idendität)
d(a,b)=d(b,a) (Symmetrie)
d(a,b) + d(b,c) <= d(a,c) (Dreiecksungleichung)

Hallo Joachim,

da der erste deiner oben von mir zitierten Sätze missverstanden werden
könnte, sollte man betonen, dass ein Metrischer Vektorraum nicht
normiert sein muss und in einem Normierten Vektorraum kein (diese Norm
induzierendes) Skalarprodukt erklärt sein muss.

Bei deiner Chrarakterisierung des metrischen Raums durch die
konstituierenden Eigenschaften habe ich zuerst gestutzt, da du
(abweichend von der mir vertrauten Definition) als Werte nicht
ausdrücklich nicht-negative reelle Zahlen gefordert hast, - aber das
folgt natürlich aus den drei genannten Axiomen.

Freundlich grüßt Klaus-R.

[Rolf Albinger]

Post by Klaus-R. Loeffler

Post by Joachim Mohr
d(a,b) = 0 genau für a=b (Idendität)
d(a,b)=d(b,a) (Symmetrie)
d(a,b) + d(b,c) <= d(a,c) (Dreiecksungleichung)

Hallo Joachim,
da der erste deiner oben von mir zitierten Sätze missverstanden werden
könnte, sollte man betonen, dass ein Metrischer Vektorraum nicht
normiert sein muss und in einem Normierten Vektorraum kein (diese Norm
induzierendes) Skalarprodukt erklärt sein muss.
Bei deiner Chrarakterisierung des metrischen Raums durch die
konstituierenden Eigenschaften habe ich zuerst gestutzt, da du
(abweichend von der mir vertrauten Definition) als Werte nicht
ausdrücklich nicht-negative reelle Zahlen gefordert hast, - aber das
folgt natürlich aus den drei genannten Axiomen.

Was ist mit der "Metrik":
d(a,b)= -1 für a/=b
d(a,b)=0 für a=b

Symmetrie gilt; Dreiecksungleichung gilt.
Oder welche Axiome meinst du?

Post by Klaus-R. Loeffler
Freundlich grüßt Klaus-R.

Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Zukünftiges kann man nicht nur nicht
hören, es existiert einfach noch nicht.
(E. Blumschein)

[Klaus-R. Loeffler]

Post by Rolf Albinger

Post by Klaus-R. Loeffler

Post by Joachim Mohr
d(a,b) = 0 genau für a=b (Idendität)
d(a,b)=d(b,a) (Symmetrie)
d(a,b) + d(b,c) <= d(a,c) (Dreiecksungleichung)

Hallo Joachim,
da der erste deiner oben von mir zitierten Sätze missverstanden werden
könnte, sollte man betonen, dass ein Metrischer Vektorraum nicht
normiert sein muss und in einem Normierten Vektorraum kein (diese Norm
induzierendes) Skalarprodukt erklärt sein muss.
Bei deiner Chrarakterisierung des metrischen Raums durch die
konstituierenden Eigenschaften habe ich zuerst gestutzt, da du
(abweichend von der mir vertrauten Definition) als Werte nicht
ausdrücklich nicht-negative reelle Zahlen gefordert hast, - aber das
folgt natürlich aus den drei genannten Axiomen.

d(a,b)= -1 für a/=b
d(a,b)=0 für a=b
Symmetrie gilt; Dreiecksungleichung gilt.
Oder welche Axiome meinst du?

Aus d(a,b) = -1 folgt nach obigen Axiomen (Identität, Symmetrie,
Dreiecksungleichung):
-2 = d(a,b) + d(b,a) >= d(a,a) = 0 mit Widerspruch .

Wobei es oben bei der Dreiecksungleichung natürlich "größergleich"
anstatt "kleinergleich" heißen muss.

Klaus-R.

[Rolf Albinger]

Post by Klaus-R. Loeffler

Post by Rolf Albinger

Post by Klaus-R. Loeffler

Post by Joachim Mohr
d(a,b) = 0 genau für a=b (Idendität)
d(a,b)=d(b,a) (Symmetrie)
d(a,b) + d(b,c) <= d(a,c) (Dreiecksungleichung)

Hallo Joachim,
da der erste deiner oben von mir zitierten Sätze missverstanden werden
könnte, sollte man betonen, dass ein Metrischer Vektorraum nicht
normiert sein muss und in einem Normierten Vektorraum kein (diese Norm
induzierendes) Skalarprodukt erklärt sein muss.
Bei deiner Chrarakterisierung des metrischen Raums durch die
konstituierenden Eigenschaften habe ich zuerst gestutzt, da du
(abweichend von der mir vertrauten Definition) als Werte nicht
ausdrücklich nicht-negative reelle Zahlen gefordert hast, - aber das
folgt natürlich aus den drei genannten Axiomen.

d(a,b)= -1 für a/=b
d(a,b)=0 für a=b
Symmetrie gilt; Dreiecksungleichung gilt.
Oder welche Axiome meinst du?

Aus d(a,b) = -1 folgt nach obigen Axiomen (Identität, Symmetrie,
-2 = d(a,b) + d(b,a) >= d(a,a) = 0 mit Widerspruch .
Wobei es oben bei der Dreiecksungleichung natürlich "größergleich"
anstatt "kleinergleich" heißen muss.

Ja, dann hast du Recht.

Post by Klaus-R. Loeffler
Klaus-R.

Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Zukünftiges kann man nicht nur nicht
hören, es existiert einfach noch nicht.
(E. Blumschein)

[Hendrik van Hees]

Post by Peter Niessen

Post by timm
Hallo zusammen,
mir ist der Unterschied zwischen einem affinen Raum und seinem
euklidischen Bruder nicht klar. Ist es einfach der, dass es im
euklidischen Raum keine Punkte, sondern nur Richtungen und
Entfernungen gibt?

Wenn du einen euklidischen (Vektor)-Raum hast, dann gehen alle Geraden
durch den Nullpunkt.

Das ist aber seltsam. Sei V ein Vektorraum und a und b Vektoren. Dann
ist eine Gerade doch die Menge

G={x \in V|x=a+b t, t \in \R}.

Für a \neq 0 und b nicht kollinear zu a ist x \nin G.

Post by Peter Niessen
Damit man den aus der Schule vertrauten Raum
erhält "klebt" man an jeden Punkt dieses Raumes Geraden (genauer einen
Raum da Geraden Räume sind). Jetzt wird also der Raum durch Geraden
beschrieben die durch einen Punkt P vom Nullpunkt verschoben sind. Das
ist ja auch eine übliche Beschreibung der Geraden: Sie geht durch den
Punkt P und hat die Richtung (x,y). So ein Gebilde heisst affiner
Raum. Diese Kurzfassung müsste man natürlich mit Axiomen genauer
fassen, da man mit solchen "affinen Räumen" viel mehr anstellen kann,
als nur elementare Geometrie zu betreiben.

Ich würde es eher so aufziehen: Gegeben ist ein Punktraum E und ein
Vektorraum V über R. Dann existiere eine Abbildung, die zwei Punkten
A,B \in E einen Vektor v(A,B) zuordnet, derart, daß

(1) v(A,B)=-v(B,A)
(2) v(A,B)+v(B,C)=v(A,C)
(3) Zu jedem A \in E und jedem w \in V existiert genau ein Punkt B, so
daß w=v(A,B)

Das ist dann erst mal ein affiner Raum.

Wenn V euklidisch ist, hat man einen affinen euklidischen Raum usw.

Der physikalische Raum ist näherungsweise ein 3D affiner euklidischer
Punktraum.

Bestimmt habe ich da noch ein paar Axiome vergessen. In meinem
Mechanikskript in der dsp-FAQ (s. Link in der Sig.) ist's genauer
erklärt.

[Joachim Mohr]

Post by Hendrik van Hees
(1) v(A,B)=-v(B,A)

^
v(A,B) = v(B,A)
Wohl ein Schreibfehler?

MFG Joachim

[Hendrik van Hees]

Post by Joachim Mohr

Post by Hendrik van Hees
(1) v(A,B)=-v(B,A)

^
v(A,B) = v(B,A)
Wohl ein Schreibfehler?

Nope. Der "Pfeil" von A nach B ist umgekehrt zum Pfeil von B nach A
gerichtet, daher das Vorzeichen.

[Joachim Mohr]

Post by Hendrik van Hees

Post by Joachim Mohr

Post by Hendrik van Hees
(1) v(A,B)=-v(B,A)

^
v(A,B) = v(B,A)
Wohl ein Schreibfehler?

Nope. Der "Pfeil" von A nach B ist umgekehrt zum Pfeil von B nach A
gerichtet, daher das Vorzeichen.

Klar! Habe es mit dem Abstand verwechselt.
Die Schreibweise v(A,B) für

-->
AB

war mir nicht geläufig.

MFG Joachim Mohr

[Hero]

Post by timm
Hallo zusammen,
mir ist der Unterschied zwischen einem affinen Raum und seinem
euklidischen Bruder nicht klar. Ist es einfach der, dass es im
euklidischen Raum keine Punkte, sondern nur Richtungen und
Entfernungen gibt?

Hängt das nicht mit dem Unterschied von
Orts(pfeil)vektoren zu Pfeilvektoren zusammen?
Dies wäre folgendes:
Alle geometrischen Vektoren sollte man als Pfeilvektoren bezeichnen.
Eine Länge im Raum ist unabhängig vom Ort und der Lage, ein
Pfeilvektor hat zusätzlich eine Raumrichtung kann also nur parallel
verschoben werden (wie beim scrollen). Eine Wurst hat zwei Enden und
ich kann sie beliebig drehen und verschieben, ein Pfeil hat ein
gefiedertes Ende und eine Pfeilspitze. Eine Strecke AB ist gleich zur
Strecke BA, und zu allen anderen Strecken derselben Länge, ein Pfeil
von A nach B ist verschieden von einem Pfeil von B nach A, aber auch
verschieden wenn er in eine andere Richtung gedreht wird.
Auf einem Würfel sind alle Kanten als Strecken gleich lang, jeweils
vier sind parallel und wenn ich von davon vier Endpunkte nehme, die auf
einer Ebene liegen, und sie als gefiedertes Ende ansehe und die anderen
vier Endpunkte als Pfeilspitze, dann habe ich vier gleiche
Pfeilvektoren.

Orts(pfeil)vektoren sind zusätzlich mit dem gefiederten Ende an einen
festen Ursprung, oder Nullpunkt angekettet. Damit sind die Komponenten
des Orts(pfeil)vektors Koordinaten, wie auf einer Landkarte.

Die Differenz zwischen zwei Ortspfeilvektoren ist eine Länge, die auch
eine Richtung hat, genau ein Pfeilvektor. Dies hat man schon auf einer
Geraden.
Der Abstand zwischen dem dritten Haus und dem sechsten Haus von der
Strassenecke aus in einer Stadtviertel mit Einheitsgrundstücken ist
genauso gross, wie der zwischen dem vierten und dem siebten (Strecke)
und dem zwischen dem fünften und achten in einer Querstrasse. Vom
sechsten Haus zum dritten ist nun in Gegenrichtung (und eine ganz
andere Richtung in einer Querstrasse).
Und dann gibt's übrigens noch die Feld(pfeil)vekoren, etwa einem
Fahrrad ist die Geschwindigkeit mit Richtung zugeordnet, das sind
zusammen eigentlich zwei Vektoren, ein Ortspfeilvektor fürs Fahrrad
und ein zugeordneter Pfeilvektor für die Geschwindigkeit.

Na, hat dies einen Bezug zum Thema?
Freundliche Grüsse
Hero