Potenzreihen auf dem Rand des Konvergenzkreises

[Jens Dittrich]

Guten Tag liebe Gruppe,

eigentlich ist das Thema Potenzreihen ja schon etwas ausgelutscht. Ich
hoffe trotzdem, einige für dieses Problem interessieren zu können.

Zunächst glaubte ich, einmal gelesen zu haben, dass bei einer
Potenzreihe in einem Randpunkt des Konvergenzkreises ein Pol ist. Dass
mein Glaube falsch ist, zeigt das folgende Beispiel. Allerdings bleibe
ich dabei, dass irgendwas schlimmes auf dem Rand passieren sollte.

(1) P(z) := \sum_{k=1}^\infty z^k/k^2

Mit dem Quotientenkriterium zeigt man schnell Konvergenz für |z| < 1 und
Divergenz für |z| > 1. Außerdem liefert das Majorantenkriterium
Konvergenz für |z| = 1. Nach dem Abelschen Stetigkeitssatz stellt somit
die Funktion

(2) r |-> P(re^{it}), 0 <= r <= 1

für jedes t eine stetige Funktion da. Nun ist die Vermutung, dass
zumindest die Funktion

(3) t |-> P(e^{it}), 0 <= t < 2\pi.

Unstetigkeitsstellen hat, denn sonst wäre P:\overline B -> IC eine
stetige Funktion, was der Vermutung, dass irgendwas schlimmes auf dem
Rand passieren muss, widerspricht.

Nun ist meine Frage, wo kann man genau Aussagen über das Randverhalten
von Potenzreihen nachlesen? Wie zeigt man für (3) die Existenz von
Unstetigkeitsstellen? Ich vermute, dass es einen Zusammenhang zu
Fourierreihen geben muss:

Sei Q = Q(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k eine Potenzreihe mit
Konvergenzradius R > 0 und (reellen) Koeffizienten a_k. Dann ist der
Real- und Imaginärteil der Funktion

(4) t |-> Q(Re^{it}) = \sum_{k=0}^\infty R^k a_k \cos (kt)

+ i \sum_{k=0}^\infty R^k a_k \sin (kt)

eine formale Fourierreihe.

Das Ganze wird wohl auch mit komplexen Koeffizienten irgendwie
funktionieren.

Viele Grüße,
Jens.

[Gottfried Helms]

Post by Jens Dittrich
Nun ist meine Frage, wo kann man genau Aussagen über das Randverhalten
von Potenzreihen nachlesen? Wie zeigt man für (3) die Existenz von
Unstetigkeitsstellen? Ich vermute, dass es einen Zusammenhang zu

Kennst Du Konrad Knopp "Theorie und Anwendung unendlicher Reihen"?
Dürfte in jeder Uni-Bib vorhanden sein, gibts sogar als PDF online
(Göttinger Digicenter). Speziell auch für Selbststudium gedacht,
mit vielen Beispielrechnungen und Übungsaufgaben.

HTH -

Gottfried

[Hendrik van Hees]

Post by Jens Dittrich
Zunächst glaubte ich, einmal gelesen zu haben, dass bei einer
Potenzreihe in einem Randpunkt des Konvergenzkreises ein Pol ist. Dass
mein Glaube falsch ist, zeigt das folgende Beispiel. Allerdings bleibe
ich dabei, dass irgendwas schlimmes auf dem Rand passieren sollte.

Tut's ja auch. Bilde mal die Ableitung:

P'(z)=sum_{k=1}^{\infty} z^{k-1}/k,

und diese Reihe divergiert für z=1, d.h. die Ableitung divergiert und
also ist die Funktion in z=1 nicht holomorph. Daher ist der
Konvergenzradius 1.

[Thomas Nordhaus]

Post by Hendrik van Hees

Post by Jens Dittrich
Zunächst glaubte ich, einmal gelesen zu haben, dass bei einer
Potenzreihe in einem Randpunkt des Konvergenzkreises ein Pol ist. Dass
mein Glaube falsch ist, zeigt das folgende Beispiel. Allerdings bleibe
ich dabei, dass irgendwas schlimmes auf dem Rand passieren sollte.

P'(z)=sum_{k=1}^{\infty} z^{k-1}/k,
und diese Reihe divergiert für z=1, d.h. die Ableitung divergiert und
also ist die Funktion in z=1 nicht holomorph. Daher ist der
Konvergenzradius 1.

Anmerkung: P'(z) = -ln(1-z) / z für z !=0
P'(1) = 1 für z=0

Und P(z) = - Int [0..z] ln(1-z) / z dz falls |z| < 1.

Interessant ist aber die Frage, ob P(z) im Abschluss der
Einheitskreisscheibe (mit der induzierten Metrik) Unstetigkeitsstellen
hat - die dann natürlich zwangsläufig auf dem Rand liegen müssen. Für
die reelle Funktion P(x) auf dem Intervall [-1,1] gilt das nicht, die
ist dort C^0.

Dazu müsste man sich mal die Fourierreihen Sum sin(nt) / n^2, Sum
cos(nt) / n^2 angucken. Haben die nicht Sprungstellen?

[Jens Dittrich]

Guten Tag liebe Gruppe, [...]

Vielen Dank für eure Antworten, dank der Literatur kann man doch tiefer
einsteigen. Danke auch an Hendrik für den Hinweis, ich war da irgendwie
blind.

Viele Grüße,
Jens