Wieso Punkt vor Strich?

[Thomas Schachtner]

Hallo Leute,

wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.

Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"

Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?

Viele Grüße,
Thomas

[Rainer Rosenthal]

"Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd"
schreiben zu können? Oder steckt da mehr dahinter?

Das war's schon.
Mich würde interessieren, *was* Du evtl. dahinter vermutest.
Sag's einfach laut raus, denn wie die Diskussionen hier
zeigen: es gibt keine dummen Fragen sondern nur dumme Antworten.

Ich zitiere aus dem DUDEN, Rechnen und Mathematik:

Im Zusammenhang mit dem Distributivgesetz trifft
man meistens folgende Konvention: Zuerst werden
die Inhalte der Klammern, dann die Produkte und
zuletzt die Summen berechnet. Dies drückt man auch
so aus: "Klammerrechnung" geht vor "Punktrechnung"
(Multiplikation/Division); "Punktrechnung" geht
vor "Strichrechnung" (Addition/Subtraktion).

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Thomas Schachtner]

Post by Rainer Rosenthal
Das war's schon.
Mich würde interessieren, *was* Du evtl. dahinter vermutest.

Ich vermute eigentlich gar nix Spezielles dahinter.
Mich hätte aber interessiert, ob eine "Mathematik" denkbar wäre, in der
"Strich vor Punkt" gelten könnte.

Dann wäre halt 3 + 4 * 5 nicht 23, sondern 35...
Man könnte ja das alte Ergebnis - also das, was für uns als "richtig"
gilt auch noch kriegen, eben indem man 3 + (4 * 5) schreibt...

Wo würd's da krachen?
Die Erklärung, dass es so sein muß, weil ja die Multiplikation eine
"Abkürzung der Addition" ist, hab ich auch schon gehört, aber auch das
ist mir nur noch bei ganzen Zahlen plausibel...
(siehe z. B. einen anderen Eintrag im Thread mit sqrt(2) * sqrt (5))
Ich meine, so wird doch der mathematische Beweis für die Notwendigkeit
für "Punkt for Strich" nicht aussehen können, oder?

[Rainer Rosenthal]

Post by Thomas Schachtner
Dann wäre halt 3 + 4 * 5 nicht 23, sondern 35...
Man könnte ja das alte Ergebnis - also das, was für uns als "richtig"
gilt auch noch kriegen, eben indem man 3 + (4 * 5) schreibt...
Wo würd's da krachen?

Das Wort "krachen" ist recht passend, wenn man die Auswirkungen von
Konventionsänderungen betrachtet. Es gibt zum Beispiel die Konvention,
dass der Fahrer auf der rechten Seite des Autos sitzt. Und es kracht
da auch nicht öfter als bei den Linkssitzern. Das Krach-Risiko wächst
aber beim Wechseln ;-)

Will sagen: Hätte man schon immer 3+4*5 = 35 für natürliche Schreib-
weise angesehen, dann wäre das in keiner Weise bedenklich. Aber es
handelt sich nun mal um historisch Gewachsenes. Das Pluszeichen selbst
ist auch erst schlappe 500 Jahre alt.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Thomas Schachtner]

Post by Rainer Rosenthal
Will sagen: Hätte man schon immer 3+4*5 = 35 für natürliche Schreib-
weise angesehen, dann wäre das in keiner Weise bedenklich. Aber es
handelt sich nun mal um historisch Gewachsenes. Das Pluszeichen selbst
ist auch erst schlappe 500 Jahre alt.

Das klingt sehr gut.

Was hältst Du (oder: haltet ihr) aber von folgender Begründung (hab ich
gerade per E-Mail gekriegt):

Da ja z. B. (IR,+,*) ein Ring ist, muß für ihn das Distributivgesetz gelten.

Dies besagt (a + b) * c = a * c + b * c

Wenn man hier nicht nach der Regel "Punkt vor Strich" rechnen würde,
würde dieses Distributivgesetz nicht gelten und IR wäre kein Ring mehr.
Deshalb ist diese Regel keine Erleichterung fürs Klammernsetzen, sondern
eine grundlegende Eigenschaft des Ringes.

Kann man so argumentieren?
Könnte ich nicht das Distributivgesetz auch so schreiben:
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)
Oder ist das ohne die Klammern definiert?

Oder noch eine Frage:
Wenn dem denn so wäre, muß dann allgemein für den Ring (IM,x,y) eine
Regel "y vor x" gelten (wobei x und y Verknüpfungen sein sollen)?

[Rainer Rosenthal]

Post by Thomas Schachtner
Was hältst Du (oder: haltet ihr) aber von folgender Begründung (hab ich
Da ja z. B. (IR,+,*) ein Ring ist, muß für ihn das Distributivgesetz gelten.
Dies besagt (a + b) * c = a * c + b * c
Wenn man hier nicht nach der Regel "Punkt vor Strich" rechnen würde,
würde dieses Distributivgesetz nicht gelten und IR wäre kein Ring mehr.
Deshalb ist diese Regel keine Erleichterung fürs Klammernsetzen, sondern
eine grundlegende Eigenschaft des Ringes.
Kann man so argumentieren?

Um Himmels willen, nein!
Das Distributivgesetz ist doch nicht in steinernen Tafeln gemeisselt
und "a priori" *g* auf der Welt. Es klärt den Zusammenhang zwischen
den Operationen Multiplikation und Addition. Und zwar in Überein-
stimmung mit dem historisch gewachsenen Alltagsrechnen und in der
dort üblichen Schreibweise.

Es bleibt dabei: "Punkt vor Strich" ist eine Konvention, sonst nichts.
Punkt.
Strich nicht eben eine Möwe ums Haus?

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Thomas Schachtner]

Post by Rainer Rosenthal
Um Himmels willen, nein!
Das Distributivgesetz ist doch nicht in steinernen Tafeln gemeisselt
und "a priori" *g* auf der Welt. Es klärt den Zusammenhang zwischen
den Operationen Multiplikation und Addition. Und zwar in Überein-
stimmung mit dem historisch gewachsenen Alltagsrechnen und in der
dort üblichen Schreibweise.
Es bleibt dabei: "Punkt vor Strich" ist eine Konvention, sonst nichts.
Punkt.

Also, mir geht es jetzt schon viel besser :-)
Jetzt ist die Welt wieder in Ordnung für mich!

Aber das mit dem Distributivgesetz, das nicht "in steinernen Tafeln
gemeisselt" ist, hab ich nicht ganz verstanden. Meinst Du, dass das
Distributivgesetz nur sinngemäß definiert ist, aber nicht die jeweilige
Ausdrucksform bzw. Schreibweise? Dann hab ich das verstanden und
spiegelt auch genau meine Auffassung dieses Gesetzes wider.

Aber um auf ein anderes Wort zurückzukommen ;-)
Das Distributivgesetz sollte (in seiner Bedeutung, nicht in der
Schreibweise) aber doch "a priori" *gg* auf der Welt sein, da es ja ein
Körperaxiom ist (oder?), das einfach so da ist und nicht bewiesen werden
kann/muß...

Aber das ist ein anderes Thema.

Post by Rainer Rosenthal
Strich nicht eben eine Möwe ums Haus?

So lange sie nicht abstürzt und genau vor dem Haus liegen bleibt, sollte
das kein großes Problem sein...

Viele Grüße und danke für die Hilfe!

Thomas

[Rainer Rosenthal]

Post by Thomas Schachtner
Also, mir geht es jetzt schon viel besser :-)
Jetzt ist die Welt wieder in Ordnung für mich!

Fein.

Post by Thomas Schachtner
... Meinst Du, dass das Distributivgesetz nur sinngemäß
definiert ist, aber nicht die jeweilige Ausdrucksform
bzw. Schreibweise? Dann hab ich das verstanden und
spiegelt auch genau meine Auffassung dieses Gesetzes
wider.

Die Schreibweise des Distributivgesetzes entspricht den
Konventionen. Ohne Konvention bliebe es eine nette Ansammlung
von Zeichen. Seine Aussage ist, dass das Produkt aus einer
Zahl und einer Summe gleich ist der Summe der mit der Zahl
multiplizierten Summanden. Um letzteren Satz zu verstehen,
muss man auch einige Konventionen kennen ;-) Dann kann man
ihn immer noch in Stein meisseln.

Post by Thomas Schachtner
Aber um auf ein anderes Wort zurückzukommen ;-)
Das Distributivgesetz sollte (in seiner Bedeutung, nicht in der
Schreibweise) aber doch "a priori" *gg* auf der Welt sein, da es ja ein
Körperaxiom ist (oder?), das einfach so da ist und nicht bewiesen werden
kann/muß...

Hmmm, wenn Du meinst, und wenn es Dir damit dann *noch* besser
geht, bitte!
Im übrigen ist Hugo Pförtners Leseempfehlung gerade passend
gekommen und interessant. Die "schlappen 500 Jahre" finden sich
darin bestätigt. Der Buchdruck hat einen bedeutenden Anteil an
der Verbreitung der Normen gehabt. Und wie im Artikel zu lesen
ist, haben natürlich die Programmiersprachen mit ihren Inter-
pretern und Compilern noch weiter für klare Verhältnisse gesorgt,
wobei immer noch historische Entwicklung abläuft.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Gottfried Helms]

Post by Thomas Schachtner
Aber das mit dem Distributivgesetz, das nicht "in steinernen Tafeln
gemeisselt" ist, hab ich nicht ganz verstanden. Meinst Du, dass das
Distributivgesetz nur sinngemäß definiert ist, aber nicht die jeweilige
Ausdrucksform bzw. Schreibweise? Dann hab ich das verstanden und
spiegelt auch genau meine Auffassung dieses Gesetzes wider.
Aber um auf ein anderes Wort zurückzukommen ;-)
Das Distributivgesetz sollte (in seiner Bedeutung, nicht in der
Schreibweise) aber doch "a priori" *gg* auf der Welt sein, da es ja ein
Körperaxiom ist (oder?), das einfach so da ist und nicht bewiesen werden
kann/muß...

Es sagt nichts anderes, als daß es das gleiche ergibt, ob ich nun
eine Summe mit einem Faktor multipliziere oder deren Summanden.
Welche Notation du hierfür verwendest ist dann zweitrangig;
es gilt jedenfalls ebenso für die RPN; du mußt das dann
schlicht entsprechend in den Regelkatalog (z.B. der Schulkinder)
aufnehmen.

Gruß -

Gottfried

[Oliver Jennrich]

Post by Thomas Schachtner

Post by Rainer Rosenthal
Will sagen: Hätte man schon immer 3+4*5 = 35 für natürliche Schreib-
weise angesehen, dann wäre das in keiner Weise bedenklich. Aber es
handelt sich nun mal um historisch Gewachsenes. Das Pluszeichen selbst
ist auch erst schlappe 500 Jahre alt.

Das klingt sehr gut.
Was hältst Du (oder: haltet ihr) aber von folgender Begründung (hab ich

Nichts.

Post by Thomas Schachtner
Da ja z. B. (IR,+,*) ein Ring ist, muß für ihn das Distributivgesetz gelten.
Dies besagt (a + b) * c = a * c + b * c

a+b*c = (a*c)+(b*c) (in Strich-vor-Punkt-Notation)

ab+c* = ac*bc*+ (RPN)

*(+(a,b),c) = +(*(a,c),*(b,c)) (funktional)

Und nun?

[Thomas Schachtner]

Post by Oliver Jennrich
Nichts.

Post by Thomas Schachtner
Da ja z. B. (IR,+,*) ein Ring ist, muß für ihn das Distributivgesetz gelten.
Dies besagt (a + b) * c = a * c + b * c

a+b*c = (a*c)+(b*c) (in Strich-vor-Punkt-Notation)
ab+c* = ac*bc*+ (RPN)
*(+(a,b),c) = +(*(a,c),*(b,c)) (funktional)
Und nun?

... bin ich sprachlos :-)
Genau das ist es, was ich brauche,
(die Theorie stammt nämlich von einer Mathelehrerin und ich tu mich
schwer, die "Expertin" davon zu überzeugen, dass ihr Beweis *g* falsch
ist, aber damit klappts bestimmt)

[Carsten Schultz]

Post by Thomas Schachtner

Post by Rainer Rosenthal
Das war's schon.
Mich würde interessieren, *was* Du evtl. dahinter vermutest.

Ich vermute eigentlich gar nix Spezielles dahinter.
Mich hätte aber interessiert, ob eine "Mathematik" denkbar wäre, in der
"Strich vor Punkt" gelten könnte.
Dann wäre halt 3 + 4 * 5 nicht 23, sondern 35...
Man könnte ja das alte Ergebnis - also das, was für uns als "richtig"
gilt auch noch kriegen, eben indem man 3 + (4 * 5) schreibt...

Könnte man machen. Man könnte auch, wenn einem Klammern zu dumm sind,

3 4 + 5 *

an Stelle von (3 + 4) * 5 und

3 4 5 * +

an Stelle von 3 + (4 * 5) schreiben. Macht man sogar manchmal, oder auch

* + 3 4 5

bzw.

+ 3 * 4 5.

(Siehe polnische Notation.)

Alles Konvention. Aber mir gefallen vor allem Polynome so, wie sie im
Moment sind.

Gruß,

Carsten

[Thomas Schachtner]

Post by Carsten Schultz
Alles Konvention. Aber mir gefallen vor allem Polynome so, wie sie im
Moment sind.

Mir auch! Ich wollte sie um Gottes Willen auch nicht ändern, selbst wenn
ich es könnte. Ich wollte bloß mal dieser Tatsache ein bisschen auf den
Grund fühlen, vor allem, weil sie jeder als selbstverständlich ansieht,
aber keiner mir einen tieferen Grund dafür sagen konnte...

Aber das hat sich ja jetzt geändert!

Danke!!!

Thomas

[Christian Lande]

"Thomas Schachtner" schrieb

Post by Thomas Schachtner
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"

ich weiß nicht genau, welche Art Antwort Du jetzt auf diese Frage erwartest,
aber ganz simpel nachgerechnet gilt diese Regel schon mal alleine deswegen,
weil das Ergebnis sonst nicht zwingend korrekt ist:

(I) 3 + 2 * 5 = 25 (falls Punkt vor Strich ignoriert wird)
(II) 3 + 2 * 5 = 13 (mit Punkt vor Strich)

wobei (II) leicht einsichtig richtig ist, da ja "2 * 5" nichts anderes ist
als "5 + 5" und somit
(III) 3 + 5 + 5 = 13 = 3 + 2 * 5 = 3 + (2 * 5)

Etwas wissenschaftlicher mag vielleicht die Betrachtungsweise sein, daß "x *
y" einfach nur eine Kurzform von "y + y + ... + y" mit x y-Faktoren ist.
Gleiches gilt ja auch bei höheren Rechenarten, wie beispielsweise Potenzen
x^y (was ja eine Kurzform von x*x*...*x mit y x-Faktoren ist), hier wunderst
Du Dich vermutlich auch nicht, daß

(IV) 3 + 2^3 = 3 + (2^3) = 3 + 8 = 11

und nicht

(V) 3 + 2^3 = 5^3 = 125

ist, oder?

Schöne Grüße,
ChL

[Oliver Jennrich]

Post by Christian Lande
Etwas wissenschaftlicher mag vielleicht die Betrachtungsweise sein, daß "x *
y" einfach nur eine Kurzform von "y + y + ... + y" mit x y-Faktoren ist.

Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

[Christian Lande]

"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

das ist die Erweiterung der auf den natürlichen Zahlen als korrekt erkannten
Rechenregeln auf die reellen Zahlen.

Schöne Grüße,
ChL

[Oliver Jennrich]

Post by Christian Lande
"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

das ist die Erweiterung der auf den natürlichen Zahlen als korrekt erkannten
Rechenregeln auf die reellen Zahlen.

Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.

Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

[Peter Niessen]

Post by Oliver Jennrich

Post by Christian Lande
"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

das ist die Erweiterung der auf den natürlichen Zahlen als korrekt erkannten
Rechenregeln auf die reellen Zahlen.

Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

Geht aber doch :-)
Soll ich das vormachen?

[fiesh]

Post by Peter Niessen

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

Geht aber doch :-)
Soll ich das vormachen?

Ja, bitte.

[fiesh]

Post by fiesh

Post by Peter Niessen

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

Geht aber doch :-)
Soll ich das vormachen?

Ja, bitte.

Oder, ich will vielleicht etwas genauer sagen, worauf ich hinauswill:

Fuer R gilt aus Stetigkeitsgruenden, dass es nur eine Multiplikation zur
gegebenen Addition geben kann, die kanonische eben, und dort stimmt die
"xy = man zaehlt x y-mal zusammen" Interpretation einigermassen.

Fuer einen Schiefkoerper (es gibt auch archimedisch angeordnete, also
keines Wegs so weit von R entfernt) faellt diese Interpretation aber
meiner Meinung nach flach.

Und, wie in einem andern Posting geschrieben, gibt es auch additive
Funktionen von R nach R, die nicht homogen sind, d.h. man kann in
keinster Weise so einfach von "vertraegt sich mit Addition" auf
"vertraegt sich mit Multiplikation" schliessen!

[Peter Niessen]

Post by fiesh

Post by fiesh

Post by Peter Niessen

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

Geht aber doch :-)
Soll ich das vormachen?

Ja, bitte.

Fuer R gilt aus Stetigkeitsgruenden, dass es nur eine Multiplikation zur
gegebenen Addition geben kann, die kanonische eben, und dort stimmt die
"xy = man zaehlt x y-mal zusammen" Interpretation einigermassen.

Sollten wir uns darum Sorgen machen? ;-)

Post by fiesh
Fuer einen Schiefkoerper (es gibt auch archimedisch angeordnete, also
keines Wegs so weit von R entfernt) faellt diese Interpretation aber
meiner Meinung nach flach.

Auch das kann uns völlig kalt lassen. Der liebe Gott der Mathematik hat es
so gerichtet das wir automatisch zum Ziel kommen.

Post by fiesh
Und, wie in einem andern Posting geschrieben, gibt es auch additive
Funktionen von R nach R, die nicht homogen sind, d.h. man kann in
keinster Weise so einfach von "vertraegt sich mit Addition" auf
"vertraegt sich mit Multiplikation" schliessen!

Das lässt uns auch kalt :-)

Soviel Ironie konnte ich mir nicht verkneifen. Aber nun ernsthafter:
Dein Gedankengang ist viel zu kompliziert. Vermutlich hast du die
Definition von R in der Analysis kennen gelernt. Und das geht dann zum
Bleistift so:
R ist Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist geordneter Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist archimedisch =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
Dozent fragt (bestenfalls):
Meine Herren/Damen alles klar?
Je nach Tagesform kommt nun noch:
Epsilon/Delta-Gedöns, Wurzelexistenz, R ist Vektorraum und ein paar kluge
Worte zur Topologie die man in diesem Moment eh noch nicht versteht.
Ist damit geklärt was Zahlen sind? Jein :-) Aber für den Zweck reicht es.
Wir machen das nun anders:
Was haben wir denn so in der Hand?
2000 Jahre Erfahrung und damit eine vage Vorstellung wie Zahlen ticken
sollten. Stichworte:
Zählen, nat. Zahlen, Zahlenstrahl usw.
Damit wir nicht ganz in der Steinzeit beginnen müssen setzen wir einfache
Dinge wie Peanoaxiome und elementare Mengenlehre mal voraus:
Natürliche Zahlen erklären wir mit der Nachfolger-Relation (Peano) n=>S(n)
Das ganze übersetzt in ML: n => {n u {n}}
Also +1 wir wollen ja "rechnen": n+1=S(n)
n+a zb. n+3 ist ganz einfach ein "verketten" von S(n) n+3=S(S(Sn))) wir
"zählen" also wie kleine Kinder mit den Fingern weiter und notieren das
lediglich symbolisch. Analog definieren wir so auch n*n und n^n. Inverse
Operationen ignorieren wir und wir brauchen sie auch nicht. Es geht
eleganter:
Wir konstruieren inverse Elemente. Zuerst die ganzen Zahlen Z:
NxN dank ML liefert uns geordnete Paare (a;b) die das Gewünschte leisten.
Unnötige (doppelte) Paare entsorgen wir einfach in Äquivalenzklassen und
erhalten: (0,a) ist negativ (invers); (b,0) ist positiv wie gehabt.
Die Addition ist (a,b)+(c,d)=(a+c ; b+d) Und damit ganz simpel mit n=>S(n)
zu erklären. Das Produkt ist Übungsaufgabe für dich :-)
Nächste Klasse sind die rationalen Zahlen Q.
Wieder dank ML: ZxZ=Q
Überflüssiges wieder in Äquivalenzklassen entsorgen :-)
Wir schreiben die Paare direkt in gewohnter Bruchschreibweise a/b
Addition: (a/b)+(c/d)=((ad + cb))/(bd)
und damit wieder locker durch n=>S(n) zu erklären. Produkt ist wieder
Übungsaufgabe.
Damit haben wir "fast" gewonnen. Wir stellen zuerst mal fest:
Die Körperaxiome sind erfüllt, und das ohne murmeln geheimer Formeln. Nicht
wirklich erklärt haben wir die Ordnungsrelationen (<,>,=) Aber auch hier
lässt uns der liebe Gott und die ML nicht im Stich ;-):
Die Relation "ist Teilmenge von" liefert das gewünschte. Das zeige ich
jetzt nicht da simple Übungsaufgabe. Was nun noch fehlt ist die Stetigkeit
(archimedische Axiome) Was tun? Den ganzen Krempel der Analysis:
Grenzwerte, epsilon/delta, Cauchy-Folgen etc. kennen wir ja nicht.
Zumindest tuen wir so dumm. Auch hier lässt uns der liebe Gott der
Mathematik nicht im Stich: Dedekind-Schnitte leisten das gewünschte und
sind unserem "low-Level" Niveau gut angepasst. Mehr wie die nun bekannten
Rechenregeln und ein wenig Gerhinschmalz brauchen wir nicht. Also:
r e R => r :={x e Q|{x<r}{x>=r}}
Problem: Wir müssen die Rechengesetze neu erklären. Das ist aber nicht
wirklich schwer und netterweise mit den Regeln für Q zu klären also
letztendlich wieder auf n=>S(n) zurückführbar und genau das habe ich ja zu
Anfang behauptet. Da die Herleitung nun schribseltechnisch recht aufwändig
ist. Sprich lästigste Schreibarbeit kannst du den "Krempel" auf meiner HP
nachlesen. Hauptsache du weist mich auf bestimmt vorhande Tippselfehler und
so hin :-) Also lese hier weiter:

http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Schnitte.pdf
http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Zahlen.pdf

Wie man sieht: Mathematik kann richtig simpel sein. So simpel das
Klippschüler wie EB, AS, Mücke und sonstwer das eigentlich auch schnallen
könnten :-)

[fiesh]

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Fuer einen Schiefkoerper (es gibt auch archimedisch angeordnete, also
keines Wegs so weit von R entfernt) faellt diese Interpretation aber
meiner Meinung nach flach.

Auch das kann uns völlig kalt lassen. Der liebe Gott der Mathematik hat es
so gerichtet das wir automatisch zum Ziel kommen.

...aha?

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Und, wie in einem andern Posting geschrieben, gibt es auch additive
Funktionen von R nach R, die nicht homogen sind, d.h. man kann in
keinster Weise so einfach von "vertraegt sich mit Addition" auf
"vertraegt sich mit Multiplikation" schliessen!

Das lässt uns auch kalt :-)
Dein Gedankengang ist viel zu kompliziert. Vermutlich hast du die
Definition von R in der Analysis kennen gelernt. Und das geht dann zum
R ist Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist geordneter Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist archimedisch =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
Meine Herren/Damen alles klar?

Na er wuerde hoffentlich auch die Vollstaendigkeit von R fordern, sonst
koennten wir ja gleich bei Q bleiben.

Post by Peter Niessen
Epsilon/Delta-Gedöns, Wurzelexistenz, R ist Vektorraum und ein paar kluge
Worte zur Topologie die man in diesem Moment eh noch nicht versteht.
Ist damit geklärt was Zahlen sind? Jein :-) Aber für den Zweck reicht es.
Was haben wir denn so in der Hand?
2000 Jahre Erfahrung und damit eine vage Vorstellung wie Zahlen ticken
Zählen, nat. Zahlen, Zahlenstrahl usw.
Damit wir nicht ganz in der Steinzeit beginnen müssen setzen wir einfache
Natürliche Zahlen erklären wir mit der Nachfolger-Relation (Peano) n=>S(n)
Das ganze übersetzt in ML: n => {n u {n}}
Also +1 wir wollen ja "rechnen": n+1=S(n)
n+a zb. n+3 ist ganz einfach ein "verketten" von S(n) n+3=S(S(Sn))) wir
"zählen" also wie kleine Kinder mit den Fingern weiter und notieren das
lediglich symbolisch. Analog definieren wir so auch n*n und n^n. Inverse
Operationen ignorieren wir und wir brauchen sie auch nicht. Es geht
NxN dank ML liefert uns geordnete Paare (a;b) die das Gewünschte leisten.
Unnötige (doppelte) Paare entsorgen wir einfach in Äquivalenzklassen und
erhalten: (0,a) ist negativ (invers); (b,0) ist positiv wie gehabt.
Die Addition ist (a,b)+(c,d)=(a+c ; b+d) Und damit ganz simpel mit n=>S(n)
zu erklären. Das Produkt ist Übungsaufgabe für dich :-)
Nächste Klasse sind die rationalen Zahlen Q.
Wieder dank ML: ZxZ=Q
Überflüssiges wieder in Äquivalenzklassen entsorgen :-)
Wir schreiben die Paare direkt in gewohnter Bruchschreibweise a/b
Addition: (a/b)+(c/d)=((ad + cb))/(bd)
und damit wieder locker durch n=>S(n) zu erklären. Produkt ist wieder
Übungsaufgabe.
Die Körperaxiome sind erfüllt, und das ohne murmeln geheimer Formeln. Nicht
wirklich erklärt haben wir die Ordnungsrelationen (<,>,=) Aber auch hier
Die Relation "ist Teilmenge von" liefert das gewünschte. Das zeige ich
jetzt nicht da simple Übungsaufgabe. Was nun noch fehlt ist die Stetigkeit
Grenzwerte, epsilon/delta, Cauchy-Folgen etc. kennen wir ja nicht.
Zumindest tuen wir so dumm. Auch hier lässt uns der liebe Gott der
Mathematik nicht im Stich: Dedekind-Schnitte leisten das gewünschte und
sind unserem "low-Level" Niveau gut angepasst. Mehr wie die nun bekannten
r e R => r :={x e Q|{x<r}{x>=r}}

Interessante Notation...

Davon abgesehen ist es natuerlich witzlos, Dedekindsche Schnitte als
Ober- und Untermengen zu gegebenen Zahlen zu definieren, wir wollen ja R
erst erhalten, koennen also insbesondere von einer Menge { x e Q | x <
r} nur fuer r e Q sprechen.

Man kann auch Q einfach vervollstaendigen, Dedekindsche Schnitte haben
meiner Auffassung nach eher historische Bedeutung; Betrachtung der
Cauchyfolgen und Faktorisierung nach aequivalenten Folgen ist da schon
wesentlich eleganter.

Post by Peter Niessen
Problem: Wir müssen die Rechengesetze neu erklären. Das ist aber nicht
wirklich schwer und netterweise mit den Regeln für Q zu klären also
letztendlich wieder auf n=>S(n) zurückführbar und genau das habe ich ja zu
Anfang behauptet. Da die Herleitung nun schribseltechnisch recht aufwändig
ist. Sprich lästigste Schreibarbeit kannst du den "Krempel" auf meiner HP
nachlesen. Hauptsache du weist mich auf bestimmt vorhande Tippselfehler und
http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Schnitte.pdf
http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Zahlen.pdf
Wie man sieht: Mathematik kann richtig simpel sein. So simpel das
Klippschüler wie EB, AS, Mücke und sonstwer das eigentlich auch schnallen
könnten :-)

Ich habe nur mal einen Blick auf Zahlen.pdf geworfen. Bei der
"Axiomatisierung" (P1) bis (P5) dreht sich mir der Magen um, tut mir
leid.

Im Uebrigen geht das aber voellig an dem vorbei, was ich versucht habe,
zu sagen: Addition und Multiplikation sind zwei _verschiedene_ Dinge,
die Multiplikation ist nicht nur die Potenzierung der Addition mit sich
selbst. Das ist schon in R so, und erst Recht in allgemeineren Koepern
oder Ringen, wo man eine Analogie garnicht so leicht ziehen koennte.
Dass die Multiplikation aber durch die Addition auf ganz natuerliche
Weise im Primkoerper (also in Q etwa) festgelegt ist, ist klar.

[Peter Niessen]

Post by fiesh

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Fuer einen Schiefkoerper (es gibt auch archimedisch angeordnete, also
keines Wegs so weit von R entfernt) faellt diese Interpretation aber
meiner Meinung nach flach.

Auch das kann uns völlig kalt lassen. Der liebe Gott der Mathematik hat es
so gerichtet das wir automatisch zum Ziel kommen.

...aha?

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Und, wie in einem andern Posting geschrieben, gibt es auch additive
Funktionen von R nach R, die nicht homogen sind, d.h. man kann in
keinster Weise so einfach von "vertraegt sich mit Addition" auf
"vertraegt sich mit Multiplikation" schliessen!

Das lässt uns auch kalt :-)
Dein Gedankengang ist viel zu kompliziert. Vermutlich hast du die
Definition von R in der Analysis kennen gelernt. Und das geht dann zum
R ist Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist geordneter Körper! =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
R ist archimedisch =>
Dozent schreibt Axiome an die Tafel
Meine Herren/Damen alles klar?

Na er wuerde hoffentlich auch die Vollstaendigkeit von R fordern, sonst
koennten wir ja gleich bei Q bleiben.

Fordern kannst du viel. Fragt sich nur ob der Satz:
"R ist (bis auf Isomorphie) der einzige vollständige archimedische Körper"
auch richtig ist. Ohne Beweis ist der Satz nichts wert. Genau das war der
Punkt der Dedekind und Cantor bewogen hat den Begriff der Stetigkeit mit
Hilfe der ML ganz neu zu definieren. Dedekind mit Schnitten und Cantor mit
Fundamentalfolgen (heute sagt man Cauchy-Folgen). Ich ziehe nur deswegen
Dedekind vor weil man bei dieser Begründung keinerlei Sätze der Analysis
braucht. Ansonsten sind die Ansätze ganz offensichtlich äquivalent, was
auch Cantor in einem Brief an Dedekind anmerkt. Cantor findet seinen Weg
lediglich eleganter.
Lese dir mal die Begriffsschriften von Dedekind (insbesondere "Was sind und
was sollen die Zahlen?") genau durch. Dort steht ausdrücklich:
Zu einer Begründung der Analysis ist es unumgänglich einen klaren Begriff
der Stetigkeit (der fundamentalen Eigenschaft der euklidschen Gerade) zu
gewinnen, ansonsten sind die Sätze der Analysis nicht das Papier wert auf
dem sie stehen. Er fordert deshalb eine Theorie der Irrationalzahlen als
wichtiges Problem ein. Die oben von mir erwähnten Körperaxiome leisten das
nicht. Die Analysis kann sich schlecht an den eigenen Haaren aus dem Sumpf
ziehen.

[Schnipp & Schnapp mit dem eigenen Text]

Post by fiesh

Post by Peter Niessen
jetzt nicht da simple Übungsaufgabe. Was nun noch fehlt ist die Stetigkeit
Grenzwerte, epsilon/delta, Cauchy-Folgen etc. kennen wir ja nicht.
Zumindest tuen wir so dumm. Auch hier lässt uns der liebe Gott der
Mathematik nicht im Stich: Dedekind-Schnitte leisten das gewünschte und
sind unserem "low-Level" Niveau gut angepasst. Mehr wie die nun bekannten
r e R => r :={x e Q|{x<r}{x>=r}}

Interessante Notation...

Eigentlich Standard. Ich vergass nur zu erwähnen das die Notation
selbstverständlich geordnete Paare von Mengen (den Ober- und Unterschnitt)
meint.

Post by fiesh
Davon abgesehen ist es natuerlich witzlos, Dedekindsche Schnitte als
Ober- und Untermengen zu gegebenen Zahlen zu definieren, wir wollen ja R
erst erhalten, koennen also insbesondere von einer Menge { x e Q | x <
r} nur fuer r e Q sprechen.

Das ist nicht der Fall:
Ist die Schnittzahl r nicht Element Q wird der Schnitt als irrational
bezeichnet. Das ändert nichts daran das R vollständig durch die Menge Q
definiert ist. Genau darin liegt der Punkt wie die Vollständigkeit von R
nachgewiesen wird: Die Schnitte bilden eine vollständige logische
Disjunktion!

Post by fiesh
Man kann auch Q einfach vervollstaendigen, Dedekindsche Schnitte haben
meiner Auffassung nach eher historische Bedeutung; Betrachtung der
Cauchyfolgen und Faktorisierung nach aequivalenten Folgen ist da schon
wesentlich eleganter.

Das sehe ich anders:
Die dazu notwendigen Sätze erhalte ich ja erst wenn die Zahlen begründet
sind und nicht umgekehrt.

Post by fiesh

Post by Peter Niessen
Problem: Wir müssen die Rechengesetze neu erklären. Das ist aber nicht
wirklich schwer und netterweise mit den Regeln für Q zu klären also
letztendlich wieder auf n=>S(n) zurückführbar und genau das habe ich ja zu
Anfang behauptet. Da die Herleitung nun schribseltechnisch recht aufwändig
ist. Sprich lästigste Schreibarbeit kannst du den "Krempel" auf meiner HP
nachlesen. Hauptsache du weist mich auf bestimmt vorhande Tippselfehler und
http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Schnitte.pdf
http://home.arcor.de/peter-niessen/content/Zahlen.pdf
Wie man sieht: Mathematik kann richtig simpel sein. So simpel das
Klippschüler wie EB, AS, Mücke und sonstwer das eigentlich auch schnallen
könnten :-)

Ich habe nur mal einen Blick auf Zahlen.pdf geworfen. Bei der
"Axiomatisierung" (P1) bis (P5) dreht sich mir der Magen um, tut mir
leid.

Da musst du dich bei Peano beschweren. Das ist bis auf P5 (muss noch
geändert werden) wörtlich die Formulierung von Guiseppe.

Post by fiesh
Im Uebrigen geht das aber voellig an dem vorbei, was ich versucht habe,
zu sagen: Addition und Multiplikation sind zwei _verschiedene_ Dinge,

Und wie unterscheidest du das an Hand der Gruppenaxiome? Das geht gar nicht
so ohne weiteres.

Post by fiesh
die Multiplikation ist nicht nur die Potenzierung der Addition mit sich
selbst. Das ist schon in R so, und erst Recht in allgemeineren Koepern
oder Ringen, wo man eine Analogie garnicht so leicht ziehen koennte.
Dass die Multiplikation aber durch die Addition auf ganz natuerliche
Weise im Primkoerper (also in Q etwa) festgelegt ist, ist klar.

Ich operiere nicht mit Analogien oder ähnlichem. Ich habe nichts anderes
als die Axiome der Ml und Peano in der Hand. Gezeigt wird das diese
einfachen Sätze reichen um alle Eigenschaften von R herzuleiten. Das ich so
eine Gruppe und schlussendlich einen Körper erhalte ergibt sich von selber.
Wäre das anders hätte ich irgendwo einen Fehler gemacht.

[fiesh]

[..]

Wenn der Dozent R axiomatisch begruendet, und danach sah es mir aus,
muss er eben die Vollstaendigkeit fordern.

Post by Peter Niessen

Post by fiesh

Post by Peter Niessen
r e R => r :={x e Q|{x<r}{x>=r}}

Interessante Notation...

Eigentlich Standard. Ich vergass nur zu erwähnen das die Notation
selbstverständlich geordnete Paare von Mengen (den Ober- und Unterschnitt)
meint.

Ich glaube eher, du meinst ({x e Q | x<r}, {x e Q | x>=r}).

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Davon abgesehen ist es natuerlich witzlos, Dedekindsche Schnitte als
Ober- und Untermengen zu gegebenen Zahlen zu definieren, wir wollen ja R
erst erhalten, koennen also insbesondere von einer Menge { x e Q | x <
r} nur fuer r e Q sprechen.

Ist die Schnittzahl r nicht Element Q wird der Schnitt als irrational
bezeichnet. Das ändert nichts daran das R vollständig durch die Menge Q
definiert ist. Genau darin liegt der Punkt wie die Vollständigkeit von R
nachgewiesen wird: Die Schnitte bilden eine vollständige logische
Disjunktion!

Ja das ist mir auch klar, aber zunaechst einmal kann man die Schnitte
eben NICHT wie oben definieren, sondern nur anhand ihrer Eigenschaften,
da ja R nunmal nicht bereits gegeben ist.

Post by Peter Niessen

Post by fiesh
Ich habe nur mal einen Blick auf Zahlen.pdf geworfen. Bei der
"Axiomatisierung" (P1) bis (P5) dreht sich mir der Magen um, tut mir
leid.

Da musst du dich bei Peano beschweren. Das ist bis auf P5 (muss noch
geändert werden) wörtlich die Formulierung von Guiseppe.

P5 ist auch das einzige, was einfach nur Quatsch ist! Die anderen sind
halt nicht mehr zeitgemaess, man sollte sie besser eine heute
ueblichere, korrekte Form uebersetzen. Bei P5 handelt es sich aber um
ein Axiomenschema, d.h. unendlich viele Axiome, was grundlegend
verschieden von P1 bis P4 ist.

[Christian Lande]

"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.

geht im Grunde ja auch, indem Du eben Wurzel(2) viele Wurzel(5) Faktoren
aufaddierst, das Ganze läßt sich wohl nur etwas schwierig aufschreiben. Du
kannst Dich aber gerne daran versuchen, wenn Du möchtest :)

Post by Oliver Jennrich
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

soso, wenn dem so ist, dann erklär doch mal, auf welche Ursprünge die
Multiplikation Deiner Meinung nach zurückzuführen ist?

Schöne Grüße,
ChL

[Oliver Jennrich]

Post by Christian Lande
"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.

geht im Grunde ja auch, indem Du eben Wurzel(2) viele Wurzel(5) Faktoren
aufaddierst, das Ganze läßt sich wohl nur etwas schwierig aufschreiben. Du
kannst Dich aber gerne daran versuchen, wenn Du möchtest :)

Danke, ich passe. Aber ich lerne gerne dazu - wie wäre es wenn du es vorführst.

Post by Christian Lande

Post by Oliver Jennrich
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

soso, wenn dem so ist, dann erklär doch mal, auf welche Ursprünge die
Multiplikation Deiner Meinung nach zurückzuführen ist?

Historisch? Natürlich auf genau die mehrfach angewendete Addition. Und
es ist mir auch klar, daß man z.B. die Dezimaldarstellung von
sqrt(2)*sqrt(5) in beliebiger Genauigkeit dadurch ausrechnen kann,
indem man die entsprechenden Dezimaldarstellungsnäherungen von sqrt(2) und
sqrt(5) nimmt, mit der entsprechenden Zehnerpotenz multipliziert und
dann einfach zwei natürliche Zahlen wie gehabt mutlipliziert.

Aber das liegt IMHO nur daran, daß man die Multiplikation auf den
reellen Zahlen so definiert hat, daß sie zur Multiplikation auf den
natürlichen Zahlen paßt. A priori is *(x,y) nur eine Abbildung von RxR
nach R, die zusammen mit einer anderen Abbildung +(x,y) und R die
Körperaxiome erfüllt.

Und "Punkt vor Strich" ist eine klammersparende Konvention, ebenso wie
es der Bruchstrich ist.

[Rainer Rosenthal]

Post by Oliver Jennrich
Sag bloß. Und wie führt man das auf eine Addition zurück? Wenn die
Multiplikation nämlich als Abkürzung einer mehrfachen Addition erklärt
ist, dann muß das gehen.

Und es ist mir auch klar, daß man z.B. die Dezimaldarstellung von
sqrt(2)*sqrt(5) in beliebiger Genauigkeit dadurch ausrechnen kann,
indem man die entsprechenden Dezimaldarstellungsnäherungen von sqrt(2) und
sqrt(5) nimmt, mit der entsprechenden Zehnerpotenz multipliziert und
dann einfach zwei natürliche Zahlen wie gehabt mutlipliziert.
Aber das liegt IMHO nur daran, daß man die Multiplikation auf den
reellen Zahlen so definiert hat, daß sie zur Multiplikation auf den
natürlichen Zahlen paßt.

"nur" ist gut. Und im übrigen hast Du Deine Frage selbst beantwortet.

A priori is *(x,y) nur eine Abbildung von RxR
nach R, die zusammen mit einer anderen Abbildung +(x,y) und R die
Körperaxiome erfüllt.
Und "Punkt vor Strich" ist eine klammersparende Konvention, ebenso wie
es der Bruchstrich ist.

"A priori" ist eine Wendung, die in diesem Zusammenhang drollig ist.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Christian Lande]

"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Historisch? Natürlich auf genau die mehrfach angewendete Addition. Und
es ist mir auch klar, daß man...

wenn ich Dir also nichts neues erzähle und Du das im Grunde auch so siehst,
was willst Du mir denn dann eigentlich sagen?

Post by Oliver Jennrich
Aber das liegt IMHO nur daran, daß man die Multiplikation auf den
reellen Zahlen so definiert hat, daß sie zur Multiplikation auf den
natürlichen Zahlen paßt. A priori is *(x,y) nur eine Abbildung von RxR
nach R, die zusammen mit einer anderen Abbildung +(x,y) und R die
Körperaxiome erfüllt.

Prinzipiell hast Du damit schon recht, da allerdings N eine Teilmenge von R
ist, wäre es ja doch merkwürdig und würde die Sache wohl erheblich
erschweren, wenn 3R*5R =|= 3N*5N wäre, oder?

Post by Oliver Jennrich
Und "Punkt vor Strich" ist eine klammersparende Konvention, ebenso wie
es der Bruchstrich ist.

Was aber eben gerade nicht erklärt, warum "Punkt vor Strich" überhaupt
festgelegt wurde. Sicherlich ist es richtig, das es sich dabei wohl um eine
klammernsaprende Konvention handelt, aber warum wurde diese Konvention bei
weglassen der Klammern denn Deiner Meinung nach überhaupt notwendig, oder
besser gefragt, wie kam man denn überhaut auf die Idee, Klammern zu setzen?

Auf die Ursprungsfrage also zu antworten, es sei eine klammernsparende
Konvention, ist in etwa so, wie auf die Frage "warum fährt ein Auto" zu
antworten, "weil jemand Gas gibt", was zwar sicherlich in vielen Fällen
korrekt, andererseits allerdings wohl eher als Schnellschuß anstatt als
überlegte Antwort abgetan werden kann.

Schöne Grüße,
ChL

[Oliver Jennrich]

Post by Christian Lande
"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Historisch? Natürlich auf genau die mehrfach angewendete Addition. Und
es ist mir auch klar, daß man...

wenn ich Dir also nichts neues erzähle und Du das im Grunde auch so siehst,
was willst Du mir denn dann eigentlich sagen?

Dir? Nichts vermutlich was du nicht ohnehin schon weißt. Die
Bemerkung, Multiplikation sei im Grunde nur eine Abkürzung für die
wiederholte Addition reizte meinen Widerspruchsgeist. Sie ist mehr als
das.

Post by Christian Lande

Post by Oliver Jennrich
Und "Punkt vor Strich" ist eine klammersparende Konvention, ebenso wie
es der Bruchstrich ist.

Was aber eben gerade nicht erklärt, warum "Punkt vor Strich" überhaupt
festgelegt wurde.

Richtig, Das tut die 'Multiplikation ist wiederholte
Addition'-Erklärung aber auch nicht. Um Klammern zu sparen, muß man
erstmal welche setzen (nein, das wird kein Plädoyer für RPN). Und wie
häufig man unter welchen Regeln Klammern setzen muß, hängt von den
Notiergwohnheiten ab. So ist z.B. bei Händlern die nur wenige
Warensorten an sehr viele Kunden verkaufen 'Strich-vor-Punkt'
sinnvoller und wird auch z.B. bei Wahlen in Form von Strichlisten
praktiziert.

Ich vermute daher, daß die Punkt-vor-Strich-Regel sich an an der
Ermittlung von Zwischenergebnissen bei längeren Rechnungen orientiert.

Post by Christian Lande
Sicherlich ist es richtig, das es sich dabei wohl um eine
klammernsaprende Konvention handelt, aber warum wurde diese
Konvention bei weglassen der Klammern denn Deiner Meinung nach
überhaupt notwendig, oder besser gefragt, wie kam man denn überhaut
auf die Idee, Klammern zu setzen?

Auch hier kann ich nur vermuten: Weil das Aufzeichnungsformat geändert
wurde. Statt auf einem Papierstreifen
Multiplikationszwischenergebnisse untereinander zu notieren und dann
zu addieren, notierte man irgendwann (vor allem in der mathematischen
Literatur) formale Rechnungen zeilenweise. Und da die Zeilenschaltung
als Gliederungsinstrument ausfällt, braucht man dann halt etwas
anderes. Klammern nämlich.

Post by Christian Lande
Auf die Ursprungsfrage also zu antworten, es sei eine klammernsparende
Konvention, ist in etwa so, wie auf die Frage "warum fährt ein Auto" zu
antworten, "weil jemand Gas gibt", was zwar sicherlich in vielen Fällen
korrekt, andererseits allerdings wohl eher als Schnellschuß anstatt als
überlegte Antwort abgetan werden kann.

Das magst du so sehen. Dieselbe Frage aber mit einem Hinweis darauf zu
beantworten, daß auch bei Kutschen die Räder schon rund gewesen seien,
hilft aber auch nicht.

[Christian Lande]

"Oliver Jennrich" schrieb

Post by Oliver Jennrich
Das magst du so sehen. Dieselbe Frage aber mit einem Hinweis darauf zu
beantworten, daß auch bei Kutschen die Räder schon rund gewesen seien,
hilft aber auch nicht.

na gut, Du hast mich davon überzeugt, daß die Menge der reellen Zahlen lange
vor der Multiplikation bekannt war, und die Multiplikation wohl zuerst auf R
definiert und dann erst auf N überführt wurde, da bestimmt lange Zeit bevor
"Probleme" wie 2+2+2 erkannt wurden, man mit "Problemen" wie sqrt(2)*sqrt(5)
hantierte ;)

Schöne Grüße,
ChL

[Rainer Rosenthal]

Post by Oliver Jennrich

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

sqrt(2) = 1.41 = 141 Hundertstel
sqrt(5) = 2.24 = 224 Hundertstel

Produkt = 31584 Zehntausendstel = 3.16

sqrt(2*5) = 3.16

Passt schon. Macht's doch bitte nicht komplizierter, als es es ist.
Diese Grundpfeiler sorgen dafür, dass die feinen Überlegungen mit
der Epsilontik auf einem festen Fundament ruhen.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Gottfried Helms]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Oliver Jennrich

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

sqrt(2) = 1.41 = 141 Hundertstel
sqrt(5) = 2.24 = 224 Hundertstel
Produkt = 31584 Zehntausendstel = 3.16
sqrt(2*5) = 3.16
Passt schon. Macht's doch bitte nicht komplizierter, als es es ist.
Diese Grundpfeiler sorgen dafür, dass die feinen Überlegungen mit
der Epsilontik auf einem festen Fundament ruhen.

Seltsam überhaupt. Ich habe gar kein Pluszeichen gesehen,
das vorrangig sein könnte?

Gottfried

[Rainer Rosenthal]

Post by Gottfried Helms

Post by Rainer Rosenthal

Post by Oliver Jennrich
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

sqrt(2) = 1.41 = 141 Hundertstel
sqrt(5) = 2.24 = 224 Hundertstel
Produkt = 31584 Zehntausendstel = 3.16

Seltsam überhaupt. Ich habe gar kein Pluszeichen gesehen,
das vorrangig sein könnte?

Produkt = (141*224) Zehntausendstel = (141+141+...+141)*0.0001
^^^^^^^^^^^^^^^
224-mal

Ommmmm
RR

[Gottfried Helms]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Gottfried Helms

Post by Rainer Rosenthal

Post by Oliver Jennrich
Und weil es eben nicht geht, taugt das Konzept "Multiplikation ist
mehrfach angewendete Addition" jenseits der natürlichen Zahlen nicht
mehr so recht.

sqrt(2) = 1.41 = 141 Hundertstel
sqrt(5) = 2.24 = 224 Hundertstel
Produkt = 31584 Zehntausendstel = 3.16

Seltsam überhaupt. Ich habe gar kein Pluszeichen gesehen,
das vorrangig sein könnte?

Produkt = (141*224) Zehntausendstel = (141+141+...+141)*0.0001
^^^^^^^^^^^^^^^
224-mal
Ommmmm
RR

Ach da.
Ja da dann... :)

Ich meinte in

Post by Rainer Rosenthal

Post by Gottfried Helms

Post by Rainer Rosenthal

Post by Oliver Jennrich

Post by Oliver Jennrich
Ah ja. Was ist eigentlich sqrt(2)*sqrt(5)?

Seltsam überhaupt. Ich habe gar kein Pluszeichen gesehen,
das vorrangig sein könnte?

Da ja?
tadamm :-)

Gottfried

- na ja....

[Rainer Rosenthal]

Post by Christian Lande
"Thomas Schachtner" schrieb

"Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor Strich'?"

aber ganz simpel nachgerechnet gilt diese Regel schon mal alleine
(I) 3 + 2 * 5 = 25 (falls Punkt vor Strich ignoriert wird)
(II) 3 + 2 * 5 = 13 (mit Punkt vor Strich)

Hallo Christian,

das war Thomas schon klar, dass da was Verschiedenes rauskommt.
Er wollte doch wissen, ob diese Konvention (es muss ja erst einmal
eine *geben*, bevor man sie ignorieren kann) einfach nur so da
ist, oder ob eine tiefere Bedeutung dahinter steckt.

Ich wage mal eine Vermutung: das Einfachste ist ja die Addition,
also kann man hemmungslos

33 + 1888 + 13 + 4 + 32

hinschreiben, ohne sonstige störende Zeichen. (1+2)+3 = 1+(2+3)
ist blosse Spielerei.

Will man jetzt irgendwelche von diesen Summanden komplizierter
haben, dann bitte, tut man sich keinen Zwang an:

33 + 1888 + 13 + 2*2 + 32

Alles was dasteht wird halt addiert. Und wenn man's unfreundlich
schreibt, dann ändert das nichts an der einfachen Auffassung:

33 + 1888 + 13 + 2 * 2 + 32

ist immer noch das Gleiche.

So, und jetzt kommen noch kompliziertere Sachen ins Spiel. Da
sorgen dann Klammern für die nötige Ordnung.

So etwa könnte die historische Entwicklung verlaufen sein.
Muss sie aber natürlich nicht. Ich bin da vorsichtig und bin
in der Vorsicht bestärkt worden durch etwas, was ich gestern
im Lexikon geleseb habe: Die 100-teilige Celsius-Skala wurde
von Herrn Celsius erfunden. Allerdings hatte er die Festlegung
100 Grad = Gefrierpunkt und 0 Grad = Siedepunkt von Wasser.
Erst Carl von Linné hat die Skala dann auf den Kopf gestellt
und in dieser Form wird sie seither benutzt.

Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Christian Lande]

"Rainer Rosenthal" schrieb

Post by Rainer Rosenthal
das war Thomas schon klar, dass da was Verschiedenes rauskommt.

ja, von dem bin ich schon auch ausgegangen, ich wollte damit lediglich meine
Behauptung "gilt diese Regel schon mal alleine deswegen, weil das Ergebnis
sonst nicht zwingend korrekt ist" beweisen, nicht daß Thomas das dann
anschließend noch hinterfrägt. Anschließend hab ich ja auch noch versucht,
zu erklären, woher das wohl ursprünglich gekommen sein mag.

Post by Rainer Rosenthal
Will man jetzt irgendwelche von diesen Summanden komplizierter
...
So, und jetzt kommen noch kompliziertere Sachen ins Spiel. Da
sorgen dann Klammern für die nötige Ordnung.
...
So etwa könnte die historische Entwicklung verlaufen sein.

Was ich nun aber weniger glauben mag, ist, daß die historische Entwicklung
so verlaufen ist, daß man Dinge komplizierte hätte schreiben wollen.

Schöne Grüße,
ChL

[K***@lycos.de]

Hi,

es ist schon richtig, dass ein unterschiedliches Ergebnis rauskommt, je
nachdem ob man Punkt-vor-Strich verwendet oder nicht, welches der
beiden Ergebnise man aber als korrekt ansieht ist trotz allem
Konvention. In deiner Rechnung ist 13 deswegen richtig, weil Du
Punkt-vor-Strich eben als korrekt voraussetzt.

Gruß,
Christian

[Christian Lande]

Post by K***@lycos.de
In deiner Rechnung ist 13 deswegen richtig, weil Du
Punkt-vor-Strich eben als korrekt voraussetzt.

gg, na ganz so einfach hab ichs mir ja nun auch wieder nicht gemacht. In
(III) hab ich doch nochmal gezeigt, daß zwar (II) korrekt ist, (I) jedoch
nicht.

Schöne Grüße,
ChL

[Roman]

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, [...]

Richtig.

[Sebastian Lehne]

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Genau wissen tu ich das auch nicht.
Aber ich vermute folgendes:
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)
Wenn ich jetzt 4*3+2 Rechne
Einmal mit Punkt vor Strich
(3+3+3+3)+2=14
Und einmal mit Strich vor Punkt
(3+2)+(3+2)+(3+2)+(3+2)=20
(Die Klammern sind nur der Übersicht halber)
Dann ziehe ich die Punkt vor Strich rechnung vor...
Den andernfalls ergiebt 4*3+3
(3+3)+(3+3)+(3+3)+(3+3)=24
anstatt von
(3+3+3+3)+3=15

Wenn ich jetzt also 4 Körbe mit je 3 Äpfeln habe und noch 2 Äpfel extra,
und ich zähl die dann komm ich eben auf 14 und nich auf 20.
CMIIW

MfG
Sebastian

[fiesh]

Post by Sebastian Lehne
Genau wissen tu ich das auch nicht.
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)

Nein, das stimmt so nicht. Schon auf R kann man eine Funktion angeben,
die additiv aber nicht homogen ist! (Zumindest mit Hilfe des
Auswahlaxioms)

[Oliver Jennrich]

Post by Sebastian Lehne

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Genau wissen tu ich das auch nicht.
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)

Nein, das ist sie nicht. Nicht einmal prinzipiell. Die Auffassung, daß
die Multiplikation eine abkürzende Schreibweise für die Addition ist,
sollte spätestens bei einer Betrachtung der reellen Zahlen zu leichten
Schwindelgefühlen führen.

Was wäre denn z.B. die 'Langform' von sqrt(2)*sqrt(5)?

[Peter Niessen]

Post by Oliver Jennrich

Post by Sebastian Lehne

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Genau wissen tu ich das auch nicht.
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)

Nein, das ist sie nicht. Nicht einmal prinzipiell. Die Auffassung, daß
die Multiplikation eine abkürzende Schreibweise für die Addition ist,
sollte spätestens bei einer Betrachtung der reellen Zahlen zu leichten
Schwindelgefühlen führen.
Was wäre denn z.B. die 'Langform' von sqrt(2)*sqrt(5)?

Wo ist das Problem?
Hint:
Mit Dedekind-Schnitten kann man rechnen und damit die Arithmetik auf Q,
dann auf Z, dann auf N und schlussendlich auf Peano mit S(n)=n+1
zurückführen. Das ist zwar umständlich aber konsistent machbar.

[Oliver Jennrich]

Post by Peter Niessen

Post by Oliver Jennrich

Post by Sebastian Lehne

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Genau wissen tu ich das auch nicht.
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)

Nein, das ist sie nicht. Nicht einmal prinzipiell. Die Auffassung, daß
die Multiplikation eine abkürzende Schreibweise für die Addition ist,
sollte spätestens bei einer Betrachtung der reellen Zahlen zu leichten
Schwindelgefühlen führen.
Was wäre denn z.B. die 'Langform' von sqrt(2)*sqrt(5)?

Wo ist das Problem?

Daß ich die Langform nicht hinschreiben kann.

Post by Peter Niessen
Hint: Mit Dedekind-Schnitten kann man rechnen und damit die
Arithmetik auf Q, dann auf Z, dann auf N und schlussendlich auf
Peano mit S(n)=n+1 zurückführen. Das ist zwar umständlich aber
konsistent machbar.

Sicher ist das konsistent machbar. Weil man die Multiplikation auf den
reelen Zahlen so *definiert*, aber nicht weil ein schreibfauler
Vorfahre eine Abkürzung für sqrt(2)-Summanden sqrt(5) gesucht hat.

[p***@bmlv.gv.at]

...

Post by Oliver Jennrich

Post by Peter Niessen

Post by Oliver Jennrich

Post by Sebastian Lehne
Die Punktrechnung ist ja prinzipiell nur eine zusammengefasste Strich
Rechnung (4*3=3+3+3+3)

Nein, das ist sie nicht. Nicht einmal prinzipiell. Die Auffassung, daß
die Multiplikation eine abkürzende Schreibweise für die Addition ist,
sollte spätestens bei einer Betrachtung der reellen Zahlen zu leichten
Schwindelgefühlen führen.
Was wäre denn z.B. die 'Langform' von sqrt(2)*sqrt(5)?

Wo ist das Problem?

Daß ich die Langform nicht hinschreiben kann.

Post by Peter Niessen
Hint: Mit Dedekind-Schnitten kann man rechnen und damit die
Arithmetik auf Q, dann auf Z, dann auf N und schlussendlich auf
Peano mit S(n)=n+1 zurückführen. Das ist zwar umständlich aber
konsistent machbar.

Sicher ist das konsistent machbar. Weil man die Multiplikation auf den
reelen Zahlen so *definiert*, aber nicht weil ein schreibfauler
Vorfahre eine Abkürzung für sqrt(2)-Summanden sqrt(5) gesucht hat.

Verzeihung, das ich mir hier einmische ...

Aber ist die Addition denn nicht einfach "das Weiterwandern auf dem
Zahlenstrahl"? Dann ist es nämlich egal, ob es um natürliche,
rationale, irrationale oder (in der Ebene) sogar komplexe Zahlen sind
...

Ich kenne mich zugegebenermaßen nicht besonders gut aus, aber die
Addition kommt doch aus dem Zusammenlegen von Mengen (3 Äpfel und 5
Äpfel) - daher auch in |N.
Aber auf dem Zahlenstrahl ergibt sich automatisch die Fortführung auf
|Q und |R ...


Grüße

[Peter Niessen]

Post by p***@bmlv.gv.at
Verzeihung, das ich mir hier einmische ...

Das ist der Sinn einer NG also gibt es nichts zu verzeihen.

Post by p***@bmlv.gv.at
Aber ist die Addition denn nicht einfach "das Weiterwandern auf dem
Zahlenstrahl"? Dann ist es nämlich egal, ob es um natürliche,
rationale, irrationale oder (in der Ebene) sogar komplexe Zahlen sind
...

Damit steckt in der Definiton "Addition" eine ganze Menge an recht
komplizierten Voraussetzungen die man (zugegeben) auf den ersten Blick
nicht sieht.

Post by p***@bmlv.gv.at
Ich kenne mich zugegebenermaßen nicht besonders gut aus, aber die
Addition kommt doch aus dem Zusammenlegen von Mengen (3 Äpfel und 5
Äpfel) - daher auch in |N.

Auch hier hast du schon ein erhebliches Problem:
Das "Zusammenlegen" also Vereinigen der passenden Mengen hier also:
{0,1,2} u {0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}
liefert offensichtlich etwas anderes. Eine Menge mit 8 Elementen (wie
gewünscht) erhält man nicht.

Post by p***@bmlv.gv.at
Aber auf dem Zahlenstrahl ergibt sich automatisch die Fortführung auf
|Q und |R ...

Das ist nicht wirklich falsch aber sehr problematisch:
Wie begründest du denn das IR genauso "lückenlos" ist wie eine euklidsche
Gerade? Euklid schweigt sich hier aus. Bei ihm "sieht" man das es so sein
muss, oder zumindest sollte. Der unangenehme Fall: Was ist eigentlich
Wurzel 2? sollte dir zu denken geben. Nicht umsonst hatten sich die
Griechen mit solchen Zahlen eine "Grundlagenkrise" der Mathematik
eingehandelt.

[Markus Sigg]

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Das ist einfach nur praktisch und spart Klammern. Im Alltag
hat man es ja meist mit Rechnungen der Art 2 Tuben Zahnpasta zu
je 2,49 plus 3 Pack Milch zu je 0,89 plus 6 Tafel Schokolade zu
je 0,99 zu tun, muß also

2 * 2,49 + 3 * 0,89 + 6 * 0,99

ausrechnen. Ist doch gut, daß man hierfür keine Klammern braucht!
Mit der Benutzung von Klammern wären wahrscheinlich viele Leute eh
überfordert (teste doch mal Deine Eltern oder Großeltern, falls die
nicht zufällig eine wissenschaftliche Vorbildung haben).

Gruß,
Markus

[Steffen Buehler]

Post by Markus Sigg

Post by Thomas Schachtner
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt
vor Strich'?"

Das ist einfach nur praktisch und spart Klammern. Im Alltag
hat man es ja meist mit Rechnungen der Art 2 Tuben Zahnpasta zu
je 2,49 plus 3 Pack Milch zu je 0,89 plus 6 Tafel Schokolade zu
je 0,99 zu tun

... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola". Es ist im
allgemeinen Sprachgebrauch (und, soviel ich weiß, in allen Sprachen)
einfach so, daß implizit verstanden wird, zuerst die Zahlen mit den
Gegenständen zu multiplizieren und dann erst die Produkte zu addieren.
(Ansonsten käme ja auch sowas wie "zweimal einen Hamburger plus 3, und
das Ganze noch mal eine Cola" raus, was die Bedienung wahrscheinlich
überfordern würde.)

Und *das*, glaube ich, ist der Hauptgrund für die Regel. Die Sprache ist
wohl vor der Mathematik entstanden, dennoch was es selbst damals im
Neandertal klar, wie man der Frau erklärt, daß man zum Abendessen gerne
zwei Mammutschnitzel und vier Handvoll Blaubeeren hätte.

Viele Grüße
Steffen

[Markus Sigg]

Post by Steffen Buehler
... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola". Es ist im
allgemeinen Sprachgebrauch (und, soviel ich weiß, in allen Sprachen)
einfach so, daß implizit verstanden wird, zuerst die Zahlen mit den
Gegenständen zu multiplizieren und dann erst die Produkte zu addieren.
(Ansonsten käme ja auch sowas wie "zweimal einen Hamburger plus 3, und
das Ganze noch mal eine Cola" raus, was die Bedienung wahrscheinlich
überfordern würde.)

Hm, aber hier wird nichts gerechnet, dies sind nur aufgezählte
Mengenangaben.

Post by Steffen Buehler
Und *das*, glaube ich, ist der Hauptgrund für die Regel. Die Sprache ist
wohl vor der Mathematik entstanden, dennoch was es selbst damals im
Neandertal klar, wie man der Frau erklärt, daß man zum Abendessen gerne
zwei Mammutschnitzel und vier Handvoll Blaubeeren hätte.

Ebenso. Aber daß die Sprache der Ursprung ist, ist schon richtig.
Wenn man anfängt mit "2 mal 5,55 EUR und 3 mal 0,89 EUR und ...",
dann wird zuerst 5,55 mit 2 multipliziert, und es ist klar, daß
auch erst die anderen Produkte auszuführen sind, ehe man addiert.

Wenn man jedoch etwa die Gesamtfläche zweier Rechtecke, ausrechnen
will, die sich eine Seite teilen, sagen wir mit den Abmessungen
2m x 5m und 3m x 5m, dann nimmt man 2 plus 3, und multipliziert das
mit 5. Durch die Aufgabe ist klar, in welcher Reihenfolge man vorgehen
muß.

Die Frage nach Prioritäten und Klammern kommt erst, wenn man das
ganze als Formel schreiben will. Und das ist eben für die meisten
Leute schon höhere Mathematik, mit der man mal in der Schule unter
der Bezeichnung "Algebra" gequält worden ist, aber danach nichts mehr
damit zu tun hatte. Im Alltag schreibt man keine mathematischen
Formeln aufs Papier, sondern höchstens Zwischenergebnisse von
Rechnungen. Naja, heute macht sowieso alles der Taschenrechner oder
Computer. Im ersteren Fall muß man wissen, wie der Taschenrechner
die Operationen priorisiert, da gibt es auch beide Varianten. Ich
vermute, daß meistens das Speicherregister zum Saldieren benutzt wird,
auch wenn der Rechner Punkt-vor-Strich kennt.

Gruß,
Markus

[Steffen Buehler]

Post by Markus Sigg

Post by Steffen Buehler
... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola".

Hm, aber hier wird nichts gerechnet, dies sind nur aufgezählte
Mengenangaben.

Wo ist der Unterschied zu "2h + 3c"?

Post by Markus Sigg
Die Frage nach Prioritäten und Klammern kommt erst, wenn man das
ganze als Formel schreiben will. Und das ist eben für die meisten
Leute schon höhere Mathematik, mit der man mal in der Schule unter
der Bezeichnung "Algebra" gequält worden ist, aber danach nichts mehr
damit zu tun hatte.

Ich glaube, ein Lehrer, der zum Beispiel mein Hamburger/Cola-Szenario
verwendet, braucht die Regel nie mehr zu erklären. YMMV.

Viele Grüße
Steffen

[Markus Sigg]

Post by Steffen Buehler

Post by Markus Sigg

Post by Steffen Buehler
... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola".

Hm, aber hier wird nichts gerechnet, dies sind nur aufgezählte
Mengenangaben.

Wo ist der Unterschied zu "2h + 3c"?

Es wird doch keine Summe gebildet. "2h + 3c" ist keine
mathematische Formel oder Aufgabe, sondern nur eine Abkürzung.
Wenn die Bedienung "zwei Hamburger" und "drei Colas" addiert,
bekommt sie als Ergebnis "5 eßbare Dinge". Diese Bestellung gibt
sie an die Küche weiter. Was kriegt der Gast? Vielleicht fünf
Hähnchenflügel?

Post by Steffen Buehler
Ich glaube, ein Lehrer, der zum Beispiel mein Hamburger/Cola-Szenario
verwendet, braucht die Regel nie mehr zu erklären. YMMV.

Aber man kann doch auch Beispiele angeben, wo zuerst addiert
und dann subtrahiert wird, wie in meiner geometrischen Aufgabe.
Nur ist das im Alltag seltener, glaube ich. Da geht es beim
Rechnen doch meist um Mammon. So ist sie nun mal, unsere Welt.

Gruß,
Markus

[Rainer Rosenthal]

Post by Markus Sigg

Post by Steffen Buehler

Post by Steffen Buehler
... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola".

Wo ist der Unterschied zu "2h + 3c"?

Es wird doch keine Summe gebildet. "2h + 3c" ist keine
mathematische Formel oder Aufgabe, sondern nur eine Abkürzung.
... Nur ist das im Alltag seltener, glaube ich. Da geht es beim
Rechnen doch meist um Mammon. So ist sie nun mal, unsere Welt.

Und weil sie so ist, ist Steffens schön klare Erläuterung brauchbar:
Der Gesamtpreis ist nämlich

G = 2h + 3c

wobei h = Preis für ein Hähnchen und c = Preis für eine Cola.
Die Mehrwertsteuer lassen wir mal weg. Hatten die Neandertaler
ja auch nicht ;-)

Mammutschnitzel Alaaf!
Gruss,
Rainer Rosenthal
***@web.de

[Markus Sigg]

Post by Rainer Rosenthal
Der Gesamtpreis ist nämlich
G = 2h + 3c
wobei h = Preis für ein Hähnchen und c = Preis für eine Cola.
Die Mehrwertsteuer lassen wir mal weg. Hatten die Neandertaler
ja auch nicht ;-)

Jaaa, wenn wir mit Preisen rechnen, dann sind wir genau
bei meinem Beispiel mit Zahnpastatuben und Milchtüten. So
habe ich das McDonalds-Argument aber nicht aufgefaßt.

Post by Rainer Rosenthal
Mammutschnitzel Alaaf!

Gerade halb elf und schon so hungrig?

Gruß,
Markus

[Marc Olschok]

Post by Markus Sigg

Post by Steffen Buehler
... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola". Es ist im
allgemeinen Sprachgebrauch (und, soviel ich weiß, in allen Sprachen)
einfach so, daß implizit verstanden wird, zuerst die Zahlen mit den
Gegenständen zu multiplizieren und dann erst die Produkte zu addieren.
(Ansonsten käme ja auch sowas wie "zweimal einen Hamburger plus 3, und
das Ganze noch mal eine Cola" raus, was die Bedienung wahrscheinlich
überfordern würde.)

Hm, aber hier wird nichts gerechnet, dies sind nur aufgezählte
Mengenangaben.

Für manche Leute bilden aber Hamburger und Cola bereits eine Basis
einer zweidimensionalen Mahlzeit.

Post by Markus Sigg

Post by Steffen Buehler
Und *das*, glaube ich, ist der Hauptgrund für die Regel. Die Sprache ist
wohl vor der Mathematik entstanden, dennoch was es selbst damals im
Neandertal klar, wie man der Frau erklärt, daß man zum Abendessen gerne
zwei Mammutschnitzel und vier Handvoll Blaubeeren hätte.

Ebenso. Aber daß die Sprache der Ursprung ist, ist schon richtig.
Wenn man anfängt mit "2 mal 5,55 EUR und 3 mal 0,89 EUR und ...",
dann wird zuerst 5,55 mit 2 multipliziert, und es ist klar, daß
auch erst die anderen Produkte auszuführen sind, ehe man addiert.
Wenn man jedoch etwa die Gesamtfläche zweier Rechtecke, ausrechnen
will, die sich eine Seite teilen, sagen wir mit den Abmessungen
2m x 5m und 3m x 5m, dann nimmt man 2 plus 3, und multipliziert das
mit 5. Durch die Aufgabe ist klar, in welcher Reihenfolge man vorgehen
muß.

Obwohl dies mit "punkt vor strich" nichts zu tun hat, sondern mit
der Ausnutzung der Distributivität.

Post by Markus Sigg
Die Frage nach Prioritäten und Klammern kommt erst, wenn man das
ganze als Formel schreiben will.[...]

Richtig, insbesondere wenn man Infixnotation verwenden will.

Marc

[Christopher Creutzig]

Post by Steffen Buehler
Und *das*, glaube ich, ist der Hauptgrund für die Regel. Die Sprache ist
wohl vor der Mathematik entstanden, dennoch was es selbst damals im
Neandertal klar, wie man der Frau erklärt, daß man zum Abendessen gerne
zwei Mammutschnitzel und vier Handvoll Blaubeeren hätte.

Und Du meinst, „es wird gegessen, was auf den Höhlenboden kommt“ kam
erst später? ;-)


Gruß,
Christopher

[Rainer Rosenthal]

Post by Christopher Creutzig

Post by Steffen Buehler
Und *das*, glaube ich, ist der Hauptgrund für die Regel. Die Sprache ist
wohl vor der Mathematik entstanden, dennoch was es selbst damals im
Neandertal klar, wie man der Frau erklärt, daß man zum Abendessen gerne
zwei Mammutschnitzel und vier Handvoll Blaubeeren hätte.

Und Du meinst, „es wird gegessen, was auf den Höhlenboden kommt“ kam
erst später? ;-)

Nicht schon wieder ein Höhlengleichnis bitte ;-)

Gruss,
Raineanderthal
***@web.de

[Oliver Jennrich]

Post by Steffen Buehler

Post by Markus Sigg

Post by Thomas Schachtner
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt
vor Strich'?"

Das ist einfach nur praktisch und spart Klammern. Im Alltag
hat man es ja meist mit Rechnungen der Art 2 Tuben Zahnpasta zu
je 2,49 plus 3 Pack Milch zu je 0,89 plus 6 Tafel Schokolade zu
je 0,99 zu tun

... oder noch einfacher: "zwei Hamburger und drei Cola". Es ist im
allgemeinen Sprachgebrauch (und, soviel ich weiß, in allen Sprachen)
einfach so, daß implizit verstanden wird, zuerst die Zahlen mit den
Gegenständen zu multiplizieren und dann erst die Produkte zu addieren.

So, was darf es denn zu trinken sein?
Ah ja, 2..3..4..6,7,8 Bier und 1,2,3,..5 Wasser. Gut kommt sofort.

[Hugo Pfoertner]

Post by Thomas Schachtner
Hallo Leute,
wahrscheinlich stelle ich hier eine ziemlich doofe Frage, aber mir
konnte sie bisher noch niemand schlüssig beantworten.
Die Frage lautet ganz einfach: "Warum gibt es die Rechenregel 'Punkt vor
Strich'?"
Ist das nur eine Konvention, um sich lästiges Klammernsetzen zu
ersparen, also statt "(a x b) + (c x d)" einfach "ab + cd" schreiben zu
können? Oder steckt da mehr dahinter?
Viele Grüße,
Thomas

Normalerweise halt ich mich ja aus solchen Diskussionen raus, aber
diesen Link kann ich doch fuer die des Englischen Maechtigen empfehlen:
http://mathforum.org/library/drmath/view/52582.html

Hugo