Laurentreihe des Cotangens

[Uwe Nowak]

Hallo.

Ich suche eine Möglichkeit, die Laurentreihe des Cotangens zu bestimmen.
Angeblich soll die mit

cot z = 1/z +z/3 +...

anfangen. Wie komme ich darauf?

Vielen Dank für Hilfe,
Uwe

[Uwe Nowak]

hab noch nie von _der_ Laurentreihe des Cotanges gehört.
Es gehört immer ein Entwicklungspunkt und eine "Kreisscheibe" dazu.
Ich schätze, du hast dir z0=0 gewählt. Und dann eben Laurent- /

Potenzreihe

ganz normal ausrechnen.

Ja, Entschuldigung, ich meinte Entwicklungspunkt 0.
Aber wie rechne ich eine Laurentreihe ganz normal aus? Bei einer
Potenzreihe kann ich Taylorentwicklung machen. Bei einer Laurentreihe
die einzelnen Koefizienten mittels Kurvenintegral bestimmen, aber bei
dem Integral komme ich irgendwie nicht weiter?

Kannst du mir man einen Tipp geben, wie der Ansatz ist?

Vielen Dank,
Uwe

[Christian Stapfer]

Post by Uwe Nowak

hab noch nie von _der_ Laurentreihe des Cotanges gehört.
Es gehört immer ein Entwicklungspunkt und eine "Kreisscheibe" dazu.
Ich schätze, du hast dir z0=0 gewählt. Und dann eben Laurent- /

Potenzreihe

ganz normal ausrechnen.

Ja, Entschuldigung, ich meinte Entwicklungspunkt 0.
Aber wie rechne ich eine Laurentreihe ganz normal aus? Bei einer
Potenzreihe kann ich Taylorentwicklung machen. Bei einer Laurentreihe
die einzelnen Koefizienten mittels Kurvenintegral bestimmen, aber bei
dem Integral komme ich irgendwie nicht weiter?
Kannst du mir man einen Tipp geben, wie der Ansatz ist?

Man kann (formale) Potenzreihen (mit Rest) dividieren.
Also müsstest Du die Taylorreihe von cos(z)
durch die Taylorreihe von sin(z) dividieren.
Einige wenige erste Koeffizienten der Laurentreihe
um 0 kann man so mit vertretbarem Aufwand gewinnen
- aber...

Wie wärs aber, wenn Du die Taylorreihe der um 0
analytischen Funktion z*cot(z) auf die "übliche
Art" berechnen würdest? Diese Taylorreihe dann
durch z zu dividieren ist simpel...

Gruss,
Christian

[Matthias Rosenkranz]

Post by Uwe Nowak
Aber wie rechne ich eine Laurentreihe ganz normal aus? Bei einer
Potenzreihe kann ich Taylorentwicklung machen. Bei einer Laurentreihe
die einzelnen Koefizienten mittels Kurvenintegral bestimmen, aber bei
dem Integral komme ich irgendwie nicht weiter?
Kannst du mir man einen Tipp geben, wie der Ansatz ist?

Einfacher ist es meist, die Funktion mittels bekannter Reihen (oft ist
z.B. die geometrische Reihe nuetzlich) auszudruecken. Im Falle von
cot(z) wuerde ich spontan folgendermaßen ansetzen:

cot(z) = cos(z)/sin(z) = g(z)/z, mit g(z) holomorph, da cot(z) einen
Pol erster Ordnung in 0 hat. Konkret ist
g(z) = (sum_{n=0}^{oo} (-1)^n * z^(2n)/(2n)!)/
(sum_{n=0}^{oo} (-1)^n * z^(2n)/(2n+1)!).

Sei sum_{n=-1}^{oo} a_n * z^n die Laurentreihe von cot(z) im Kreisring
{z \in C : 0 < |z| < pi}, dann ist mit den obigen Bezeichnungen a_n =
g^(1+n)(0)/(1+n)!, wobei g^(1+n) die (1+n)-te Ableitung bezeichne.
Jetzt musst du nur noch die Ableitungen von g berechnen.

Gruß
Matthias