Geschlecht

Post by josef hader
das Geschlecht einer Sphaere ist 0, eines Torus 1, etc. (randlose 2
dim Mannigfaltigkeiten koennen durch die Angabe des Geschlechts
(Eulercharakteristik) klassifiziert werden).
was mir nicht ganz klar ist: kann man berandeten 2 dim Flaechen auch
ein Geschlecht bzw Euler Charakteristik zuordnen, z.b. was ist die
Eulercharakteristik einer Kreisscheibe?

Ja, so etwas geht.

Die Euler-Charakteristik kann man auf verschiedenen Wegen
definieren/berechnen, die anschaulichste Variante ist über Triangulationen:

Man teilt die Fläche in lauter Dreiecke auf (die müssen nicht eben
sein), wobei man "keine bösartigen Sachen machen darf" (d.h. jedes
Dreieck ist wirklich ein echtes Dreieck, kein Eckpunkt liegt mitten auf
einer Kante). Dann ergibt sich die Euler-Charakteristik als:

chi = e - k + f

chi = Euler-Charakteristik
e = Anzahl der Ecken
k = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen.

[Das geht genauso in höheren Dimensionen.]

Für geschlossene [= kompakt + randlos] orientierte Flächen gilt nun:

chi = 2 - 2 * g,

wobei g das Geschlecht ist.

Wenn es dort jetzt zusätzliche Randkomponenten gibt, dann kann man diese
"zukleben", man fügt also für jede Randkomponente eine zusätzliche
Fläche ein. Folglich:

chi = 2 - 2 * g - r,

wobei r die Anzahl der Randkomponenten ist.

Beispiel Kreisscheibe:
Triangulation mit einem Durchmesser und dem Mittelpunkt:
e = 3, k = 4, f = 2. ==> chi = 1.
Keine Henkel ==> g = 0.
Eine Randkomponente ==> r = 1.

Die kompakten orientierten Flächen sind durch g und r vollständig
klassifiziert, d.h. durch Angabe von g und r sind sie topologisch eindeutig.

Für nicht orientierbare Flächen (Möbiusband & Co) geht das übrigens
analog. Die Berechnung der Euler-Charakteristik ist genauso (die ist ja
"universell"), allerdings muß man anstatt des Geschlechts (=Anzahl der
Henkel) die Anzahl h der Kreuzhauben nehmen und erhält dann

chi = 2 - h - r.

Beispiel Möbiusband:
Triangulation macht Spaß und ergibt chi = 0.
Eine Kreuzhaube (da muß man richtig zählen!) ==> h = 1.
Eine Randkomponente ==> r = 1.

Post by josef hader
danke,
josef h.

Gern geschehen. Ich hätte ansonsten auch noch eine Buchempfehlung:

Jean-Pierre Petit: Das Topologikon.

Da wird das ganze in Form eines Comics erklärt. Sehr nett!

Viele Grüße Jan

josef hader

2004-01-28 16:37:51 UTC

Post by Jan Fricke
Wenn es dort jetzt zusätzliche Randkomponenten gibt, dann kann man diese
"zukleben", man fügt also für jede Randkomponente eine zusätzliche
chi = 2 - 2 * g - r,
wobei r die Anzahl der Randkomponenten ist.
e = 3, k = 4, f = 2. ==> chi = 1.
Keine Henkel ==> g = 0.
Eine Randkomponente ==> r = 1.

hmm. es werden hier wohl 2 Dreiecke verwendet, dann hat man e=4, k=5,
f=2, was aber chi unveraendert laesst, oder hab ich da was falsch
verstanden?
leider hab ich das buechlein nicht vorliegen, und muss daher
nachfragen:
was meint man mit Randkomponente? (die Anzahl der Kanten, die am Rand
liegen, ist es wohl nicht?)

die eulercharakteristik einer Kreisscheibe ist 1. die eines (ebenen)
Ringes? und aendert sich die Eulercharakteristik, wenn man einen
ringfoermigen Streifen auf einer Kugelschale betrachtet?

Post by Jan Fricke
Die kompakten orientierten Flächen sind durch g und r vollständig
klassifiziert, d.h. durch Angabe von g und r sind sie topologisch eindeutig.

Wo ich die Zusammenhaenge nicht ganz sehe:
die Eulercharakteristik wird auch ueber die alternierende Summe der
Bettizahlen b_i definiert, b_i ist die dim der i.ten Homologiegruppe.
salopp gesprochen, beschaeftigt sich Homologie mit der
Aequivalenzklasse von Zykeln (randlose Objekte) modulo exakten Formen
(Objekte, die selbst Rand von 'etwas' sind).
inwiefern kann dann ueberhaupt die Eulercharakteristik auch fuer
berandete Gebiete definiert werden? man geht doch ueberhaupt von
randlosen Gebieten aus?

beste Gruesse, josef h.

Jan Fricke

2004-01-29 09:00:14 UTC

hmm. es werden hier wohl 2 Dreiecke verwendet, dann hat man e=4, k=5,
f=2, was aber chi unveraendert laesst, oder hab ich da was falsch
verstanden?

Ich hatte die Aufteilung ein wenig anders, aber (und das ist ein
wichtiger Satz) die Euler-Charakteristik hängt ja nicht von der Art der
Aufteilung ab. Genau genommen muß man auch keine Dreiecke nehmen, man
kann beliebige (durchaus verschiedene) n-Ecke nehmen.

Post by josef hader
leider hab ich das buechlein nicht vorliegen, und muss daher
was meint man mit Randkomponente? (die Anzahl der Kanten, die am Rand
liegen, ist es wohl nicht?)

Der Rand einer kompakten Fläche besteht aus mehreren Kreislinien. Jede
dieser Kreislinien ist eine Randkomponente. Die Anzahl der
Randkomponenten ist also die Anzahl der "Löcher".

Post by josef hader
die eulercharakteristik einer Kreisscheibe ist 1. die eines (ebenen)
Ringes? und aendert sich die Eulercharakteristik, wenn man einen
ringfoermigen Streifen auf einer Kugelschale betrachtet?

Ja. Nein.
Euler-Charakteristik von Kreisscheibe und Kreisring stimmen überein.
Deshalb werden die berandeten Flächen durch die Euler-Charakteristik
allein nicht vollständig klassifiziert. Man muß - wie in meinem Posting
angedeutet - zwei der drei Größen chi, g und r kennen (die dritte läßt
sich dann berechnen), um die Fläche eindeutig zu charakterisieren.

Die Eulercharakteristik ist eine topologische Invariante der Fläche,
d.h. sie ändert sich bei Verzerrungen, Einbettungen u.ä.

Post by Jan Fricke
Die kompakten orientierten Flächen sind durch g und r vollständig
klassifiziert, d.h. durch Angabe von g und r sind sie topologisch eindeutig.

die Eulercharakteristik wird auch ueber die alternierende Summe der
Bettizahlen b_i definiert, b_i ist die dim der i.ten Homologiegruppe.
salopp gesprochen, beschaeftigt sich Homologie mit der
Aequivalenzklasse von Zykeln (randlose Objekte) modulo exakten Formen
(Objekte, die selbst Rand von 'etwas' sind).
inwiefern kann dann ueberhaupt die Eulercharakteristik auch fuer
berandete Gebiete definiert werden? man geht doch ueberhaupt von
randlosen Gebieten aus?

Singuläre Homologie kann man für beliebige CW-Komplexe machen (das ist
grob gesagt alles, was sich triangulieren läßt), also insbesondere auch
für Flächen mit Rand.

deRham-Kohomologie wird a priori nur für geschlossene (d.h. kompakt und
randlos) Mannigfaltigkeiten gemacht. Hier betrachtet man wirklich
Differentialformen, und es ist eines der "kleinen Wunder der
Mathematik", daß diese analytische Euler-Charakteristik mit der obigen
topologischen Euler-Charakteristik übereinstimmt.

Viele Grüße Jan

josef hader

2004-01-29 18:09:29 UTC

Post by josef hader
leider hab ich das buechlein nicht vorliegen, und muss daher
was meint man mit Randkomponente? (die Anzahl der Kanten, die am Rand
liegen, ist es wohl nicht?)

Der Rand einer kompakten Fläche besteht aus mehreren Kreislinien. Jede
dieser Kreislinien ist eine Randkomponente. Die Anzahl der
Randkomponenten ist also die Anzahl der "Löcher".

naja, aber bei einer Kreisscheibe, die kein "Loch" hat, erhaelt man
als Randkomponente eins. (genauer wohl: Randkomponente = Anzahl der
Loecher +1??)

Ja. Nein.
Euler-Charakteristik von Kreisscheibe und Kreisring stimmen überein.

nimmt man aus einer triangulierten Kreisscheibe ein Dreieck heraus, so
hat hat man delta_f=-1, delta_k=0, delta_e=0. chi nimmt demgemaess um
1 ab, der Ring muesste daher so wie der Torus Eulercharakteristik 0
haben.

Post by Jan Fricke
Die Eulercharakteristik ist eine topologische Invariante der Fläche,
d.h. sie ändert sich bei Verzerrungen, Einbettungen u.ä.

hmm. das widerspricht sich, du wolltest ausdruecken: sie aendert sich
NICHT.

folgende Beobachtungen:
berechnet man die Eulercharakteristik ueber das Gauss-Bonnet-Theorem
(2 pi chi= /int Gausssche Kruemmung dA + /int_rand geodaetische
Kruemmung, dann ergibt sich:

fuer eine Halbkugel erhaelt man fuer das Integral der Gausschen
Kruemmung 2 pi, daher ist chi=1 (dasselbe Ergebnis wie fuer die flache
Kreisscheibe); ok.
ich habe versucht, das Gauss-Bonnet-Theorem fuer eine Kugelschicht
anzuwenden (Kreisring auf Kugel gebettet): r sei der Radius der Kugel
und der Radius der auesseren Seite des Kreisrings, a der kleinere
Radius (von der Rotationsachse der Kugel gemessen); fuer die
geodaetische Kruemmung erhalte ich -Sqrt(1-a^2/r^2)/a, das
Linienintegral ergibt dann - 2 pi Sqrt(1-a^2/r^2); die Gausssche
Kruemmung ist 1/r^2, das Integral ueber die Mantelflaeche 2 pi
Sqrt(1-a^2/r^2). in Summe erhalte ich dann fuer den gekruemmten
Kreisring chi=0 (so wie fuer den 'flachen' Ring. soweit sogut; lasse
ich nun a gegen 0 gehen (i.e. den Ring einer Halbkugel naehern), so
bleibt der Wert fuer chi 0 und wird nicht 1, nicht ganz kompatibel mit
obigen Resultat....

Post by Jan Fricke
Die kompakten orientierten Flächen sind durch g und r vollständig
klassifiziert, d.h. durch Angabe von g und r sind sie topologisch eindeutig.

Singuläre Homologie kann man für beliebige CW-Komplexe machen (das ist
grob gesagt alles, was sich triangulieren läßt), also insbesondere auch
für Flächen mit Rand.

hmm. ich bin mit Homologie etc. nur aus der sehr limitierten
Sichtweise eines Physikers vertraut, aber ist es nicht die Kernidee
der Homologie, gerade jene Objekte zu untersuchen, die geschlossen
sind (keinen Rand), modulo Exaktheit????

Post by Jan Fricke
deRham-Kohomologie wird a priori nur für geschlossene (d.h. kompakt und
randlos) Mannigfaltigkeiten gemacht. Hier betrachtet man wirklich
Differentialformen, und es ist eines der "kleinen Wunder der
Mathematik", daß diese analytische Euler-Charakteristik mit der obigen
topologischen Euler-Charakteristik übereinstimmt.

ich nehme an, e,k,f (aus chi=e-k+f) entsprechen den b_1,b_2,b_3
(Bettizahlen), kommt also aus der Topologie. die Euler-Charakteristik
aus der deRham-Kohomologie ist die alternierende Summe der
Homologiegruppendim. ist also genauso eine topolog. Invariante. sind
daher nicht beides topol. Masze? mit dem "Wunder" meinst du eher sowas
wie Singer-Indextheoreme (mit Spezialfall z.b. Gauss-Bonnett).

beste Gruesse, josef h.

Jan Fricke

2004-02-02 11:19:48 UTC

Post by josef hader
leider hab ich das buechlein nicht vorliegen, und muss daher
was meint man mit Randkomponente? (die Anzahl der Kanten, die am Rand
liegen, ist es wohl nicht?)

Der Rand einer kompakten Fläche besteht aus mehreren Kreislinien. Jede
dieser Kreislinien ist eine Randkomponente. Die Anzahl der
Randkomponenten ist also die Anzahl der "Löcher".

naja, aber bei einer Kreisscheibe, die kein "Loch" hat, erhaelt man
als Randkomponente eins. (genauer wohl: Randkomponente = Anzahl der
Loecher +1??)

Ja, genau. Der Rand eines "Loches" ist eine Kreislinie. Dort kann man
eine (offene) Kreisscheibe einkleben, so daß das "Loch" verschwindet und
sich nur die Anzahl der Flächen (und somit die Euler-Charakteristik) um
eins erhöht. Das kann man für jedes "Loch" machen.

Ja. Nein.
Euler-Charakteristik von Kreisscheibe und Kreisring stimmen überein.

Sorry, da hatte ich mich verzählt.