Abb zwischen offen/abgeschlossen

[Lena M]

Hallo!

Gibt es Abbildungen, die offene Intervalle des R auf abgeschlossene (nicht
einelementige) Intervalle des R abbilden und umgekehrt?

Danke
Lena

[Stefan Ram]

Post by Lena M
Gibt es Abbildungen, die offene Intervalle des R auf
abgeschlossene (nicht einelementige) Intervalle des R abbilden
und umgekehrt?

Die identische Abbildung auf R bildet das
offene Intervall R auf das abgeschlossene
Intervall R ab (wenn man R als das Intervall
(-oo,+oo) ansieht).

[Hero]

Die sinus Funktion bildet ein offenens Intervall,
das groesser als 2*pi ist doch wohl
auf das Intervall [ -1,+1] ab,oder ?
Viel Erfolg bei der Pruefung
Hero

[Manuel Hölß]

Und wenn's 'echte' Intervalle sein sollen, also sowaas wie f: (-1,1) ->
[-1,1], dann geht vielleicht:
f(x) = ½ sqrt(3)·(x³-x)

Grüße.

[Patrick Frankenberger]

Post by Lena M
Gibt es Abbildungen, die offene Intervalle des R auf abgeschlossene (nicht
einelementige) Intervalle des R abbilden und umgekehrt?

Ja. z.B. R+ auf [0,1] mit
0+Divisionsrest beim Teilen durch 1, für floor(x) grade und
1-Divisionsrest beim Teilen durch 1, für floor(x) ungerade.

Wenn du stetige Abbildungen und echte Teilintervalle von R haben willst
wird es mit Gegenbeispielen schwer. Zum Beweise suchen ist es mir zu spät...

Gruß,
Patrick

[Horst Kraemer]

Post by Lena M
Hallo!
Gibt es Abbildungen, die offene Intervalle des R auf abgeschlossene (nicht
einelementige) Intervalle des R abbilden und umgekehrt?

Ja, allerdings keine stetigen. Hier als Baustein eine Abbildung, die
das offene Intervall (0,1) bijektiv auf das halboffene Intervall (0,1]
abbildet.

Man betrachte die Folge

b_k = 1/k, k=1,2,...

Dann ist (0,1) ist die disjunkte Vereinigung der Intervalle

U_k := [a_{k+1},a_k) , k=1,2,,...

und (0,1] die disjunkte Vereinigung der Intervalle

V_k := (a_{k+1},a_k] , k=1,2,,...


Dann ist fuer jedes k die Abbildung

f_k: x -> a_{k+1}+a_k - x

die mit ihrer Umkehrabbildung uebereinstimmt, eine bijektive Abbildung
zwischen U_k und V_k. Damit ist die Vereinigung der f_k fuer
k=0,1,2.... eine bijektive Abbildung zwischen (0,1) und [0,1].

[Gottfried von Korinth]

Post by Horst Kraemer

Post by Lena M
Hallo!
Gibt es Abbildungen, die offene Intervalle des R auf abgeschlossene (nicht
einelementige) Intervalle des R abbilden und umgekehrt?

Ja, allerdings keine stetigen. Hier als Baustein eine Abbildung, die
das offene Intervall (0,1) bijektiv auf das halboffene Intervall (0,1]
abbildet.

Die Wahrheit ist, daß die Frage nicht klar fomuliert war. Wenn man sie so
versteht, ob es jeweils eine Abbildung f gibt von einem offenen Intervall
auf ein abgeschlossenes und eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein). Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden. Aber endliche offene Intervalle sind nicht
homöomorph zu endlichen abgeschlossenen Intervallen.

[Wolfgang Thumser]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein).

Die wuerde mich jetzt doch interessieren.

Post by Gottfried von Korinth
Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden.

Wo ist eine solche Abbildung g angegeben worden?

Gruss Wolfgang

[Gottfried von Korinth]

Post by Wolfgang Thumser
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein).

Die wuerde mich jetzt doch interessieren.

Post by Gottfried von Korinth
Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden.

Wo ist eine solche Abbildung g angegeben worden?

Hahaha. Mea maxima culpa. Es ist eine C^oo-Abbildung angegeben worden, die
ein offenes Intervall auf ein abgeschlossenes Intervall abbildet.
(Immerhin scheint es, daß sich das mathematische Leben wieder regt nach dem
Desaster.)

[Horst Kraemer]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Wolfgang Thumser
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein).

Die wuerde mich jetzt doch interessieren.

Post by Gottfried von Korinth
Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden.

Wo ist eine solche Abbildung g angegeben worden?

Hahaha. Mea maxima culpa. Es ist eine C^oo-Abbildung angegeben worden, die
ein offenes Intervall auf ein abgeschlossenes Intervall abbildet.

Wo ist sie, wo ist sie denn nur ?

[Gottfried von Korinth]

Post by Horst Kraemer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Wolfgang Thumser
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein).

Die wuerde mich jetzt doch interessieren.

Post by Gottfried von Korinth
Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden.

Wo ist eine solche Abbildung g angegeben worden?

Hahaha. Mea maxima culpa. Es ist eine C^oo-Abbildung angegeben worden, die
ein offenes Intervall auf ein abgeschlossenes Intervall abbildet.

Wo ist sie, wo ist sie denn nur ?

Übersehe ich etwas? Tut es nicht

x |->sin(x)

auf dem Intervall (-1,2pi+1)? Das Bild ist doch [-1,1].

[Horst Kraemer]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Horst Kraemer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Wolfgang Thumser
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
eine andere Abbildung g von einem
abgeschlossenen Intervall auf eine offene, so ist die Antwort natürlich ja,
so etwas gibt es (und sie können sogar C^oo sein).

Die wuerde mich jetzt doch interessieren.

Post by Gottfried von Korinth
Solche Abbildungen sind
bereits angegeben worden.

Wo ist eine solche Abbildung g angegeben worden?

Hahaha. Mea maxima culpa. Es ist eine C^oo-Abbildung angegeben worden, die
ein offenes Intervall auf ein abgeschlossenes Intervall abbildet.

Wo ist sie, wo ist sie denn nur ?

Übersehe ich etwas? Tut es nicht
x |->sin(x)
auf dem Intervall (-1,2pi+1)? Das Bild ist doch [-1,1].

Nein. Ich uebersehe etwas. Ich habe "Abbildung eines offenen
Intervalls auf ein abgeschlossenes Intervall" gelesen und "Abbildung
eines abgeschlossenen Intervalls auf ein offenes Intervall" verstanden
;-)

[Hero]

Kann man zeigen, daß man
kein abgeschlossenes Intervall
des R stetig auf ein offenes
abbilden kann ?
Konstruierend bin ich so weit,
dass ich, egal wie ich versuche
das abgeschlossene Intervall
zu teilen, stets ja einen Punkt
bekomme, als Abschluss
einer der beiden Haelften, oder
als Einzelpunkt zwischen
zwei offenen Enden.Tja, und
worauf bildet man nun diesen
Punkt ab ? - das geht nicht "offen".
Frohe Ostern
Hero

[Wolfgang Thumser]

Hallo Hero,

Post by Hero
Kann man zeigen, daß man
kein abgeschlossenes Intervall
des R stetig auf ein offenes
abbilden kann?

Schau Dir 'mal die verschiedenen
Definitionen von Stetigkeit an,
dann beantwortet sich Deine Frage
von selbst.

Gruss Wolfgang

[Gottfried von Korinth]

Post by Hero
Kann man zeigen, daß man
kein abgeschlossenes Intervall
des R stetig auf ein offenes
abbilden kann ?
Konstruierend bin ich so weit,
dass ich, egal wie ich versuche
das abgeschlossene Intervall
zu teilen, stets ja einen Punkt
bekomme, als Abschluss
einer der beiden Haelften, oder
als Einzelpunkt zwischen
zwei offenen Enden.Tja, und
worauf bildet man nun diesen
Punkt ab ? - das geht nicht "offen".
Frohe Ostern
Hero

Sei [a,b] ein beschränktes Intervall. Wenn es eine stetige Abbildung

f : [a,b]->(c,d)

gäbe, würde man sich fragen, wo diese Abbildung denn ihr Maximum und
Minimum annimmt. (Stetige Funktionen von R nach R nehmen auf
abgeschlossenen Intervallen (oder allgemeiner auf kompakten Mengen) ihr
Maximum und ihr Minimum an.)

[Hero]

Na klar,
Wolfgang und jb.
Danke
Hero

[Hero]

Na klar,
Wolfgang und jb.
Danke
Hero