Beweis Wurzel 3 = irrational

[Heiki]

Hallo !

Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

[Marco Lange]

Hi!

Post by Heiki
Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

Genauso, wie der Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist :)

Angenommen Wurzel(3) wäre rational. Dann wäre Wurzel(3) = p/q mit ganzen
Zahlen p, q teilerfremd und 3 = p^2 / q^2

<=> p^2 = 3 q^2

Schau Dir jetzt die Primfaktorzerlgung von p^2 und q^2, bzw. p und q an
und zähle ab.

Viele Grüße,
Marco

[Klaus-R. Löffler]

Marco Lange schrieb

Post by Marco Lange
Hi!

Post by Heiki
Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

Genauso, wie der Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist :)
Angenommen Wurzel(3) wäre rational. Dann wäre Wurzel(3) = p/q mit ganzen
Zahlen p, q teilerfremd und 3 = p^2 / q^2
<=> p^2 = 3 q^2
Schau Dir jetzt die Primfaktorzerlgung von p^2 und q^2, bzw. p und q an
und zähle ab.

Oder mal etwas anders als schulüblich (mit Extremalprinzip):
Angenommen es gäbe eine natürliche Zahl n, für die n*W(3) ganz ist, dann
kann man dieses n minimal wählen. Dann ist n*W(3)-n eine natürliche Zahl,
die kleiner als n ist, und da dann auch (n*W(3)-n)*W(3) = 3n - n*W(3) ganz
ist, hat man einen Widerspruch zur Minimalität von n.

Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms

[Martin Fuchs]

Post by Heiki
Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

Man kann allgemein zeigen, dass die Wurzel aus einer Primzahl irrational ist.

Sei p Primzahl

Annahme: sqrt(p) ist rational

Dann gibt es _teilerfremde_ q,r aus |N,
so dass sqrt(p) = q/r
=> I. p = q^2 / r^2

Dann gilt p | q^2, wegen p Primzahl gilt dies,
wenn p | q (warum?), es existiert also ein k aus |N mit
q = k*p.

Einsetzen in I. liefert p = (p*k)^2 / r^2
<=> r^2 = p^2*k^2 / p
<=> r^2 = p*k^2

Also gilt auch p | r^2 und somit auch p | r, was ein Widerspruch
zu q,r teilerfremd ist.


mf

[Michael Lange]

Hallo Heiki,

Heiki wrote:

[...]

Post by Heiki
Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

Ja. Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Quadratzahl ist, wenn
jeder Primfaktor mit geradzahliger Vielfachheit vorkommt.
Dann musst Du nur noch einen Widerspruchsbeweis führen: Annahme sqrt(3)=p/q.
... Und zum Schluss mithilfe der der obigen Aussage einen Widerspruch
herleiten. Tipp: Betrachte dann die Vielfachheit des Primfaktors 3!

Mfg Michael

[Alois Steindl]

Post by Heiki
Hallo !
Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen ?

Gehe ich recht in der Annahme, dass der entsprechende Beweis für die
Wurzel aus 2 in der Schule Länge mal Breite vorexerziert wurde und die
Wurzel aus 3 dann als Hausaufgabe gestellt wurde?

Nachdem dir ja die Lösung wieder vorgekaut wurde, solltest du es nun
selbständig mit einer anderen Wurzel versuchen.

Alois