Anwendungen von Determinanten

[MK]

Ich schreibe gerade eine Arbeit über Determinanten und habe folgende
Frage: Gibt es praktischen Anwendungsmöglichkeiten von Determinanten
und wo kann ich mich darüber informieren? Wenn z.B. die NASA damit
berechnet, wie sie ihre Raketen ins All schießen muss wäre das für
mich sehr interessant.

Ich bedanke mich für jede Hilfe.

MK

[Daniel Froemmel]

Post by MK
Ich schreibe gerade eine Arbeit über Determinanten und habe folgende
Frage: Gibt es praktischen Anwendungsmöglichkeiten von Determinanten
und wo kann ich mich darüber informieren? Wenn z.B. die NASA damit
berechnet, wie sie ihre Raketen ins All schießen muss wäre das für
mich sehr interessant.
Ich bedanke mich für jede Hilfe.
MK

Hi,
wenn Du auf das Lösen von linearen Gleichungssystemen anspielst,
ist die Verwendung von Determinanten (Cramersche Regel) wohl
nicht das Mittel der Wahl. Du kannst ja mal die Determinante einer
5x5 und dann einer 10x10 Matrix von Hand ausrechnen. Das gilt dann
aber noch nicht als besonders groß.
Wenn Dich allerdings nur einzelne Lösungen interessieren, kann
Cramer interessant werden.
Bei der Berechnung der Eigenschwingungsformen von Schwingungen
kommt in der Frequenzgleichung eine Determinante vor (die null
sein muss).
Dann kenn ich noch bei linearen, homogenen DGL-Systemen die Wronski-
Derterminante.
Mehr fällt mir nicht ein.
Musst Du halt mal google bemühen.

mfg Daniel

[MK]

Das Determinanten zum Lösen linearer Gleichungssysteme, oder auch zur
Berechnung von Abhängigkeiten zwischen Vektoren verwendet werden weiß
ich schon. Ne, ich meinte WIRKLICH praktische Anwendungen im
Berufsalltag, wie in meinem Beispiel. Nennt mir einfach nen Beruf, der
wenigstens etwas mit Determinanten zu tun hat (außer Mathelehrer) und
wo ich mich darüber informieren lann.

MK

P.S. Google hab ich schon zu Rate gezogen. Erfolglos!

[Thiery Balser]

Post by MK
Das Determinanten zum Lösen linearer Gleichungssysteme, oder auch zur
Berechnung von Abhängigkeiten zwischen Vektoren verwendet werden weiß
ich schon. Ne, ich meinte WIRKLICH praktische Anwendungen im
Berufsalltag, wie in meinem Beispiel. Nennt mir einfach nen Beruf, der
wenigstens etwas mit Determinanten zu tun hat (außer Mathelehrer) und
wo ich mich darüber informieren lann.

Es gibt diesen hübschen Spruch, den verschiedene Professoren von sich
gegeben haben sollen:

"Determinate ist für alles gut, nur das Berechnen sollte man lassen"...
heisst, die Determinante zu berechnen ist extrem kompliziert, wenn du die
explizite Formel benutzt, also, dass du über alle Permutationen summierst,
hast du bereits n!*n Operationen...und das ist ganz schön viel.
Eine 10'000x10'000 Matrix mittels der Deterimante zu untersuchen, ist also
keine sonderlich gute Idee...;)

Verlangt deine Arbeit wirklich, dass du "praktische Anwendungen" angeben
musst? Über den Grad des "praktisch" müsste man sowieso noch diskutieren ;)


Gruss,

Thiery

[MK]

Post by Daniel Froemmel

Post by MK
Ich schreibe gerade eine Arbeit über Determinanten und habe folgende
Frage: Gibt es praktischen Anwendungsmöglichkeiten von Determinanten
und wo kann ich mich darüber informieren? Wenn z.B. die NASA damit
berechnet, wie sie ihre Raketen ins All schießen muss wäre das für
mich sehr interessant.
Ich bedanke mich für jede Hilfe.
MK

Hi,
wenn Du auf das Lösen von linearen Gleichungssystemen anspielst,
ist die Verwendung von Determinanten (Cramersche Regel) wohl
nicht das Mittel der Wahl. Du kannst ja mal die Determinante einer
5x5 und dann einer 10x10 Matrix von Hand ausrechnen. Das gilt dann
aber noch nicht als besonders groß.
Wenn Dich allerdings nur einzelne Lösungen interessieren, kann
Cramer interessant werden.
Bei der Berechnung der Eigenschwingungsformen von Schwingungen
kommt in der Frequenzgleichung eine Determinante vor (die null
sein muss).
Dann kenn ich noch bei linearen, homogenen DGL-Systemen die Wronski-
Derterminante.
Mehr fällt mir nicht ein.
Musst Du halt mal google bemühen.
mfg Daniel

Dass Determinanten bei linearen Gleichungssystemen verwenset werden,
oder auch zur Berechnung der Abhängigkeit von Vektoren
, weiß ich bereits. Ne, was ich meinte sind WIRKLICH, praktische
Erfahrungen, z.B. im Berufsleben. Wenn also ein Job irgendwas mit
Determinanten zu tun hat, bitte sagen welcher und wo ich mich darüber
informieren kann.

MK

P.S. Google hab ich bereits zu Rate gezogen: Erfolglos!

[Alois Steindl]

Post by MK
Dass Determinanten bei linearen Gleichungssystemen verwenset werden,
oder auch zur Berechnung der Abhängigkeit von Vektoren
, weiß ich bereits. Ne, was ich meinte sind WIRKLICH, praktische
Erfahrungen, z.B. im Berufsleben. Wenn also ein Job irgendwas mit
Determinanten zu tun hat, bitte sagen welcher und wo ich mich darüber
informieren kann.

Wie wärs mit Determinantenschlosser?

Kannst du mir jetzt als Gegenleistung einen Beruf - ausser Gärtner und
Zahnarzt - nennen, der direkt etwas mit Wurzelziehen zu tun hat?

Find dich einfach damit ab, dass das Berechnen der Determinante eine
Routineaufgabe in der Mathematik ist.

Alois

[Martin Fuchs]

Post by Alois Steindl
Wie wärs mit Determinantenschlosser?

Determinantor finde ich besser.

Post by Alois Steindl
Find dich einfach damit ab, dass das Berechnen der Determinante eine
Routineaufgabe in der Mathematik ist.

Genau.

An den OP: Es sollten sich mit recht geringem Aufwand aber noch ein paar
andere Anwendungen als die Lösung von Gleichungssystemen finden.
Ich denke da z.B. an die Bedeutung der Determinante als Volumen
eines Parallelepipeds.

mf

[MK]

Post by Martin Fuchs
An den OP: Es sollten sich mit recht geringem Aufwand aber noch ein paar
andere Anwendungen als die Lösung von Gleichungssystemen finden.
Ich denke da z.B. an die Bedeutung der Determinante als Volumen
eines Parallelepipeds.

Kann das ein Nochschüler verstehen, ohne dass er schon halb mit einem
Mathematikstudium anfangen muss?. Wenn ja: Wo gibts Info darüber?

[Martin Fuchs]

Post by MK

Post by Martin Fuchs
Ich denke da z.B. an die Bedeutung der Determinante als Volumen
eines Parallelepipeds.

Kann das ein Nochschüler verstehen, ohne dass er schon halb mit einem
Mathematikstudium anfangen muss?.

Ja, kann er.
BTW: In irgendeinem Zusammenhang müssen bei Euch Determinanten eingeführt worden
sein - oder sind sie vom Himmel gefallen?

Post by MK
Wenn ja: Wo gibts Info darüber?

In einem beliebige Lehrbuch zur linearen Algebra, z.B. Gerd Fischer "Lineare
Algebra".


Vereinfacht gesagt:
Die Spaltenvektoren einer nichtsingulären n x n - Matrix spannen
ein n-dimensionales Parallelepiped auf (die Zeilenvektoren tun es
auch).

Bsp.:
Die Determinante von
M = ( 1 2)
( 0 3)

lässt sich als Flächeninhalt des durch die Vektoren (1,0)^T und
(2,3)^T aufgespannten Parallelogrammes interpretieren.

Es ist det(M) = 3, wenn Du Dir mal das entsprechende Parallelogramm zeichest und
den Flächeninhalt nach A=a*h_a berechnest, wirst Du auf das gleiche kommen.


Es steckt natürlich noch viel mehr dahinter, als dieses sehr einfache Beispiel zeigen
kann, Du musst Dir schon einiges anlesen, wenn Du mehr über Determinanten wissen willst.


mf

[MK]

Post by Alois Steindl
Kannst du mir jetzt als Gegenleistung einen Beruf - ausser Gärtner und
Zahnarzt - nennen, der direkt etwas mit Wurzelziehen zu tun hat?

Jepp: Mathematiklehrer.
Und hier ein Rätsel für dich: Was ergeben zwei Wachmänner, ein Kegler
und ein Zahnarzt zusammengezählt?

Post by Alois Steindl
Find dich einfach damit ab, dass das Berechnen der Determinante eine
Routineaufgabe in der Mathematik ist.

Hmm....

[Thomas Rauers]

Post by MK
Wenn also ein Job irgendwas
mit Determinanten zu tun hat, bitte sagen welcher

Der Determinator ;-)

Ne, aber mal im Ernst: kannst Du vielleicht mal verraten, warum
Dich dieses Detail so brennend interessiert? Die Frage nach dem
Verwendbarkeit mathematischer Konstrukte in irgendwelchen Berufen
ist doch irgendwie irrelevant. Oder in welchem Bereich schreibst
Du diese Arbeit? Hört sich nicht nach einem rein mathematischen
Aufsatz an...

Gruß,

***@s

[Chiarello Andreas]

Post by Thomas Rauers

Post by MK
Wenn also ein Job irgendwas
mit Determinanten zu tun hat, bitte sagen welcher

Der Determinator ;-)
Ne, aber mal im Ernst: kannst Du vielleicht mal verraten, warum
Dich dieses Detail so brennend interessiert? Die Frage nach dem
Verwendbarkeit mathematischer Konstrukte in irgendwelchen Berufen
ist doch irgendwie irrelevant. Oder in welchem Bereich schreibst
Du diese Arbeit? Hört sich nicht nach einem rein mathematischen
Aufsatz an...
Gruß,

Geschichte und Anwendungen

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen
betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine
Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante
"determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt
(dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist).
In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16.
Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinanten werden benutzt, um invertierbare Matrizen zu
charakterisieren und um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit
Hilfe der Cramerschen Regel explizit auszudrücken. Sie können verwendet
werden, um den Eigenwert der Marix A als Nullstellen des
charakteristischen Polynoms p(x) = det(A-xIn) zu ermitteln.

Man bildet die Determinante von n Vektoren im Rn, indem man die
Determinante der quadratischen Matrix berechnet, deren Spalten die
gegebenen Vektoren sind. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der
Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der
Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.

Determinanten werden zur Berechnung von Volumen in der Vektorrechnung
verwendet: der Absolutbetrag der Determinante von reellen Vektoren ist
gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das durch diese Vektoren
aufgespannt wird. Eine Folgerung ist: Wird die lineare Abbildung f : Rn
-> Rn durch die Matrix A repräsentiert, und ist S eine beliebige
messbare Teilmenge des Rn, dann ist das Volumen von f(S) durch |det(A)|
· Volumen(S) gegeben. Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung f :
Rn -> Rm durch die m-mal-n Matrix A repräsentiert, und ist S eine
beliebige messbare Teilmenge von Rn, so ist das n-dimensionale Volumen
von f(S) gegeben durch ?(det(ATA)) · Volumen(S).

[Hermann Kremer]

Chiarello Andreas schrieb in Nachricht ...

Post by Chiarello Andreas

Post by Thomas Rauers

Post by MK
Wenn also ein Job irgendwas
mit Determinanten zu tun hat, bitte sagen welcher

Der Determinator ;-)
Ne, aber mal im Ernst: kannst Du vielleicht mal verraten, warum
Dich dieses Detail so brennend interessiert? Die Frage nach dem
Verwendbarkeit mathematischer Konstrukte in irgendwelchen Berufen
ist doch irgendwie irrelevant. Oder in welchem Bereich schreibst
Du diese Arbeit? Hört sich nicht nach einem rein mathematischen
Aufsatz an...

Geschichte und Anwendungen
Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen
betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine
Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante
"determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt
(dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist).
In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16.
Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

OK, hier etwas mehr zur Geschichte der Determinanten:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
BTW: Der japanische Mathematiker Takakazu-Kowa Seki wird
dabei sehr oft vergessen ...

Post by Chiarello Andreas
Determinanten werden benutzt, um invertierbare Matrizen zu
charakterisieren und um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit
Hilfe der Cramerschen Regel explizit auszudrücken. Sie können verwendet
werden, um den Eigenwert der Marix A als Nullstellen des
charakteristischen Polynoms p(x) = det(A - x*I_n) zu ermitteln.
Man bildet die Determinante von n Vektoren im R^n, indem man die
Determinante der quadratischen Matrix berechnet, deren Spalten die
gegebenen Vektoren sind. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der
Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der
Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.
Determinanten werden zur Berechnung von Volumen in der Vektorrechnung
verwendet: ....

Determinanten werden auch verwendet, um herauszufinden, ob die allgemeine
Kurve zweiter Ordnung

a*x^2 + b*x*y + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0

eine Ellipse, Parabel, Hyperbel oder ein Geradenpaar definiert ... und es ist ja
auch für die NASA bzw. für EuroSpace nicht ganz unwichtig, ob eine Rakete
in einer elliptischen oder parabolischen Bahn endet ;-))

Grüße
Hermann
--

[MK]

Oder in welchem Bereich schreibst

Post by Thomas Rauers
Du diese Arbeit? Hört sich nicht nach einem rein mathematischen
Aufsatz an...

Nun, eigentlich soll es eine mathematische Arbeit werden, aber....ach,
ich wollte das ganze noch etwas würzen, was Neues bringen, was
Überraschendes.