Unterscheidung Vektor und Koordinaten-n-Tupel

[Andreas Heyer]

Hallo NG,

folgende Frage zur lin. Algebra:

Ein Vektor im R^n kann man bekanntlich als n-Tupel schreiben.
Stellt man diesen Vektor mit Hilfe einer Basis dar, dann erhält
man ebenfalls n Koeffizienten, die ein Koordinaten-n-Tupel
bilden.
In der Physik wird mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention
ein Vektor x mit Hilfe einer Basis b_i so geschrieben:
x=b_i*x^i

Die x^i sind also die Koordinaten des Vektors bezüglich der
Basis. Das n-Tupel der x^i wird als Kovektor bezeichnet. Bis
jetzt habe ich das Kovektor immer von kovariant abgeleitet
angesehen.

Es stellt sich mir jetzt die Frage, wie man also ein Vektor als
n-Tupel von seinem Koordinaten-n-Tupel unterscheidet. Muss man
das immer dazuschreiben, als was das n-Tupel aufgefaßt wird? Oder
steht Kovektor gar für Koordinatenvektor?

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo NG,
Ein Vektor im R^n kann man bekanntlich als n-Tupel schreiben.
Stellt man diesen Vektor mit Hilfe einer Basis dar, dann erhält
man ebenfalls n Koeffizienten, die ein Koordinaten-n-Tupel
bilden.
In der Physik wird mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention
x=b_i*x^i
Die x^i sind also die Koordinaten des Vektors bezüglich der
Basis. Das n-Tupel der x^i wird als Kovektor bezeichnet. Bis
jetzt habe ich das Kovektor immer von kovariant abgeleitet
angesehen.
Es stellt sich mir jetzt die Frage, wie man also ein Vektor als
n-Tupel von seinem Koordinaten-n-Tupel unterscheidet. Muss man
das immer dazuschreiben, als was das n-Tupel aufgefaßt wird? Oder
steht Kovektor gar für Koordinatenvektor?

Es gibt eine Übereinkunft, die kontravarianten Komponenten eines Vektors
bezüglich einer Basis als Spalte zu schreiben. Es werden obere Indizes
benutzt. So ist also
(x^1,...,x^n)^T e R^n
ein Vektor. Bezüglich wlecher Basis die Darstellung erfolgt, muß man dazu
sagen. Es gibt dafür keine Standradbezeichnung, obwohl manche Autoren
solche Bezeichnungen einführen. Aber diese gelten nur innerhalb ihrer
Werke.

Ein Kovektor ist ein Vektor, der als Zeile geschrieben wird. Es werden
untere Indizes benutzt. Es handelt sich um die Komponenten einer Linearform
auf dem R^n.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Es gibt eine Übereinkunft, die kontravarianten Komponenten
eines Vektors
bezüglich einer Basis als Spalte zu schreiben. Es werden obere Indizes
benutzt. So ist also
(x^1,...,x^n)^T e R^n
ein Vektor. Bezüglich wlecher Basis die Darstellung erfolgt,
muß man dazu
sagen. Es gibt dafür keine Standradbezeichnung, obwohl manche
Autoren
solche Bezeichnungen einführen. Aber diese gelten nur innerhalb ihrer
Werke.

Das Problem ist nur, ein Vektor benötigt keine Basis! In der
Physik mag die Übereinkunft sein, dass alle Vektoren aus einer
Basis kombiniert dargestellt werden. Ich wollte aber vielmehr
eine mathematische Antwort.

Bsp:
x=(1,1,1)^T
In karthesischen Koordinaten hat x das Koordinaten-Tripel
(1,1,1).
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Wenn man jetzt eine lineare Abbildung f zwischen 2 Vektorräumen
über die Matrix darstellt, dann sind die Spalten der
Abbildungsmatrix A_ij die Bilder der Basisvektoren im
Zielvektorraum:

y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T
In dieser Gleichung wird das Koordinaten-n-Tupel von x auch als
Spaltenvektor geschrieben, so dass man es nicht von einem Vektor
unterscheiden kann.

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Es gibt eine Übereinkunft, die kontravarianten Komponenten
eines Vektors
bezüglich einer Basis als Spalte zu schreiben. Es werden obere Indizes
benutzt. So ist also
(x^1,...,x^n)^T e R^n
ein Vektor. Bezüglich wlecher Basis die Darstellung erfolgt,
muß man dazu
sagen. Es gibt dafür keine Standradbezeichnung, obwohl manche Autoren
solche Bezeichnungen einführen. Aber diese gelten nur innerhalb ihrer
Werke.

Das Problem ist nur, ein Vektor benötigt keine Basis! In der
Physik mag die Übereinkunft sein, dass alle Vektoren aus einer
Basis kombiniert dargestellt werden. Ich wollte aber vielmehr
eine mathematische Antwort.

Ist K ein Körper, so besitzt der Vektorraum K^n als Elemente n-Tupel
(x^1,...,x^n)^T. In diesem Fall sind also die Vektoren n-Tupel, ohne daß
man eine Basis spezifiziert. Man kann sich das aber auch so denken, daß die
Komponenten des Tupels die Komponenten des Vektors in der kanonischen Basis
von K^n sind. Das ist eine geordnete Basis und besteht aus den Vektoren
(1,0,...,0)^T, ... , (0,...,0,1)^T, in dieser Reihenfolge.
Wenn man aber einen enderen Vektorraum über K hat, so kann man die
Komponenten eines Vektors nur bezüglich einer Basis von V angeben. Das hat
nichts mit Mathematik oder Physik zu tun.

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T
In karthesischen Koordinaten hat x das Koordinaten-Tripel
(1,1,1).

Diese Aussage ist sinnlos.

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Ja, bezüglich der gewählten Basis (wenn Deine Rechnungen in Ordnung sind).

Post by Andreas Heyer
Wenn man jetzt eine lineare Abbildung f zwischen 2 Vektorräumen
über die Matrix darstellt, dann sind die Spalten der
Abbildungsmatrix A_ij die Bilder der Basisvektoren im
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T
In dieser Gleichung wird das Koordinaten-n-Tupel von x auch als
Spaltenvektor geschrieben, so dass man es nicht von einem Vektor
unterscheiden kann.

Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt

Matrix * Spalte = Spalte.

Wo ist ds Problem?

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ist K ein Körper, so besitzt der Vektorraum K^n als Elemente n-Tupel
(x^1,...,x^n)^T. In diesem Fall sind also die Vektoren n-Tupel, ohne daß
man eine Basis spezifiziert. Man kann sich das aber auch so denken, daß die
Komponenten des Tupels die Komponenten des Vektors in der kanonischen Basis
von K^n sind. Das ist eine geordnete Basis und besteht aus den Vektoren
(1,0,...,0)^T, ... , (0,...,0,1)^T, in dieser Reihenfolge.
Wenn man aber einen enderen Vektorraum über K hat, so kann man die
Komponenten eines Vektors nur bezüglich einer Basis von V angeben. Das hat
nichts mit Mathematik oder Physik zu tun.

Willst du mich nicht verstehen: Vektoren brauchen keine Basis! Denn wie
willst du sonst die *Basisvektoren* darstellen? Wieder eine Basis für
sie einführen?

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T
In karthesischen Koordinaten hat x das Koordinaten-Tripel
(1,1,1).

Diese Aussage ist sinnlos.

Wenn du das Problem verstehst, dann sagst du so etwas nicht. Nur weil
die kanonische Basis oft recht einfach das Erkennen der Kombination der
Basisvektoren erlaubt, ist der Vektor x noch lange nicht mit seinem
Koordinaten-Tupel begrifflich identisch.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Ja, bezüglich der gewählten Basis (wenn Deine Rechnungen in Ordnung sind).

Es kann ja wohl nicht zu schwer sein, dass zu erkennen? ;-)

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T

Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel! In dieser Schreibweise kann
man nichteinmal die Konvention einhalten, dass Vektoren als Spalten
geschrieben werden, und ihre zugehörigen Koordinaten bezüglich einer
Basis als Zeile.

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ist K ein Körper, so besitzt der Vektorraum K^n als Elemente n-Tupel
(x^1,...,x^n)^T. In diesem Fall sind also die Vektoren n-Tupel, ohne daß
man eine Basis spezifiziert. Man kann sich das aber auch so denken, daß die
Komponenten des Tupels die Komponenten des Vektors in der kanonischen Basis
von K^n sind. Das ist eine geordnete Basis und besteht aus den Vektoren
(1,0,...,0)^T, ... , (0,...,0,1)^T, in dieser Reihenfolge.
Wenn man aber einen enderen Vektorraum über K hat, so kann man die
Komponenten eines Vektors nur bezüglich einer Basis von V angeben. Das hat
nichts mit Mathematik oder Physik zu tun.

Willst du mich nicht verstehen: Vektoren brauchen keine Basis! Denn wie
willst du sonst die *Basisvektoren* darstellen? Wieder eine Basis für
sie einführen?

Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).
Aber Du mußt verstehen, daß man zwei Fälle unterscheiden muß:

Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis. Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

Fall 2)
Der Vaktorraum ist nicht das K^n. Dann braucht man eine Basis, wenn man von
Koordinaten sprechen will.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T
In karthesischen Koordinaten hat x das Koordinaten-Tripel
(1,1,1).

Diese Aussage ist sinnlos.

Wenn du das Problem verstehst, dann sagst du so etwas nicht.

Ich mache das schon seit einigen Jahrzehnten. Glaube mir, ich habe es
verstanden.

Post by Andreas Heyer
Nur weil
die kanonische Basis oft recht einfach das Erkennen der Kombination der
Basisvektoren erlaubt, ist der Vektor x noch lange nicht mit seinem
Koordinaten-Tupel begrifflich identisch.

Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Ja, bezüglich der gewählten Basis (wenn Deine Rechnungen in Ordnung sind).

Es kann ja wohl nicht zu schwer sein, dass zu erkennen? ;-)

Nein, aber ich hatte keine Lust, das nachzurechnen.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T

Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel!

Ja. Aber das ist auch ein Vektor!

Post by Andreas Heyer
In dieser Schreibweise kann
man nichteinmal die Konvention einhalten, dass Vektoren als Spalten
geschrieben werden, und ihre zugehörigen Koordinaten bezüglich einer
Basis als Zeile.

Eine solche Konvention gibt es nicht. Der Vektor wird z.B. als v
geschrieben. Sein Koordinatentupel (oder seine Koordinatenmatrix) ist auch
ein Vektor, der im allgemeinen in einem anderen Vektorraum, nämlich dem K^n
liegt, als Spalte. Man kann diese Konvention immer einhalten.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).

Das war jetzt aber nichts! Wenn die Basisvektoren auch nur Koordinaten
bezüglich einer Basis wären, dann hätten wir eine unendl. Rekursion,
weil die Abbruchbedingung fehlt.

Basisvektoren sind Elemente des Vektorraums, sie brauchen *keine*
Koordinaten.

Post by Gottfried von Korinth
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis. Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

Aber man kann die Basis wechseln. Dann sieht die Koordinatenmatrix ganz
anders aus, der Vektor selbst muss aber der gleiche bleiben. Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Du wirst mir doch beim folgenden zustimmen:

x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T

Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T
Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel!

Ja. Aber das ist auch ein Vektor!

Ja, aber nicht mehr aus dem gleichen Vektorraum! Wie kann man das aber
kenntlich machen?


MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).

Das war jetzt aber nichts! Wenn die Basisvektoren auch nur Koordinaten
bezüglich einer Basis wären, dann hätten wir eine unendl. Rekursion,
weil die Abbruchbedingung fehlt.

Du änderst das, was ich sage und bezweifelst es dann. Basisvektoren *sind*
nicht Koordinaten, sie haben welche.

Post by Andreas Heyer
Basisvektoren sind Elemente des Vektorraums, sie brauchen *keine*
Koordinaten.

Gerade deshalb haben sie Koordinaten. Nur Vektoren aus dem Vektoren haben
Koordinaten.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis. Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

Aber man kann die Basis wechseln. Dann sieht die Koordinatenmatrix ganz
anders aus, der Vektor selbst muss aber der gleiche bleiben.

So ist es. Deshalb sagen wir, daß sich die Koordinaten auf eine Basis
beziehen. Wenn wir die Basis wechseln, d.h. transfomieren, dann ändern sich
die Koordinaten, oder wie der Mathematiker sagt, sie transformieren sich
kontravariant.

Post by Andreas Heyer
Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Sie ist schon ein wenig anders, denn sie ist kanonisch. Aber das ist eine
Feinheit. Im wesentlichen hast Du recht.

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Man würde hier den Ausdruck "karthesische Koordinaten" nicht gebrauchen.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T
Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Wenn DU Dich nicht verrechnet hast, ist das sehr gut möglich. Es handelt
sich um die Koordinaten desselben Vektors bezüglich verschiedener Basen. Wo
ist das Problem?

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Ja, das ist genau die richtige Einstellung. Sie sind "irgendwie" gleich,
aber nicht ganz gleich, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Aber
das ist wirlich eine Feinheit. Außerdem gibt es nur einen
Koordinatenvektorraum.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T
Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel!

Ja. Aber das ist auch ein Vektor!

Ja, aber nicht mehr aus dem gleichen Vektorraum! Wie kann man das aber
kenntlich machen?

Indem man das irgendwie im Text hinschreibt. Zum Beispiel:

Sei V ein n-dimensionaler VR über K und B eine geordnete Basis von V. Sei
(x^1,...,x^n)^T die Koordinatenmatrix eines Vektors aus V.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Du änderst das, was ich sage und bezweifelst es dann. Basisvektoren *sind*
nicht Koordinaten, sie haben welche.

Da wir hier scheinbar aneinander vorbei reden, hier mal meine Einstellung:

Seien v,b_i Vektoren aus einem Vektorraum V über K (i=1...dim(V)), und
die b_i bilden eine Basis in V. Dann lässt sich jedes v so darstellen:
v=sum_i x^i*b_i mit x^i \in K

Für mich sind die Koordinaten von v die x^i als n-Tupel in Zeilen- oder
Spaltenform geschrieben. Diese Koordinaten beziehen sich auf das
Basissystem der b_i. Wie können jetzt die b_i Koordinaten besitzen, ohne
selbstbezüglich zu sein? Ich dachte immer, von Koordinaten spricht man
nur im Zusammenhang mit einer Basis, aber ein Vektor selbst benötigt
keine Basis!


MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Du änderst das, was ich sage und bezweifelst es dann. Basisvektoren *sind*
nicht Koordinaten, sie haben welche.

Seien v,b_i Vektoren aus einem Vektorraum V über K (i=1...dim(V)), und
v=sum_i x^i*b_i mit x^i \in K
Für mich sind die Koordinaten von v die x^i als n-Tupel in Zeilen- oder
Spaltenform geschrieben.

Ja. Man schreibt sie als Spalte.

Post by Andreas Heyer
Diese Koordinaten beziehen sich auf das
Basissystem der b_i.

Ja. Aber es gibt kein "Basissystem", sondern wir sagen "Basis" oder
"geordnete Basis" (das hängt davon ab, wie Basis definiert wurde).

Post by Andreas Heyer
Wie können jetzt die b_i Koordinaten besitzen, ohne
selbstbezüglich zu sein? Ich dachte immer, von Koordinaten spricht man
nur im Zusammenhang mit einer Basis, aber ein Vektor selbst benötigt
keine Basis!

Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix

(1,0,...,0)^T.

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix

wohl eher: 'bzgl. der Basis {b_i}'

Post by Gottfried von Korinth
(1,0,...,0)^T.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix

wohl eher: 'bzgl. der Basis {b_i}'

Worauf bezieht sich das? Auf "geordnete Basis"? Die Definition der Basis
ist in mathematischen Texten nicht ganz eindeutig. Manchmal werden sie als
Familie und manchmal Menge von Vektoren definiert, wenn das gemeint sein
sollte.

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix

wohl eher: 'bzgl. der Basis {b_i}'

Worauf bezieht sich das?

Das bezieht sich auf 'bezüglich sich selber'; das liest sich dann als
'Die b_i haben Koordianten bzgl. b_i.' Und das hatte ich geändert.

Post by Gottfried von Korinth
Auf "geordnete Basis"? Die Definition der Basis
ist in mathematischen Texten nicht ganz eindeutig. Manchmal werden sie als
Familie und manchmal Menge von Vektoren definiert, wenn das gemeint sein
sollte.

Nein: Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des
Vektorraums, insbesondere eine (schlichte Menge). Eine geordnete Basis
ist eine Familie I -> V, i.e. eine Abbildung von einer Indexmenge I in
den Vektorraum V, deren Bild eine Basis ist.

J.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix

wohl eher: 'bzgl. der Basis {b_i}'

Worauf bezieht sich das?

Das bezieht sich auf 'bezüglich sich selber'; das liest sich dann als
'Die b_i haben Koordianten bzgl. b_i.' Und das hatte ich geändert.

Post by Gottfried von Korinth
Auf "geordnete Basis"? Die Definition der Basis
ist in mathematischen Texten nicht ganz eindeutig. Manchmal werden sie als
Familie und manchmal Menge von Vektoren definiert, wenn das gemeint sein
sollte.

Nein: Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des
Vektorraums, insbesondere eine (schlichte Menge). Eine geordnete Basis
ist eine Familie I -> V, i.e. eine Abbildung von einer Indexmenge I in
den Vektorraum V, deren Bild eine Basis ist.

Wie gesagt, das wird in der Literatur verschieden gehandhabt. Wir haben das
im alten Faden mit vielen Literaturzitaten gesehen. Beide Vorgehensweisen
haben ihre Vorteile. Z.B. Dieudonn´e (ein wahrlich großer Mathematiker!)
führt eine Basis als Familie ein. Und Brieskorn diskutiert, warum die
beiden Vorgehensweisen nicht wirklich unterschiedlich sind.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix
(1,0,...,0)^T.

Nun sei b_1 \in V und b_1=(1,1,...,1)^T

Du musst doch nun erkennen, dass deine Koordinatenmatrix für b_1
vollkommen anders aussieht als b_1 selbst. Sicherlich kann man einem
Vektor trivialerweise eine Koordinate zuweisen, wenn er selbst Element
der Basis ist. Aber mit dieser einzigen 1 irgendwo im n-Tupel kann man
doch nicht den Vektor selbst beschreiben! Siehst du wirklich nicht den
Unterschied?

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix
(1,0,...,0)^T.

Nun sei b_1 \in V und b_1=(1,1,...,1)^T

Diese Aussage ist absolut sinnlos, es sei denn, V = K^n. Nehmen wir also
das an.

Post by Andreas Heyer
Du musst doch nun erkennen, dass deine Koordinatenmatrix für b_1
vollkommen anders aussieht als b_1 selbst.

Das kann natürlich sein. Es handelt sich um Koordinatenmatrizen bezüglich
zweier Basen: der kanonischen Basis und der Basis, die aus den b_i gebildet
wird. Natürlich sehen die Matrizen anders aus.

(Ich habe Dir von der Abbildung phi_B : V ---> K^n erzählt. Wenn V = K^n
und B die kanonische Basis des K^n, so ist phi_B die identische Abbildung.
Das führt zum Teil zur Verwirrung.)

Post by Andreas Heyer
Sicherlich kann man einem
Vektor trivialerweise eine Koordinate zuweisen, wenn er selbst Element
der Basis ist. Aber mit dieser einzigen 1 irgendwo im n-Tupel kann man
doch nicht den Vektor selbst beschreiben! Siehst du wirklich nicht den
Unterschied?

Nein. Man kann mit der 1 und mit den n-1 Nullen den Vektor perfekt
beschreiben. Du sagst nämlich, die einzige 1 beschriebe den Vektor und
vergißt dabei die Nullen, die genau so wertvolle Information tragen.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix
(1,0,...,0)^T.

Nun sei b_1 \in V und b_1=(1,1,...,1)^T

Diese Aussage ist absolut sinnlos, es sei denn, V = K^n. Nehmen wir also
das an.

Habe ich vergessen zuerwähnen. Hast es aber selbst herausgefunden ;-)

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Du musst doch nun erkennen, dass deine Koordinatenmatrix für b_1
vollkommen anders aussieht als b_1 selbst.

Das kann natürlich sein. Es handelt sich um Koordinatenmatrizen bezüglich
zweier Basen: der kanonischen Basis und der Basis, die aus den b_i gebildet
wird. Natürlich sehen die Matrizen anders aus.

Was willst du nur immer mit der kanonischen Basis? Nur weil sie diesen
Namen hat, ist sie trotzdem nur eine Basis.

Du willst ständig einen Vektor Koordinaten bezüglich einer Basis
zuordnen, ohne zu erklären, wie dann die Basisvektoren beschrieben
werden können. Denn diese Basisvektoren müssten ja auch nur wieder
Koordinaten bezüglich einer (anderen) Basis sein. Merkst du wirklich
nicht, wie wir uns so im Kreis drehen?

Post by Gottfried von Korinth
(Ich habe Dir von der Abbildung phi_B : V ---> K^n erzählt. Wenn V = K^n
und B die kanonische Basis des K^n, so ist phi_B die identische Abbildung.
Das führt zum Teil zur Verwirrung.)

Nein, mich verwirrt es nicht, sonst hätte ich den Thread ja nicht
gestartet. Ich frage je deshalb, weil ich eben zwischen Vektoren des K^n
und ihrer Koordinatendarstellung bezüglich der kanonischen Basis
unterscheiden kann.

Post by Gottfried von Korinth
Nein. Man kann mit der 1 und mit den n-1 Nullen den Vektor perfekt
beschreiben. Du sagst nämlich, die einzige 1 beschriebe den Vektor und
vergißt dabei die Nullen, die genau so wertvolle Information tragen.

Wie bitte, willst du mit (1,0,...,0)^T den Vektor (1,1,...,1)^T beschreiben?

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Die Aussage "ein Vektor benötigt keine Basis" ist mathematisch unklar. Man
kann in einem Vektorraum arbeiten, ohne eine Basis zu haben. v e V, also
hat v Koordinaten bezüglich der geordneten Basis, die aus den b_i besteht.
Aber auch die b_i sind Vektoren aus V, haben also auch Koordinaten
bezüglich sich selber. So hat z.B. b_1 die Koordinatenmatrix
(1,0,...,0)^T.

Nun sei b_1 \in V und b_1=(1,1,...,1)^T

Diese Aussage ist absolut sinnlos, es sei denn, V = K^n. Nehmen wir also
das an.

Habe ich vergessen zuerwähnen. Hast es aber selbst herausgefunden ;-)

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Du musst doch nun erkennen, dass deine Koordinatenmatrix für b_1
vollkommen anders aussieht als b_1 selbst.

Das kann natürlich sein. Es handelt sich um Koordinatenmatrizen bezüglich
zweier Basen: der kanonischen Basis und der Basis, die aus den b_i gebildet
wird. Natürlich sehen die Matrizen anders aus.

Was willst du nur immer mit der kanonischen Basis? Nur weil sie diesen
Namen hat, ist sie trotzdem nur eine Basis.

Ja, aber eine besondere. Aber die Rechengesetze dafür sind absolut
dieselben wie für alle anderen Basen, natürlich. Eine ausgezeichnete Basis.

Post by Andreas Heyer
Du willst ständig einen Vektor Koordinaten bezüglich einer Basis
zuordnen, ohne zu erklären, wie dann die Basisvektoren beschrieben
werden können. Denn diese Basisvektoren müssten ja auch nur wieder
Koordinaten bezüglich einer (anderen) Basis sein. Merkst du wirklich
nicht, wie wir uns so im Kreis drehen?

Wir drehen uns nicht im Kreise. Vielleicht sollten wir uns konkrete
Beispiele anschauen.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
(Ich habe Dir von der Abbildung phi_B : V ---> K^n erzählt. Wenn V = K^n
und B die kanonische Basis des K^n, so ist phi_B die identische Abbildung.
Das führt zum Teil zur Verwirrung.)

Nein, mich verwirrt es nicht, sonst hätte ich den Thread ja nicht
gestartet. Ich frage je deshalb, weil ich eben zwischen Vektoren des K^n
und ihrer Koordinatendarstellung bezüglich der kanonischen Basis
unterscheiden kann.

Da kann man aber nicht unterscheiden. Es ist das gleiche (weil
phi_KanonischeBasis = id_(K^n).

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein. Man kann mit der 1 und mit den n-1 Nullen den Vektor perfekt
beschreiben. Du sagst nämlich, die einzige 1 beschriebe den Vektor und
vergißt dabei die Nullen, die genau so wertvolle Information tragen.

Wie bitte, willst du mit (1,0,...,0)^T den Vektor (1,1,...,1)^T beschreiben?

Mit einem Vektor geht das natürlich nicht. Du brauchst schon die ganze
Basis. Also um ein Beispiel zu nehmen:

(1,0,0)^T + (0,1,0)^T + (0,0,1)^T ) (1,1,1)^T.

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).

Das war jetzt aber nichts! Wenn die Basisvektoren auch nur Koordinaten
bezüglich einer Basis wären, dann hätten wir eine unendl. Rekursion,
weil die Abbruchbedingung fehlt.

Du änderst das, was ich sage und bezweifelst es dann. Basisvektoren *sind*
nicht Koordinaten, sie haben welche.

Post by Andreas Heyer
Basisvektoren sind Elemente des Vektorraums, sie brauchen *keine*
Koordinaten.

Gerade deshalb haben sie Koordinaten. Nur Vektoren aus dem Vektoren haben

wohl eher: ... aus dem Vektorraum ...

Post by Gottfried von Korinth
Koordinaten.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis. Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

Aber man kann die Basis wechseln. Dann sieht die Koordinatenmatrix ganz
anders aus, der Vektor selbst muss aber der gleiche bleiben.

So ist es. Deshalb sagen wir,

... wohl eher: ... müssen wir sagen ... (denn der Begriff 'Koordinate'
ist per def. an eine Basis geknüpft)

Post by Gottfried von Korinth
daß sich die Koordinaten auf eine Basis
beziehen. Wenn wir die Basis wechseln, d.h. transfomieren, dann ändern sich
die Koordinaten, oder wie der Mathematiker sagt, sie transformieren sich
kontravariant.

... und damit ist es wieder hin: Was ist denn mit kovarianten
Koordinaten? Hier ist auf die Basis und assoziierte natürliche Paarungen

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Sie ist schon ein wenig anders, denn sie ist kanonisch.

Was ist also kanonisch an dieser Basis - bis auf die Tatsache, dass sie
diesen Namen trägt?

Post by Gottfried von Korinth
Aber das ist eine
Feinheit.

Und genau diese Unterscheidung hat den OP veranlasst, diesen Thread zu
beginnen.

Post by Gottfried von Korinth
Im wesentlichen hast Du recht.

???

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Man würde hier den Ausdruck "karthesische Koordinaten" nicht gebrauchen.

Aber doch: Der Ausdruck 'karthesisch' ist hier genauso berechtigt wie
von der 'kanonischen' Basis zu sprechen.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T
Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Wenn DU Dich nicht verrechnet hast, ist das sehr gut möglich. Es handelt
sich um die Koordinaten desselben Vektors bezüglich verschiedener Basen. Wo
ist das Problem?

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Ja, das ist genau die richtige Einstellung. Sie sind "irgendwie" gleich,
aber nicht ganz gleich, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Aber
das ist wirlich eine Feinheit. Außerdem gibt es nur einen
Koordinatenvektorraum.

Uff, wir haben doch mit viel Arbeit versucht, Vektorräume und
Koordinatenräume zu trennen. Nun sind sie wieder alle gleich. Und es
gibt nur einen Koordinatenvektorraum. ...

Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
zuzuweisen, sondern:
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu betrachten
- oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} - und den
Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.


J.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).

Das war jetzt aber nichts! Wenn die Basisvektoren auch nur Koordinaten
bezüglich einer Basis wären, dann hätten wir eine unendl. Rekursion,
weil die Abbruchbedingung fehlt.

Du änderst das, was ich sage und bezweifelst es dann. Basisvektoren *sind*
nicht Koordinaten, sie haben welche.

Post by Andreas Heyer
Basisvektoren sind Elemente des Vektorraums, sie brauchen *keine*
Koordinaten.

Gerade deshalb haben sie Koordinaten. Nur Vektoren aus dem Vektoren haben

wohl eher: ... aus dem Vektorraum ...

Ja. Das wird durch das Wörterbuch nicht gemerkt...

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Koordinaten.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis. Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

Aber man kann die Basis wechseln. Dann sieht die Koordinatenmatrix ganz
anders aus, der Vektor selbst muss aber der gleiche bleiben.

So ist es. Deshalb sagen wir,

... wohl eher: ... müssen wir sagen ... (denn der Begriff 'Koordinate'
ist per def. an eine Basis geknüpft)

Beides.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
daß sich die Koordinaten auf eine Basis
beziehen. Wenn wir die Basis wechseln, d.h. transfomieren, dann ändern sich
die Koordinaten, oder wie der Mathematiker sagt, sie transformieren sich
kontravariant.

... und damit ist es wieder hin: Was ist denn mit kovarianten
Koordinaten? Hier ist auf die Basis und assoziierte natürliche Paarungen

Er hat nichts am Hut mit kovarianten Koordinaten. Er ist Anfänger. Deshalb
wäre es verwirrend, diese zu erwähnen. Aber wenn die Basis eines
Vektorraumes sich ändert, transformieren sich die Koordinaten bezüglich der
Basis immer kontravariant. Es sind die kovarianten Koordinaten bezüglich
der dualen Basis, die sich kovariant transformieren.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Sie ist schon ein wenig anders, denn sie ist kanonisch.

Was ist also kanonisch an dieser Basis - bis auf die Tatsache, dass sie
diesen Namen trägt?

Daß sie eine ausgezeichnete Rolle spielt. Man muß sich auf den Standpunkt
der Kathegorientheorie stellen, um das zu präzisieren. Wir hatten das mal
vor einigen Monaten diskutiert. Ich habe das damals nicht ausgeführt aber
Marc tat es. Du wirst den Faden von damals vielleicht noch finden. (Aber
ein Buch tut es auch...)

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Aber das ist eine
Feinheit.

Und genau diese Unterscheidung hat den OP veranlasst, diesen Thread zu
beginnen.

Post by Gottfried von Korinth
Im wesentlichen hast Du recht.

???

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Man würde hier den Ausdruck "karthesische Koordinaten" nicht gebrauchen.

Aber doch: Der Ausdruck 'karthesisch' ist hier genauso berechtigt wie
von der 'kanonischen' Basis zu sprechen.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T
Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Wenn DU Dich nicht verrechnet hast, ist das sehr gut möglich. Es handelt
sich um die Koordinaten desselben Vektors bezüglich verschiedener Basen. Wo
ist das Problem?

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Ja, das ist genau die richtige Einstellung. Sie sind "irgendwie" gleich,
aber nicht ganz gleich, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Aber
das ist wirlich eine Feinheit. Außerdem gibt es nur einen
Koordinatenvektorraum.

Uff, wir haben doch mit viel Arbeit versucht, Vektorräume und
Koordinatenräume zu trennen. Nun sind sie wieder alle gleich. Und es
gibt nur einen Koordinatenvektorraum. ...

So ist es. Der Koordinatenvektrraum eines n-dimensionalen Vektorraumes V
über K ist K^n. K^n und V sind isomorph. Das bedeutet, daß sie fast gleich
zu setzen sind. Nur fast, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Das
ist die Feinheit.

Post by Jannick Asmus
Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu betrachten
- oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} - und den
Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.

Das verstehe ich nicht. Solche Familien werden niemals explizit betrachtet
bzw. man kann sie betrachten, aber das ist ein sehr gekünstelter
Standpunkt. Es geht darum, mit Vektoren konkrete Rechnungen durchzuführen
und dafür die Basis zu wählen, die am meisten geeignet ist. Danach rechnet
man mit den Koordinaten.

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
daß sich die Koordinaten auf eine Basis
beziehen. Wenn wir die Basis wechseln, d.h. transfomieren, dann ändern sich
die Koordinaten, oder wie der Mathematiker sagt, sie transformieren sich
kontravariant.

... und damit ist es wieder hin: Was ist denn mit kovarianten
Koordinaten? Hier ist auf die Basis und assoziierte natürliche Paarungen

Er hat nichts am Hut mit kovarianten Koordinaten. Er ist Anfänger. Deshalb
wäre es verwirrend, diese zu erwähnen. Aber wenn die Basis eines
Vektorraumes sich ändert, transformieren sich die Koordinaten bezüglich der
Basis immer kontravariant. Es sind die kovarianten Koordinaten bezüglich
der dualen Basis, die sich kovariant transformieren.

Zum Inhalt: Richtig.

Der Begriff 'kontravariant' wurde von Dir in die Diskussion eingeführt
(s.o.). Ich habe ihn in meinen Erklärungen nicht benutzt. Ich ergänzte
dann auf dieser begrifflichen Ebene, um die erarbeitete Unterscheidung
der erwähnten Begrifflichkeiten wieder herzustellen.

Ausserdem zielte die Einstiegsfrage des OP auf die Klärung des Begriffs
'Kovektor' ab. Dies ist in der Tat eine Frage nach Ko-/Kontravarianz.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Sie ist schon ein wenig anders, denn sie ist kanonisch.

Was ist also kanonisch an dieser Basis - bis auf die Tatsache, dass sie
diesen Namen trägt?

Daß sie eine ausgezeichnete Rolle spielt. Man muß sich auf den Standpunkt
der Kathegorientheorie stellen, um das zu präzisieren. Wir hatten das mal
vor einigen Monaten diskutiert. Ich habe das damals nicht ausgeführt aber
Marc tat es. Du wirst den Faden von damals vielleicht noch finden. (Aber
ein Buch tut es auch...)

Mir ist die Kategorientheorie sehr wohl bekannt. 'Kanonische'
Abbildungen oder Basen sind hier i.d.R. nicht gebräuchlich, sondern
'natürliche' Abbildungen. Sie entstammen natürlichen Transformationen
von Funktoren. Ich kann den Thread bei Gelegenheit heraussuchen. Mir ist
im Sinne der Kategorientheorie keine Tatsache bewusst, die diese Basis
besonders macht - mit den Augen der Kategorie der endlich-dimensionalen
K-Vektorräume (zusammen mit den linearen Abbildungen).

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Aber das ist eine
Feinheit.

Und genau diese Unterscheidung hat den OP veranlasst, diesen Thread zu
beginnen.

Post by Gottfried von Korinth
Im wes entlichenhastDurecht.

???

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Man würde hier den Ausdruck "karthesische Koordinaten" nicht gebrauchen.

Aber doch: Der Ausdruck 'karthesisch' ist hier genauso berechtigt wie
von der 'kanonischen' Basis zu sprechen.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T
Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Wenn DU Dich nicht verrechnet hast, ist das sehr gut möglich. Es handelt
sich um die Koordinaten desselben Vektors bezüglich verschiedener Basen. Wo
ist das Problem?

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Ja, das ist genau die richtige Einstellung. Sie sind "irgendwie" gleich,
aber nicht ganz gleich, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Aber
das ist wirlich eine Feinheit. Außerdem gibt es nur einen
Koordinatenvektorraum.

Uff, wir haben doch mit viel Arbeit versucht, Vektorräume und
Koordinatenräume zu trennen. Nun sind sie wieder alle gleich. Und es
gibt nur einen Koordinatenvektorraum. ...

So ist es. Der Koordinatenvektrraum eines n-dimensionalen Vektorraumes V
über K ist K^n. K^n und V sind isomorph. Das bedeutet, daß sie fast gleich
zu setzen sind. Nur fast, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Das
ist die Feinheit.

Eben, das ist es. Deine Aussage ist äquivalent, dass diese Vektorräume
gleiche (endliche) Dimension haben. Aber im Sinne der Kovektoren ist
dies zuwenig Information. Dazu werden die Familien von Isomorphismen
{\Phi_B}_{B Basis von V} betrachtet.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu betrachten
- oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} - und den
Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.

Das verstehe ich nicht. Solche Familien werden niemals explizit betrachtet
bzw. man kann sie betrachten, aber das ist ein sehr gekünstelter
Standpunkt. Es geht darum, mit Vektoren konkrete Rechnungen durchzuführen
und dafür die Basis zu wählen, die am meisten geeignet ist. Danach rechnet
man mit den Koordinaten.

Diese 'Künstelung' -wie Du sagst- ist *das* Grundkonzept von bekannten
geometrischen Theorien wie z.B. Differentialgeometrie (reell,
rell-analytisch, p-adisch, komplex) und algebraischer Geometrie usw.


Dabei spricht man von Objekten X (mit zugrundeliegendem topologischen
Raum), die 'lokal so aussehen wie Standardobjekte'. Das führe an dem
Beispiel der (endlich-dimensionalen) Differentialgeometrie kurz vor:

Hierbei sind Standardobjekte offene Mengen des R^n (n e N). Eine
(topologische) Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum (mit
weiteren Eigenschaften, die ich der Kürze halber unterschlage), der
lokal homöomorph zu einer Menge des R^n ist: i.e. zu jedem Punkt p e M
existiert eine offene Umgebung U mit einem Homöomorphismus x von U auf
eine offene Menge V des R^n. Diese lokalen Abbildungen nennt man
'Karten' und fügt sie zu einem Atlas A zusammen. [Man erinnere sich hier
an die Abbildung \Phi_B aus unserem Vektorraum-Beispiel, an dem wir uns
die Füsse sehr gut wärmen können]. Haben die Definitionsmengen U bzw. V
der Karten x bzw. y nicht-leeren Durchschnitt, so fordert man, dass die
Karten verträglich sind, dh. dass die 'Koordinatentransformation' y o
x^{-1} ein Homöomorphismus ist (natürlich da wo definiert).

Kurzum: Das neue geometrische Objekt ist ein topologischer Raum mit
einem Atlas, dessen Koordinatentransformationen zu einer gewissen
Basistheorie (gerne auch Kategorie) gehören. Beispiele hierfür sind
folgende Kategorien:

- die offenen Mengen von R^n (n e N) und Homöomorphismen -> topologische
Mannigfaltigkeit
- die offenen Mengen von R^n (n e N) und Diffeomorphismen ->
differenzierbare Mannigfaltigkeit
- die offenen Mengen von C^n (n e N) und holomorphe Diffeomorphismen ->
analytische Mannigfaltigkeit
- offene Mengen von Banach-Räumen und Homöomorphismen -> topologische
Banach-Mannigfaltigkeiten
- affine Spektren von kommutativen Ringen mit Einselement -> Schema
(i.S.v. Grothendieck; algebraische Geometrie)

und ganz zum Schluss natürlich der Stein des Anstosses

- R^n (als R-Vektorraum) und lineare Isomorphismen.

In unserem Beispiel trägt der Vektorraum V die gröbste Topologie, so
dass V nur globale Karten besitzt. In diesem Sinne ist {Phi_B}_{B Basis
von V} ein maximaler Atlas von V, i.e. ein Atlas, der sich nicht mehr
erweitern lässt.


Ich denke, das zeigt das fundamentale Konzept, auf das meine Bemerkungen
anspielten. Ferner ist lineare Algebra eine Basis für weitere
Untersuchungen, die basisfrei definiert werden und nur in seltenen
Fällen mit Basen arbeiten.

Das geht *weit* über das Rechnen im K^n hinaus, wie - so hoffe ich -
diese Ausführungen zeigen.

J.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
daß sich die Koordinaten auf eine Basis
beziehen. Wenn wir die Basis wechseln, d.h. transfomieren, dann ändern sich
die Koordinaten, oder wie der Mathematiker sagt, sie transformieren sich
kontravariant.

... und damit ist es wieder hin: Was ist denn mit kovarianten
Koordinaten? Hier ist auf die Basis und assoziierte natürliche Paarungen

Er hat nichts am Hut mit kovarianten Koordinaten. Er ist Anfänger. Deshalb
wäre es verwirrend, diese zu erwähnen. Aber wenn die Basis eines
Vektorraumes sich ändert, transformieren sich die Koordinaten bezüglich der
Basis immer kontravariant. Es sind die kovarianten Koordinaten bezüglich
der dualen Basis, die sich kovariant transformieren.

Zum Inhalt: Richtig.
Der Begriff 'kontravariant' wurde von Dir in die Diskussion eingeführt
(s.o.). Ich habe ihn in meinen Erklärungen nicht benutzt. Ich ergänzte
dann auf dieser begrifflichen Ebene, um die erarbeitete Unterscheidung
der erwähnten Begrifflichkeiten wieder herzustellen.
Ausserdem zielte die Einstiegsfrage des OP auf die Klärung des Begriffs
'Kovektor' ab. Dies ist in der Tat eine Frage nach Ko-/Kontravarianz.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil es
die kanonische Basis einfach macht, ist sie doch aber nicht etwas
anderes als andere Basissysteme.

Sie ist schon ein wenig anders, denn sie ist kanonisch.

Was ist also kanonisch an dieser Basis - bis auf die Tatsache, dass sie
diesen Namen trägt?

Daß sie eine ausgezeichnete Rolle spielt. Man muß sich auf den Standpunkt
der Kathegorientheorie stellen, um das zu präzisieren. Wir hatten das mal
vor einigen Monaten diskutiert. Ich habe das damals nicht ausgeführt aber
Marc tat es. Du wirst den Faden von damals vielleicht noch finden. (Aber
ein Buch tut es auch...)

Mir ist die Kategorientheorie sehr wohl bekannt.

Das könnte ich von mir nicht behaupten. Aber ich habe die Elemente
verstanden und ja, auch ich habe mich an "Residues und Dualities" versucht
...

Post by Jannick Asmus
'Kanonische'
Abbildungen oder Basen sind hier i.d.R. nicht gebräuchlich, sondern
'natürliche' Abbildungen.

Ja. Aber man kann diese Dinge in der Sprache der natürlichen Abbildungen
präzisieren. So sind z.B. V und V^* natürlich isomorph aber nicht kanonisch
isomorph. Dagegen sind V^** und V kanonisch isomorph. Jeder n-dimensionale
VR is isomorph zum K^n aber nicht kanonisch isomorph.

Post by Jannick Asmus
Sie entstammen natürlichen Transformationen
von Funktoren. Ich kann den Thread bei Gelegenheit heraussuchen. Mir ist
im Sinne der Kategorientheorie keine Tatsache bewusst, die diese Basis
besonders macht - mit den Augen der Kategorie der endlich-dimensionalen
K-Vektorräume (zusammen mit den linearen Abbildungen).

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Aber das ist eine Feinheit.

Und genau diese Unterscheidung hat den OP veranlasst, diesen Thread zu
beginnen.

Post by Gottfried von Korinth
Im wes entlichenhastDurecht.

???

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
x=(1,1,1)^T \in R^3
Karthesische Koordinaten: x als Koordinatenvektor y=(1,1,1)^T

Man würde hier den Ausdruck "karthesische Koordinaten" nicht gebrauchen.

Aber doch: Der Ausdruck 'karthesisch' ist hier genauso berechtigt wie
von der 'kanonischen' Basis zu sprechen.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Hier also x als Koordinatenvektor z=(2,2,2)^T
Es ist nun y != z, aber beide Koordinatenvektoren beschreiben den selben
Vektor x.

Wenn DU Dich nicht verrechnet hast, ist das sehr gut möglich. Es handelt
sich um die Koordinaten desselben Vektors bezüglich verschiedener Basen. Wo
ist das Problem?

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist). Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Das ist doch schon viel besser! Da der Vektorraum und seine
zugeordnetern Koordinatenvektorräume sich nur durch Isomorphismus
unterscheiden, sind sie locker gesagt doch irgendwie gleich.

Ja, das ist genau die richtige Einstellung. Sie sind "irgendwie" gleich,
aber nicht ganz gleich, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Aber
das ist wirlich eine Feinheit. Außerdem gibt es nur einen
Koordinatenvektorraum.

Uff, wir haben doch mit viel Arbeit versucht, Vektorräume und
Koordinatenräume zu trennen. Nun sind sie wieder alle gleich. Und es
gibt nur einen Koordinatenvektorraum. ...

So ist es. Der Koordinatenvektrraum eines n-dimensionalen Vektorraumes V
über K ist K^n. K^n und V sind isomorph. Das bedeutet, daß sie fast gleich
zu setzen sind. Nur fast, weil der Isomorphismus nicht kanonisch ist. Das
ist die Feinheit.

Eben, das ist es. Deine Aussage ist äquivalent, dass diese Vektorräume
gleiche (endliche) Dimension haben. Aber im Sinne der Kovektoren ist
dies zuwenig Information. Dazu werden die Familien von Isomorphismen
{\Phi_B}_{B Basis von V} betrachtet.

Der OP fragte wirklich nach Kovektoren, aber er dachte, die
Koordinatenvektoren seien die Kovektoren. Ich muß ehrlich zugeben, daß mir
immer noch nicht ganz klar ist, was ihm unklar ist. Aber es handelt sich um
die Koordinatenmatrix von Vektoren bezüglich einer Basis.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu betrachten
- oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} - und den
Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.

Das verstehe ich nicht. Solche Familien werden niemals explizit betrachtet
bzw. man kann sie betrachten, aber das ist ein sehr gekünstelter
Standpunkt. Es geht darum, mit Vektoren konkrete Rechnungen durchzuführen
und dafür die Basis zu wählen, die am meisten geeignet ist. Danach rechnet
man mit den Koordinaten.

Diese 'Künstelung' -wie Du sagst- ist *das* Grundkonzept von bekannten
geometrischen Theorien wie z.B. Differentialgeometrie (reell,
rell-analytisch, p-adisch, komplex) und algebraischer Geometrie usw.

Das glaube ich zwar auch nicht, aber hier ging es um LA 1.
Das Grundkonzept der Differentialgeimetrie ist die diffbare
Mannigfaltigkeit. Das Grundkonzept der algebraischen Geometrie ist wohl die
projektive Varietät.

[hochgelahrte Ausführungen gesnippt]

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Mir ist die Kategorientheorie sehr wohl bekannt.

Das könnte ich von mir nicht behaupten. Aber ich habe die Elemente
verstanden und ja, auch ich habe mich an "Residues und Dualities" versucht
....

Dann ist Dir ja auch der Begriff des Schemas im Sinne der Algebraischen
Geometrie bekannt. Dieser ordnet sich ja in das Fundamentalkonzept von
geometrischen Theorien unter (Standardobjekt: affines Spektrum eines
kommutativen Rings mit Eins).

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
'Kanonische'
Abbildungen oder Basen sind hier i.d.R. nicht gebräuchlich, sondern
'natürliche' Abbildungen.

Ja. Aber man kann diese Dinge in der Sprache der natürlichen Abbildungen
präzisieren. So sind z.B. V und V^* natürlich isomorph aber nicht kanonisch
isomorph. Dagegen sind V^** und V kanonisch isomorph. Jeder n-dimensionale
VR is isomorph zum K^n aber nicht kanonisch isomorph.

Ich nehme an, dass Du von endlichdimensionalen Vektorräumen sprichst.


Ich kenne den Begriff der natürlichen Abbildung als einen solchen, der
herrührt von natürlichen Transformationen von Funktoren. Eine Definition
von 'kanonisch' ist mir nicht bekannt.

Du benutzt den Begriff 'kanonisch' dann, wenn ich 'natürlich' sagen würde.

Mich würde interessieren, wie Du den Begriff 'natürliche Abbildung'
definierst.

[snip]

Post by Gottfried von Korinth
Der OP fragte wirklich nach Kovektoren, aber er dachte, die
Koordinatenvektoren seien die Kovektoren. Ich muß ehrlich zugeben, daß mir

Da denkt er ja richtig.

Post by Gottfried von Korinth
immer noch nicht ganz klar ist, was ihm unklar ist. Aber es handelt sich um
die Koordinatenmatrix von Vektoren bezüglich einer Basis.

... und die Koordinaten verhalten sich unter Basiswechsel wie ... (dies
ist das Mantra, wie man Kovektoren in den Anfängen der Theoretischen
Physik definiert). Dies ist das gleiche Mantra, wie man einen Tensor auf
einer C^{oo}-Mannigfaltigkeit definiert.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu betrachten
- oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} - und den
Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.

Das verstehe ich nicht. Solche Familien werden niemals explizit betrachtet
bzw. man kann sie betrachten, aber das ist ein sehr gekünstelter
Standpunkt. Es geht darum, mit Vektoren konkrete Rechnungen durchzuführen
und dafür die Basis zu wählen, die am meisten geeignet ist. Danach rechnet
man mit den Koordinaten.

Diese 'Künstelung' -wie Du sagst- ist *das* Grundkonzept von bekannten
geometrischen Theorien wie z.B. Differentialgeometrie (reell,
rell-analytisch, p-adisch, komplex) und algebraischer Geometrie usw.

Das glaube ich zwar auch nicht, aber hier ging es um LA 1.

Ich bin auf Deine Frage eingegangen, wieso solche Familien {\Phi_B}_{B}
betrachtet werden. Diese Vorgehensweise ist üblich in der Mathematik,
wie ich in dem kleinen 'Traktat' ausgeführt habe. Dies ist die
Vorgehensweise, wie man einen Kovektor oder auch ko- oder
kontravarianten Vektor definiert: Die Definition quantifiziert über alle
zulässigen Basiswechsel. Dies sind hier alle.

Post by Gottfried von Korinth
Das Grundkonzept der Differentialgeimetrie ist die diffbare
Mannigfaltigkeit. Das Grundkonzept der algebraischen Geometrie ist wohl die
projektive Varietät.

Die _Definitionen_ der oben genannten Theorien, die Du angegeben hast,
gehorchen einem sehr tiefliegenden Grundkonzept, das ich skizziert habe.
Es ist allen genannten Theorien *gemeinsam*. Und es zeigt sich wieder in
der Definition von ko-/kontravarianten Vektoren, womit wir wieder beim
Thema dieses Threads sind. Übrigens auch bei der Definition von Tensoren
auf Mannigfaltigkeiten - und es ist grundlegend für 'Residues and
Duality' von Hartshorne.


J.


NB: Es gibt Varietäten über algebraisch abgeschlossenen Körpern, die
sich nicht in eine projektive oder gar kompakte einbetten lassen. Deine
Vermutung käme für algebraische Geometer dem Himmel auf Erden sehr nahe.
Aber dem ist nicht so - leider. :(

[Jannick Asmus]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Mir ist die Kategorientheorie sehr wohl bekannt.

Das könnte ich von mir nicht behaupten. Aber ich habe die Elemente
verstanden und ja, auch ich habe mich an "Residues und Dualities" versucht
....

Dann ist Dir ja auch der Begriff des Schemas im Sinne der Algebraischen
Geometrie bekannt. Dieser ordnet sich ja in das Fundamentalkonzept von
geometrischen Theorien unter (Standardobjekt: affines Spektrum eines
kommutativen Rings mit Eins).

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
'Kanonische' Abbildungen oder Basen sind hier i.d.R. nicht
gebräuchlich, sondern 'natürliche' Abbildungen.

Ja. Aber man kann diese Dinge in der Sprache der natürlichen Abbildungen
präzisieren. So sind z.B. V und V^* natürlich isomorph aber nicht kanonisch
isomorph. Dagegen sind V^** und V kanonisch isomorph. Jeder
n-dimensionale
VR is isomorph zum K^n aber nicht kanonisch isomorph.

Ich nehme an, dass Du von endlichdimensionalen Vektorräumen sprichst.
Ich kenne den Begriff der natürlichen Abbildung als einen solchen, der
herrührt von natürlichen Transformationen von Funktoren. Eine Definition
von 'kanonisch' ist mir nicht bekannt.
Du benutzt den Begriff 'kanonisch' dann, wenn ich 'natürlich' sagen würde.
Mich würde interessieren, wie Du den Begriff 'natürliche Abbildung'
definierst.
[snip]

Post by Gottfried von Korinth
Der OP fragte wirklich nach Kovektoren, aber er dachte, die
Koordinatenvektoren seien die Kovektoren. Ich muß ehrlich zugeben, daß mir

Da denkt er ja richtig.

Post by Gottfried von Korinth
immer noch nicht ganz klar ist, was ihm unklar ist. Aber es handelt sich um
die Koordinatenmatrix von Vektoren bezüglich einer Basis.

.... und die Koordinaten verhalten sich unter Basiswechsel wie ... (dies
ist das Mantra, wie man Kovektoren in den Anfängen der Theoretischen
Physik definiert). Dies ist das gleiche Mantra, wie man einen Tensor auf
einer C^{oo}-Mannigfaltigkeit definiert.

Ergänzung: Selbverständlich gibt es auch eine intrinsische Definition
von Tensoren auf Mannigfaltigkeiten. Sie ist zu der Version mit den
'Transformationen und dem Mantra' äquivalent.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn das so wäre, dann vergässe man, dass es hier nicht darum geht,
Vektoren v eines Vektorraums V Koordinaten x_B(v) bzgl. einer Basis
- um die Familie {x_B(v)}_{B Basis von V} für ein festes v zu
betrachten - oder besser: um die Familie {Phi_B}_{B Basis von V} -
und den Zusammenhang der Familienmitglieder für Basen B1, B2.

Das verstehe ich nicht. Solche Familien werden niemals explizit betrachtet
bzw. man kann sie betrachten, aber das ist ein sehr gekünstelter
Standpunkt. Es geht darum, mit Vektoren konkrete Rechnungen
durchzuführen
und dafür die Basis zu wählen, die am meisten geeignet ist. Danach rechnet
man mit den Koordinaten.

Diese 'Künstelung' -wie Du sagst- ist *das* Grundkonzept von
bekannten geometrischen Theorien wie z.B. Differentialgeometrie
(reell, rell-analytisch, p-adisch, komplex) und algebraischer
Geometrie usw.

Das glaube ich zwar auch nicht, aber hier ging es um LA 1.

Ich bin auf Deine Frage eingegangen, wieso solche Familien {\Phi_B}_{B}
betrachtet werden. Diese Vorgehensweise ist üblich in der Mathematik,
wie ich in dem kleinen 'Traktat' ausgeführt habe. Dies ist die
Vorgehensweise, wie man einen Kovektor oder auch ko- oder
kontravarianten Vektor definiert: Die Definition quantifiziert über alle
zulässigen Basiswechsel. Dies sind hier alle.

Post by Gottfried von Korinth
Das Grundkonzept der Differentialgeimetrie ist die diffbare
Mannigfaltigkeit. Das Grundkonzept der algebraischen Geometrie ist wohl die
projektive Varietät.

Die _Definitionen_ der oben genannten Theorien, die Du angegeben hast,
gehorchen einem sehr tiefliegenden Grundkonzept, das ich skizziert habe.
Es ist allen genannten Theorien *gemeinsam*. Und es zeigt sich wieder in
der Definition von ko-/kontravarianten Vektoren, womit wir wieder beim
Thema dieses Threads sind. Übrigens auch bei der Definition von Tensoren
auf Mannigfaltigkeiten - und es ist grundlegend für 'Residues and
Duality' von Hartshorne.
J.
NB: Es gibt Varietäten über algebraisch abgeschlossenen Körpern, die
sich nicht in eine projektive oder gar kompakte einbetten lassen. Deine
Vermutung käme für algebraische Geometer dem Himmel auf Erden sehr nahe.
Aber dem ist nicht so - leider. :(

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis.

wohl eher: "Koordinatenvektor"

Post by Gottfried von Korinth
Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

???

[snip]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil
die kanonische Basis oft recht einfach das Erkennen der Kombination der
Basisvektoren erlaubt, ist der Vektor x noch lange nicht mit seinem
Koordinaten-Tupel begrifflich identisch.

Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist).

Die Konfusion besteht nur im K^n, denn dort spricht man schnell von
kanonischer Basis, Koordinatenvektor, dann Koordinaten-Tupel und wieder
Vektor usw.

Dieses Beispiel für einen Vektorraum bietet -wie wir ja hier sehen-
genügend Fallen, wenn man die Begriffe nicht ganz genau sortiert.

Post by Gottfried von Korinth
Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Ja, bezüglich der gewählten Basis (wenn Deine Rechnungen in Ordnung sind).

Es kann ja wohl nicht zu schwer sein, dass zu erkennen? ;-)

Nein, aber ich hatte keine Lust, das nachzurechnen.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T

Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel!

Ja. Aber das ist auch ein Vektor!

Aber was sagt das aus?

... und damit ist es wieder passiert: Das Beispiel macht es schwer, die
Begriffe Vektor und Koordinatenvektor auseinanderzuhalten, wenn man die
Begriffe nicht klar voneinander trennt.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
In dieser Schreibweise kann
man nichteinmal die Konvention einhalten, dass Vektoren als Spalten
geschrieben werden, und ihre zugehörigen Koordinaten bezüglich einer
Basis als Zeile.

Eine solche Konvention gibt es nicht. Der Vektor wird z.B. als v
geschrieben. Sein Koordinatentupel (oder seine Koordinatenmatrix) ist auch
ein Vektor, der im allgemeinen in einem anderen Vektorraum, nämlich dem K^n
liegt, als Spalte. Man kann diese Konvention immer einhalten.

... und noch einmal: Gerade hier ist es wichtig, die Begriffe
auseinanderzuhalten. Der letzte Satz ist ein einziges
Identifizierungsbabylon. Auf Anfrage entwirre ich gerne.

J.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Ich weiß, daß "Vektoren keine Basis brauchen". Die Basisvektoren haben
natürlich auch ihre Koordinaten (bezüglich der Basis).
Fall 1)
Der Vektorraum ist das K^n. In diesem Fall *sind* die Vektoren n-Tupel. Sie
haben eine Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis.

wohl eher: "Koordinatenvektor"

Post by Gottfried von Korinth
Die ist immer
da. die kann man nicht wegdenken, weil sie kanonisch ist.

???
[snip]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Nur weil
die kanonische Basis oft recht einfach das Erkennen der Kombination der
Basisvektoren erlaubt, ist der Vektor x noch lange nicht mit seinem
Koordinaten-Tupel begrifflich identisch.

Nein, sie sind im allgemeinen nicht identisch (mit der Ausnahme, daß der
Vektorraum das K^n ist).

Die Konfusion besteht nur im K^n, denn dort spricht man schnell von
kanonischer Basis, Koordinatenvektor, dann Koordinaten-Tupel und wieder
Vektor usw.
Dieses Beispiel für einen Vektorraum bietet -wie wir ja hier sehen-
genügend Fallen, wenn man die Begriffe nicht ganz genau sortiert.

Post by Gottfried von Korinth
Ist B eine geordnete Basis des Vektorraumes V über
K, so gibt es ein Vektorraumisomorphismus
Phi_B:V->K^n,
wobei n e N die Dimension des Vektorraumes ist. Jedem Vektor wird seine
Koordinatenmatrix bezüglich der Basis B zugeordnet.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
Wähle ich jetzt die Basis
b_1=(1/2,0,0)^T,b_2=(0,1/2,0)^T,b_3=(0,0,1/2)^T, dann hat x das
Koordinatentripel (2,2,2).

Ja, bezüglich der gewählten Basis (wenn Deine Rechnungen in Ordnung sind).

Es kann ja wohl nicht zu schwer sein, dass zu erkennen? ;-)

Nein, aber ich hatte keine Lust, das nachzurechnen.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
y=f(x)=A*(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T

Ja, weil x ein Vektor ist. Man schreibt
Matrix * Spalte = Spalte.

Das Problem ist, dass eben "(Koordinaten von x bzgl. der Basis)^T" nicht
x ist, sondern nur sein Koordinatentupel!

Ja. Aber das ist auch ein Vektor!

Aber was sagt das aus?
... und damit ist es wieder passiert: Das Beispiel macht es schwer, die
Begriffe Vektor und Koordinatenvektor auseinanderzuhalten, wenn man die
Begriffe nicht klar voneinander trennt.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer
In dieser Schreibweise kann
man nichteinmal die Konvention einhalten, dass Vektoren als Spalten
geschrieben werden, und ihre zugehörigen Koordinaten bezüglich einer
Basis als Zeile.

Eine solche Konvention gibt es nicht. Der Vektor wird z.B. als v
geschrieben. Sein Koordinatentupel (oder seine Koordinatenmatrix) ist auch
ein Vektor, der im allgemeinen in einem anderen Vektorraum, nämlich dem K^n
liegt, als Spalte. Man kann diese Konvention immer einhalten.

... und noch einmal: Gerade hier ist es wichtig, die Begriffe
auseinanderzuhalten. Der letzte Satz ist ein einziges
Identifizierungsbabylon. Auf Anfrage entwirre ich gerne.

Wirklich nicht. Es sind *verschiedene* Bezeichnungen im Umlauf. Siehe z.B.

Roman: Advanced Linear Algebra

[Jannick Asmus]

Ein Vektor im R^n kann man bekanntlich als n-Tupel schreiben. Stellt man
diesen Vektor mit Hilfe einer Basis dar, dann erhält man ebenfalls n
Koeffizienten, die ein Koordinaten-n-Tupel bilden.
In der Physik wird mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention ein
x=b_i*x^i
Die x^i sind also die Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis. Das
n-Tupel der x^i wird als Kovektor bezeichnet. Bis jetzt habe ich das
Kovektor immer von kovariant abgeleitet angesehen.
Es stellt sich mir jetzt die Frage, wie man also ein Vektor als n-Tupel
von seinem Koordinaten-n-Tupel unterscheidet. Muss man das immer
dazuschreiben, als was das n-Tupel aufgefaßt wird? Oder steht Kovektor
gar für Koordinatenvektor?

Hallo Andreas,

die folgenden Erklärungen zielen auf die basisfreie Darstellung von
Objekten in Vektorräumen und deren Koordinatendarstellung von
*gewählten* Basen ab. Dies findet seine Anwendung z.B. in der Analysis
auf Mannigfaltigkeiten (Differentialgeometrie) und somit in der
Theoretischen Physik (Christoffel-Symbole).


Seien K ein Körper (z.B. der Körper R der reellen Zahlen) und V ein
endlich-dimensionaler K-Vektorraum. V* bezeichne den Vektorraum der
Linearformen auf V, d.h. die Menge der linearen Abbildungen f: V -> K.

Es gibt nun eine natürliche Paarung von V und V*, nämlich die bilineare
Abbildung <.,.>: V* x V -> K, (f,v) -> f(v).

Wählt man nun eine Basis B=(v_1,...v_n) von V, dann existiert eine
hierzu duale Basis B*=(v_1^*,...,v_n^*) von V*, dh. es gilt
v_k^*(v_l)=1, falls k=l, = 0 sonst, für k,l e {1,...,n}
[Kronecker-delta]. Durch diese Bedingung ist die duale Basis B* von B
eindeutig durch B bestimmt.

Jeder Vektor v e V hat genau eine Darstellung als v = x^1 v_1 + ... +
x^n v_n mit dem Koordinatenvektor x=(x^1,...,x^n)^T e K^n. Genauso für
v* e V*: v* = x_1 v_1^* + ... + x_n v_n^* mit x*^T = (x_1,...,x_n)^T =
K^n. Es gilt v*(v)=x_i x^i (mit der Einsteinschen Summenkonvention).


Ist b: V* x V -> K eine bilineare Abbildung, so stellt gilt dann
b(v*,v) = x_i b^i_j x^j mit b^i_j=b(v_i^*,v_j).


Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.


Die Bezeichnung von Ko- und Kontravektoren rührt nun von der Bezeichnung
des Zusammenhangs des Koordinatenvektors x von v bzgl. der Basis B und
von x' bzgl. einer Basis B'. Genauso für v* und x* und x*'. Gemeint ist
hier das Transformationsverhalten.


Hier noch zwei grundlegende Beispiele:

1. Kartesiche und Kugelkoordinaten:
[Voraussetzung hierfür sind differentialgeometrische Grundkenntnisse]:

Für die Mannigfaltigkeit R^2 hat man die Basen (d/dx,d/dy) (Partielle
Ableitungen) des Tangentialraums V (an einem Punkt p e R^2) und (dx,dy)
des Raumes der Pfaffschen Formen V* (Differentialformen 1. Ordnung).
Diese Basen sind dual zueinander. Genauso wie die Basen (d/dr,d/d\phi)
und (dr,d\phi) in jedem Punkt p=/=0.

2. Das Ganze lässt sich auch auf beliebige multilineare Abbildungen
verallgemeinern, z.B. auf R: V* x V x V -> K. (-> Christoffel-Symbole)


Hoffe, dass Dir dies hilfreich sein kann.

Gruss,
J.

[Andreas Heyer]

Hallo Jannick,

Post by Jannick Asmus
Seien K ein Körper (z.B. der Körper R der reellen Zahlen) und V ein
endlich-dimensionaler K-Vektorraum. V* bezeichne den Vektorraum der
Linearformen auf V, d.h. die Menge der linearen Abbildungen f: V -> K.

Meinst du wirklich f: V -> K ? Welchen Sinn macht es, einen Vektor z.B.
auf eine reelle Zahl (K=R) abzubilden?

Post by Jannick Asmus
Wählt man nun eine Basis B=(v_1,...v_n) von V, dann existiert eine
hierzu duale Basis B*=(v_1^*,...,v_n^*) von V*, dh. es gilt
v_k^*(v_l)=1, falls k=l, = 0 sonst, für k,l e {1,...,n}

^^^^^^^^^^
Ist das Multiplikativ gemeint? Oder als Funktion mit Argument v_l? Wenn
obige Def. für f richtig ist, sollte es wohl eine Funktionsdarstellung sein.

Post by Jannick Asmus
Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.

Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr mit
n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus und dem
expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den jeweiligen
Vektor?

MfG
Andreas

[Jannick Asmus]

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Seien K ein Körper (z.B. der Körper R der reellen Zahlen) und V ein
endlich-dimensionaler K-Vektorraum. V* bezeichne den Vektorraum der
Linearformen auf V, d.h. die Menge der linearen Abbildungen f: V -> K.

Meinst du wirklich f: V -> K ? Welchen Sinn macht es, einen Vektor z.B.
auf eine reelle Zahl (K=R) abzubilden?

Das ist eine sehr übliche Definition des Dualraumes, die in der
Mathematik an jedem dicken Baum durchgeführt wird. Nimm sie so hin wie
sie ist.

Du kennst ja auch die Funktion f_i:R^n -> R, die jedem Element von R^n
die i-te Komponente zuweist. Dies ist ein Beispiel für f_i e (R^n)*;
manchmal notiert man sie auch als x_i und i-te Koordinatenprojektion
genannt.

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Wählt man nun eine Basis B=(v_1,...v_n) von V, dann existiert eine
hierzu duale Basis B*=(v_1^*,...,v_n^*) von V*, dh. es gilt
v_k^*(v_l)=1, falls k=l, = 0 sonst, für k,l e {1,...,n}

^^^^^^^^^^
Ist das Multiplikativ gemeint? Oder als Funktion mit Argument v_l? Wenn
obige Def. für f richtig ist, sollte es wohl eine Funktionsdarstellung sein.

Richtig, das Letzere. Nur das macht ja Sinn.

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.

Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr mit
n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus und dem
expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den jeweiligen
Vektor?

Yep, Du hast den Clou an der Sache genau erkannt.

Man hat abstrakte Vektorräume V und möchte sie nun 'sichtbar' machen.
Dafür wählt eine Basis B und betrachtet nicht mehr v, sondern den
Koordinatenvektor x von v. Dabei will man aber den Dualraum V* nicht
'vergessen' und macht ihn ebenfalls 'sichtbar' - nämlich mit der dualen
Basis B*. Dann rechnet man mit vielen Koordinaten - und erhält dieses
'Koordinatenkuddelmuddel'. Es ist aber sehr sinnvoll und wird ja z.B. in
der Relativitätstheorie und der Elektrodynamik (Theoretische Physik)
angewendet.

J.

[Andreas Heyer]

Hallo Jannick,

Post by Jannick Asmus
Du kennst ja auch die Funktion f_i:R^n -> R, die jedem Element von R^n
die i-te Komponente zuweist. Dies ist ein Beispiel für f_i e (R^n)*;
manchmal notiert man sie auch als x_i und i-te Koordinatenprojektion
genannt.

Das kann ich ja noch verstehen, wäre trotzdem schön, wenn man mir die
Motivation für diese Def. des Dualraums erläutern würde.

Post by Jannick Asmus
Man hat abstrakte Vektorräume V und möchte sie nun 'sichtbar' machen.
Dafür wählt eine Basis B und betrachtet nicht mehr v, sondern den
Koordinatenvektor x von v. Dabei will man aber den Dualraum V* nicht
'vergessen' und macht ihn ebenfalls 'sichtbar' - nämlich mit der dualen
Basis B*. Dann rechnet man mit vielen Koordinaten - und erhält dieses
'Koordinatenkuddelmuddel'. Es ist aber sehr sinnvoll und wird ja z.B. in
der Relativitätstheorie und der Elektrodynamik (Theoretische Physik)
angewendet.

Kannst du mir nicht trotzdem sagen, wie man bei Tupelschreibweise eines
konkreten Vekorraums (meist nun mal R^n), trotdem x und v auseinander hält.

Aus einem anderen Posting von mir:

<ZITAT>
Wenn man jetzt eine lineare Abbildung f zwischen 2 Vektorräumen über die
Matrix darstellt, dann sind die Spalten der Abbildungsmatrix A_ij die
Bilder der Basisvektoren im Zielvektorraum:

y=f(v)=A*(Koordinaten von v bzgl. der Basis)^T=A*x
In dieser Gleichung wird das Koordinaten-n-Tupel x von v auch als
Spaltenvektor geschrieben, so dass man es nicht von einem Vektor aus dem
Vektorraum unterscheiden kann.
</ZITAT>

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Kannst du mir nicht trotzdem sagen, wie man bei Tupelschreibweise eines
konkreten Vekorraums (meist nun mal R^n), trotdem x und v auseinander hält.

Man kann sie nicht unterscheiden. Spalten sind Spalten. Du mußt im
Begleittext sagen, was mit einem Tupel gemeint ist, wenn das fraglich sein
kann. Wenn DU sagst, sei

(1,2,3,4)^T e R^4,

so wird jeder annehmen, daß es sich um den Vektor selbst handelt.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Man kann sie nicht unterscheiden. Spalten sind Spalten. Du mußt im
Begleittext sagen, was mit einem Tupel gemeint ist, wenn das fraglich sein
kann. Wenn DU sagst, sei
(1,2,3,4)^T e R^4,
so wird jeder annehmen, daß es sich um den Vektor selbst handelt.

Das ist zwar nicht die Antwort, die ich erhofft habe, aber damit kann
ich leben. Sonst wird doch durch die Mathematik alles genau geregelt, so
dass man eigentlich auf begeleitende Prosa verzichten kann ;-)

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Man kann sie nicht unterscheiden. Spalten sind Spalten. Du mußt im
Begleittext sagen, was mit einem Tupel gemeint ist, wenn das fraglich sein
kann. Wenn DU sagst, sei
(1,2,3,4)^T e R^4,
so wird jeder annehmen, daß es sich um den Vektor selbst handelt.

Das ist zwar nicht die Antwort, die ich erhofft habe, aber damit kann
ich leben. Sonst wird doch durch die Mathematik alles genau geregelt, so
dass man eigentlich auf begeleitende Prosa verzichten kann ;-)

Nein. Man kann in der Mathematik niemals auf einen Begleittext verzichten.
Ein mathematischer Text besteht genau so aus Sätzen wie ein Roman (nur ist
die Mathematik im allgemeinen spannender). Die Sätze werden durch Punkt
abgeschlossen. Wenn am Ende des Satzes eine Formel steht, steht der Punkt
nach der Formel. Z.B.

"Für alle reellen Zahlen a,b und alle natürlichen Zahlen n gilt die Formel
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab."

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
"Für alle reellen Zahlen a,b und alle natürlichen Zahlen n gilt die Formel
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab."

Bis auf "Sei" und "Es/Dann gilt" und die Fachbegriffe ist die Sprache
doch nicht nötig:

Sei a,b \in R, n \in N. Dann gilt:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

MfG
Andreas

PS: Ist nur ein Spass. Natürlich braucht man die Sprache, und sie wird
in meinen Augen an manchen Stellen zu wenig eingesetzt. Aber es gibt
auch Stellen, so wie im Thema dieses Threads, wo man die mathemat.
Notation klarer gestalten könnte, um auf im Fließtext leicht übersehbare
Worte verzichten zu können. Ich gebe allerdings zu, dass man math. Texte
nicht wie einen Roman lesen sollte.

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Jannick,

Post by Jannick Asmus
Seien K ein Körper (z.B. der Körper R der reellen Zahlen) und V ein
endlich-dimensionaler K-Vektorraum. V* bezeichne den Vektorraum der
Linearformen auf V, d.h. die Menge der linearen Abbildungen f: V -> K.

Meinst du wirklich f: V -> K ? Welchen Sinn macht es, einen Vektor z.B.
auf eine reelle Zahl (K=R) abzubilden?

Das macht sogar sehr viel Sinn. Wir können hier natürlich nicht die
Dualitätstheorie darstellen, aber sie steht in jedem Buch über Lineare
Algebra. Noch wichtiger ist dies in der Analysis. Ich will Dir ein Beispiel
nennen (wobei ich natürlich Deine Vorbildung nicht kenne):

Sei f : R -> R lokal integrierbar. (Das bedeutet, f ist integrierbar über
jede kompakte Teilmenge von R.) Sei psi : R -> R eine unendlich oft
differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger (d.h. psi sei null außerhalb
einer beschränkten Teilmenge von R).

Dann wird durch

psi |-> int_R f(x)*psi(x) dx

eine lineare Funktion definiert von dem Vektorraum aller dieser psi-s nach
R. Das ist der Ausgangspunkt der Theorie der Distributionen, die in der
Analysis und der Physik ein sehr nützliches Hilfsmittel sind.

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Wählt man nun eine Basis B=(v_1,...v_n) von V, dann existiert eine
hierzu duale Basis B*=(v_1^*,...,v_n^*) von V*, dh. es gilt
v_k^*(v_l)=1, falls k=l, = 0 sonst, für k,l e {1,...,n}

^^^^^^^^^^
Ist das Multiplikativ gemeint? Oder als Funktion mit Argument v_l? Wenn
obige Def. für f richtig ist, sollte es wohl eine Funktionsdarstellung sein.

Er meint "v_k hoch *". Das ist eine lineare Abbildung von V nach K, also
ist das, was Y. geschrieben hat, sinnvoll.

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.

Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr mit
n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus und dem
expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den jeweiligen
Vektor?

Nein. Für praktische Berechnungen nimmt man oft Koordinaten her, in einer
geeigneten Basis. Oft besteht diese Basis aus Eigenvektoren einer linearen
Abbildung.

Ich denke, daß Dir im Augenblick vielleicht ein wenig die Vorbildung fehlt,
um tiefer in diese Problematik einzudringen. Diese Dinge sind nicht so
trivial und verwirren den Anfänger oft. Aber das wird sich legen, wenn Du
Dich ernsthaft mit Mathematik beschäftigst.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich denke, daß Dir im Augenblick vielleicht ein wenig die Vorbildung fehlt,
um tiefer in diese Problematik einzudringen. Diese Dinge sind nicht so
trivial und verwirren den Anfänger oft. Aber das wird sich legen, wenn Du
Dich ernsthaft mit Mathematik beschäftigst.

Tja, ich habe schon Lineare Algebra 1 besucht.
Ich kann mich jetzt aber nicht so richtig an den Dualraum erinnern. Mir
sind da mehr so Vektorraum, LGS und lin. Abbildungen/Matrizen in
Erinnerung geblieben. Es gibt allerdings noch LA 2, vielleicht wird das
da behandelt.
Zu Hause muss ich noch einmal ins grüne LA-Repititorium reinschauen, und
auch da ist mir das mit dem Dualraum nicht wirklich aufgefallen.
Vielleicht habe ich es auch nur übersehen und in der Vorlesung
geschlafen ;-)

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Ich denke, daß Dir im Augenblick vielleicht ein wenig die Vorbildung fehlt,
um tiefer in diese Problematik einzudringen. Diese Dinge sind nicht so
trivial und verwirren den Anfänger oft. Aber das wird sich legen, wenn Du
Dich ernsthaft mit Mathematik beschäftigst.

Tja, ich habe schon Lineare Algebra 1 besucht.
Ich kann mich jetzt aber nicht so richtig an den Dualraum erinnern. Mir
sind da mehr so Vektorraum, LGS und lin. Abbildungen/Matrizen in
Erinnerung geblieben. Es gibt allerdings noch LA 2, vielleicht wird das
da behandelt.
Zu Hause muss ich noch einmal ins grüne LA-Repititorium reinschauen, und
auch da ist mir das mit dem Dualraum nicht wirklich aufgefallen.
Vielleicht habe ich es auch nur übersehen und in der Vorlesung
geschlafen ;-)

Nur sehr wenige Studenten, die Allerbesten, verstehen diese Dinge sofort.
Das braucht seine Zeit. Es braucht Jahre. (Ich zumindest brauchte Jahre, um
viele der Feinheiten zu verstehen.) Die Einführung des Dualraumes ist icht
unbedingt notwendig, aber wenn, dann sollte er wohl vor den
Gleichungssystemen erfolgen. Ich weiß es nicht. Wichtig ist auch, was Du
studierst. Sie werden natürlich meistens nur in Vorlesungen für Studenten
der reinen Mathematik an der Uni erwähnt bzw. entwickelt.

[Andreas Heyer]

Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Nur sehr wenige Studenten, die Allerbesten, verstehen diese Dinge sofort.
Das braucht seine Zeit. Es braucht Jahre. (Ich zumindest brauchte Jahre, um
viele der Feinheiten zu verstehen.) Die Einführung des Dualraumes ist icht
unbedingt notwendig, aber wenn, dann sollte er wohl vor den
Gleichungssystemen erfolgen. Ich weiß es nicht. Wichtig ist auch, was Du
studierst. Sie werden natürlich meistens nur in Vorlesungen für Studenten
der reinen Mathematik an der Uni erwähnt bzw. entwickelt.

Physik und Informatik. Dafür musste eigentlich nur LA 1 und Analysis 1-3
gemacht werden. Aber auch in der Analysis wurde mit keinem Wort auf ko-
und kontravariant eingegangen.

Wenn es dann zum ersten Mal in einer Theoret.-Mechanik-Vorlesung
auftaucht, fragt man sich dann (zumindest ich), warum bei der
Entwicklung eines Vektors nach einer kovarianten Basis die Koordinaten
plötzlich kontravariant sind (und umgekehrt). Denn ich würde zuerst
fragen, warum die Koordinaten bezüglich einer kovarianten Basis nicht
auch kovariant heissen.
Wenn dann noch Einsteins Summenkonvention ins Spiel kommt, hält man das
vielleicht für eine willkürliche Konvention (a la Index oben und unten,
ja da bilden wir die Summe). Ganz schlimm wird es dann bei den Tensoren
und dem Hoch- und Runterziehen von Indizes, vor allem, wenn man in
seiner LA-Vorlesung alles nur unten nummeriert hat.

MfG
Andreas

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Hallo Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth
Nur sehr wenige Studenten, die Allerbesten, verstehen diese Dinge sofort.
Das braucht seine Zeit. Es braucht Jahre. (Ich zumindest brauchte Jahre, um
viele der Feinheiten zu verstehen.) Die Einführung des Dualraumes ist icht
unbedingt notwendig, aber wenn, dann sollte er wohl vor den
Gleichungssystemen erfolgen. Ich weiß es nicht. Wichtig ist auch, was Du
studierst. Sie werden natürlich meistens nur in Vorlesungen für Studenten
der reinen Mathematik an der Uni erwähnt bzw. entwickelt.

Physik und Informatik. Dafür musste eigentlich nur LA 1 und Analysis 1-3
gemacht werden. Aber auch in der Analysis wurde mit keinem Wort auf ko-
und kontravariant eingegangen.

Natürlich nicht. Es gehört zur Tensorrechnung, die heutzutage zur
riemannschen Geometrie gehört. Sie (bzw. eher die semiriemannsche
Geometrie) ist für die Physik so grundlegend (und so wunderbar), daß sie
noch kommen wird. Vielleicht in Defferentialgeometrie.

Post by Andreas Heyer
Wenn es dann zum ersten Mal in einer Theoret.-Mechanik-Vorlesung
auftaucht, fragt man sich dann (zumindest ich), warum bei der
Entwicklung eines Vektors nach einer kovarianten Basis die Koordinaten
plötzlich kontravariant sind (und umgekehrt). Denn ich würde zuerst
fragen, warum die Koordinaten bezüglich einer kovarianten Basis nicht
auch kovariant heissen.

Ja. Wenn man die Einsteinsche Summenkonvention richtig macht, addiert man
immer über einen oberen und einen unteren Index. Der Formalismus nimmt
einem zum Teil das Denken an. Also

v = x^i*b_i.

Post by Andreas Heyer
Wenn dann noch Einsteins Summenkonvention ins Spiel kommt, hält man das
vielleicht für eine willkürliche Konvention (a la Index oben und unten,
ja da bilden wir die Summe). Ganz schlimm wird es dann bei den Tensoren
und dem Hoch- und Runterziehen von Indizes, vor allem, wenn man in
seiner LA-Vorlesung alles nur unten nummeriert hat.

Das ist nicht so schlimm, muß aber verdaut werden. DU mußt dan umdenken. Es
gibt zum Glück in der Literatur viele hervorragende Darstellungen.

[Jannick Asmus]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.

Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr mit
n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus und dem
expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den jeweiligen
Vektor?

@Gottfried: Danke, ich antworte gerne selbst auf Fragen, die an mich
gerichtet sind.
__________

Genau das meine ich. Es gibt in der Mathematik interessante Vektorräume,
die sich nun nicht mehr an Rechenaufgaben orientieren. Ihre Definition
ist dann z.B. derart, dass die Vektoren auf 'etwas können': damit meine
ich, dass Vektoren dann auf anderen, bekannten Mengen operieren. Es ist
nicht immer angezeigt, mit Basen zu arbeiten und in einem
Koordinatenraum 'herumzuwurschteln', in dem man nicht mehr sieht was los
ist. In gewissen Fällen ist es unumgänglich.


Hier kurz ein Beispiel dafür, dass sich nicht immer Basen aufdrängen:

Sei V die Menge aller Polynome in der Variablen x mit reellen
Koeffizienten höchstens vom Grade 2. V ist ein 3-dimensionaler
Vektorraum (Übungsaufgabe!).

Definiere die Abbildung o: V x V -> V, indem man (p,q) e V x V das
Taylorpolynom des Produkts pq vom Grade 2 zuweist.

Definiere die Menge V' der linearen Abbildungen f: V -> R mit der
Eigenschaft (D):

Für alle p,q e V gilt f(p o q) = p(0) f(q) + q(0) f(p).


Also V' = { f e V* so dass: f erfüllt (D) }

[wobei V* den Dualraum bezeichnet]

V' ist ein Untervektorraum von V* (Übungsaufgabe!).

In diesem Beispiel ist nun eine Basis von V' nicht mehr ganz so schnell
anzugeben. Diese kleine Aufgabe scheint vielleicht ungewohnt zu sein,
sie liefert aber einen Vektorraum, der nun nicht mehr aus irgendeinem
K^n generiert wird.

Eventuell kannst Du sie im kommenden Semester zur Hand nehmen, wenn es
weiter geht mit abstrakten Vektorräumen, linearen Abbildungen,
Dualräumen usw.

Post by Gottfried von Korinth
Nein. Für praktische Berechnungen nimmt man oft Koordinaten her, in einer
geeigneten Basis. Oft besteht diese Basis aus Eigenvektoren einer linearen
Abbildung.

... so können Beispiele auseinander gehen.

Post by Gottfried von Korinth
Ich denke, daß Dir im Augenblick vielleicht ein wenig die Vorbildung fehlt,
um tiefer in diese Problematik einzudringen. Diese Dinge sind nicht so
trivial und verwirren den Anfänger oft. Aber das wird sich legen, wenn Du
Dich ernsthaft mit Mathematik beschäftigst.

@Gottfried: ... und ich glaube, dass Andreas durchaus in der Lage ist,
sich an diese Geschichten jetzt heranzutrauen. Ich für meinen Teil
versuche zu unterstützen, wenn jemand Interesse an mehr hat und dies
auch beherzt zeigt - so wie Andreas im ersten Semester.

Ist der Satz 'Das verstehst Du schon noch, wenn Du grösser bist.'
didaktisch ok? Ich finde: Nein.

J.

[Leonhard Vogt]

Post by Jannick Asmus

Post by Andreas Heyer
Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr
mit n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus
und dem expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den
jeweiligen Vektor?

@Gottfried: Danke, ich antworte gerne selbst auf Fragen, die an mich
gerichtet sind.

In einer Gruppe kann / darf / soll mMn aber auch jemand
anderes Antworten, das ist doch der Sinn der Sache.
Sonst koennten wir ja alle auch per Mail antworten.

Leonhard

[Jannick Asmus]

Post by Leonhard Vogt
In einer Gruppe kann / darf / soll mMn aber auch jemand
anderes Antworten, das ist doch der Sinn der Sache.
Sonst koennten wir ja alle auch per Mail antworten.

Leonhard,

Danke für Deinen Hinweis. Sicherlich: da hast Du Recht.

Dies sind öffentliche Diskussionen. Und dies sollten auch bleiben! Jeder
darf und soll wie in einer Podiumsdiskussion Beiträge liefern können.
Auch Zwischenrufe aus dem Off sind nicht nur gewollt, sondern besonders
erwünscht. Vielen Dank !

Ich halte es dennoch so, dass ich mich *nicht* in eine sich entwickelnde
Diskussion zweier einschalte. Aus Sorge um neu gewonnene Einsichten des
OP bat ich um zeitweilige Zurückhaltung. Diese Sorge war begründet.

Habe ich eine differierende Meinungen zu einem Thema zu der eines
anderen, so führe ich die Auseinandersetzung hierzu direkt mit ihm,
nicht über einen Dritten, der um Information zu diesem Thema bittet.


J.

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus

Post by Andreas Heyer

Post by Jannick Asmus
Durch die Einführung eines beliebigen Vektorraumes entfällt die Frage,
wer ist der Vektor v und wer ist Koordinatenvektor x. Meines Erachtens
ist es meist verwirrend, V=K^n als Beispiel zu nennen, da hier die
Unterschiede von v und x verschwimmen.

Du meinst, bei einem beliebigen Vektorraum arbeitet man nicht mehr mit
n-Tupeln, sondern nur noch mit (abstrakten) Elementen v daraus und dem
expliziten Aufschreiben der Basis-Linearkombination für den jeweiligen
Vektor?

@Gottfried: Danke, ich antworte gerne selbst auf Fragen, die an mich
gerichtet sind.

Das ist eine öffentliche NG und jeder darf auf jede Frage antworten. Wenn
der OP mehrere Antworten erhält, ist das meistens hilfreich. Außerdem kann
ich Fehler machen, die dann berichtigt werden.

Post by Jannick Asmus
@Gottfried: ... und ich glaube, dass Andreas durchaus in der Lage ist,
sich an diese Geschichten jetzt heranzutrauen. Ich für meinen Teil
versuche zu unterstützen, wenn jemand Interesse an mehr hat und dies
auch beherzt zeigt - so wie Andreas im ersten Semester.
Ist der Satz 'Das verstehst Du schon noch, wenn Du grösser bist.'
didaktisch ok? Ich finde: Nein.

Doch. Es ist eine Sache des Einfühlungsvermögens. Manche Dinge erfordern
eine erhebliche mathematische Reife, auch wenn sie scheinbar einfach sind.
Das ist z.T. der Grund, warum den Studenten oft die LA größere
Schwierigkeiten macht als die Analysis, obwohl die mathematische Substanz
der Analysis viel größer ist.
Du glaubst, es genüge, daß man dem OP die Dinge logisch entwickelt. Dann
wird er das verstehen. Ich habe das als junger Lehrer auch geglaubt. Aber
es ist nicht so.
Nun hat der OP noch nichts über Dualitätstheorie gehört. Glaubst Du, daß Du
ihm dieses gewöhnnungsbedürftige Gebiet im Rahmen einiger Postings von
einigen Zeilen auch nur näher bringen kannst?
Außerdem ist das, was ich sagte, wahr. Man braucht seine Zeit. Und die
Wahrheit kann niemals didaktisch verkehrt sein.
Der OP studiert nicht reine Mathematik. Er hat die Grundbegriffe der LA
gerade erworben und ist in ihrem Gebrauch noch recht unsicher. Wir sehen,
daß er noch recht grundlegende Verständnisprobleme hat. Es ist nicht
sinnvoll, ihn durch eine Unmenge neuer Informationen zu überfordern. Man
kann ihm über Mathematik erzählen aber man darf sie ihm nicht entwickeln.
Aber seine Probleme werden sich legen. Laß ihm etwas Zeit.

[Jannick Asmus]

On 17.02.2005 21:18, Gottfried von Korinth wrote:


Vorsicht! Längere Antwort. ;)


Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
@Gottfried: Danke, ich antworte gerne selbst auf Fragen, die an mich
gerichtet sind.

Das ist eine öffentliche NG und jeder darf auf jede Frage antworten. Wenn
der OP mehrere Antworten erhält, ist das meistens hilfreich. Außerdem kann
ich Fehler machen, die dann berichtigt werden.

Post by Jannick Asmus
@Gottfried: ... und ich glaube, dass Andreas durchaus in der Lage ist,
sich an diese Geschichten jetzt heranzutrauen. Ich für meinen Teil
versuche zu unterstützen, wenn jemand Interesse an mehr hat und dies
auch beherzt zeigt - so wie Andreas im ersten Semester.
Ist der Satz 'Das verstehst Du schon noch, wenn Du grösser bist.'
didaktisch ok? Ich finde: Nein.

Doch. Es ist eine Sache des Einfühlungsvermögens. Manche Dinge erfordern
eine erhebliche mathematische Reife, auch wenn sie scheinbar einfach sind.
Das ist z.T. der Grund, warum den Studenten oft die LA größere
Schwierigkeiten macht als die Analysis, obwohl die mathematische Substanz
der Analysis viel größer ist.
Du glaubst, es genüge, daß man dem OP die Dinge logisch entwickelt. Dann
wird er das verstehen. Ich habe das als junger Lehrer auch geglaubt. Aber
es ist nicht so.

Dann haben wir unterschiedliche Ansätze und Erfahrungen: Ich für meinen
Teil nehme jeden Menschen ernst - egal, ob dieser Mensch 3, 21 oder 56
Jahre alt ist. Ich spreche mit allen Menschen im wesentlichen gleich.
Ich versuche auf jeden im Gespräch zuzugehen - und zwar in dem Masse,
wie dies mir persönlich nach meinen Fähigkeiten möglich ist.

Der Satz 'Du bist noch klein, das wirst Du schon später verstehen.'
nimmt den Fragenden nicht ernst, sondern erzieht ihn eher dazu, nicht
mehr zu fragen. Das ist nicht das, was ich von Didaktik und Förderung
verstehe. Vielmehr gibt ihm dieses Vorgehen virtuelle Grenzen vor, die
aber aus der Vorstellung seines Gegenübers entspringen. Und diese müssen
nicht seine Grenzen sein.
Kurz: Ein Schüler kann einem Lehrer durchaus dessen Grenzen (also die
des Lehrers) zeigen. Wenn der nun reagiert mit seinem
Ich-weiss-jetzt-nicht-mehr-weiter-Mantra, werden Talente nicht nur nicht
erkannt, sondern sie können auch verschüttet werden. Anstatt
_angemessener_ *Förderung* wird entstehende Neugierde im Keim erstickt.

Das Einfühlungsvermögen des Informierenden setzt auch an diesem Punkt
an: es muss sich nicht nur auf den Interessierten konzentrieren, sondern
auch sich hinterfragen.

Man kann Dinge sehr unterschiedlich darstellen. Man kann Dinge
systematisch entwickeln (Du nennst dies 'logisch'); so wird es an der
Uni gehandhabt. Bei Schülern kann man anwenden: eine Mischung aus der
klaren Darstellung (unter systematischen Anwendung und Entwicklung
mathematischer Sprache) und 'Deiner' Methode, gewisse Regeln vorzugeben
und darauf hoffen, dass der Schüler durch das Durchrechnen von sehr
vielen Beispielen Regelmässigkeiten mehr und mehr erkennt. So mache ich
es bei Schülern.

Ich wählte nun in den Beiträgen an den OP derjenigen beiden Threads, in
denen ich mit Dir nicht einer fachlichen Meinung war, die erste Methode
- und zwar in klarem Bewusstsein, dass dies wohl möglich _leicht_ über
dem Niveau des OP lag.

Ich stimme Dir in dem Punkt zu, dass Mathematik Zeit braucht. Sehr viel
Zeit. Bei dem Einen weniger, bei dem Anderen mehr. Aber nichtsdestotrotz
sehr lange, insbesondere wenn es um Reine Mathematik geht. Ich erwarte
dabei nicht, dass meine Beiträge an den OP sofort in vollem Umfang von
ihm verstanden werden. Was ich aber hoffe ist, dass das Aufzeigen von
einer klaren Methodik und der Gebrauch einer stringenten
Begrifflichkeit für einen interessierten und äusserst wackeren
Studenten -wie es die beiden OPs in den ersten Semestern ihres Studiums
ohne Zweifel sind!- fördernd wirkt: Er wird sich zu einem späteren
Zeitpunkt daran erinnern und dann diejenigen zusätzlichen
Mosaiksteinchen, die er noch nicht einordnen konnte, mehr
und mehr zu einem ganzen Bild zusammensetzen. Diese Methode wirkt.


Und in unserem Beispiel - und nun kommen persönliche Worte, die meine
Einschätzung darstellen - waren Deine Vorstellungen nicht ausreichend,
das Thema hinter der Frage des OP zu erfassen: Nämlich die Motivation
und der Umgang mit ko-/kontravarianten Tensoren auf der
Mannigfaltigkeit eines affinen Raumes [hier: R^n] in
Koordinatendarstellung. Diese Einschätzung über Dich hast auch Du
eingeräumt.

Post by Gottfried von Korinth
Nun hat der OP noch nichts über Dualitätstheorie gehört. Glaubst Du, daß Du
ihm dieses gewöhnnungsbedürftige Gebiet im Rahmen einiger Postings von
einigen Zeilen auch nur näher bringen kannst?
Außerdem ist das, was ich sagte, wahr. Man braucht seine Zeit. Und die
Wahrheit kann niemals didaktisch verkehrt sein.
Der OP studiert nicht reine Mathematik. Er hat die Grundbegriffe der LA
gerade erworben und ist in ihrem Gebrauch noch recht unsicher. Wir sehen,

Der OP studiert Physik, wie er selbst äusserte und ohne Weiteres an
seiner Nomenklatur erkenntlich ist. Ich vermutete, dass er eine
Einführung in die Theoretische Physik im ersten oder zweiten Semester hört.
Er bat um klärende Trennung von Objekten, die auch für gestandene
Mathematiker nicht ganz einfach zu sein scheint. Das tat ich: Ich
erläuterte sie zunächst mit der Begrifflichkeit der Linearen Algebra.
Ich muss zugeben, dass mich Deine Einwände und Ergänzungen zu meinen
Bemerkungen an den OP störten; ganz und gar nicht weil es Einwände
waren, sondern vielmehr weil sie die (in dem Beispiel des R^n nur
nuancenhafte) Unterscheidung von 'Vektor' und 'Koordinatenvektor bzgl.
einer Basis' durch nebulöse Verwischung der klaren Nomenklatur mit einem
Streich zunichte machte.
In den an _Dich_ gerichteten Erklärungen der Sehweise, die Du als
'gekünstelt' bezeichet hast, wechselte ich die Abstraktionsebene und
nahm einen höheren konzeptionellen Standpunkt ein. Ich durfte zu meinem
Bedauern feststellen, dass diese Informationen nicht der Ebene der
Literatur entsprachen, die -wie Du sagst- Du selbst (an)gelesen hast.

Post by Gottfried von Korinth
daß er noch recht grundlegende Verständnisprobleme hat. Es ist nicht
sinnvoll, ihn durch eine Unmenge neuer Informationen zu überfordern. Man
kann ihm über Mathematik erzählen aber man darf sie ihm nicht entwickeln.

Wieso denn nicht? Er ist an der Uni, nicht an der Schule. Wie hast Du
Dich auf Deinen Informationsstand gebracht? Es ist wichtig, Anreize zu
erhalten, um Talente zu fördern. Und zwar angemessen. Darum geht es mir,
denn so habe ich auch gelernt - und nicht nur Mathematik. Die
Sensibilisierung für die Unterscheidung von nur scheinbar
ununterscheidbaren Begriffen wird nicht erreicht, indem man zunächst
deren Gleichheit annimmt. Dies ist dann nicht angemessen, wenn die
Hauptfrage des OP genau auf eine ihn verwirrende Unterscheidung von
Objekten abzielt, die exisitert, er aber nur erahnt und für ihn nur
schwierig in voller Klarheit zu sehen ist.

Post by Gottfried von Korinth
Aber seine Probleme werden sich legen. Laß ihm etwas Zeit.

Danke für Deinen Tipp. Im Gegenzug mein Tipp an Dich: Gib Deinem
Einfühlungsvermögen Raum, sich auf alle Beteiligten, auf Dich selbst und
auf die Grenzen aller zu richten.

Abschliessend möchte ich besonders hervorheben und betonen, dass Du in
jedem Fall zu den äusserst rühmlichen Ausnahmen der wenigen
Mathematik-Lehrer in Deutschland gehörst, die versuchen, sich mit
Mathematik weit über Kurvendiskussion von Polynomen hinaus zu beschäftigen.


Ich stehe gerne für Diskussion und angemessene Auseinandersetzung
zur Verfügung - auch gerne per Email.

J.

p.s.: Gottfried = KarlMüller = jb ?

[Gottfried von Korinth]

Post by Jannick Asmus
Dann haben wir unterschiedliche Ansätze und Erfahrungen: Ich für meinen
Teil nehme jeden Menschen ernst - egal, ob dieser Mensch 3, 21 oder 56
Jahre alt ist.

Was andeutet, daß ich das nicht tue, was natürlich eine Unterstellung ist.
Und zweitens wird auch noch dargestellt, was für ein netter Mensch Du bist.

Post by Jannick Asmus
Ich spreche mit allen Menschen im wesentlichen gleich.

Das tue ich nicht. Ich habe nun eine sehr große Erfahrung als Lehrer und
diese Erfahrung hat mich gelehrt, mit einem Schüler aus der fünften Klasse
anders zu sprechen wie mit einem Kollegen. Ich benutze andere Ausdrücke und
passe viel mehr auf, was ich sage, wenn ich mich an einen jungen Schüler
wende.

Post by Jannick Asmus
Der Satz 'Du bist noch klein, das wirst Du schon später verstehen.'
nimmt den Fragenden nicht ernst, sondern erzieht ihn eher dazu, nicht
mehr zu fragen.

Der Satz stammt von Dir. Aber es gibt Fragen, auf die man jemandem keine
vernünftige Antwort geben kann, weil dem Betreffenden einfach die
Vorbildung dazu fehlt.

Post by Jannick Asmus
Das ist nicht das, was ich von Didaktik und Förderung
verstehe.

Ich weiß nicht, was Du davon verstehst.

Post by Jannick Asmus
Vielmehr gibt ihm dieses Vorgehen virtuelle Grenzen vor, die
aber aus der Vorstellung seines Gegenübers entspringen. Und diese müssen
nicht seine Grenzen sein.
Kurz: Ein Schüler kann einem Lehrer durchaus dessen Grenzen (also die
des Lehrers) zeigen.

Passiert sehr selten. Leider.

Post by Jannick Asmus
Wenn der nun reagiert mit seinem
Ich-weiss-jetzt-nicht-mehr-weiter-Mantra, werden Talente nicht nur nicht
erkannt, sondern sie können auch verschüttet werden. Anstatt
_angemessener_ *Förderung* wird entstehende Neugierde im Keim erstickt.

Das leider eine wenig sensible Bemerkung. Es tut mir leid, daß ich manchmal
einen stärkeren Ausdruck gebrauchen muß, aber es ist hier unvermeidlich.
Wenn ich etwas gefragt werde, was ich nicht weiß, dann ist es das beste,
das dem Schüler zu sagen. In einem solchen Falle sage ich, daß ich die
Frage nicht beantworten kann. Wenn das sehr selten passiert, dann nicht
deshalb, weil ich so klug bin, sondern weil die Schüler naturgemäß im
allgemeinen nicht an diesen Sachen interessiert sind.
Auch ist es nicht war, daß dadurch Neugierde erstickt wird. Das ist eine
unbewiesene Behauptung, wie all Deine Behauptungen. In Wirklichkeit
reagiert jeder Mensch anders. Echtes Interesse läßt sich nicht so leicht
"ersticken".

Post by Jannick Asmus
Das Einfühlungsvermögen des Informierenden setzt auch an diesem Punkt
an: es muss sich nicht nur auf den Interessierten konzentrieren, sondern
auch sich hinterfragen.

Das ist für mich leeres Gerede. Wie der Jargon der Eigentlichkeit.

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge sehr unterschiedlich darstellen.

Wirklich?

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge
systematisch entwickeln (Du nennst dies 'logisch'); so wird es an der
Uni gehandhabt. Bei Schülern kann man anwenden: eine Mischung aus der
klaren Darstellung (unter systematischen Anwendung und Entwicklung
mathematischer Sprache) und 'Deiner' Methode, gewisse Regeln vorzugeben
und darauf hoffen, dass der Schüler durch das Durchrechnen von sehr
vielen Beispielen Regelmässigkeiten mehr und mehr erkennt. So mache ich
es bei Schülern.

Bist DU Lehrer? Dann weißt Du, daß die Erfahrung, die daher rührt, daß wir
tausende von Unterrichtsstunden halten, nichts ersetzen kann.

Post by Jannick Asmus
Ich wählte nun in den Beiträgen an den OP derjenigen beiden Threads, in
denen ich mit Dir nicht einer fachlichen Meinung war, die erste Methode
- und zwar in klarem Bewusstsein, dass dies wohl möglich _leicht_ über
dem Niveau des OP lag.

Ganz leicht. Wie kann man fachlich verschiedener Meinung sein über so
einfache Dinge? (Bis auf die Tatsache, daß ich mir nicht sicher bin, ob Du
weißt, was ein Kovektor ist. Die Koordinatenmatrix, wie es der OP annahm,
ist es nicht. Es ist der Vektor aus dem Satz von Riesz.)

Post by Jannick Asmus
Ich stimme Dir in dem Punkt zu, dass Mathematik Zeit braucht. Sehr viel
Zeit. Bei dem Einen weniger, bei dem Anderen mehr. Aber nichtsdestotrotz
sehr lange, insbesondere wenn es um Reine Mathematik geht. Ich erwarte
dabei nicht, dass meine Beiträge an den OP sofort in vollem Umfang von
ihm verstanden werden. Was ich aber hoffe ist, dass das Aufzeigen von
einer klaren Methodik und der Gebrauch einer stringenten
Begrifflichkeit für einen interessierten und äusserst wackeren
Studenten -wie es die beiden OPs in den ersten Semestern ihres Studiums
ohne Zweifel sind!- fördernd wirkt: Er wird sich zu einem späteren
Zeitpunkt daran erinnern und dann diejenigen zusätzlichen
Mosaiksteinchen, die er noch nicht einordnen konnte, mehr
und mehr zu einem ganzen Bild zusammensetzen. Diese Methode wirkt.

Das ist aber nicht ration zu begründen. Denn solche Darstellungen befinden
sich bereits in seinem Skript und auch in den gängigen Lehrbüchern.
Offenbar ist das gerade das, womit er zu wenig anfangen kann.

Post by Jannick Asmus
Und in unserem Beispiel - und nun kommen persönliche Worte, die meine
Einschätzung darstellen - waren Deine Vorstellungen nicht ausreichend,
das Thema hinter der Frage des OP zu erfassen: Nämlich die Motivation
und der Umgang mit ko-/kontravarianten Tensoren auf der
Mannigfaltigkeit eines affinen Raumes [hier: R^n] in
Koordinatendarstellung. Diese Einschätzung über Dich hast auch Du
eingeräumt.

Er fragte nicht nach ko- und kontravarianten Tensoren. Er hat nicht
verstanden, was die Koordinatenmatrix (oder -tupel oder -vektor) ist. Er
befindet sich im ersten Semester und studiert nicht reine Mathematik!

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Nun hat der OP noch nichts über Dualitätstheorie gehört. Glaubst Du, daß Du
ihm dieses gewöhnnungsbedürftige Gebiet im Rahmen einiger Postings von
einigen Zeilen auch nur näher bringen kannst?
Außerdem ist das, was ich sagte, wahr. Man braucht seine Zeit. Und die
Wahrheit kann niemals didaktisch verkehrt sein.
Der OP studiert nicht reine Mathematik. Er hat die Grundbegriffe der LA
gerade erworben und ist in ihrem Gebrauch noch recht unsicher. Wir sehen,

Der OP studiert Physik, wie er selbst äusserte und ohne Weiteres an
seiner Nomenklatur erkenntlich ist. Ich vermutete, dass er eine
Einführung in die Theoretische Physik im ersten oder zweiten Semester hört.
Er bat um klärende Trennung von Objekten, die auch für gestandene
Mathematiker nicht ganz einfach zu sein scheint. Das tat ich: Ich
erläuterte sie zunächst mit der Begrifflichkeit der Linearen Algebra.
Ich muss zugeben, dass mich Deine Einwände und Ergänzungen zu meinen
Bemerkungen an den OP störten; ganz und gar nicht weil es Einwände
waren, sondern vielmehr weil sie die (in dem Beispiel des R^n nur
nuancenhafte) Unterscheidung von 'Vektor' und 'Koordinatenvektor bzgl.
einer Basis' durch nebulöse Verwischung der klaren Nomenklatur mit einem
Streich zunichte machte.

Nein. Deine Worte sind gefallen. Sie sind durch nichts zunichte zu machen.

Post by Jannick Asmus
In den an _Dich_ gerichteten Erklärungen der Sehweise, die Du als
'gekünstelt' bezeichet hast, wechselte ich die Abstraktionsebene und
nahm einen höheren konzeptionellen Standpunkt ein. Ich durfte zu meinem
Bedauern feststellen, dass diese Informationen nicht der Ebene der
Literatur entsprachen, die -wie Du sagst- Du selbst (an)gelesen hast.

Dann nenne mir bitte mal diese Literatur. Ich bin sehr vorsichtig geworden,
denn wie hatten hier den bedauerlichen Fall mit den topologischen Mengen
und seit dem glaube ich nichts mehr. Nenne mir bitte die Stellen. Ich habe
Dir solche Stellen genannt.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
daß er noch recht grundlegende Verständnisprobleme hat. Es ist nicht
sinnvoll, ihn durch eine Unmenge neuer Informationen zu überfordern. Man
kann ihm über Mathematik erzählen aber man darf sie ihm nicht entwickeln.

Wieso denn nicht? Er ist an der Uni, nicht an der Schule. Wie hast Du
Dich auf Deinen Informationsstand gebracht? Es ist wichtig, Anreize zu
erhalten, um Talente zu fördern. Und zwar angemessen. Darum geht es mir,
denn so habe ich auch gelernt - und nicht nur Mathematik. Die
Sensibilisierung für die Unterscheidung von nur scheinbar
ununterscheidbaren Begriffen wird nicht erreicht, indem man zunächst
deren Gleichheit annimmt. Dies ist dann nicht angemessen, wenn die
Hauptfrage des OP genau auf eine ihn verwirrende Unterscheidung von
Objekten abzielt, die exisitert, er aber nur erahnt und für ihn nur
schwierig in voller Klarheit zu sehen ist.

Post by Gottfried von Korinth
Aber seine Probleme werden sich legen. Laß ihm etwas Zeit.

Danke für Deinen Tipp. Im Gegenzug mein Tipp an Dich: Gib Deinem
Einfühlungsvermögen Raum, sich auf alle Beteiligten, auf Dich selbst und
auf die Grenzen aller zu richten.
Abschliessend möchte ich besonders hervorheben und betonen, dass Du in
jedem Fall zu den äusserst rühmlichen Ausnahmen der wenigen
Mathematik-Lehrer in Deutschland gehörst, die versuchen, sich mit
Mathematik weit über Kurvendiskussion von Polynomen hinaus zu beschäftigen.

Auch diese Aussage ist nur schwer nachprüfbar.

Post by Jannick Asmus
Ich stehe gerne für Diskussion und angemessene Auseinandersetzung
zur Verfügung - auch gerne per Email.
p.s.: Gottfried = KarlMüller = jb ?

Ja.

[Jannick Asmus]

On 18.02.2005 13:14, Gottfried von Korinth wrote:

Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Dann haben wir unterschiedliche Ansätze und Erfahrungen: Ich für meinen
Teil nehme jeden Menschen ernst - egal, ob dieser Mensch 3, 21 oder 56
Jahre alt ist.

Was andeutet, daß ich das nicht tue, was natürlich eine Unterstellung ist.

Das *wäre* es, wenn ich es _gesagt_ hätte. Diese Art der
Auseinandersetzung ist nicht diejenige, die ich unter erwachsenen
Menschen gewohnt bin:
Du empfindes es nicht für angemessen ist,
- wenn ich meine Position darstelle und dabei nichts zu Deiner sage
- wenn ich etwas über Dich sage; das wäre eine Vermutung, Unterstellung
oder eine schwierig bis nicht nachprüfbare Aussage
- wenn ich nichts über Dich sage; auch nicht richtig.

Hmm ??? Jetzt komme ich doch ins Grübeln. Was für eine Alternative gibt
es jetzt für mich noch, wenn ich etwas sagen möchte?

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Der Satz 'Du bist noch klein, das wirst Du schon später verstehen.'
nimmt den Fragenden nicht ernst, sondern erzieht ihn eher dazu, nicht
mehr zu fragen.

Der Satz stammt von Dir.

Das stimmt. Er ist eine pointierte Zuspitzung Deiner Äusserungen. Hier
nur eine kleine Auswahl von Zitaten aus Deinen Beiträgen, die ich aus
der Erinnerung schreibe:
- Man könne hier keine Vorlesungen ersetzen und alles sei sehr schwierig
und nicht auf die Schnelle darstellbar. Insbesondere dann wenn man nicht
die richtige Vorbildung mitbringe [siehe auch unten].
- Wenn man sich *später* (hmm?) _ernsthaft_ (noch mal hmm?) mit
Mathematik beschäftige, sich die Probleme legen.

Post by Gottfried von Korinth
Aber es gibt Fragen, auf die man jemandem keine
vernünftige Antwort geben kann, weil dem Betreffenden einfach die
Vorbildung dazu fehlt.

Oh, wie wahr. Jeder ist mal in der einen, mal in der anderen Rolle. Ich
habe Dich in beiden kennengelernt.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Das ist nicht das, was ich von Didaktik und Förderung
verstehe.

Ich weiß nicht, was Du davon verstehst.

Wunderbar! Grinnnnns :) Ich sehe, Du vestehst Humor. Denn das ist
fürwahr ein hübscher sprachlicher Lapsus von mir.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Vielmehr gibt ihm dieses Vorgehen virtuelle Grenzen vor, die
aber aus der Vorstellung seines Gegenübers entspringen. Und diese müssen
nicht seine Grenzen sein.
Kurz: Ein Schüler kann einem Lehrer durchaus dessen Grenzen (also die
des Lehrers) zeigen.

Passiert sehr selten. Leider.

Tja, wie kommt das?

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn der nun reagiert mit seinem
Ich-weiss-jetzt-nicht-mehr-weiter-Mantra, werden Talente nicht nur nicht
erkannt, sondern sie können auch verschüttet werden. Anstatt
_angemessener_ *Förderung* wird entstehende Neugierde im Keim erstickt.

Ich habe Dich nicht direkt angesprochen, oder?

Post by Gottfried von Korinth
Wenn ich etwas gefragt werde, was ich nicht weiß, dann ist es das beste,
das dem Schüler zu sagen. In einem solchen Falle sage ich, daß ich die
Frage nicht beantworten kann. Wenn das sehr selten passiert, dann nicht
deshalb, weil ich so klug bin, sondern weil die Schüler naturgemäß im
allgemeinen nicht an diesen Sachen interessiert sind.

Aha. Also: Schüler sind im Allgemeinen nicht interessiert - und das aus
ihrer Natur heraus.

Post by Gottfried von Korinth
Auch ist es nicht war, daß dadurch Neugierde erstickt wird. Das ist eine
unbewiesene Behauptung, wie all Deine Behauptungen. In Wirklichkeit
reagiert jeder Mensch anders. Echtes Interesse läßt sich nicht so leicht
"ersticken".

Aber genau das [die Neugierde] haben doch Schüler nun naturgemäss nicht.
Also gibt es nichts zu ersticken und auch nichts zum Keimen zu bringen.
Doch! Das wäre dann echtes Interesse. Dazu gehört Neugierde. Aber die
haben Schüler naturgemäss nicht ...

Ich verstehe Deine Argumentation nicht. Im Deutschunterricht schreiben
wir hierzu: 'Du widersprichst Dir selbst.'

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Das Einfühlungsvermögen des Informierenden setzt auch an diesem Punkt
an: es muss sich nicht nur auf den Interessierten konzentrieren, sondern
auch sich hinterfragen.

Das ist für mich leeres Gerede. Wie der Jargon der Eigentlichkeit.

Danke. Hier spreche ich von Einfühlungsvermögen; und dieser Begriff
wurde von Dir eingeführt, und ich ihn operativ in den Gedanken eingeführt.

[Bem.: Du wendest den Trick der Ablenkung an. Komme darauf gleich noch
einmal zurück.]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge sehr unterschiedlich darstellen.

Wirklich?

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge
systematisch entwickeln (Du nennst dies 'logisch'); so wird es an der
Uni gehandhabt. Bei Schülern kann man anwenden: eine Mischung aus der
klaren Darstellung (unter systematischen Anwendung und Entwicklung
mathematischer Sprache) und 'Deiner' Methode, gewisse Regeln vorzugeben
und darauf hoffen, dass der Schüler durch das Durchrechnen von sehr
vielen Beispielen Regelmässigkeiten mehr und mehr erkennt. So mache ich
es bei Schülern.

Bist DU Lehrer? Dann weißt Du, daß die Erfahrung, die daher rührt, daß wir
tausende von Unterrichtsstunden halten, nichts ersetzen kann.

Tja, ich spreche mit Dir. Bin ich dann automatisch Schüler, weil Du
Lehrer bist?

Diese Erfahrung kann Dir niemand nehmen. Das will auch keiner.
Allerdings lassen sich keine Naturgesetze aus ihr ableiten, nach denen
sich die Umwelt verhält. Es gibt stets Neues, und man hört niemals auf,
Erfahrung zu machen und zu sammeln.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Ich wählte nun in den Beiträgen an den OP derjenigen beiden Threads, in
denen ich mit Dir nicht einer fachlichen Meinung war, die erste Methode
- und zwar in klarem Bewusstsein, dass dies wohl möglich _leicht_ über
dem Niveau des OP lag.

Ganz leicht. Wie kann man fachlich verschiedener Meinung sein über so
einfache Dinge? (Bis auf die Tatsache, daß ich mir nicht sicher bin, ob Du
weißt, was ein Kovektor ist. Die Koordinatenmatrix, wie es der OP annahm,
ist es nicht. Es ist der Vektor aus dem Satz von Riesz.)

Hier komme ich auf die Technik der Ablenkung zurück: Was hat der Satz
von Riesz mit dem mathematischen Sachverhalt zu tun? Hmmm ... (SEUFZ)

Damit wir von dem Gleichen reden: Ich meine den Darstellungssatz von
Riesz für (stetige) Linearformen auf Hilbert-Räumen. Du auch?

Ich sehe hier weit und breit kein *eingeführtes* Skalarprodukt. Wo kommt
dies nun her? Bitte nicht von dem 'kanonischen' reden. Ich sprach von
der natürlichen dualen Paarungen eines VRs mit seinem Dual. Die Aussagen
über Kovektoren beziehen sich im Allgemeinen nicht auf Skalarprodukte,
es sei denn Du möchtest (Pseudo-)Riemannsche Geometrie auf
Mannigfaltigkeiten betreiben.

Wir sagen: 'Thema verfehlt.' Das hat nichts mit der Sache zu tun,
sondern lenkt von dem Eigentlichen ab.'


So, das könnte jetzt noch so weiter gehen. Ich möchte meine Zeit lieber
für etwas Anderes nutzen als diese Art von kleinkrämerischer
Auseinandersetzung.

Ich schliesse dieses Mal nicht mit einem versöhnlichen Satz. Das letzte
Mal hast Du auf die Brücke, die ich Dir gebaut habe, gespuckt. Das war
unfein und, wie ich finde, nicht angemessen.

J.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Ich stimme Dir in dem Punkt zu, dass Mathematik Zeit braucht. Sehr viel
Zeit. Bei dem Einen weniger, bei dem Anderen mehr. Aber nichtsdestotrotz
sehr lange, insbesondere wenn es um Reine Mathematik geht. Ich erwarte
dabei nicht, dass meine Beiträge an den OP sofort in vollem Umfang von
ihm verstanden werden. Was ich aber hoffe ist, dass das Aufzeigen von
einer klaren Methodik und der Gebrauch einer stringenten
Begrifflichkeit für einen interessierten und äusserst wackeren
Studenten -wie es die beiden OPs in den ersten Semestern ihres Studiums
ohne Zweifel sind!- fördernd wirkt: Er wird sich zu einem späteren
Zeitpunkt daran erinnern und dann diejenigen zusätzlichen
Mosaiksteinchen, die er noch nicht einordnen konnte, mehr
und mehr zu einem ganzen Bild zusammensetzen. Diese Methode wirkt.

Das ist aber nicht ration zu begründen. Denn solche Darstellungen befinden
sich bereits in seinem Skript und auch in den gängigen Lehrbüchern.
Offenbar ist das gerade das, womit er zu wenig anfangen kann.

Post by Jannick Asmus
Und in unserem Beispiel - und nun kommen persönliche Worte, die meine
Einschätzung darstellen - waren Deine Vorstellungen nicht ausreichend,
das Thema hinter der Frage des OP zu erfassen: Nämlich die Motivation
und der Umgang mit ko-/kontravarianten Tensoren auf der
Mannigfaltigkeit eines affinen Raumes [hier: R^n] in
Koordinatendarstellung. Diese Einschätzung über Dich hast auch Du
eingeräumt.

Er fragte nicht nach ko- und kontravarianten Tensoren. Er hat nicht
verstanden, was die Koordinatenmatrix (oder -tupel oder -vektor) ist. Er
befindet sich im ersten Semester und studiert nicht reine Mathematik!

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
Nun hat der OP noch nichts über Dualitätstheorie gehört. Glaubst Du, daß Du
ihm dieses gewöhnnungsbedürftige Gebiet im Rahmen einiger Postings von
einigen Zeilen auch nur näher bringen kannst?
Außerdem ist das, was ich sagte, wahr. Man braucht seine Zeit. Und die
Wahrheit kann niemals didaktisch verkehrt sein.
Der OP studiert nicht reine Mathematik. Er hat die Grundbegriffe der LA
gerade erworben und ist in ihrem Gebrauch noch recht unsicher. Wir sehen,

Der OP studiert Physik, wie er selbst äusserte und ohne Weiteres an
seiner Nomenklatur erkenntlich ist. Ich vermutete, dass er eine
Einführung in die Theoretische Physik im ersten oder zweiten Semester hört.
Er bat um klärende Trennung von Objekten, die auch für gestandene
Mathematiker nicht ganz einfach zu sein scheint. Das tat ich: Ich
erläuterte sie zunächst mit der Begrifflichkeit der Linearen Algebra.
Ich muss zugeben, dass mich Deine Einwände und Ergänzungen zu meinen
Bemerkungen an den OP störten; ganz und gar nicht weil es Einwände
waren, sondern vielmehr weil sie die (in dem Beispiel des R^n nur
nuancenhafte) Unterscheidung von 'Vektor' und 'Koordinatenvektor bzgl.
einer Basis' durch nebulöse Verwischung der klaren Nomenklatur mit einem
Streich zunichte machte.

Nein. Deine Worte sind gefallen. Sie sind durch nichts zunichte zu machen.

Post by Jannick Asmus
In den an _Dich_ gerichteten Erklärungen der Sehweise, die Du als
'gekünstelt' bezeichet hast, wechselte ich die Abstraktionsebene und
nahm einen höheren konzeptionellen Standpunkt ein. Ich durfte zu meinem
Bedauern feststellen, dass diese Informationen nicht der Ebene der
Literatur entsprachen, die -wie Du sagst- Du selbst (an)gelesen hast.

Dann nenne mir bitte mal diese Literatur. Ich bin sehr vorsichtig geworden,
denn wie hatten hier den bedauerlichen Fall mit den topologischen Mengen
und seit dem glaube ich nichts mehr. Nenne mir bitte die Stellen. Ich habe
Dir solche Stellen genannt.

Post by Jannick Asmus

Post by Gottfried von Korinth
daß er noch recht grundlegende Verständnisprobleme hat. Es ist nicht
sinnvoll, ihn durch eine Unmenge neuer Informationen zu überfordern. Man
kann ihm über Mathematik erzählen aber man darf sie ihm nicht entwickeln.

Wieso denn nicht? Er ist an der Uni, nicht an der Schule. Wie hast Du
Dich auf Deinen Informationsstand gebracht? Es ist wichtig, Anreize zu
erhalten, um Talente zu fördern. Und zwar angemessen. Darum geht es mir,
denn so habe ich auch gelernt - und nicht nur Mathematik. Die
Sensibilisierung für die Unterscheidung von nur scheinbar
ununterscheidbaren Begriffen wird nicht erreicht, indem man zunächst
deren Gleichheit annimmt. Dies ist dann nicht angemessen, wenn die
Hauptfrage des OP genau auf eine ihn verwirrende Unterscheidung von
Objekten abzielt, die exisitert, er aber nur erahnt und für ihn nur
schwierig in voller Klarheit zu sehen ist.

Post by Gottfried von Korinth
Aber seine Probleme werden sich legen. Laß ihm etwas Zeit.

Danke für Deinen Tipp. Im Gegenzug mein Tipp an Dich: Gib Deinem
Einfühlungsvermögen Raum, sich auf alle Beteiligten, auf Dich selbst und
auf die Grenzen aller zu richten.
Abschliessend möchte ich besonders hervorheben und betonen, dass Du in
jedem Fall zu den äusserst rühmlichen Ausnahmen der wenigen
Mathematik-Lehrer in Deutschland gehörst, die versuchen, sich mit
Mathematik weit über Kurvendiskussion von Polynomen hinaus zu beschäftigen.

Auch diese Aussage ist nur schwer nachprüfbar.

Post by Jannick Asmus
Ich stehe gerne für Diskussion und angemessene Auseinandersetzung
zur Verfügung - auch gerne per Email.
p.s.: Gottfried = KarlMüller = jb ?

Ja.

[Gottfried von Korinth]

Post by Andreas Heyer
Gottfried,

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Dann haben wir unterschiedliche Ansätze und Erfahrungen: Ich für meinen
Teil nehme jeden Menschen ernst - egal, ob dieser Mensch 3, 21 oder 56
Jahre alt ist.

Was andeutet, daß ich das nicht tue, was natürlich eine Unterstellung ist.

Das *wäre* es, wenn ich es _gesagt_ hätte.

Nein. Obwohl Du das nicht explizit gesagt hast, kann man es zwischen den
Zeilen lesen. Es ist selbstverständlich, daß man einen Menschen zunächst
mal ernst nimmt und es ist unnötig, das zu betonen, es sei denn, man hat
etwas anderes im Sinne.

Post by Andreas Heyer
Diese Art der
Auseinandersetzung ist nicht diejenige, die ich unter erwachsenen

Erwachsen bin ich also auch nicht.

Post by Andreas Heyer
Du empfindes es nicht für angemessen ist,
- wenn ich meine Position darstelle und dabei nichts zu Deiner sage
- wenn ich etwas über Dich sage; das wäre eine Vermutung, Unterstellung
oder eine schwierig bis nicht nachprüfbare Aussage
- wenn ich nichts über Dich sage; auch nicht richtig.
Hmm ??? Jetzt komme ich doch ins Grübeln. Was für eine Alternative gibt
es jetzt für mich noch, wenn ich etwas sagen möchte?

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Der Satz 'Du bist noch klein, das wirst Du schon später verstehen.'
nimmt den Fragenden nicht ernst, sondern erzieht ihn eher dazu, nicht
mehr zu fragen.

Der Satz stammt von Dir.

Das stimmt. Er ist eine pointierte Zuspitzung Deiner Äusserungen.

Wie Du sie empfindest. Trotzdem ist der Satz von Dir und dann so zu tun,
als stammte er von mit, um ihn angreifen zu können...

Post by Andreas Heyer
Hier
nur eine kleine Auswahl von Zitaten aus Deinen Beiträgen, die ich aus
- Man könne hier keine Vorlesungen ersetzen und alles sei sehr schwierig
und nicht auf die Schnelle darstellbar. Insbesondere dann wenn man nicht
die richtige Vorbildung mitbringe [siehe auch unten].
- Wenn man sich *später* (hmm?) _ernsthaft_ (noch mal hmm?) mit
Mathematik beschäftige, sich die Probleme legen.

Ja. Ich nahm an, der Fragesteller sei Schüler. Das war naheliegend. Aber
ich stehe zu jeder meiner Aussagen. Für gewisse Feinheiten braucht man
Zeit.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Aber es gibt Fragen, auf die man jemandem keine
vernünftige Antwort geben kann, weil dem Betreffenden einfach die
Vorbildung dazu fehlt.

Oh, wie wahr. Jeder ist mal in der einen, mal in der anderen Rolle. Ich
habe Dich in beiden kennengelernt.

Verstehe ich nicht.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Das ist nicht das, was ich von Didaktik und Förderung
verstehe.

Ich weiß nicht, was Du davon verstehst.

Wunderbar! Grinnnnns :) Ich sehe, Du vestehst Humor. Denn das ist
fürwahr ein hübscher sprachlicher Lapsus von mir.

Ich fasse es nicht so auf. Aber ich weiß wirklich nicht, ob Du Lehrer bist.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Vielmehr gibt ihm dieses Vorgehen virtuelle Grenzen vor, die
aber aus der Vorstellung seines Gegenübers entspringen. Und diese müssen
nicht seine Grenzen sein.
Kurz: Ein Schüler kann einem Lehrer durchaus dessen Grenzen (also die
des Lehrers) zeigen.

Passiert sehr selten. Leider.

Tja, wie kommt das?

Siehe unten.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Wenn der nun reagiert mit seinem
Ich-weiss-jetzt-nicht-mehr-weiter-Mantra, werden Talente nicht nur nicht
erkannt, sondern sie können auch verschüttet werden. Anstatt
_angemessener_ *Förderung* wird entstehende Neugierde im Keim erstickt.

Ich habe Dich nicht direkt angesprochen, oder?

Nicht direkt. Aber weil DU mit mir redest...

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Wenn ich etwas gefragt werde, was ich nicht weiß, dann ist es das beste,
das dem Schüler zu sagen. In einem solchen Falle sage ich, daß ich die
Frage nicht beantworten kann. Wenn das sehr selten passiert, dann nicht
deshalb, weil ich so klug bin, sondern weil die Schüler naturgemäß im
allgemeinen nicht an diesen Sachen interessiert sind.

Aha. Also: Schüler sind im Allgemeinen nicht interessiert - und das aus
ihrer Natur heraus.

Auch das habe ich nicht gesagt. Bitte zietiere genau. Ich sagte, "an diesen
Sachen" und gemeint waren meine Fächer. Schüler interessieren sich mehr für
Mädchen und Fußball und das ist auch gut so. Aber wenn sich jemand
interessiert, kriegt er auch Unterstützung. Ich habe viele AGs geleitet für
interessierte Schüler; einmal habe ich sogar außerhalb meines Deputats
einen GK Informatik angeboten (Meine Fächer sind M, Ph, Inf).

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth
Auch ist es nicht war, daß dadurch Neugierde erstickt wird. Das ist eine
unbewiesene Behauptung, wie all Deine Behauptungen. In Wirklichkeit
reagiert jeder Mensch anders. Echtes Interesse läßt sich nicht so leicht
"ersticken".

Aber genau das [die Neugierde] haben doch Schüler nun naturgemäss nicht.

Meistens nicht. Von fünftaused einer vielleicht. Ich spreche aus Erfahrung
und meine Kollegen hier dürften das bestätigen.

Post by Andreas Heyer
Also gibt es nichts zu ersticken und auch nichts zum Keimen zu bringen.

So ist es. Meist kommen gar keine Fragen. Eher zur Physik. Wenn mal eine
Frage zur "Informatik" kommt, so wird gefragt, wie man dieses und jenes im
Netz findet.

Post by Andreas Heyer
Doch! Das wäre dann echtes Interesse. Dazu gehört Neugierde. Aber die
haben Schüler naturgemäss nicht ...

So ist es. Wenn ich meine ehemaligen Schüler betrachte, so sind es nicht
mehr als anderthalb Dutzend, die enrsthaft Mathematik oder Physik studieret
haben und promoviert haben sich noch weniger. Dabei wird allgemein gesagt,
daß mein Unterricht sehr offen und interessant sei. In Wirklichkeit hat die
Qualität des Unterrichtes darau gar keinen Einfluß. Jetzt, im Alter,
verstehe ich das berühmte Zitat aus dem Feynman: Pädagogik sei nur dort
erfolgreich, wo sie unnötig wäre.

Post by Andreas Heyer
Ich verstehe Deine Argumentation nicht. Im Deutschunterricht schreiben
wir hierzu: 'Du widersprichst Dir selbst.'

Nein.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Das Einfühlungsvermögen des Informierenden setzt auch an diesem Punkt
an: es muss sich nicht nur auf den Interessierten konzentrieren, sondern
auch sich hinterfragen.

Das ist für mich leeres Gerede. Wie der Jargon der Eigentlichkeit.

Danke. Hier spreche ich von Einfühlungsvermögen; und dieser Begriff
wurde von Dir eingeführt, und ich ihn operativ in den Gedanken eingeführt.
[Bem.: Du wendest den Trick der Ablenkung an. Komme darauf gleich noch
einmal zurück.]

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge sehr unterschiedlich darstellen.

Wirklich?

Post by Jannick Asmus
Man kann Dinge
systematisch entwickeln (Du nennst dies 'logisch'); so wird es an der
Uni gehandhabt. Bei Schülern kann man anwenden: eine Mischung aus der
klaren Darstellung (unter systematischen Anwendung und Entwicklung
mathematischer Sprache) und 'Deiner' Methode, gewisse Regeln vorzugeben
und darauf hoffen, dass der Schüler durch das Durchrechnen von sehr
vielen Beispielen Regelmässigkeiten mehr und mehr erkennt. So mache ich
es bei Schülern.

Bist DU Lehrer? Dann weißt Du, daß die Erfahrung, die daher rührt, daß wir
tausende von Unterrichtsstunden halten, nichts ersetzen kann.

Tja, ich spreche mit Dir. Bin ich dann automatisch Schüler, weil Du
Lehrer bist?
Diese Erfahrung kann Dir niemand nehmen. Das will auch keiner.
Allerdings lassen sich keine Naturgesetze aus ihr ableiten, nach denen
sich die Umwelt verhält. Es gibt stets Neues, und man hört niemals auf,
Erfahrung zu machen und zu sammeln.

Nein. Auf diesem Gebiet gibt es seit tausenden von Jahren nichts Neues
mehr. Augustinus oder Horatius wußten alles darüber, was es zu wissen gibt.
Die Qualität des Unterrichtes heute ist nicht besser als vor fünfhundert
oder zweitausend Jahren.

Post by Andreas Heyer

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Ich wählte nun in den Beiträgen an den OP derjenigen beiden Threads, in
denen ich mit Dir nicht einer fachlichen Meinung war, die erste Methode
- und zwar in klarem Bewusstsein, dass dies wohl möglich _leicht_ über
dem Niveau des OP lag.

Ganz leicht. Wie kann man fachlich verschiedener Meinung sein über so
einfache Dinge? (Bis auf die Tatsache, daß ich mir nicht sicher bin, ob Du
weißt, was ein Kovektor ist. Die Koordinatenmatrix, wie es der OP annahm,
ist es nicht. Es ist der Vektor aus dem Satz von Riesz.)

Hier komme ich auf die Technik der Ablenkung zurück: Was hat der Satz
von Riesz mit dem mathematischen Sachverhalt zu tun? Hmmm ... (SEUFZ)

Doch. Weil man ja in einem endlichdimensonalen Vektorraum jede Linearform
in der Form <a,*> mit einem geeigneten Vektor a geschrieben werden kann.
Dieses a nennen viele Autoren "Kovektor".

Post by Andreas Heyer
Damit wir von dem Gleichen reden: Ich meine den Darstellungssatz von
Riesz für (stetige) Linearformen auf Hilbert-Räumen. Du auch?

Es genügen hier endlichdimensionale Räume.

Post by Andreas Heyer
Ich sehe hier weit und breit kein *eingeführtes* Skalarprodukt. Wo kommt
dies nun her? Bitte nicht von dem 'kanonischen' reden. Ich sprach von
der natürlichen dualen Paarungen eines VRs mit seinem Dual. Die Aussagen
über Kovektoren beziehen sich im Allgemeinen nicht auf Skalarprodukte,
es sei denn Du möchtest (Pseudo-)Riemannsche Geometrie auf
Mannigfaltigkeiten betreiben.
Wir sagen: 'Thema verfehlt.' Das hat nichts mit der Sache zu tun,
sondern lenkt von dem Eigentlichen ab.'

Nein. Es ist hier wirklich eine Sache der Vereinbarung. Manche Autoren
verbinden den Begriff des Kovektors mit dem Skalarprodukt. Ich könnte
solche Autoren angeben. In elementaren Werken denkt man gar nicht daran,
daß es kein Skalarprodukt geben könnte. Wozu auch. Das wäre ein unnötig
hochgestochener Standpunkt.

[Hendrik van Hees]

Post by Gottfried von Korinth
Nein. Obwohl Du das nicht explizit gesagt hast, kann man es zwischen
den Zeilen lesen. Es ist selbstverständlich, daß man einen Menschen
zunächst mal ernst nimmt und es ist unnötig, das zu betonen, es sei
denn, man hat etwas anderes im Sinne.

Wie soll man aber das bei Dir noch? Du trittst unter zig verschiedenen
Namen auf, führst ständig OT-Debatten, um Dein gekränktes Ego zu
beruhigen, und diskutiert man Mathematik, reitest Du auf Definitionen
herum statt zum Gehalt zu diskutieren. Überlege doch einmal, nur ganz
kurz, ob Du nicht selbst auch eine gewisse Schuld trägst, daß man Dich
hier nicht ganz so freundlich behandelt und vielleicht zuweilen auch
nicht ganz ernst nimmt.

Post by Gottfried von Korinth

Post by Jannick Asmus
Diese Art der
Auseinandersetzung ist nicht diejenige, die ich unter erwachsenen

Erwachsen bin ich also auch nicht.

Leider offenbar doch...

[Gottfried von Korinth]

Post by Hendrik van Hees

Post by Gottfried von Korinth
Nein. Obwohl Du das nicht explizit gesagt hast, kann man es zwischen
den Zeilen lesen. Es ist selbstverständlich, daß man einen Menschen
zunächst mal ernst nimmt und es ist unnötig, das zu betonen, es sei
denn, man hat etwas anderes im Sinne.

Wie soll man aber das bei Dir noch? Du trittst unter zig verschiedenen
Namen auf,

Nein. Unter einem einzigen.

Post by Hendrik van Hees
führst ständig OT-Debatten, um Dein gekränktes Ego zu
beruhigen,

wie andere auch,

Post by Hendrik van Hees
und diskutiert man Mathematik, reitest Du auf Definitionen
herum

Definitionen sind in der Mathematik nicht ganz unwichtig. Sie sind
wesentliche Inhalte. Du als Physiker magst es anders sehen.

Post by Hendrik van Hees
statt zum Gehalt zu diskutieren.

Ich diskutiere auch Gehalt.

Post by Hendrik van Hees
Überlege doch einmal, nur ganz
kurz, ob Du nicht selbst auch eine gewisse Schuld trägst, daß man Dich
hier nicht ganz so freundlich behandelt und vielleicht zuweilen auch
nicht ganz ernst nimmt.

Darum ging es gar nicht. Es ging darum, ob ich meine Schüler ernst nehme.
Ich könnte Dir auch ähnliche Vorwürfe machen. Charkterfehler haben wir
alle, der eine diesen, der andere jenen. Das gehört zum Leben. Und nun bist
es Du, der diese unthematische Diskussion eröffnet.

[Hendrik van Hees]

Post by Gottfried von Korinth
Darum ging es gar nicht. Es ging darum, ob ich meine Schüler ernst nehme.

Die tun mir besonders leid bei dem Ganzen. In der Newsgroup kann man ja
Leute filtern. Schüler können sich ihren Lehrer leider nicht
aussuchen :-((.

[Gottfried von Korinth]

Post by Hendrik van Hees

Post by Gottfried von Korinth
Darum ging es gar nicht. Es ging darum, ob ich meine Schüler ernst nehme.

Die tun mir besonders leid bei dem Ganzen. In der Newsgroup kann man ja
Leute filtern. Schüler können sich ihren Lehrer leider nicht
aussuchen :-((.

Der übliche persönliche Angriff. Da Du viele Stunden von mir hospitiert
hast, weißt Du ganz genau, wie ich in der Schule bin.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Ob du nun den Vornamen eines berühmten Geometers trägst - oder
nicht:

Verwirre doch bitte nicht nachdenkliche Leser Deiner
Beiträge - bisher haben sie irgendwie wachgerüttelt.

Vektoren können auf vielfältige Art praktisch nützlich
repräsentiert werden. Aber letztenendes sind sie nur Element
ein und derselben Menge (bis auf Isomorphie und manchmal auch
Isometrie).

Was nun noch fehlt ist die Behauptung, daß der "Große Satz von
Fermat" nur für "Zahlenobjekte" gilt, die dezimal dargestellt
sind ;-).

Gruß, Alfred

[Gottfried von Korinth]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Ob du nun den Vornamen eines berühmten Geometers trägst - oder
Verwirre doch bitte nicht nachdenkliche Leser Deiner
Beiträge - bisher haben sie irgendwie wachgerüttelt.

Wer wird wodurch verwirrt?

[Thomas Nordhaus]

Post by Hendrik van Hees

Post by Gottfried von Korinth
Darum ging es gar nicht. Es ging darum, ob ich meine Schüler ernst nehme.

Die tun mir besonders leid bei dem Ganzen. In der Newsgroup kann man ja
Leute filtern. Schüler können sich ihren Lehrer leider nicht
aussuchen :-((.

Klar doch. Wenn ein Schüler einen Lehrer nicht leiden mag, dann sagt
er es seinen Eltern. Diese gehen dann zum Schuldirektor und drohen der
Schule mit Entzug der finanziellen Unterstützung. Der Schuldirektor
sagt dann:
"Aber selbstverständlich gnädige Frau! Natürlich! Ich werde alles in
meiner Macht stehende tun, um dieses Problem einer einvernehmlichen
Lösung zuzuführen!"
Am nächsten Tag zitiert er dann den Lehrer vor. "Schulze!! Was haben
Sie sich dabei gedacht? Frau und Herr X. sind eine unserer
entschiedensten Förderer! Gerade letztes Jahr haben sie die Erneuerung
sämtlicher Umkleidekabinen finanziert! Wie stehe ich jetzt da?
Bitte..." und dann legt er freundschaftlich und beschwichtigend eine
schwere Hand auf Schultzens Schulter "...seien sie doch in Zukunft
etwas nachsichtiger gegenüber X.-Junior. Scheint doch ein ganz
vielversprechender junger Bursche zu sein, nicht wahr? Sie wissen
schon, was zu tun ist..."

Thomas

[Hendrik van Hees]

Post by Thomas Nordhaus
Am nächsten Tag zitiert er dann den Lehrer vor. "Schulze!! Was haben
Sie sich dabei gedacht? Frau und Herr X. sind eine unserer
entschiedensten Förderer! Gerade letztes Jahr haben sie die Erneuerung
sämtlicher Umkleidekabinen finanziert! Wie stehe ich jetzt da?
Bitte..." und dann legt er freundschaftlich und beschwichtigend eine
schwere Hand auf Schultzens Schulter "...seien sie doch in Zukunft
etwas nachsichtiger gegenüber X.-Junior. Scheint doch ein ganz
vielversprechender junger Bursche zu sein, nicht wahr? Sie wissen
schon, was zu tun ist..."

Ich will gar nicht glauben, daß das in Deutschland tatsächlich möglich
ist, aber mein realistischer Verstand sagt mir, daß da wohl was Wahres
dran sein mag...