Konvergenz und Fibonacci-Folge

[Nicolas v. Wedel]

Hallo zusammen,

bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhältnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
nicht verstanden:

1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)

2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschränktheit
b) Nachweis der Monotonie

Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschränktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulässig!? Denn die
Beschränktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gäbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?

Dank für kurze Info.

Gruss Nico

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Nicolas v. Wedel
Hallo zusammen,
bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhältnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)
2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschränktheit
b) Nachweis der Monotonie
Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschränktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulässig!? Denn die
Beschränktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gäbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?
Dank für kurze Info.
Gruss Nico

Hallo Nico!

Die Fibonacci-Folge ist unbeschränkt nach oben.
Vermutlich meinst die die Folge <x_n> der Fibonacci-Quotienten
x_n:= F_{n+1}/F_n. Diese Folge ist aber nicht monoton; sie konvergiert
gegen die Schnittzahl Phi.
Der einfachste Konvergenzbeweis geht mit Hilfe der Binet'schen Formel:

Es gilt F_n = (1/sqrt(5))*(a^n - b^n), wobei a:=(1+sqrt(5))/2 und
b:=(1-sqrt(5))/2 ist.

Es gilt daher x_n = (a^(n+1)- a^(n+1)/(a^n - b^n)=
= a* (1- (b/a)^(n+1))/(1 - (b/a)^n). (*)

Nun ist aber abs(b/a)= (3-sqrt(5))/2 < 1 .
Aus (*) folgt daher lim(n->oo) x_n = a = Phi.

Die Binet'sche Formel erhält man durch Lösung der Differenzengleichung

F_{n+2}=F_{n+1} + F_n mit F_1=F_2=1 .

Gruss,
Wolfgang Kirschenhofer

[Thomas Nordhaus]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Die Fibonacci-Folge ist unbeschränkt nach oben.
Vermutlich meinst die die Folge <x_n> der Fibonacci-Quotienten
x_n:= F_{n+1}/F_n. Diese Folge ist aber nicht monoton; sie konvergiert
gegen die Schnittzahl Phi.

Hier noch ein alternativer Beweis (der nur allgemeine, elementare
Kenntnisse von 1-dimensionalen Differenzengleichungen bzw.
1-dimensionalen diskreten dynamischen Systemen benutzt):

Die x_n erfüllen die Rekursionsgleichung x_(n+1) = f(x_n) mit f(x) = 1 +
1/x. X = (sqrt(5)+1)/2 = 1,618... ist der einzige positive Fixpunkt von
f. Da |f'(X)| = 1/X^2 < 1 konvergiert die Folge der x_n zunächst lokal,
d.h. für Anfangswerte x0 in der Nähe von X. Die Konvergenz ist
allerdings nicht monoton sondern "alternierend um X herum".

Die globale Konvergenz (für positive Startwerte) bekommt man, wenn man
sich g(x) := f(f(x)) anschaut. g(x) = 2 - 1/(x+1) ist monoton steigend
mit g'(X) = 1/(X+1)^2 (= (f'(X))^2). Also 0 < g'(X) < 1. Die Folge x0,
g(x0), g(g(x0)) ... konvergiert dann aber monoton steigend für x0 < X
bzw. monoton fallend für x0 > X gegen X. Dann muss aber auch die Folge
der Iterierten unter f gegen X konvergieren - sie setzt sich nämlich
durch "Verschränkung" von 2 gegen X konvergierender Folgen von
Iterierten unter g zusammen.

[k. Schubser]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Die Binet'sche Formel erhält man durch Lösung der Differenzengleichung
F_{n+2}=F_{n+1} + F_n mit F_1=F_2=1 .

Siehe:
http://delphi.zsg-rottenburg.de/rekursivefolgen.html

Gruß
K.

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Nicolas v. Wedel
Hallo zusammen,
bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhältnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)
2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschränktheit
b) Nachweis der Monotonie
Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschränktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulässig!? Denn die
Beschränktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gäbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?
Dank für kurze Info.
Gruss Nico

Hallo Nico!

Korrektur eines Schreibfehlers:

Es muß natürlich heißen:
Es gilt daher x_n = (a^(n+1)- b^(n+1))/(a^n - b^n)

Wolfgang Kirschenhofer

[k. Schubser]

Post by Wolfgang Kirschenhofer
Die Binet'sche Formel erhält man durch Lösung der Differenzengleichung
F_{n+2}=F_{n+1} + F_n mit F_1=F_2=1 .

Dabei handelt es sich um eine
homogene lineare rekursive Folge 2. Grades ...,
deren Glieder man durch eine geschlossene Formel angeben
kann. Siehe:

http://delphi.zsg-rottenburg.de/rekursivefolgen.html

Gruß
K.

[Nicolas v. Wedel]

Post by Nicolas v. Wedel
Hallo zusammen,
bei der Suche nach einem griffigen Beweis dafür, dass der Grenzwert der
Fibonacci-Folge Phi (Streckenverhältnis des Goldnen Schnitt) ist, stolperte
ich ueber Vorgehensweisen, die entweder falsch sind oder aber - ich habe was
1. Bestimmung des ANGENOMMENEN Grenzwertes (... geht relativ fix und man ist
bei Phi angekommen)
2. Bestimmung der Konvergenz der Fibonacci-Folge durch
a) Nachweis der Beschränktheit
b) Nachweis der Monotonie
Soweit alles klar. Wo ich nicht mitkomme ist, daß einige (bspw. Harald Scheid
in seinen "Folgen und Funktionen") die Beschränktheit der Folge aus dem 1.
Beweisteil nehmen, also (1<=Glied der Folge <= Phi) und nur noch die
Monotonie nachweisen. Das aber ist doch logisch nicht zulässig!? Denn die
Beschränktheit beruht ja nur auf der ANNAHME, es gäbe einen Grenzwert der
Folge.
Sehe ich das richtig oder falsch?
Dank für kurze Info.
Gruss Nico

Dank Euch, vor allem Wolfgang fuer den Binet-Exkurs. Sorry - natuerlich
meinte ich die Folge der Fibonacci-Quotienten :-)

Mein Gedanke war ehedem, den Konvergenznachweis eben OHNE die (anmutige)
Binet-Formel zu erbringen, also wie oben angeführt.

Streng genommen fehlte mir ja nur noch der Nachweis der Beschränktheit, wenn
ich - und das ist mein Problem - Phi nicht als obere Schranke heranziehe, die
ich als gewonnenen Grenzwert ja lediglich ANGENOMMEN habe.

Andersrum gefragt:

Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich

1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise

gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Grüsse

Nico

[Jutta Gut]

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten eben
nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium "monoton
und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem Beispiel nichts. Du
könntest vielelicht zeigen, dass die Folge alternierend ist (also
abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 - a_n| gegen 0 geht.

Grüße
Jutta

[Hendrik van Hees]

Ich weiß nicht, ob schon jemand den Tip gegeben hat, daß die
Fibonaccifolgen einen zweidimensionalen Untervektorraum des Vektorraums
der Folgen bilden und daß es zwei linear unabhängige geometrische Folgen
gibt, die man als Basis verwenden kann. Dann wird der Beweis für den
Grenzwert der Quotienten (Goldener Schnitt) schön einfach :-).

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert (also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Hendrik van Hees
Ich weiß nicht, ob schon jemand den Tip gegeben hat, daß die
Fibonaccifolgen einen zweidimensionalen Untervektorraum des Vektorraums
der Folgen bilden und daß es zwei linear unabhängige geometrische Folgen
gibt, die man als Basis verwenden kann. Dann wird der Beweis für den
Grenzwert der Quotienten (Goldener Schnitt) schön einfach :-).

Hallo Hendrik!

Siehe meinen Beweis vom 6.12.09

Gruß,
Wolfgang Kirschenhofer

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

Hallo Nicolas!

Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.

Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden:
Ich verwende:
x_n >=1 (1)
und
Phi - 1 = 1/Phi (2)

Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt

x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)

Aus (3) und (2) folgt

Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =
=(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter,
wegen x_n>=1, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

|Phi - x_n| -> 0 für n->oo


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

[Nicolas v. Wedel]

----- Begin Forwarded Message -----

Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100
Subject: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
From: Wolfgang Kirschenhofer <***@kstp.at>
Newsgroups: de.sci.mathematik

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

Hallo Nicolas!

Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.

Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1 (1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)

Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt

x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)

Aus (3) und (2) folgt

Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =
=(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen x_n>=1,
daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

|Phi - x_n| -> 0 für n->oo


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer


----- End Forwarded Message -----


Hallo Wolfgang,

Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.

Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hätte ich alt
ausgesehen :-)

Gruss Nico

[Nicolas v. Wedel]

----- Begin Forwarded Message -----

Date: Mon, 7 Dec 2009 21:42:24 +0100
Subject: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
From: Nicolas v. Wedel <***@wirklichkeiten.com>
Newsgroups: de.sci.mathematik


----- Begin Forwarded Message -----

Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100 Subject: Re: Konvergenz
und Fibonacci-Folge From: Wolfgang Kirschenhofer

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

Hallo Nicolas!

Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.

Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1 (1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)

Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt

x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)

Aus (3) und (2) folgt

Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =
=(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen x_n>=1,
daß

Hier Wolfgang, stolpere ich: Wäre x_n-1 >=1, dann wäre Gl. 4 unmittelbar
klar, aber für n=1 folgt der nicht definierte Wert x_0 und aus x_n>=1
weiss ich nicht, wie ich auf x_n-1 >=1 schließen soll. Der Schluss ist
aber doch erforderlich, weil sonst Gl. (4) nicht korrekt hergeleitet
wäre - oder???

|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

|Phi - x_n| -> 0 für n->oo


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer


----- End Forwarded Message -----


Hallo Wolfgang,

Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.

Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hätte ich alt
ausgesehen :-)

Gruss Nico

----- End Forwarded Message -----

[Wolfgang Kirschenhofer]

Post by Nicolas v. Wedel
----- Begin Forwarded Message -----
Date: Mon, 7 Dec 2009 21:42:24 +0100
Subject: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
Newsgroups: de.sci.mathematik
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Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100 Subject: Re: Konvergenz
und Fibonacci-Folge From: Wolfgang Kirschenhofer

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

Hallo Nicolas!
Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.
Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1 (1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)
Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt
x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)
Aus (3) und (2) folgt
Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =
=(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter
|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen x_n>=1,
daß
Hier Wolfgang, stolpere ich: Wäre x_n-1 >=1, dann wäre Gl. 4 unmittelbar
klar, aber für n=1 folgt der nicht definierte Wert x_0 und aus x_n>=1
weiss ich nicht, wie ich auf x_n-1 >=1 schließen soll. Der Schluss ist
aber doch erforderlich, weil sonst Gl. (4) nicht korrekt hergeleitet
wäre - oder???
|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)
Und aus (4) folgt durch Induktion, daß
|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)
Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß
|Phi - x_n| -> 0 für n->oo
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
----- End Forwarded Message -----
Hallo Wolfgang,
Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.
Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hätte ich alt
ausgesehen :-)
Gruss Nico
----- End Forwarded Message -----

Hallo Nicolas!

Ich war in der Ausführung etwas schlampig, weil es beim Beweis nicht
darauf ankommt, ob man mit x_1 oder x_2 usw. beginnt.
Jetzt genauer:
Es gilt natürlich x_n>=1 für alle n>=1, aber Gleichung (3) gilt nur für
alle n>=2 und Ungleichung (4) ebenfalls nur für alle n>=2.
Ungleichung (5) gilt aber wieder für alle n>=1, denn
|Phi-x_1|<=|Phi-x_1|/(Phi^0)=|Phi-x_1|
Der undefinierte Wert x_0 kommt jetzt nicht mehr vor.

Ich hoffe, nun ist deine Frage beantwortet.

Gruss,
Wolfgang Kirschenhofer

[Nicolas v. Wedel]

Post by Wolfgang Kirschenhofer

Post by Nicolas v. Wedel
----- Begin Forwarded Message -----
Date: Mon, 7 Dec 2009 21:42:24 +0100
Subject: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
Newsgroups: de.sci.mathematik
----- Begin Forwarded Message -----
Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100 Subject: Re: Konvergenz
und Fibonacci-Folge From: Wolfgang Kirschenhofer

Post by Jutta Gut

Post by Nicolas v. Wedel
Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich
1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschränktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise
gemäß dem Sprüchlein "monoton und beschränkt ist konvergent".

Wie schon ein paarmal erwähnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschränkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.
Grüße
Jutta

Hallo Nicolas!
Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.
Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1
(1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)
Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt
x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)
Aus (3) und (2) folgt
Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =
=(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

Post by Jutta Gut
Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen
x_n>=1,

daß
Hier Wolfgang, stolpere ich: Wäre x_n-1 >=1, dann wäre Gl. 4 unmittelbar
klar, aber für n=1 folgt der nicht definierte Wert x_0 und aus x_n>=1
weiss ich nicht, wie ich auf x_n-1 >=1 schließen soll. Der Schluss ist
aber doch erforderlich, weil sonst Gl. (4) nicht korrekt hergeleitet
wäre - oder???

Post by Jutta Gut
Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

Post by Jutta Gut
Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

Post by Jutta Gut
Phi - x_n| -> 0 für n->oo

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
----- End Forwarded Message -----
Hallo Wolfgang,
Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.
Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hätte ich alt
ausgesehen :-)
Gruss Nico
----- End Forwarded Message -----

Hallo Nicolas!
Ich war in der Ausführung etwas schlampig, weil es beim Beweis nicht
darauf ankommt, ob man mit x_1 oder x_2 usw. beginnt.
Es gilt natürlich x_n>=1 für alle n>=1, aber Gleichung (3) gilt nur für
alle n>=2 und Ungleichung (4) ebenfalls nur für alle n>=2.
Ungleichung (5) gilt aber wieder für alle n>=1, denn

Post by Nicolas v. Wedel
Phi-x_1|<=|Phi-x_1|/(Phi^0)=|Phi-x_1|

Der undefinierte Wert x_0 kommt jetzt nicht mehr vor.
Ich hoffe, nun ist deine Frage beantwortet.
Gruss,
Wolfgang Kirschenhofer

Hallo Wolfgang,

alles klar. Dank Dir.

Nico