Post by Rainer Rosenthal... zum Thema Mittelwert ...
Hallo Alex,
da faellt mir ein, dass in de.rec.denksport vor
kurzem nach der Strecke gefragt wurde, die im
Trapez parallel zu den Seiten x=3DAB und y=3DCD liegt
und die Trapez-Flaeche halbiert.
Es zeigt sich, dass die L=E4nge L dieser Strecke
unabhaengig von der Hoehe ist und die Formel
dafuer lautet
L(x,y) =3D sqrt( (x^2 + y^2) / 2)
Ich habe dieses Mittel L mal fuer mich "Trapez-
Mittel" genannt. Gibt es Anwendungen fuer diese
Art von Mittelwert?
Von der Struktur her haben wir es ja mit einer
Konjugation zu tun: das Arithmetische Mittel A
der Quadrate ist das Quadrat des Mittels L, also
Q(L(x,y)) =3D A(Q(x),Q(y))
wobei Q(x) =3D x^2 und A(x,y) =3D (x+y)/2 und L wie oben.
Ich fand es unterhaltsam, mit dieser Konjugations-
Technik zu spielen und auch das Geometrische Mittel
G(x,y) =3D sqrt(x*y) sowie die Potenzbildung E(x) =3D e^x
Q(G(x,y)) =3D G(Q(x),Q(y))
und
E(A(x,y)) =3D G(E(x),E(y))
Tja, und sowas erfreut mein kindliches Gemuet :-)
Gruss und schoenen Tag, Rainer Rosenthal
Hallo Rainer, sehr schoene Frage !
Es seien die Daten
(*) y_1,y_2,...,y_n , (y_k > 0),
und m eine natuerliche Zahl (m>=1).
Sagen wir dass fuer p_1,p_2,...,p_n wichtig ist dass
(1) E(y_1,y_2,...,y_n):= SUM_{k=1 to k=n}w_k*y_k^{m} = constant=: C
wobei w_1,w_2,...,w_n positive Zahlen sind.
Beispiel:
Auf eine Strasse (:=X) liegt n Gebaude; man identifiziert jede
Gebaude mit
einem Kub . Weiter Y= {y_1,y_2,...,y_n} sind die Laenge (in Meter)
der
Seiten dieser Gebaude . Man erschaetzt dass das Preis/Meter = 2500
Euros.
Es ist klar dass
(1') E_1(Y):= SUM_{k=1 to k=n} y_k = eine Constante:=C_1 ,
d.h. w_1=...=w_n=1 und m=1 .
Aber auch
(2') E_2(Y):= SUM_{k=1 to k=n} y_k^2 = eine Constante:=C_2 ,
und noch
(3') E_3(Y):= SUM_{k=1 to k=n} y_k^3 = eine Constante:=C_3
sind.
Suchen wir ein Mittel (:= M) fuer die Daten Y={y_1,...,y_n} zu
finden.
Ich erinere mich dass es gibt ein Prinzip (von Bojarski und Chisini):
M ein Mittel ist wenn M die wichtige Eigenschaft invariant laesst,
dass
heisst (siehe (1) )
(3) E(M,M,...,M)=C .
Aber (3) ist aequivalent mit
M^{m}*SUM_{k=1 to k=n}w_k = C = SUM_{k=1 to k=n}w_k*y_k^{m} .
Es folgt
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(4) M= ( SUM{w_k*y_k^m}/ SUM{w_k} )^{1/m} .
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Beispiel:
wenn (1') ist es wichtig , dann man finden
M=M_1:= SUM{y_k}/n = arithmetisches-Mittel .
Wenn (2') ist die wichtige Eigenschaft, dann
(5) M=M_2: =(SUM{y_k^2}/n )^{1/2} =quadratisches-Mittel.
Im Fall (3') M=M_3:=(SUM{y_k^3}/n )^{1/3} = kubisches-Mittel.
Merken Sie dass wenn n=2 dann aus (5) M_2= sqrt{(y_1^2 +y_2^2)/2)}.
Sicher eine Frage ist wann man braucht solche Mittel ?
Ein moegliches Beispiel :
,, Alex will eine Gebaude verkaufe die auf die Strasse X liegt.
Rainer,
will ein Paar Gebaude kaufen.
Welche Mittel benutzt Alex ? Antwort= M_3 . Ein Grund ist dass
Min_{j}{y_j} =< M_1 =< M_2 =< M_3 =< Max_{j}{y_j} .
Nach Rainer es wir besser die Eigenschaft M_1 zu nehmen
(als Kriterium fuer das Preis)!"
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Bemerkung: [Joachim-Fall]= vielleicht es gibt eine
,,wichtige Eigenschaft(Beziehung)"
E(y_1,y_2,...,y_n)=Prod_{k=1 to k=n}y_k=y_1*y_2*...*y_n=constant:=C .
Aus E(M,M,...,M)=C= Prod{y_k} es folgt
M= sqrt[n]{y_1*y_2*...*y_n}= geometrisches-Mittel .
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[Analysis=?]
Es seien A(a,b)= (a+b)/2 , L(a,b)= sqrt( (a^2 +b^2)/2 ) und
I =konvexe Menge auf reelle Axis=ein Interval.
Die (J)-Konvexe-Funktionen ((J)=Jensen) sind bekant, d.h.
f:I-->R ist (J)-konvex dann und nur dann wenn
f(A(x,y)) =< A(f(x),f(y)) fuer jede x,y in I .
Frage: welche Eigenschaften habe eine Funktion f die Ungleichung
(#) f(L(x,y)) =< L(f(x),f(y)) auf I erfuellt.
Sicher anstatt (#) koennen wir auch studieren die Funktionen fuer die
(##) f(A(x,y)) = L(f(x),f(y)) , x,y in I .
[Funktionale-Gleichungen] Welche sind die Funktionen f:R--->R
so dass
f(L(x,y))= L(f(x),f(y)) , x,y in R ,
[nach mir,es wird nicht schwer die Loesung zu finden ].
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Es gibt die so-genannte ,,symetrisches- Mittel". Zum Beispiel (4) ist
kein symmetrisches -Mittel. Aber A(x,y), und L(x,y) sind symmetrisch.
Die symmetrisches-Mittel kann axiomatisch definieren. Siehe
[2]-[3],[1] .
[1] E.Hille , ,,Remarks on Transfinite Diameters " ,General Topology
and its Relations
to Modern Analysis and Algebra, Prague,1961,211-220.
[2] A.N.Kolmogoroff ,, Sur la notion de la moyenne", Atti della Reale
Accademia Nazionale dei Lincei (6) 12 (1930), 388-391.
[3] M.Nagumo , ,, \"Uber eine Klasse der Mittelwerte}", Japanese
Journal of
Mathematics , 7(1930),71-79.
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Im Allgemein, es seien h:(0,infty)--->(0,infty) eine streng-monoton
Funktion,
z.B., h(x)=x^2 oder h(x)=e^{x} .
Es sei H die inverse-Funktion von h.
Ein (allgemeines Form,siehe [1]-[3] ) symmetrisches-Mittel
von Dateien (positive) Y:={ y_1,y_2,...,y_n },ist
(#*) M_h(y_1,y_2,...,y_n):= H( (h(y_1)+h(y_2)+...+h(y_n))/n ) .
Wenn
h(x)=1/x ===> M_h(Y)=harmonsiches-Mittel ,
h(x)=ln(x) ==> M_h(Y)=geometrisches-Mittel ,
h(x)= x ====> M_h(Y)=arithmetisches Mittel ,
h(x)=x^2 ===>M_h(Y)=quadratisches -Mittel ,
h(x)=x^{p},p=/=0, ==> M_h(Y)=symmetrisches -Mittel von Ordnung p,
Merken Sie dass dei Beziehungen
Post by Rainer RosenthalQ(L(x,y)) = A(Q(x),Q(y)) ,wobei Q(x) = x^2 und A(x,y) = (x+y)/2
und L wie oben. ......Ich fand es unterhaltsam, mit dieser Konjugations-
Technik zu spielen und auch das Geometrische Mittel
G(x,y) = sqrt(x*y) sowie die Potenzbildung E(x) = e^x
Q(G(x,y)) = G(Q(x),Q(y))
und
E(A(x,y)) = G(E(x),E(y))
sind jetzt klar[siehe (#*)].
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Andere Frage: wenn g,h:(0,infty)---->(0,infty) strengmonoton sind,
dann
fuer welche Paar (g,h) haben wir
(I) M_g(y_1,...,y_n) =< M_h(y_1,y_2,...,y_n) , (fuer jede
y_j>0).
Hinreichende Bedingunngen fuer (I) sind leicht zu finden: solche
Bedingungen
haengt von Konvexitaet der Funktion g(H(x)) ab.
Notwendige und hinreichende Bedingungen sind schwer zu finden : sind
gefunden von Los\"onczi [1970-1980??].
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Sehr schoene Ergebnisse ueber Mittels sind auch in Deutschland
gefunden:
z.B. siehe einige Arbeiten von
[1-A] E. Beck , Math.Zeitschrift, Monatsh.Math., 73 (1969) 289-308.
[2-A] A. Dinghas,Norske Vid.SelskForh.(Trondheim), 37, (1964) 22-27.
[3-A] K. Knopp , Math.Zeitschrift , 39(1935) 768-776.
[4-A] O. Schl\"omilch , Z.Math.Phys., 3,(1858)301-305 E.Beck
[5-A] I.Schur . Math.Zeitschrift 1(1918) 377-402.
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Gruss,Alex