narkive is for sale. (interested) / (dismiss)
Discussion:
Undefinierbare Zahlen?
(zu alt für eine Antwort)
WM
2020-07-30 13:56:16 UTC
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Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen. Ihr Selbstbewusstsein scheint darunter zu leiden. (Bei den reellen Zahlen tritt das allerdings nicht zutage - wohl wegen deren anerkannter Kompliziertheit). Die provozierende Bezeichnung "undefinierbar" kann man aber durch die weniger aufreizende Aussage "natürliche Zahlen, die niemals definiert werden werden" ersetzen. Das sind, wenn die Mengenlehre recht hat, unendlich viele oder ℵo. Ob diese Aussage konsensfähig ist?

Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.

Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.

Gruß, WM
Me
2020-07-30 15:04:23 UTC
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Post by WM
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der
Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden
oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung),
Ja, klar, das hat man durch Beobachtungen der bekannte natürlichen Zahlen herausgefunden. Bislang haben sich alle neu entdeckten natürlichen Zahlen so verhalten, wie von der Theorie vorausgesagt.
Post by WM
kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die
niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
Zumindest kann man das als Arbeitshypothese verwenden. Wenn jemals einmal eine natürliche Zahl entdeckt werden sollte, die diesen "Gesetzen" nicht mehr befolgt, wird man die bisherige Theorie wohl aufgeben (oder zumindest modifizieren) müssen.
Post by WM
Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu
Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.
In der Tat. Ich vermute, dass sich eine solche natürliche Zahl diesem trivialen Verwendungszweck verweigern würde.

Ich hätte da einen Vorschlag: Sollte man diese "niemals definiert werdenden" natürlichen Zahlen, nicht einfach "unnatürliche Zahlen" nennen?

Das hätte den Vorteil, dass DANN die Menge der (wahrhaft) natürlichen Zahlen nur noch solche umfassen würde, die entweder schon definiert wurden, oder irgendwann definiert werden werden. Jedoch gibt es bei diesem Ansatz auch Probleme:

"Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen." (Niels Bohr)

Ansonsten empfehle ich die Lektüre der folgenden Artikels:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitismus
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism
Juergen Ilse
2020-07-30 15:06:28 UTC
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Hallo
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
... weil man (nach den von IHNEN vorgelegten Definitionen fuer "definierbare
Zahlen" mittels vollstaendiger Induktion *beweisen* kann, dass dann *jede*
natuerliche Zahl definierbar ist (es also gar keine "undefinierbaren Zahlen
geben kann, weil man fuer jede bereits nachgewiesen hat, dass sie definierbar
ist).
Post by WM
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der
Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden
oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), kann man davon ausgehen,
dass alle noch zu definierenden und auch die niemals definiert werdenden
natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
OHA! Jetzt kommen "empirische Erkenntnisse" ohne formale Beweise schon als
"mathematische Tatsachen" in's Spiel? Meinen SIE das ernst? Was kommt als
naechstes? Die "unvollstaendige Induktion"? So etwas wie "alle ungeraden
natuerlichen Zahlen groesser 1 sind Primzahlen, Beweis empirisch: 3 prim,
5 prim, 7 prim, 9 Messfehler, 11 prim, 13 prim, reicht!"?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
WM
2020-07-31 12:24:35 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
... weil man (nach den von IHNEN vorgelegten Definitionen fuer "definierbare
Zahlen" mittels vollstaendiger Induktion *beweisen* kann, dass dann *jede*
natuerliche Zahl definierbar ist
Falsch. Man kann beweisen, dass für alle definierbaren Zahlen n gilt

|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

In Worten: Alle definierbaren Zahlen aus |N entfernt lassen immer noch aleph_0 Zahlen übrig. Kannst Du ein Gegenbeispiel definieren, bestimmen oder finden?
Post by Juergen Ilse
Post by WM
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der
Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden
oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), kann man davon ausgehen,
dass alle noch zu definierenden und auch die niemals definiert werdenden
natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
OHA! Jetzt kommen "empirische Erkenntnisse" ohne formale Beweise schon als
"mathematische Tatsachen" in's Spiel? Meinen SIE das ernst?
Für die undefinierbaren Zahlen gibt es keine anderen Beweismethoden.
Post by Juergen Ilse
Was kommt als
naechstes? Die "unvollstaendige Induktion"? So etwas wie "alle ungeraden
natuerlichen Zahlen groesser 1 sind Primzahlen, Beweis empirisch: 3 prim,
5 prim, 7 prim, 9 Messfehler, 11 prim, 13 prim, reicht!"?
Nicht schlecht. Das wäre der physikalische Ansatz. Aber hier wollen wir doch mathematisch argumentieren.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-30 15:51:30 UTC
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Ich glaube nicht dass das gemacht wurde, also validieren
"Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die
üblichen Gesetze der Arithmetik befolgen"

Ein Robinson hätte da viel zu tun. z.B. für n,m=1..10^3
nachprüfen dass n+m = m+n gilt. Da lobe ich mir doch
den ersten Robinson der Variablen und das

Induktionsschema eingeführt hat.
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen. Ihr Selbstbewusstsein scheint darunter zu leiden. (Bei den reellen Zahlen tritt das allerdings nicht zutage - wohl wegen deren anerkannter Kompliziertheit). Die provozierende Bezeichnung "undefinierbar" kann man aber durch die weniger aufreizende Aussage "natürliche Zahlen, die niemals definiert werden werden" ersetzen. Das sind, wenn die Mengenlehre recht hat, unendlich viele oder ℵo. Ob diese Aussage konsensfähig ist?
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-30 15:58:01 UTC
Permalink
Der Schluss von all, forall x e N A(x), auf ein
Mückenheimisches jetzt, forall x e N' A(x), ist
ja viel einfacher. Es gilt ja für N' ⊂ N:

forall x e N A(x) N' ⊂ N
-----------------------------------
forall x e N' A(x)

Also der erste Robinson der Variablen und das
Induktionsschema eingeführt hat, nimmet ja
alle Mückenheimisches jetzt vorweg

mit. Wärend Mückenheimisches jetzt noch
auf das nächste Mückenheimisches jetzt wartet,
hat der erste Robinson, der Juri Gagarin der

natürlichen Zahlen, schon alle durchwandert.
Post by Mostowski Collapse
Ich glaube nicht dass das gemacht wurde, also validieren
"Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die
üblichen Gesetze der Arithmetik befolgen"
Ein Robinson hätte da viel zu tun. z.B. für n,m=1..10^3
nachprüfen dass n+m = m+n gilt. Da lobe ich mir doch
den ersten Robinson der Variablen und das
Induktionsschema eingeführt hat.
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen. Ihr Selbstbewusstsein scheint darunter zu leiden. (Bei den reellen Zahlen tritt das allerdings nicht zutage - wohl wegen deren anerkannter Kompliziertheit). Die provozierende Bezeichnung "undefinierbar" kann man aber durch die weniger aufreizende Aussage "natürliche Zahlen, die niemals definiert werden werden" ersetzen. Das sind, wenn die Mengenlehre recht hat, unendlich viele oder ℵo. Ob diese Aussage konsensfähig ist?
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.
Gruß, WM
Burkart
2020-07-30 16:59:54 UTC
Permalink
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Jens Kallup
2020-07-30 20:06:17 UTC
Permalink
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Hallo Burkart,

das weiss ich auch nicht.
Aber hier ist doch Hopfen und Malz verloren.

Was macht Deine KI ?

Lust an eine SBCL GUI oder an eine ElektroBox?

Jens
Burkart
2020-07-31 16:25:45 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Hallo Burkart,
Hallo Jens,
Post by Jens Kallup
das weiss ich auch nicht.
Aber hier ist doch Hopfen und Malz verloren.
ok.
Post by Jens Kallup
Was macht Deine KI ?
Die liegt weitestgehend auf Eis, seit unsere Hamburger Niederlassung
unserer Firma (einschließlich mir) dicht gemacht wird zu Ende November.
Post by Jens Kallup
Lust an eine SBCL GUI oder an eine ElektroBox?
Ich denke nicht.

Gruß, Burkart
Klaus Pommerening
2020-07-31 05:38:49 UTC
Permalink
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].

Diese wäre definiert als die kleinste undefinierbare natürliche Zahl.
Also wäre sie definiert.

[*] Nennen wir sie nach ihrem Erfinder die Mückenheimsche Zahl.
--
Klaus Pommerening
Es geht nicht anders, lieber Törleß, die Mathematik ist eine ganze Welt
für sich und man muß reichlich lange in ihr gelebt haben, um alles zu
fühlen, was in ihr notwendig ist. (Robert Musil)
Jens Kallup
2020-07-31 07:10:27 UTC
Permalink
Post by Klaus Pommerening
Diese wäre definiert als die kleinste undefinierbare natürliche Zahl.
Also wäre sie definiert.
[*] Nennen wir sie nach ihrem Erfinder die Mückenheimsche Zahl.
ich find's lustig hier, hier bleib ich :-)
Mensch, macht den WM nicht zu klein, sonst Fliegt der durch die
Klatsche.

Jens
WM
2020-07-31 12:06:33 UTC
Permalink
Post by Klaus Pommerening
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.

Du verwendest das Cantorsche Theorem B, das besagt, dass jede Menge von Ordinalzahlen ein kleinstes Element besitzt. Wäre das tatsächlich richtig, so gäbe es eine kleinste natürliche Zahl, die aus der Menge ℕ nicht entfernt werden darf, ohne die Kardinalzahl ℵo zu vermindern, denn für alle definierbaren Zahlen n gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Die Anwendung des Cantorschen Theorems B versagt hier also genau wie in Deinem Falle.

Ein anderes Beispiel: Jede unendliche Ziffernfolge definiert ebensoviele rationale Zahlen, aber keine irrationale Zahl. Zur Definition einer irrationalen Zahl müsste eine erste Ziffer existieren, die auf die unendlich vielen Versager folgt. Fehlanzeige. Daher sind irrationale Zahlen nur als Grenzwerte endlich definierbarer Algorithmen darstellbar, aber nicht durch Ziffernfolgen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-31 13:00:32 UTC
Permalink
Hallo,
Post by WM
Post by Klaus Pommerening
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
Die Menge der natuerlichen Zahlen mit dem ueblichen ">" ist keine Wohlordnung?
Post by WM
Die Anwendung des Cantorschen Theorems B versagt hier also genau wie in Deinem Falle.
Versagen tun SIE bei IHREN klaeglichen Versuchen, etwas mathematisch korrektes
zu aeussern ...
Post by WM
Ein anderes Beispiel: Jede unendliche Ziffernfolge definiert ebensoviele rationale Zahlen, aber keine irrationale Zahl. Zur Definition einer irrationalen Zahl müsste eine erste Ziffer existieren, die auf die unendlich vielen Versager folgt. Fehlanzeige.
Stimmt. SIE sind in Bezug auf Mathematik ein Versager, allerdings ein wirklich
einzigartiger, denn so hartnaeckig so falsch argumentieren zu wollen, ist echt
einzigartig. SIE sind auch der einzige "Versager", der hier in der Diskussion
vorkommt, die von IHNEN behaupteten "Versager" gibt es dagegen *nicht*.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
WM
2020-07-31 14:14:02 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Post by WM
Post by Klaus Pommerening
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
Die Menge der natuerlichen Zahlen mit dem ueblichen ">" ist keine Wohlordnung?
Doch, aber Cantors Theorem gilt i.A. nicht. Beispiel: Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.
Post by Juergen Ilse
Post by WM
Die Anwendung des Cantorschen Theorems B versagt hier also genau wie in Deinem Falle.
Versagen tun SIE bei IHREN klaeglichen Versuchen, etwas mathematisch korrektes
zu aeussern ...
Post by WM
Ein anderes Beispiel: Jede unendliche Ziffernfolge definiert ebensoviele rationale Zahlen, aber keine irrationale Zahl. Zur Definition einer irrationalen Zahl müsste eine erste Ziffer existieren, die auf die unendlich vielen Versager folgt. Fehlanzeige.
Stimmt.
Selbstverständlich. 3 Ziffern definieren 3 rationale Zahlen.
n Ziffern definieren n rationale Zahlen.
Und das ändert sich auch "im Unendlichen" nicht.
Jede Ziffer kann nur eine Zahl definieren.
Also kann keine Ziffer eine irrationale Zahl abschließend definieren.

Gruß, WM
Me
2020-07-31 15:27:19 UTC
Permalink
Post by WM
Cantors Theorem gilt i.A. nicht.
Doch, doch "Cantors Theorem" gilt "ganz allgemein". (Andernfalls wäre es ja auch kein Theorem, Dumbo!)
Post by WM
Mücken-Beispiel: Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.
In der Tat, weil es nämlich KEINE natürliche Zahl gibt, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.

Sie verstehen: Wenn es KEINE Zahl gibt, die XXX ist, dann gibt es natürlich auch KEINE KLEINSTE Zahl, die XXX ist. (*stöhn*)

Hinweis:

"Eine Wohlordnung auf einer Menge S ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von S ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung hat." (https://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnung)

Also nur NICHTLEERE Teilmengen von S besitzen ein kleinstes Element.

________________________________________
Post by WM
3 Ziffern definieren 3 rationale Zahlen.
Insgesamt gibt es 10 verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Gibt es also in Mückenhausen nur 10 verschiedene rationale Zahlen? Interessant!
Post by WM
n Ziffern definieren n rationale Zahlen.
Also /ja/? 10 Ziffern "definieren" (laut WM) also 10 rationale Zahlen.

Wie eigentlich (also nach welchem "Schema"), so vielleicht?

0 => 0
1 => 0.1
2 => 0.2
:
9 => 0.9
Post by WM
Jede Ziffer kann nur eine Zahl definieren.
Interessant.

Vielleicht meinen Sie aber Folgen von Ziffern (bestimmter Länge)? Also z. B. Ziffernfolgen der Länge 3:

(0, 0, 0) => 0
(0, 0, 1) => 0,001
(0, 0, 2) => 0,002
:
(9, 9, 9) => 0,999

D. h. Die Ziffernfolgen der Länge 3 würden immerhin 1000 verschiedene rationale Zahlen "definieren" (WM).

Hmmm... Das könnte man sogar mit einer Formel beschreiben!

Sei (a_n) eine Ziffernfolge der Länge k. Dann sei einer solchen Folge die Zahl

[(a_n)] = SUM_(i=1..k) a_i * 10^-i

zugeordnet.

Wir hätten dann also z. B.

[(0, 0, 0)] = 0
und
[(0, 0, 1)] = 0.001
und
[(9, 9, 9)] = 0.999
Post by WM
Also kann keine Ziffer eine irrationale Zahl abschließend [spezifizieren].
Sicherlich nicht. Aber eine unendliche Folge kann "es". Dazu braucht man lediglich obige Definition von endlichen Folgen auf unendliche Folgen zu erweitern. D. h. wir definieren für eine (unendliche) Ziffernfolge (a_n):

[(a_n)] = SUM_(i=1..oo) a_i * 10^-i .

Dann ergibt sich z. B. für die Folge (a_n) mit a_n = 9 (für alle n e IN):

[(a_n)] = 1 .

Das schreibt man üblicherweise auch so an:

0,999... = 1 .

Das war jetzt wirklich nicht so schwer, oder?
WM
2020-07-31 17:31:58 UTC
Permalink
Post by Me
Post by WM
Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.
In der Tat, weil es nämlich KEINE natürliche Zahl gibt, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.
Keine definierbare, genauer gesagt. Wenn man alle definieren könnte, dann könnte man alle abziehen und nichts bliebe übrig.
Post by Me
Sie verstehen: Wenn es KEINE Zahl gibt, die XXX ist, dann gibt es natürlich auch KEINE KLEINSTE Zahl, die XXX ist.
Nochmal: Wenn man alle Zahlen von der Menge aller Zahlen entfernt, dann bleibt nichts übrig.

Gruß, WM
Roalto
2020-07-31 13:27:16 UTC
Permalink
Post by WM
Post by Klaus Pommerening
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
Euer herrlich Dümmlichkeit, können sie das mal belegen? Eine Kleinste steht doch nicht im Widerspruch
zu unendliche vielen?

Viel Spass weiterhin
Roalto
Post by WM
Du verwendest das Cantorsche Theorem B, das besagt, dass jede Menge von Ordinalzahlen ein kleinstes Element besitzt. Wäre das tatsächlich richtig, so gäbe es eine kleinste natürliche Zahl, die aus der Menge ℕ nicht entfernt werden darf, ohne die Kardinalzahl ℵo zu vermindern, denn für alle definierbaren Zahlen n gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Die Anwendung des Cantorschen Theorems B versagt hier also genau wie in Deinem Falle.
Ein anderes Beispiel: Jede unendliche Ziffernfolge definiert ebensoviele rationale Zahlen, aber keine irrationale Zahl. Zur Definition einer irrationalen Zahl müsste eine erste Ziffer existieren, die auf die unendlich vielen Versager folgt. Fehlanzeige. Daher sind irrationale Zahlen nur als Grenzwerte endlich definierbarer Algorithmen darstellbar, aber nicht durch Ziffernfolgen.
Gruß, WM
WM
2020-07-31 14:15:21 UTC
Permalink
Post by Roalto
Post by WM
Post by Klaus Pommerening
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge. Gäbe es eine undefinierbare
natürliche Zahl, so gäbe es auch eine kleinste solche[*].
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
können sie das mal belegen?
Post by WM
für alle definierbaren Zahlen n gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Gruß, WM
Me
2020-07-31 14:59:06 UTC
Permalink
Post by WM
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
Euer herrlich Dümmlichkeit, können sie das mal belegen? Eine Kleinste steht
doch nicht im Widerspruch zu unendliche vielen?
Aber KEINE kleinste steht im Widerspruch zur Behauptung, dass es unendliche viele "davon" gibt (geben soll), da die Menge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist. (Wenn es mind. eine natürliche Zahl gibt, die gaga ist, dann gibt es auch eine _kleinste_ Zahl, die gaga ist.)
WM
2020-07-31 17:27:35 UTC
Permalink
Post by Me
Post by WM
Nein, es gibt keine kleinste solche. Aber es gibt unendlich viele.
Euer herrlich Dümmlichkeit, können sie das mal belegen? Eine Kleinste steht
doch nicht im Widerspruch zu unendliche vielen?
Aber KEINE kleinste steht im Widerspruch zur Behauptung, dass es unendliche viele "davon" gibt (geben soll), da die Menge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist. (Wenn es mind. eine natürliche Zahl gibt, die gaga ist, dann gibt es auch eine _kleinste_ Zahl, die gaga ist.)
Zum Beispiel eine, die den Schnitt der Endsegmente kleiner als aleph_0 macht. Gibt's nicht. Trotzdem sollten alle im Schnitt verschwinden können, wenn alle da sind.

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-07-31 18:45:49 UTC
Permalink
Post by Roalto
Eine Kleinste steht doch nicht im Widerspruch
zu unendliche vielen?
Hallo Roalto,

nehmen wir mal an, das die "kleinste" die leere Menge
M1 ist.
Und wenn Mn auch nur "kleinste" leere Menge ist, dann
müssten doch auch aleph_0, aleph_n ja nur 0 als Objekt
haben und das die Anreihung von Mengen ein join ist,
dann gilt doch auch das M1 = {a_0, a_n} Elemente hat.
Was dann natürlich unsinnig ist, weil join + join ...
von 0 bzw. 1, wie man es nun halten mag, infinity
beschrieben wird, jeweils immer nur ein Objekt ergibt.

Also:

0 u 0 u 0 u ... := 0 oder
1 u 1 u 1 u ... := 1

Da aber jede infinty bzw. aleph ja auch wieder irgendwo
ihr Anfang haben muss, dieser Wert aber nicht bekannt
ist, dann könnte man doch auf die Idee kommen, dass das
leere Objekt, die 0 oder 1 sowie aleph_n drei Komponete
aufweist.

Veilleicht will ja der Wolfgang das damit zum Ausdrück
bringen:

M1 = { Ae =\= & (0|1) & (aleph_n+1) != ((aleph_n+1)-1) }
Mn = { Ae =\= & (0|1) & (aleph_n+1) != ((aleph_n+1)-1) }

M = { M1 u (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }

da hätte man dann die leere Menge und 2 conditions.

Allso kommt man mit 2 Elementen daher, die in der Super-
menge vorkommen.

Und zum Einklang von anderen Posts, ist es dann tatsächlich
so, das man 2 unterschiedliche Elemente zur Auswahl hat:
a oder b ?

also das soll von mir bedeuten:

entweder betrachtet man:
Ma = { M1 u (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }

oder:

Mb = { (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }

was dann wieder darauf hinaus läuft, das man hier auch nur
noch ein Element betrachten kann - das heißt, wir Wissen
nicht wie klein oder groß aleph_n ist, von daher bleibt nur
noch die leere Menge übrig.

Bitte für Entschuldigung die missglückten Formeln, bin noch
am lernen der mathematischen schreibweisen.

Jens
Roalto
2020-08-02 10:03:59 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Roalto
Eine Kleinste steht doch nicht im Widerspruch
zu unendliche vielen?
Hallo Roalto,
nehmen wir mal an, das die "kleinste" die leere Menge
M1 ist.
Und wenn Mn auch nur "kleinste" leere Menge ist, dann
müssten doch auch aleph_0, aleph_n ja nur 0 als Objekt
haben und das die Anreihung von Mengen ein join ist,
dann gilt doch auch das M1 = {a_0, a_n} Elemente hat.
Was dann natürlich unsinnig ist, weil join + join ...
von 0 bzw. 1, wie man es nun halten mag, infinity
beschrieben wird, jeweils immer nur ein Objekt ergibt.
0 u 0 u 0 u ... := 0 oder
1 u 1 u 1 u ... := 1
Da aber jede infinty bzw. aleph ja auch wieder irgendwo
ihr Anfang haben muss, dieser Wert aber nicht bekannt
ist, dann könnte man doch auf die Idee kommen, dass das
leere Objekt, die 0 oder 1 sowie aleph_n drei Komponete
aufweist.
Veilleicht will ja der Wolfgang das damit zum Ausdrück
M1 = { Ae =\= & (0|1) & (aleph_n+1) != ((aleph_n+1)-1) }
Mn = { Ae =\= & (0|1) & (aleph_n+1) != ((aleph_n+1)-1) }
M = { M1 u (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }
da hätte man dann die leere Menge und 2 conditions.
Allso kommt man mit 2 Elementen daher, die in der Super-
menge vorkommen.
Und zum Einklang von anderen Posts, ist es dann tatsächlich
a oder b ?
Ma = { M1 u (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }
Mb = { (Mn+1) != ((Mn+1)-1)) }
was dann wieder darauf hinaus läuft, das man hier auch nur
noch ein Element betrachten kann - das heißt, wir Wissen
nicht wie klein oder groß aleph_n ist, von daher bleibt nur
noch die leere Menge übrig.
Bitte für Entschuldigung die missglückten Formeln, bin noch
am lernen der mathematischen schreibweisen.
Jens
Was soll mir das jetzt sagen?

Viel Spass weiterhin
Roalto
Jens Kallup
2020-08-02 10:06:21 UTC
Permalink
Post by Roalto
Was soll mir das jetzt sagen?
das soll ir nix sagen, das war eine Frage.

Jens
Jens Kallup
2020-08-02 10:08:39 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Roalto
Was soll mir das jetzt sagen?
das soll ir nix sagen, das war eine Frage.
Jens
aber lief daraus aus, wie in einen anderen Posting von WM.
wegen den aleph_0, ... , aleph_n als leere Menge.

M = {{aleph_n}} =/= n

Burkart
2020-07-31 16:21:37 UTC
Permalink
Post by Klaus Pommerening
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche
Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das sind die Elemente der leeren Menge.
Ok, also nichts Ernstzunehmendes, alles klar.
WM
2020-07-31 12:27:03 UTC
Permalink
Post by Burkart
Post by WM
Manche Mathematiker haben Probleme damit, undefinierbare natürliche Zahlen anzuerkennen.
Was soll das bitte sein?
Das ist das, was gebraucht wird, um die natürlichen Zahlen zu einer aktual unendlichen Menge aufzublasen. Für alle definierbaren Zahlen gilt nämlich

|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Gruß, WM
Me
2020-07-30 20:14:24 UTC
Permalink
Post by WM
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der
Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden
oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung),
Ja, klar, das hat man durch Beobachtungen der bekannten natürlichen Zahlen herausgefunden. Bislang haben sich alle neu entdeckten natürlichen Zahlen so verhalten, wie von der Theorie vorhergesagt.
Post by WM
kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die
niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
Zumindest kann man das als Arbeitshypothese verwenden. Wenn jemals eine natürliche Zahl entdeckt werden sollte, die diesen "Gesetzen" nicht mehr gehorcht, wird man die bisherige Theorie wohl aufgeben (oder zumindest modifizieren) müssen.
Post by WM
Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu
Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.
In der Tat. Ich vermute, dass sich eine solche natürliche Zahl diesem trivialen Verwendungszweck verweigern würde.

Ich hätte da aber Vorschlag: Sollte man diese "niemals definiert werdenden" natürlichen Zahlen nicht einfach "unnatürliche Zahlen" nennen?

Das hätte den Vorteil, dass DANN die Menge der (wahrhaft) natürlichen Zahlen nur noch solche Zahlen umfassen würde, die entweder schon definiert wurden, oder irgendwann definiert werden werden. Jedoch gibt es bei diesem Ansatz auch Probleme:

"Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen." (Niels Bohr)

Ansonsten empfehle ich die Lektüre der folgenden Artikels:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitismus
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism

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Ceterum autem censeo Carthaginem esse delendam
WM
2020-07-31 12:15:45 UTC
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Post by Me
Post by WM
Da alle bisher definierten natürlichen Zahlen die üblichen Gesetze der
Arithmetik befolgen (zum Beispiel das Abwechseln von geraden und ungeraden
oder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung),
Ja, klar, das hat man durch Beobachtungen der bekannten natürlichen Zahlen herausgefunden. Bislang haben sich alle neu entdeckten natürlichen Zahlen so verhalten, wie von der Theorie vorhergesagt.
Post by WM
kann man davon ausgehen, dass alle noch zu definierenden und auch die
niemals definiert werdenden natürlichen Zahlen diesen Gesetzen gehorchen.
Zumindest kann man das als Arbeitshypothese verwenden. Wenn jemals eine natürliche Zahl entdeckt werden sollte, die diesen "Gesetzen" nicht mehr gehorcht, wird man die bisherige Theorie wohl aufgeben (oder zumindest modifizieren) müssen.
Post by WM
Dass allerdings die niemals definiert werdenden jemals zu
Indizierungszwecken verwandt worden sind, darf bezweifelt werden.
In der Tat. Ich vermute, dass sich eine solche natürliche Zahl diesem trivialen Verwendungszweck verweigern würde.
Ich hätte da aber Vorschlag: Sollte man diese "niemals definiert werdenden"
Du meinst also auch, dass es solche gibt?
Post by Me
natürlichen Zahlen nicht einfach "unnatürliche Zahlen" nennen?
Das wäre nicht mit der transfiniten Mengenlehre in Einklang zu bringen.
Post by Me
Das hätte den Vorteil, dass DANN die Menge der (wahrhaft) natürlichen Zahlen nur noch solche Zahlen umfassen würde, die entweder schon definiert wurden, oder irgendwann definiert werden werden.
Das wäre der Ansatz der klassischen Mathematik (Cauchy, Gauss, Weierstraß).
Post by Me
https://de.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitismus
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism
Die klassischen Mathematiker können kaum als Ultrafinitisten bezeichnet werden. Denn dann hätten sie keine Mathematik der Grenzwerte entwickelt.

Gruß, WM
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