Gauß-Integral *nur* mit Funktionentheorie berechnen?

[Stephan Gerlach]

Ist es eigentlich möglich, die berühmte Gauß-Formel

+oo
Integral [e^(-x²/2) dx] = sqrt(2*Pi)
-oo

mit "reiner" Funktionentheorie zu berechnen?
Also im Wesentlichen zurückführen (des reellen Integrals) auf ein
geschlossenes Kurvenintegral (in |C statt |R) und dann anwenden des
Cauchy'schen Integralsatzes bzw. Residuensatzes.
Wobei die (komplexe) Funktion e^(z²) ja erst mal keine mir bekannten
Singularitäten hat, außer bei oo ("oo" hier in |C). Also Residuensatz
wird da eher schwierig.

Einige reelle uneigentliche Integrale lassen sich per
"Halbkreismethode" (lax gesprochen) elegant per Funktionentheorie
berechnen (was nur mit reiner Integrationsrechnung sehr schwierig
wäre), aber bei der Gauß-Formel will mir das nicht so recht gelingen
(genaugenommen finde ich keine passende geschlossene Kurve in |C).

Berechnungen des Gauß-Integrals habe ich einige gefunden, die aber
auch sowas wie Satz von Fubini verwenden, also mehr als nur
Funktionentheorie.

Stephan

[Ingrid Voigt]

Post by Stephan Gerlach
Ist es eigentlich möglich, die berühmte Gauß-Formel
+oo
Integral [e^(-x²/2) dx] = sqrt(2*Pi)
-oo
mit "reiner" Funktionentheorie zu berechnen?
Also im Wesentlichen zurückführen (des reellen Integrals) auf ein
geschlossenes Kurvenintegral (in |C statt |R) und dann anwenden des
Cauchy'schen Integralsatzes bzw. Residuensatzes.

Ja, das geht. Die richtige Funktion ist aber nicht einfach
zu finden:

Setze f(z) := exp (-z^2) / (1 + exp (-2*a*z) )
mit a := (1 + i) * sqrt(Pi/2)

und integriere f über das Parallelogramm mit den Eckpunkten
-R, R, R+a, -R+a.

Für R -> unendlich verschwinden die kurzen Seitenintegrale,
und die Summe der beiden langen Seitenintegrale konvergiert
gegen

+oo
Integral [e^(-x²) dx] = sqrt(Pi)
-oo

Andererseits hat das geschlossene Kurvenintegral als einzige
Singularität im Innern eine Polstelle bei a/2, und
2 * Pi * i * das zugehörige Residuum = sqrt(Pi).

Wenn man in der ganzen Rechnung z/sqrt(2) anstelle von z
substituiert, ergibt sich auch gleich Dein gesuchtes
Integral.

(Nach www.annauniv.edu/shan/site2/pdffiles/MM141Lecture16.pdf,
aber wimre gibt es noch eine andere Möglichkeit - die finde
ich nur nicht mehr.)


Grüße
Ingrid