Gruppe - Assoziativität beweisen

[Sascha Retter]

Hallo!

Auch auf die Gefahr hin, dass ich hier manche langweile oder nerve frag
ich hier. Kann mir jemand sagen wie ich allgemein beweise, dass eine
Gruppe assoziativ ist, also überhaupt eine Gruppe ist? Wie ich zeige,
dass ein inverses und ein neutrales Element existiert weiß ich.

Sascha

[Gastfried von Korinth]

In article <***@uni-berlin.de>, ***@gmx.de
wrote...

Post by Sascha Retter
Hallo!
Auch auf die Gefahr hin, dass ich hier manche langweile oder nerve frag
ich hier. Kann mir jemand sagen wie ich allgemein beweise, dass eine
Gruppe assoziativ ist, also überhaupt eine Gruppe ist? Wie ich zeige,
dass ein inverses und ein neutrales Element existiert weiß ich.

Wir sagen gewöhnlich, daß die Verknüpfung assoziativ ist und nicht die
Gruppe.
Ansonsten gibt es kein allgemeines Verfahren, aber man muß das relativ
selten zeigen. So ist z.B. die Hintereinanderausführung von Abbildungen
assoziativ (das wird einmal bewiesen) und dadurch sind bereits die
wichtigsten Gruppen erschlagen.

[Sebastian Kapfer]

Post by Sascha Retter
Hallo!
Auch auf die Gefahr hin, dass ich hier manche langweile oder nerve frag
ich hier. Kann mir jemand sagen wie ich allgemein beweise, dass eine
Gruppe assoziativ ist, also überhaupt eine Gruppe ist?

Na ja, Du setzt a*(b*c) und (a*b)*c allgemein an, d.h. für alle a, b, c
aus der zukünftigen Gruppe. Und dann versuchst Du, zu zeigen, dass beide
Ausdrücke gleich oder i.A. nicht gleich sind. Wie das zu zeigen ist,
hängt von der jeweiligen Menge und Verknüpfung ab. Dann weißt Du, ob
Du eine Gruppe vor Dir hast.

[Jens Voss]

Post by Sascha Retter
Auch auf die Gefahr hin, dass ich hier manche langweile oder nerve frag
ich hier. Kann mir jemand sagen wie ich allgemein beweise, dass eine
Gruppe assoziativ ist, also überhaupt eine Gruppe ist? Wie ich zeige,
dass ein inverses und ein neutrales Element existiert weiß ich.

Hallo Sascha,

zusätzlich zu dem, was hier schon genannt wurde, benutzt man häufig
den Trick, die (potenzielle) Gruppe in eine bereits bekannte Gruppe
"einzubetten", d.h. wenn man eine Menge G mit Verknüpfung * (deren
Assoziativität man zeigen will) und eine Gruppe H mit Verknüpfung °
hat (deren Assoziativität bereits bekannt ist) hat, versucht man,
eine injektive Abbildung f von G nach H anzugeben, die mit den
Verknüpfungen verträglich ist, d.h. so dass f(x * y) = f(x) ° f(y)
ist für alle x und y aus G. Dass daraus dann die Assoziativität von
* folgt, ist eine nette Übungsaufgabe.

Schönen Gruß,
Jens