p-Sylow-Gruppen

[edu ulmer]

Schönen Abend,

angenommen, ich habe eine Gruppe G mit der Ordnung |G|=56 = 2^3 * 7.

Nach dem 2. Sylow-Satz ist die Anzahl der 7-Sylow-Gruppen von G ein Teiler
von 2^3 der Form 1 + 7*n ( n natürliche Zahl). Also gibt es nur eine oder 8
7-Sylow-Gruppen von G.

Analog ergibt sich die Anzahl der 8-Sylow-Gruppen von G zu 1 oder 7.

Nun meine Frage:
Wären bis auf das neutrale Element diese 2, 8, 9 bzw. 15 Sylow-Gruppen von G
disjunkt?
Folglich:
Im Falle, es ex. 7 8-Sylow-Gruppen und 8 7-Sylow-Gruppen, umfassten dann
diese 7 8-Sylow-Gruppen insgesamt 7*(8-1) = 49 verschiedene Elemente und die
8 7-Sylow-Gruppen 8*(7-1) = 48 weitere Elemente, so dass die Summe höher als
die Gruppenordnung wäre?
Und müsste es dann in diesem Falle dann nur eine 8- oder 7-Sylow-Gruppe
geben, so dass diese in der Konsequenz ein nicht-trivialer Normalteiler von
G wäre?

Über eine themabezogene Antwort würde ich mich sehr freuen.

Mit Dank im Voraus und freundlichen Grüßen verbleibend.

[Marc Olschok]

Sch?nen Abend,
angenommen, ich habe eine Gruppe G mit der Ordnung |G|=56 = 2^3 * 7.
Nach dem 2. Sylow-Satz ist die Anzahl der 7-Sylow-Gruppen von G ein Teiler
von 2^3 der Form 1 + 7*n ( n nat?rliche Zahl). Also gibt es nur eine oder 8
7-Sylow-Gruppen von G.
Analog ergibt sich die Anzahl der 8-Sylow-Gruppen von G zu 1 oder 7.
Waeren bis auf das neutrale Element diese 2, 8, 9 bzw. 15 Sylow-Gruppen
von G disjunkt?

Fuer die Durchschnitte von zwei Sylow-7 Untergruppen stimmt das;
ebenso fuer den Durchschnitt einer Sylow-7 mit einer Sylow-2.
Das bekommt man automatisch aus der Betrachtung der moeglichen
Untergruppenordnung.

Wenn Du aber zwei Sylow-2 Gruppen schneidest, ist zunaechst nicht
ausgeschlossen, das der Durchschnitt auch 2 oder 4 Elemente enthalten darf.

Im Falle, es ex. 7 8-Sylow-Gruppen und 8 7-Sylow-Gruppen, umfassten dann
diese 7 8-Sylow-Gruppen insgesamt 7*(8-1) = 49 verschiedene Elemente und die
8 7-Sylow-Gruppen 8*(7-1) = 48 weitere Elemente, so dass die Summe
hoeher als die Gruppenordnung waere?

Der zweite Teil geht schief, siehe oben.

Und muesste es dann in diesem Falle dann nur eine 8- oder 7-Sylow-Gruppe
geben, so dass diese in der Konsequenz ein nicht-trivialer Normalteiler von
G waere?

Diese Folgerung kannst du einfacher haben:

Wenn es nur eine Sylow-7 Untergruppe gibt, dann bist du fertig.

Andernfalls hast Du 48 Elemente der Ordnung 7.
Damit bleiben aber nur noch 8 Elemente fuer alle Sylow-2 Untergruppen
uebrig (von denen jede 8 Elemente braucht).
Also gibt es in diesem Fall nur eine Sylow-2 Untergruppe.

Marc

[Pether Hubert]

Post by edu ulmer
angenommen, ich habe eine Gruppe G mit der Ordnung |G|=56 = 2^3 * 7.
Nach dem 2. Sylow-Satz ist die Anzahl der 7-Sylow-Gruppen von G ein
Teiler von 2^3 der Form 1 + 7*n ( n natürliche Zahl). Also gibt es
nur eine oder 8 7-Sylow-Gruppen von G.
Analog ergibt sich die Anzahl der 8-Sylow-Gruppen von G zu 1 oder 7.

Das sind 2-Gruppen, keine 8-Gruppen.

Post by edu ulmer
Wären bis auf das neutrale Element diese 2, 8, 9 bzw. 15
Sylow-Gruppen von G disjunkt?

Im Falle der 7-Sylow-Gruppen ist das ganz einfach: 7 ist eine
Primzahl. Wenn ich jetzt zwei Untergruppen der Ordnung 7 habe, dann
ist deren Schnitt eine Untergruppe beider Gruppen, seine Ordnung also
ein Teiler von 7. Also sind diese beiden Gruppen entweder gleich oder
haben trivialen Schnitt.

Bei den "-Sylow-Gruppen sieht das ggf. anders aus, denn die haben
Ordnung 8, und 8 ist keine Primzahl. Es wäre also durchaus denkbar,
daß zwei dieser Sylowgruppen einen Schnitt haben, der Ordnung 4 oder 2
hat.

Post by edu ulmer
Im Falle, es ex. 7 8-Sylow-Gruppen und 8 7-Sylow-Gruppen, umfassten
dann diese 7 8-Sylow-Gruppen insgesamt 7*(8-1) = 49 verschiedene
Elemente und die 8 7-Sylow-Gruppen 8*(7-1) = 48 weitere Elemente, so
dass die Summe höher als die Gruppenordnung wäre?

Es kann doch auch sein, daß es eine 2-Sylowgruppe gibt und 8
7-Sylowgruppen. Die 7-Sylowgruppen haben insgesamt 7*8-7 = 49
Elemente, wie Du oben schon geschrieben hast. Die 2-Sylowgruppe hat 8
Elemente, wobei wir die 1 schon gezählt haben, es kommen also nur 7
Elemente hinzu -- das klappt ja. Aber mehr als eine 2-Sylowgruppe
kann es nicht geben.

Wenn es mehrere 2-Sylowgruppen gibt, wird es komplizierter, weil die
sich nichttrivial schneiden könnten.

Post by edu ulmer
Und müsste es dann in diesem Falle dann nur eine 8- oder
7-Sylow-Gruppe geben, so dass diese in der Konsequenz ein
nicht-trivialer Normalteiler von G wäre?

Naja, daß es von einer Sorte der Sylowgruppen nur eine geben kann,
haben wir ja gesehen: Gibt es mehrere 7-Sylowgruppen, so kann es nur
eine 2-Sylowgruppe geben (aus Ordnungsgründen). Und wenn es nur eine
p-Sylowgruppe gibt, dann ist diese in der Tat stets ein Normalteiler.

Was genau ist Dein Ziel? Wenn Du nur zeigen wolltest, daß G nicht
einfach ist, dann bist Du damit fertig.

Ciao,

Pether

[edu ulmer]

Stark! Herzlichen Dank euch beiden für die Beantwortung meiner Fragen.
Ich habe nun das sichere Gefühl, die Thematik verstanden zu haben.
Vielen lieben Dank!

Post by Pether Hubert
Was genau ist Dein Ziel? Wenn Du nur zeigen wolltest, daß G nicht
einfach ist, dann bist Du damit fertig.

Den Begriff "einfach" kenne ich nicht.
Mein Ziel war es - wie Marc Olschok richtig annahm - zu zeigen, dass jede
Gruppe der Ordnung 56 einen nicht-trivialen Normalteiler besitzt.

Mit freundlichen Grüßen verbleibend.

[Marco Lange]

Hi!

Post by edu ulmer

Post by Pether Hubert
Was genau ist Dein Ziel? Wenn Du nur zeigen wolltest, daß G nicht
einfach ist, dann bist Du damit fertig.

Den Begriff "einfach" kenne ich nicht.
Mein Ziel war es - wie Marc Olschok richtig annahm - zu zeigen, dass jede
Gruppe der Ordnung 56 einen nicht-trivialen Normalteiler besitzt.

Und damit hast Du gezeigt,dass G nicht einfach ist, denn eine Gruppe G
heißt einfach, wenn sie nur {1} und G als Normalteiler hat.

Viele Grüße,
Marco

[Marco Lange]

Hi!

Post by edu ulmer
angenommen, ich habe eine Gruppe G mit der Ordnung |G|=56 = 2^3 * 7.
Nach dem 2. Sylow-Satz ist die Anzahl der 7-Sylow-Gruppen von G ein Teiler
von 2^3 der Form 1 + 7*n ( n natürliche Zahl). Also gibt es nur eine oder 8
7-Sylow-Gruppen von G.
Analog ergibt sich die Anzahl der 8-Sylow-Gruppen von G zu 1 oder 7.
Wären bis auf das neutrale Element diese 2, 8, 9 bzw. 15 Sylow-Gruppen von G
disjunkt?
Im Falle, es ex. 7 8-Sylow-Gruppen und 8 7-Sylow-Gruppen, umfassten dann
diese 7 8-Sylow-Gruppen insgesamt 7*(8-1) = 49 verschiedene Elemente und die
8 7-Sylow-Gruppen 8*(7-1) = 48 weitere Elemente, so dass die Summe höher als
die Gruppenordnung wäre?
Und müsste es dann in diesem Falle dann nur eine 8- oder 7-Sylow-Gruppe
geben, so dass diese in der Konsequenz ein nicht-trivialer Normalteiler von
G wäre?
Über eine themabezogene Antwort würde ich mich sehr freuen.

Also das "p" in der Bezeichnung p-Sylowgruppe bezieht sich immer auf
eine Primzahl, von daher gibt es schon mal keine 8-Sylowgruppen. Richtig
ist aber, dass jede 2-Sylowgruppe von G 8 Element hat, da 8 die größte
Zweierpotenz ist, die 56 teilt.

Je 2 7-Sylowgruppen von G sind natürlich entweder gleich oder haben
trivialen Schnitt, da sie zyklisch sind und von jedem Element außer dem
Einselement erzeugt werden.

Wenn es also 8 7-Sylowgruppen sind, so sind insgesamt 1 + 6 * 8 Elemente
= 49 Elemente in 7-Sylowgruppen enthalten. Da würde jetzt noch genau
eine 2-Sylowgruppe "reinpassen" (+7 Elemente, die 1 ist ja schon drin).
Also hat G einen nicht-trivialen Normalteiler, der entweder eine
2-Sylowgruppe oder eine 7-Sylowgruppe ist.

Viele Grüße,
Marco

[Markus Pfeiffer]

not so long ago in a newsgroup not too far away Marco Lange posted:

Hi!

Post by Marco Lange
Also das "p" in der Bezeichnung p-Sylowgruppe bezieht sich immer auf
eine Primzahl, von daher gibt es schon mal keine 8-Sylowgruppen. Richtig
ist aber, dass jede 2-Sylowgruppe von G 8 Element hat, da 8 die größte
Zweierpotenz ist, die 56 teilt.
Je 2 7-Sylowgruppen von G sind natürlich entweder gleich oder haben
trivialen Schnitt, da sie zyklisch sind und von jedem Element außer dem
Einselement erzeugt werden.

sind sie das? Ich kenne 2-Sylowgruppen die isom. zu einer V_4 sind. und die
ist nicht zyklisch (C_2xC_2)! Das sind Primzahlpotenzen. Die sind disjunkt
weil sie nach dem Beweis des Satzes Bahnen unter der Konjugation sind
(IIRC ist ja schon wieder sooo lange her der april :)). Und die
Partitionieren eine Menge ja .

Gruss Markus

[Marco Lange]

Hi!

Post by Markus Pfeiffer

Post by Marco Lange
Je 2 7-Sylowgruppen von G sind natürlich entweder gleich oder haben
trivialen Schnitt, da sie zyklisch sind und von jedem Element außer dem
Einselement erzeugt werden.

sind sie das? Ich kenne 2-Sylowgruppen die isom. zu einer V_4 sind. und die
ist nicht zyklisch (C_2xC_2)! Das sind Primzahlpotenzen. Die sind disjunkt
weil sie nach dem Beweis des Satzes Bahnen unter der Konjugation sind
(IIRC ist ja schon wieder sooo lange her der april :)). Und die
Partitionieren eine Menge ja .

Hast Du unausreichend geschlafen oder hat Dich die Hiß-Vorlesung heute
so mitgenommen? ;-)

Ich schrieb:

In G mit |G| = 56 hat jede *7-Sylowgruppe* genau 7 Elemente, ist also
zyklisch. Verschiedene p-Sylowgruppen sind niemals disjunkt, zumindest
das 1-Element haben sie ja immer gemeinsam. Und trivialen Schnitt müssen
sie im allgemeinen auch nicht haben, nur wenn sie von Primzahlordnung
sind, kann man das als gesichert annehmen :)

Viele Grüße,
Marco

PS: Bei mir ist es ja erst < 2 Monate her :)

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