mittlerer Abstand der Punkte einer n-dimensionale Kugel vom Zentrum

[Ralf Goertz]

Weil hier so viel von Hyper-Kugeln die Rede ist: Wie ist der mittlere
Abstand der Punkte einer n-dimensionalen Einheitskugel von deren
Mittelpunkt? Ich meine, eine ganz einfache aber überraschende Lösung zu
haben.

Schwieriger dürfte es sein, den mittleren Abstand von einem Punkt auf
dem Rand zu finden. (Da bin ich noch nicht durch.)

[Jens Kallup]

Hallo,

fÃŒr ersterer Frage wÃŒrde ich spontan:

mittlerer Abstand von M nach r := Radius (r) dividiert durch zwei.
Oder Durchmesser (2 Punkte mit exakter LiniernfÃŒhrung) dividiert
durch drei.

FÃŒr letzterer Frage wÃŒrde ich einfachen Sinus oder Cosinus-Satz-
Berechnung zu Rate ziehen.

Jens

P.S.: Alle Angaben ohne GewÀhr.

[Ralf Goertz]

Am Tue, 22 Mar 2022 14:05:00 +0100

Post by Ralf Goertz
Weil hier so viel von Hyper-Kugeln die Rede ist: Wie ist der mittlere
Abstand der Punkte einer n-dimensionalen Einheitskugel von deren
Mittelpunkt? Ich meine, eine ganz einfache aber überraschende Lösung
zu haben.

Okay, also die Antwort darauf dürfte n/(n+1) sein. Für die
eindimensionale Kugel (das Intervall [-1,1]) ist das 1/2, was der
Intuition entspricht. Für den Kreis integriere ich über den Radius von 0
bis 1. Der Abstand eines Punktes auf dem Kreis mit Radius r vom
Mittelpunkt ist r, der Umfang (das Gewicht, mit dem dieser Abstand
eingeht) ist 2*π*r, also Int_0^1(r*2*π*r dr)=2*π/3. Nun noch durch π
dividieren (Fläche des Einheitskreises=„Summe“ der Gewichte) und wir
erhalten 2/3.

Ähnliches gilt für die Kugel, der mittlere Abstand ist 3/4. Ich hatte
auch ein Argument, warum das mit n/(n+1) weitergeht, komme aber gerade
nicht mehr drauf (das ganze war vor über einem Jahr und ich hatte die
unten stehende Frage erstmal zurückgestellt). Ich finde das Ergebnis
deshalb überraschend, weil der mittlere Abstand gegen den maximalen
Abstand konvergiert für n→∞.

Post by Ralf Goertz
Schwieriger dürfte es sein, den mittleren Abstand von einem Punkt auf
dem Rand zu finden. (Da bin ich noch nicht durch.)

Und hier bin ich jetzt ein bisschen weiter. Für den Kreis nehme ich als
Randpunkt den Punkt (-1,0). Nun ziehe ich Kreisbögen mit Radius 0≤r≤2 um
diesen Punkt, die vom Einheitskreis begrenzt werden und innerhalb des
Einheitskreises liegen. Wieder ist der Abstand der Punkte im
Einheitskreis von (-1,0) gleich r und die Länge der Kreisbögen ist mit
Satz des Thales und Kosinussatz 2*r*arccos(r/2), was zu dem Integral
int_0^2(2*arccos(r/2)*r^2 dr)/π führt. Wolfram Alpha spuckt die etwas
eklige Stammfunktion aus, deren Evaluation aber den relativ einfachen
Wert 32*π/9 also etwa 1,1318 ergibt, was auch meine Simulation
bestätigt. Für die Kugel zeigt die Simulationen ungefähr 5/4, eine
ähnlich einfache Gesetzmäßigkeit wie beim Abstand vom Ursprung sehe ich
nicht. Für n=10 erhalte ich etwa 1,334 für n=15 etwa 1,36.

[Ralf Goertz]

Am Wed, 23 Mar 2022 14:28:12 +0100

Post by Ralf Goertz
Am Tue, 22 Mar 2022 14:05:00 +0100

Post by Ralf Goertz
Schwieriger dürfte es sein, den mittleren Abstand von einem Punkt
auf dem Rand zu finden. (Da bin ich noch nicht durch.)

Und hier bin ich jetzt ein bisschen weiter. Für den Kreis nehme ich
als Randpunkt den Punkt (-1,0). Nun ziehe ich Kreisbögen mit Radius
0≤r≤2 um diesen Punkt, die vom Einheitskreis begrenzt werden und
innerhalb des Einheitskreises liegen. Wieder ist der Abstand der
Punkte im Einheitskreis von (-1,0) gleich r und die Länge der
Kreisbögen ist mit Satz des Thales und Kosinussatz 2*r*arccos(r/2),
was zu dem Integral int_0^2(2*arccos(r/2)*r^2 dr)/π führt. Wolfram
Alpha spuckt die etwas eklige Stammfunktion aus, deren Evaluation
aber den relativ einfachen Wert 32*π/9 also etwa 1,1318 ergibt, was

Korrektur: 32/(9*π)

Post by Ralf Goertz
auch meine Simulation bestätigt. Für die Kugel zeigt die Simulationen
ungefähr 5/4, eine ähnlich einfache Gesetzmäßigkeit wie beim Abstand

^ 6/5 (als Mathematiker schaffe ich es offenbar nicht 1,2 als
Bruch zu schreiben)

Post by Ralf Goertz
vom Ursprung sehe ich nicht. Für n=10 erhalte ich etwa 1,334 für n=15
etwa 1,36.

Interessanterweise ist für n=3 der Wert tatsächlich genau 6/5. (Keine
Spur von π.) Er ergibt sich auch dem Integral über r*A_r, wobei A_r die
Fläche des Kugelsegment einer Kugel, das innerhalb der Einheitskugel
liegt und dessen Mittelpunkt eine Einheit vom Mittelpunkt der
Einheitskugel entfernt ist. Zur Normierung muss durch das Volumen der
Einheitskugel dividiert werden, dabei fällt das π raus.

\bar{r}=\frac{3}{4\pi}\cdot2\pi\int_{0}^{2}\left(r^{3}-\frac{r^{4}}{2}\right)\textrm{d}r=\frac{6}{5}