Post by Hans CraueIAndreas Leitgeb schrieb
Post by Andreas LeitgebAngenommen, jemand (mit Hang zur Esoterik) hat die sechs Richtigen
getrÀumt, und ist sich 100% sicher, dass die auch kommen werden.
Wie oft muss er diese Zahlen nun gleichzeitig fÃŒr ebendiese Runde tippen,
damit er (auch im Falle, dass er mit weiteren glÃŒckhabenden Spielern teilen
muss) aber unter der Annahme dass die Zahlen wirklich die Richtigen sind,
den grö�ten Gewinn (als *Differenz*: Auszahlung - Einsatz gerechnet) macht?
Da m.W. die Gewinnsumme beim Hauptgewinn durch alle richtigen Tipps
geteilt wird, bekommt man im Fall, dass es mehrere richtige Tipps
- etwa m - von anderen gibt, und man selbst n Tipps abgibt, einen
Anteil von n/(m+n).
Interessant wäre noch, nicht nur diesen Anteil, sondern den
tatsächlichen Gewinn zu betrachten.
Ich gehe mal davon aus, daß alle Spieler in einen gemeinsamen
"Gewinn-Topf" einzahlen und die eingezahlte Summe restlos auf die
Gewinner aufgeteilt wird; dabei ist ein eventueller (zusätzlicher)
"Lospreis" noch nicht mit eingerechnet.
Zur Vereinfachung nehme ich an, daß der Einsatz pro Tip genau 1
Geldeinheit beträgt. (Mit x Geldeinheiten statt 1 ändert sich die
Betrachtung nur unwesentlich).
Angenommen, es spielen noch k Spieler mit, die falsch tippen. Dann gilt
für den Gewinn G eines einzelnen Spielers G = Auszahlung - Einsatz
G = n/(m+n)*(m+n+k) - n.
Das kann man zusammenfassen zu
G = n*k/(m+n).
Für den Fall, daß k=0 ist, ist z.B. G=0, d.h. dann spielt es gar keine
Rolle, wie n und m sind.
Für den Fall, daß k>0 ist, ergibt sich "überraschenderweise" (ist das
wirklich überraschend?), daß der Gewinn gerade das k-fache des Anteils
n/(m+n) ist.
Post by Hans CraueIJe groesser n ist, um so mehr steigt der Anteil
an, wie man an n/(m+n) = 1/(1+m/n) sieht.
Der Anteil steigt, aber auch der Einsatz n.
Man könnte daher zunächst meinen, daß mit wachsendem n zwar einerseits
der Gewinn steigt, dies aber evtl. durch den ebenfalls wachsenden
Einsatz n wieder "aufgefressen" wird.
Aber offenbar ist dem nicht so, siehe die 2. Formel für G.
Post by Hans CraueIAm besten steht man im Fall m = 0 da, da ist n = 1 die beste Loesung.
Im Fall m = 0 ist der Anteil doch unabhängig von n immer 1.
D.h. es ist bei m = 0 für den Anteil völlig egal, wie groß n ist?!
Das gleiche trifft auch für den Gewinn G im Fall m = 0 zu:
G = n*k/(0+n) = k,
d.h. es spielt bei m=0 überhaupt keine Rolle, wieviele richtige Tipps
man abgibt; man gewinnt immer k.
Post by Hans CraueIIst m > 0, so geht der Anteil mit wachsendem n streng monoton gegen 1;
dies trifft voellig unabhaengig von der Groesse von m (> 0) zu.
Für den Gewinn gilt die Konvergenz
lim_{n -> oo} G = k.
Das bedeutet, für "sehr große n" gewinnt man ungefähr das, was die
Falsch-Tipper eingezahlt haben; zumindest, wenn die Anzahl m der anderen
Richtig-Tipper überschaubar klein ist.
[Eigener Einsatz n]
Post by Hans CraueIIch wuerde es davon abhaengig machen, wie gross ich m schaetze, und
dann etwa n = max{1,m} waehlen. Dann haette ich, erwartungstreue
Schaetzung von m unterstellend, etwas mehr als die Haelfte der
Gewinnsumme zu erwarten.
Warum nicht mehr? Man könnte genausogut n = max{1,9*m} wählen. Das
dürfte sowohl den Erwartungswert des Anteils als auch den Erwartungswert
des Gewinns erhöhen (da der Gewinn ja lediglich das k-fache des Anteils
ist).
Rein rechnerisch kommt das etwas merkwürdige Ergebnis heraus, daß man n
"so groß wie nur irgendwie möglich" wählen sollte, zumindest, wenn die
anderen Gewinn-Spieler nicht ebenso denken. Im Prinzip bräuchte man m
dazu gar nicht schätzen.
Post by Hans CraueIDie Lose kosten natuerlich auch noch was,
das ist hier nicht einberechnet. Fuer grosses m macht sich das
schon bemerkbar.
Mit den Kosten für die Lose meinst du sicher Kosten, die *nicht* mit in
den "Gewinn-Topf" eingehen?
In diesem Fall dürfte die Devise "n so groß wie möglich" nicht mehr
aufgehen, da dann die Formel für G zu
G = n/(m+n)*(m+n+k) - n*(1+x)
zu modifizieren wäre mit x>0. Hierbei ist x die Preisdifferenz, die man
für ein Los mehr zahlen muß, welche *nicht* mit in den Gewinn-Topf kommt.
--
Post by Hans CraueIEigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)