Bijektive Abbildung von [a;b[ auf [a;b]

[Lars Rohwedder]

Das halboffene Intervall [a;b[ ist ja gleichmächtig zum geschlossenen
Intervall [a;b] (für a<b), folglich muss es eine bijektive Abbildung
zwischen ihnen geben.

Irgendwie ist es mir aber nicht gelungen, eine berechenbare Formel für so
eine Abbildung zu finden.

Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich so eine Formel finden kann?

Grüße,

Lars

[Helmut Richter]

Post by Lars Rohwedder
Das halboffene Intervall [a;b[ ist ja gleichmächtig zum geschlossenen
Intervall [a;b] (für a<b), folglich muss es eine bijektive Abbildung
zwischen ihnen geben.
Irgendwie ist es mir aber nicht gelungen, eine berechenbare Formel für so
eine Abbildung zu finden.

Kannst du eine bijektive Abbildung einer abzählbaren Menge M in eine Menge
M\{x} für ein x aus M finden? Falls ja, zerlege das Intervall in eine
abzählbare Menge, die b enthält und eine überabzählbare Restmenge.

[Lars Rohwedder]

Post by Helmut Richter

Post by Lars Rohwedder
Das halboffene Intervall [a;b[ ist ja gleichmächtig zum geschlossenen
Intervall [a;b] (für a<b), folglich muss es eine bijektive Abbildung
zwischen ihnen geben.
Irgendwie ist es mir aber nicht gelungen, eine berechenbare Formel für so
eine Abbildung zu finden.

Kannst du eine bijektive Abbildung einer abzählbaren Menge M in eine Menge
M\{x} für ein x aus M finden?

Wenn M z.B. die Menge der ganzen Zahlen ist, würd ich es so machen:

m<x : m |--> m
m>=x : m |--> m+1

Post by Helmut Richter
Falls ja, zerlege das Intervall in eine
abzählbare Menge, die b enthält und eine überabzählbare Restmenge.

Hm. *grübel* Irgendwie weiß ich nicht, wie. Vielleicht ist es auch schon
zu spät dafür...

L.R.

[Bastian Erdnuess]

Post by Lars Rohwedder

Post by Helmut Richter

Post by Lars Rohwedder
Das halboffene Intervall [a;b[ ist ja gleichmächtig zum geschlossenen
Intervall [a;b] (für a<b), folglich muss es eine bijektive Abbildung
zwischen ihnen geben.
Irgendwie ist es mir aber nicht gelungen, eine berechenbare Formel für so
eine Abbildung zu finden.

Kannst du eine bijektive Abbildung einer abzählbaren Menge M in eine Menge
M\{x} für ein x aus M finden?

m<x : m |--> m
m>=x : m |--> m+1

Post by Helmut Richter
Falls ja, zerlege das Intervall in eine
abzählbare Menge, die b enthält und eine überabzählbare Restmenge.

Hm. *grübel* Irgendwie weiß ich nicht, wie. Vielleicht ist es auch schon
zu spät dafür...
L.R.

Vielleicht nützt es dir, erst einmal das Problem ]0;1] -> [0;1] zu
lösen. Denke dazu vielleicht an so etwas wie 1/n -> 1/(n+1). Und dann
die Lösung zur Konstruktion einer Abbildung für deine Intervalle zu
verwenden.

[Helmut Richter]

Post by Lars Rohwedder

Post by Helmut Richter
Falls ja, zerlege das Intervall in eine
abzählbare Menge, die b enthält und eine überabzählbare Restmenge.

Hm. *grübel* Irgendwie weiß ich nicht, wie. Vielleicht ist es auch schon
zu spät dafür...

Eine abzählbare Menge ist die Wertemenge einer Folge, die sich nicht
wiederholt. So eine Folge wird sich doch im Intervall irgendwie finden
lassen.

Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

[Lars Rohwedder]

Post by Helmut Richter
Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen
einfachen, leicht nachvollziehbaren Beweis? Oder ist der Beweis dafür
komplexer und man muss weiter ausholen dafür?

L.R.

[Norbert Marrek]

Post by Lars Rohwedder

Post by Helmut Richter
Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen
einfachen, leicht nachvollziehbaren Beweis? Oder ist der Beweis dafür
komplexer und man muss weiter ausholen dafür?
L.R.

[a,b] ist kompakt, [a, b[ ist hausdorffsch. Was weisst Du dann von einer
bijektiven, stetigen Abbildung von [a,b] nach [a, b[ ?
Wie unterscheidet sich dann der Rand von [a,b] und [a, b[ ?
Gibt es da einen Widerspruch?

Aloha,
Norbert

[Lars Rohwedder]

Post by Norbert Marrek

Post by Lars Rohwedder

Post by Helmut Richter
Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen
einfachen, leicht nachvollziehbaren Beweis? Oder ist der Beweis dafür
komplexer und man muss weiter ausholen dafür?

[a,b] ist kompakt, [a, b[ ist hausdorffsch. Was weisst Du dann von
einer bijektiven, stetigen Abbildung von [a,b] nach [a, b[ ?

Nichts, weil ich mit den beiden Begriffen "kompakt" und "hausdorffsch"
nichts anfangen kann. Bin kein Diplommathematiker. :-(

L.R.

[Christopher Creutzig]

Post by Lars Rohwedder
Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen

Da Du mit „kompakt“ nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion
nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall Minimum und Maximum an. Was
gilt also für eine stetige Abbildung von [a,b] nach [a,b[?

[Lars Rohwedder]

Post by Lars Rohwedder
Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen

Da Du mit "kompakt" nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion
nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall Minimum und Maximum an. Was
gilt also für eine stetige Abbildung von [a,b] nach [a,b[?

Schwierig, da sich ja stets eine größere Zahl in [a;b[ finden lässt, eben
beliebig nahe an b heranreichend... :-/

L.R.

[Christopher Creutzig]

Post by Lars Rohwedder

Da Du mit "kompakt" nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion
nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall Minimum und Maximum an. Was
gilt also für eine stetige Abbildung von [a,b] nach [a,b[?

Schwierig, da sich ja stets eine größere Zahl in [a;b[ finden lässt, eben
beliebig nahe an b heranreichend... :-/

Aber das Bild von [a,b] ist immer von der Form [c,d]. Was folgt daraus?

[Lars Rohwedder]

Post by Christopher Creutzig

Post by Lars Rohwedder

Da Du mit "kompakt" nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion
nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall Minimum und Maximum an. Was
gilt also für eine stetige Abbildung von [a,b] nach [a,b[?

Schwierig, da sich ja stets eine größere Zahl in [a;b[ finden lässt, eben
beliebig nahe an b heranreichend... :-/

Aber das Bild von [a,b] ist immer von der Form [c,d]. Was folgt daraus?

Dass es keine bijektive Abbildung nach [a;b[ gibt? *zweifel*

Lars

[Rainer Rosenthal]

Post by Lars Rohwedder

Post by Christopher Creutzig

Da Du mit "kompakt" nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion ...

Aber das Bild von [a,b] ist immer von der Form [c,d]. Was folgt daraus?

Dass es keine bijektive Abbildung nach [a;b[ gibt? *zweifel*

Hallo Lars,

das Wörtchen /stetig/ solltest Du bitte nicht ignorieren. Selbstver-
ständlich gibt es eine Bijektion B: [a,b] -> [a,b[, nur kann sie
halt nicht stetig sein.

Die zugehörige Frage hattest Du doch bereits gestellt:
========================================================================

Post by Lars Rohwedder

Post by Christopher Creutzig
Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

Hm, Mist. Das hatte ich versucht (also mit nur maximal endlich vielen
Unstetigkeitsstellen). Wieso geht das denn nicht? Gibt es dafür einen
einfachen, leicht nachvollziehbaren Beweis? Oder ist der Beweis dafür
komplexer und man muss weiter ausholen dafür?

L.R.
=========================================================================

Du wolltest einen einfachen Beweis. Jetzt hast Du ihn bekommen und
bist trotzdem nicht happy damit. Hmmm ...

Gruss,
RR

[Michael Klemm]

Rainer Rosenthal schrieb:
........

Post by Rainer Rosenthal
========================================================================

Post by Helmut Richter
Vergiss alle Versuche, die Sache irgendwie stetig zu machen; das kann
nicht gehen.

Die Frage von Helmut Richter war: "Kannst du eine bijektive Abbildung einer
abzählbaren
Menge M in eine Menge M\{x} für ein x aus M finden?"

Die zu beweisende Aussage lautet also:
Es sei M eine unendliche Menge und x aus M. Dann gibt es eine Bijektion
von M auf M\{x}.
;-)

Gruß
Michael

[Lars Rohwedder]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Lars Rohwedder

Post by Christopher Creutzig

Da Du mit "kompakt" nichts anfangen kannst: Eine stetige Funktion ...

Aber das Bild von [a,b] ist immer von der Form [c,d]. Was folgt daraus?

Dass es keine bijektive Abbildung nach [a;b[ gibt? *zweifel*

Hallo Lars,
das Wörtchen /stetig/ solltest Du bitte nicht ignorieren. Selbstver-
ständlich gibt es eine Bijektion B: [a,b] -> [a,b[, nur kann sie
halt nicht stetig sein.

Ja, sorry, ich war zu müde. Ich meinte: "stetig oder mit maximal endlich
vielen Unstetigkeitsstellen". :-/

L.R.

[Michael Klemm]

Lars Rohwedder schrieb:
...

Post by Lars Rohwedder

Selbstverständlich gibt es eine Bijektion B: [a,b] -> [a,b[, nur kann sie
halt nicht stetig sein.

Ja, sorry, ich war zu müde. Ich meinte: "stetig oder mit maximal endlich
vielen Unstetigkeitsstellen". :-/

Hallo Lars,

es gibt nur die von Helmut Richter angegebene Konstruktion:
Setze M = [a,b], x = b, und nimm an, dass B: M -> M\{x}
bijektiv ist. Mit
x_0 = x, x_1 = B(x_0}, x_2 = B(x_1), ...
X = {x_0, x_1, x_2, ...} und M' = M \ X ist dann
B': M' -> M', B'(x') := B(x') für x' e M'
bijektiv. Für B' kannst Du auch etwas anderes als die
Identität nehmen.

Gruß
Michael

[Holger Walliser]

Hallo Michael

Post by Rainer Rosenthal
...

Post by Lars Rohwedder

Selbstverständlich gibt es eine Bijektion B: [a,b] -> [a,b[, nur kann sie
halt nicht stetig sein.

Ja, sorry, ich war zu müde. Ich meinte: "stetig oder mit maximal endlich
vielen Unstetigkeitsstellen". :-/

Hallo Lars,

Ich glaube das ja durchaus, aber ich denke Lars möchte so etwas wie einen Beweis
dafür sehen.

An Lars: falls Du mit der Nomenklatur im ff. Probleme hast frage bitte nach, das
ist alles nicht schwer zu erklären:

Sei also wie immer angenommen
M=[a,b],
m=[a,b) - oder wie ihr das immer schreibt [a,b[ -
und
B: M -> m
eine bijektive Abbildung. Weiter sei
X
die Menge der Unstetigkeitsstellen von B. Damit ist
M' = M\X
offensichtlich homöomorph zu B(M'), hat also insbesondere "gleich viele" offene,
halboffene und abgeschlossene Teilintervalle.

Nehmen wir nun einmal an die Kardinalität von X wäre endlich. Dann wäre das
obige "gleich viele" auch in diesem naiven Sinne zu verstehen und offenbar hat
auch B(X) gleich viele Punkte wie X! Dies ist aber ein Widerspruch, da ja M
"einen Punkt mehr als" B(M) hat. Also muß die Annahme, daß X endlich ist falsch
sein.

Post by Rainer Rosenthal
Setze M = [a,b], x = b, und nimm an, dass B: M -> M\{x}
bijektiv ist. Mit
x_0 = x, x_1 = B(x_0}, x_2 = B(x_1), ...
X = {x_0, x_1, x_2, ...} und M' = M \ X ist dann
B': M' -> M', B'(x') := B(x') für x' e M'
bijektiv. Für B' kannst Du auch etwas anderes als die
Identität nehmen.
Gruß
Michael

HTH und viele Grüße von
Holger

[Lars Rohwedder]

Post by Holger Walliser
Ich glaube das ja durchaus, aber ich denke Lars möchte so etwas wie
einen Beweis dafür sehen.
An Lars: falls Du mit der Nomenklatur im ff. Probleme hast frage bitte
Sei also wie immer angenommen
M=[a,b],
m=[a,b) - oder wie ihr das immer schreibt [a,b[ -
und
B: M -> m
eine bijektive Abbildung. Weiter sei
X
die Menge der Unstetigkeitsstellen von B. Damit ist
M' = M\X
offensichtlich homöomorph zu B(M'), hat also insbesondere "gleich
viele" offene, halboffene und abgeschlossene Teilintervalle.
Nehmen wir nun einmal an die Kardinalität von X wäre endlich. Dann wäre
das obige "gleich viele" auch in diesem naiven Sinne zu verstehen und
offenbar hat auch B(X) gleich viele Punkte wie X! Dies ist aber ein
Widerspruch, da ja M "einen Punkt mehr als" B(M) hat. Also muß die
Annahme, daß X endlich ist falsch sein.

Hm, klingt einleuchtend. Ob ich es wirklich verstanden habe, weiß ich,
wenn ich den Beweis quasi "aus dem Kopf" selber nachvollziehen kann.

:-)

Danke soweit für deine/eure Hilfe!

Lars R.

[Christopher Creutzig]

Post by Lars Rohwedder

Post by Christopher Creutzig
Aber das Bild von [a,b] ist immer von der Form [c,d]. Was folgt daraus?

Dass es keine bijektive Abbildung nach [a;b[ gibt? *zweifel*

Etwas ausführlicher: Das Bild von [a,b] unter einer *stetigen*
Abbildung ist immer ein abgeschlossenes Intervall [c,d]. Von bijektiv
ist dabei noch überhaupt nicht die Rede. Kannst Du daraus irgend etwas
für eine stetige Abbildung von [a,b] nach [a,b[ folgern? (Und einfach
nur „sie kann nicht bijektiv sein“ ohne Begründung fände ich sehr
unbefriedigend. Das Endergebnis hat Helmut ja schon angegeben.)

[Karl Heinze]

On Sun, 22 Jul 2007 21:07:44 +0200 (CEST), Lars Rohwedder

Post by Lars Rohwedder
Das halboffene Intervall [a;b[ ist ja gleichmächtig zum geschlossenen
Intervall [a;b] (für a<b), folglich muss es eine bijektive Abbildung
zwischen ihnen geben.

Ja.

Post by Lars Rohwedder
Irgendwie ist es mir aber nicht gelungen, eine berechenbare Formel
für so eine Abbildung zu finden.
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich so eine Formel finden kann?

Naja, was heißt hier "berechenbare" Formel; es genügt, wenn man eine
Abbildungsvorschrift formulieren (und damit eine Abbildung definieren)
kann. Das kann man z. B. (für den speziellen Fall [0, 1] und [0, 1[)
so machen:

<Spoiler>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.

Sei A := {x e [0, 1] | En e IN : x = 1/n}

( kurz: A = {1/n | n e IN )

A ist also die Menge {1, 1/2, 1/3, ...}.

Nun definieren wir die folgende Abbildung (Funktion):

f : [0, 1] --> [0, 1[

/ 1/(1/x + 1) falls x e A
x |-> f(x) = {
\ x falls x !e A

f bildet also Elemente der Form 1/n : n e IN (aus [0, 1]) auf Elemente
der Form 1/(n+1), sowie alle anderen Elemente aus [0, 1] auf sich
selbst ab. Man kann leicht zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist.
(Left as an exercise to the reader.)

(Beispielweise kann man sich die Funktion f in die beiden Funktionen:

g : A --> A \ {1}

x |-> 1/(1/x + 1)
und

h : [0, 1] \ A --> [0, 1] \ A

x |-> x

zerlegt denken. Hier ist leicht zu zeigen, dass g und h bijektive
Funktionen sind; das "überträgt" sich dann auf f = g u h. Wobei hier
dann dom(f) = [0, 1] und ran(f) = [0, 1[ gilt.)


Der allgemeine Fall [a, b] ~ [a, b[ (für a < b) lässt sich ja nun
leicht auf den Fall [0, 1] ~ [0, 1[ "zurückführen".


K. H.