Discussion:
X^p-X-1 irreduzibel
(zu alt für eine Antwort)
Christian Semrau
2003-09-23 11:56:49 UTC
Permalink
X^p-X-1 irreduzibel

Hallo.

Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom

X^p - X - 1

irreduzibel über F_p ist.
Kann mir da jemand eine Begründung geben?

Christian Semrau
Stefan Wehmeier
2003-09-23 13:46:37 UTC
Permalink
Post by Christian Semrau
X^p-X-1 irreduzibel
Hallo.
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel über F_p ist.
Kann mir da jemand eine Begründung geben?
betrachte eine Nullstelle alpha. Da alpha^p = alpha + 1, kann man
auch (alpha^p)^p = alpha^(p^2) und nacheinander alle alpha^(p^n) ausrechnen.
Wie lange dauert es, bis man ein n mit alpha^(p^n) = alpha erhält? Daraus
ergibt sich der Grad von alpha über F_p.
--
Stefan Wehmeier
***@mupad.de
Christian Semrau
2003-09-24 11:09:03 UTC
Permalink
Post by Stefan Wehmeier
Post by Christian Semrau
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel über F_p ist.
Kann mir da jemand eine Begründung geben?
betrachte eine Nullstelle alpha. Da alpha^p = alpha + 1, kann man
auch (alpha^p)^p = alpha^(p^2) und nacheinander alle alpha^(p^n) ausrechnen.
Wie lange dauert es, bis man ein n mit alpha^(p^n) = alpha erhält? Daraus
ergibt sich der Grad von alpha über F_p.
Ja, das hilft. Danke, Stefan!

Erstmal ist alpha^(p^n) = alpha+n, also für 0<=n<p alle verschiedene
Nullstellen, und als Bilder unter dem Frobenius-Automorphismus (aha!)
noch konjugiert, haben also dasselbe Minimalpolynom - welches dann
mein Polynom sein muss.

Allgemein könnte ich also das Minimalpolynom von alpha bestimmen, wenn
ich bereits ein Polynom habe, das alpha als Nullstelle hat, indem ich
solange hoch p nehme, bis wieder alpha rauskommt, und dann die
Linearfaktoren ausmultipliziere, oder?


@ Holger Walliser:

Dass dieses Polynom keine Nullstellen hat, nützt einem immerhin für
p=2 und p=3. Wie Sebastian Holzmann zeigt, reicht es leider für
größere Grade nicht aus.

Gruss,
Christian
Stefan Wehmeier
2003-09-24 11:32:51 UTC
Permalink
Post by Christian Semrau
Post by Stefan Wehmeier
Post by Christian Semrau
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel über F_p ist.
Kann mir da jemand eine Begründung geben?
betrachte eine Nullstelle alpha.
Allgemein könnte ich also das Minimalpolynom von alpha bestimmen, wenn
ich bereits ein Polynom habe, das alpha als Nullstelle hat, indem ich
solange hoch p nehme, bis wieder alpha rauskommt, und dann die
Linearfaktoren ausmultipliziere, oder?
wenn alpha als Nullstelle eines reduziblen Polynoms gegeben ist, weiss man
natürlich nicht, zu welchem Faktor die Nullstelle gehört. Wenn alpha
irgendwie anders gegeben ist, stimmt es, d.h. man muss da Produkt über alle
(X - sigma(alpha)), sigma Galoisautomorphismus, bilden.

Gruss,
--
Stefan Wehmeier
***@mupad.de
Marc Olschok
2003-09-24 12:31:13 UTC
Permalink
Post by Christian Semrau
Post by Stefan Wehmeier
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich haenge seit
Stunden an der Frage, warum fuer jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel ueber F_p ist.
Kann mir da jemand eine Begr?ndung geben?
betrachte eine Nullstelle alpha. Da alpha^p = alpha + 1, kann man
auch (alpha^p)^p = alpha^(p^2) und nacheinander alle alpha^(p^n) ausrechnen.
Wie lange dauert es, bis man ein n mit alpha^(p^n) = alpha erhaelt? Daraus
ergibt sich der Grad von alpha ueber F_p.
Ja, das hilft. Danke, Stefan!
Erstmal ist alpha^(p^n) = alpha+n, also f?r 0<=n<p alle verschiedene
Nullstellen, und als Bilder unter dem Frobenius-Automorphismus (aha!)
noch konjugiert, haben also dasselbe Minimalpolynom - welches dann
mein Polynom sein muss.
Allgemein koennte ich also das Minimalpolynom von alpha bestimmen, wenn
ich bereits ein Polynom habe, das alpha als Nullstelle hat, indem ich
solange hoch p nehme, bis wieder alpha rauskommt, und dann die
Linearfaktoren ausmultipliziere, oder?
Nicht mehr noetig, waehle einfach alpha nach Bedarf:

Offenbar genuegt ja der Nachweis, dass jeder irreduzible Faktor von X^p-X-1
mindestens Grad p haben muss.

Sei nun f ein beliebiger irreduzibler Faktor von X^p-X-1 mit Grad(f)=d>0.
Dann betrachte die (endliche) Koerpererweiterung K=F_p[X]/(f) und wahle
in K die kanonische Nullstelle alpha:=X+(f).

Dann ist alpha^|K|=alpha und nach Konstruktion ist |K|=p^d.

Der Tip von Stefan auf dieses alpha angewandt ergibt jetzt p<=d.

Marc
Holger Walliser
2003-09-23 18:46:39 UTC
Permalink
Hallo Christian
Post by Christian Semrau
X^p-X-1 irreduzibel
Hallo.
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel über F_p ist.
Was ist F_p? Ist das IZ/pIZ? Wenn dem so sein sollte, so gilt für alle x
aus F_p doch x^p = x (kleiner Fermat) und damit ist das obige Polynom
auf F_p konstant -1 und hat somit keine NST.
Post by Christian Semrau
Kann mir da jemand eine Begründung geben?
Christian Semrau
Ich hoffe das war jetzt kein riesiger Mist!

HTH und viele Grüße von
Holger
Sebastian Holzmann
2003-09-23 19:04:08 UTC
Permalink
Hallo auch,
Post by Holger Walliser
Hallo Christian
Post by Christian Semrau
X^p-X-1 irreduzibel
Hallo.
Ich scheitere wieder mal an der Galois-Theorie, denn ich hänge seit
Stunden an der Frage, warum für jede Primzahl p das Polynom
X^p - X - 1
irreduzibel über F_p ist.
Was ist F_p? Ist das IZ/pIZ? Wenn dem so sein sollte, so gilt für alle x
aus F_p doch x^p = x (kleiner Fermat) und damit ist das obige Polynom
auf F_p konstant -1 und hat somit keine NST.
Ich hoffe das war jetzt kein riesiger Mist!
Nun ja, leider doch ;-)

Ein Polynom, das in einem Körper k keine Nullstelle hat, kann trotzdem
reduzibel über k sein.
Beispiel: x^4 + 1 = (x^2 + sqrt(2)x + 1)(x^2 - sqrt(2)x + 1) über IR.

Grüße
Sebastian
Holger Walliser
2003-09-25 22:31:18 UTC
Permalink
Sebastian Holzmann schrieb:
[...]
Post by Sebastian Holzmann
Post by Holger Walliser
Was ist F_p? Ist das IZ/pIZ? Wenn dem so sein sollte, so gilt für alle x
aus F_p doch x^p = x (kleiner Fermat) und damit ist das obige Polynom
auf F_p konstant -1 und hat somit keine NST.
Ich hoffe das war jetzt kein riesiger Mist!
Nun ja, leider doch ;-)
Stimmt!! Asche auf mein Haupt und ganz viel schäm schäm.
[...]

Ich geh jetzt schlafen um beim nächsten mal besser ausgeschlafen zu sein.

Viele Grüße
Holger

Loading...