Discussion:
Hauptidealring/euklidischer Ring
(zu alt für eine Antwort)
Jens Schniedmann
2006-11-07 11:44:18 UTC
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Hallo,

kennt hier vielleicht zufällig jmd. ein Beispiel für einen Hauptidealring,
der nicht euklidisch ist. Mir ist keins
eingefallen...

Vielen Dank

Jens
franz lemmermeyer
2006-11-07 14:19:38 UTC
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Post by Jens Schniedmann
kennt hier vielleicht zufällig jmd. ein Beispiel für einen Hauptidealring,
der nicht euklidisch ist.
Der Ring ganzer Zahlen in Q(sqrt(-19)) z.B. Arg viel einfacher geht's
leider nicht.

franz
Jens Schniedmann
2006-11-07 22:32:57 UTC
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Hallo Franz,
Post by franz lemmermeyer
Der Ring ganzer Zahlen in Q(sqrt(-19)) z.B. Arg viel einfacher geht's
leider nicht.
Was meinst Du damit genau? Z mit der Wurzel aus -19 adjungiert?
Wie beweist man das?

Jens
franz lemmermeyer
2006-11-07 23:30:31 UTC
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Post by Jens Schniedmann
Post by franz lemmermeyer
Der Ring ganzer Zahlen in Q(sqrt(-19)) z.B. Arg viel einfacher geht's
leider nicht.
Was meinst Du damit genau? Z mit der Wurzel aus -19 adjungiert?
Wie beweist man das?
Nein; mit w^2 = -19 ist der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in
Q(w) gleich Z[(1+w)/2]. Wenn dir das noch nicht bekannt ist, wird
dir der Beweis, dass dieser Ring Hauptidealring, aber nicht euklidisch
ist, schwer fallen. Nachlesen kann man das aber in

Motzkin, Th.
The Euclidean algorithm.
Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949). 1142--1146.

franz
Leo Arnold
2006-11-07 14:22:44 UTC
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ein Beispiel für einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist.
Ich mutmaße mal:
Der Ring der formalen Potenzreihen R[[X]] über einem geigneten Ring R.
Der ist auf jeden Fall Hauptidealring, und wenn R nicht der Nullring ist,
dann ist der "Polynomgrad" auch keine Bewertungsfunktion ist.

Ein Beweis, dass es da tatsächlich einen Ring R gibt, sodass R[[X]]
nicht euklidisch ist, fällt mir grad nicht ein.
Johannes Kloos
2006-11-07 16:44:33 UTC
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Post by Leo Arnold
ein Beispiel für einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist.
Der Ring der formalen Potenzreihen R[[X]] über einem geigneten Ring R.
Der ist auf jeden Fall Hauptidealring, und wenn R nicht der Nullring ist,
dann ist der "Polynomgrad" auch keine Bewertungsfunktion ist.
Ein Beweis, dass es da tatsächlich einen Ring R gibt, sodass R[[X]]
nicht euklidisch ist, fällt mir grad nicht ein.
Hm, ob das klappt?
Ich behaupte einfach mal, dass dim R[[x]] > dim R ist (man kann ja aus
einer Folge von Primidealen P0, ..., Pn die Folge von Idealen
x * P0, ..., x * Pn, <x> nehmen, so ausm Bauch raus sind da ja
Primideale), und damit kann R[[x]] ueberhaupt nur Hauptidealring sein,
wenn dim R = 0 und R Integritaetsbereich ist, also R Koerper. Aber fuer
einen Koerper K ist K[[x]] ja ein Hauptidealring...
Jannick Asmus
2006-11-07 23:06:56 UTC
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Post by Johannes Kloos
Post by Leo Arnold
ein Beispiel für einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist.
Der Ring der formalen Potenzreihen R[[X]] über einem geigneten Ring R.
Der ist auf jeden Fall Hauptidealring, und wenn R nicht der Nullring ist,
dann ist der "Polynomgrad" auch keine Bewertungsfunktion ist.
Ein Beweis, dass es da tatsächlich einen Ring R gibt, sodass R[[X]]
nicht euklidisch ist, fällt mir grad nicht ein.
Hm, ob das klappt?
Ich behaupte einfach mal, dass dim R[[x]] > dim R ist (man kann ja aus
einer Folge von Primidealen P0, ..., Pn die Folge von Idealen
x * P0, ..., x * Pn, <x> nehmen, so ausm Bauch raus sind da ja
Primideale), und damit kann R[[x]] ueberhaupt nur Hauptidealring sein,
wenn dim R = 0 und R Integritaetsbereich ist, also R Koerper. Aber fuer
einen Koerper K ist K[[x]] ja ein Hauptidealring...
... und euklisch (bzgl. der Ordnung der Nullstelle 0 der formalen
Potenzreihen), oder? ;)
Johannes Kloos
2006-11-08 07:53:15 UTC
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Post by Jannick Asmus
Post by Johannes Kloos
Post by Leo Arnold
ein Beispiel für einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist.
Der Ring der formalen Potenzreihen R[[X]] über einem geigneten Ring R.
Der ist auf jeden Fall Hauptidealring, und wenn R nicht der Nullring ist,
dann ist der "Polynomgrad" auch keine Bewertungsfunktion ist.
Ein Beweis, dass es da tatsächlich einen Ring R gibt, sodass R[[X]]
nicht euklidisch ist, fällt mir grad nicht ein.
Hm, ob das klappt?
Ich behaupte einfach mal, dass dim R[[x]] > dim R ist (man kann ja aus
einer Folge von Primidealen P0, ..., Pn die Folge von Idealen
x * P0, ..., x * Pn, <x> nehmen, so ausm Bauch raus sind da ja
Primideale), und damit kann R[[x]] ueberhaupt nur Hauptidealring sein,
wenn dim R = 0 und R Integritaetsbereich ist, also R Koerper. Aber fuer
einen Koerper K ist K[[x]] ja ein Hauptidealring...
... und euklisch (bzgl. der Ordnung der Nullstelle 0 der formalen
Potenzreihen), oder? ;)
Hm, ja, das meinte ich ja...
Allerdings stimmt mein Beweis so noch nicht, denn in Z[[x]] ist <2x>
kein Primideal, also kann ich auf diesem Weg dim R[[x]] = dim R + 1
nicht zeigen. Andersrum wird aber ein Schuh draus: Aus der Kette
P0, ..., Pn kann man die um eins längere Kette P0, ..., Pn, Pn + <x>
machen, und die entstehenden Ideale sind Primideale vermittels
(R/I)[[x]] isomorph R[[x]]/I sowie R[[x]]/Pn + <x> isomorph R/Pn.
Jannick Asmus
2006-11-08 08:14:53 UTC
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Post by Johannes Kloos
Post by Jannick Asmus
Post by Johannes Kloos
Post by Leo Arnold
ein Beispiel für einen Hauptidealring, der nicht euklidisch ist.
Der Ring der formalen Potenzreihen R[[X]] über einem geigneten Ring R.
Der ist auf jeden Fall Hauptidealring, und wenn R nicht der Nullring ist,
dann ist der "Polynomgrad" auch keine Bewertungsfunktion ist.
Ein Beweis, dass es da tatsächlich einen Ring R gibt, sodass R[[X]]
nicht euklidisch ist, fällt mir grad nicht ein.
Hm, ob das klappt?
Ich behaupte einfach mal, dass dim R[[x]] > dim R ist (man kann ja aus
einer Folge von Primidealen P0, ..., Pn die Folge von Idealen
x * P0, ..., x * Pn, <x> nehmen, so ausm Bauch raus sind da ja
Primideale), und damit kann R[[x]] ueberhaupt nur Hauptidealring sein,
wenn dim R = 0 und R Integritaetsbereich ist, also R Koerper. Aber fuer
einen Koerper K ist K[[x]] ja ein Hauptidealring...
... und euklisch (bzgl. der Ordnung der Nullstelle 0 der formalen
Potenzreihen), oder? ;)
Hm, ja, das meinte ich ja...
Allerdings stimmt mein Beweis so noch nicht, denn in Z[[x]] ist <2x>
kein Primideal, also kann ich auf diesem Weg dim R[[x]] = dim R + 1
nicht zeigen. Andersrum wird aber ein Schuh draus: Aus der Kette
P0, ..., Pn kann man die um eins längere Kette P0, ..., Pn, Pn + <x>
machen, und die entstehenden Ideale sind Primideale vermittels
(R/I)[[x]] isomorph R[[x]]/I sowie R[[x]]/Pn + <x> isomorph R/Pn.
Macht nix: Es war schon spät und ich habe Deine Primideale x * P als
P[X] gelesen. ;)

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