addition komplexer Zahlen in Exponentialform

[Markus Gronotte]

Hallo zusammen,

Laut meiner Formelsammlung (Hans-Jochen Bartsch) ist Addition
komplexer Zahlen in der Exponentialform nicht möglich.

Nun habe ich ein paar Vektoren, die ich addieren möchte
und hierzu folgende Gleichung aufgestellt:

Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°

Nun wird in einer ähnlichen Musterlösung behauptet, dass sich
diese Gleichung mit dem Taschenrechner lösen ließe.

Meine Frage daher: Wie macht man das?

Kann mir jemand die notwendigen Zwischenschritte sagen,
mit denen eine solche Addition funktioniert?

Da es sich hier um Elektrostatische Feldstärken handelt
muss das Ergebnis IMHO nur real sein. Das Ergebnis ist
mit 117726 angegeben.

lg,

Markus

[Roland Franzius]

Post by Markus Gronotte
Hallo zusammen,
Laut meiner Formelsammlung (Hans-Jochen Bartsch) ist Addition
komplexer Zahlen in der Exponentialform nicht möglich.
Nun habe ich ein paar Vektoren, die ich addieren möchte
Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°
Nun wird in einer ähnlichen Musterlösung behauptet, dass sich
diese Gleichung mit dem Taschenrechner lösen ließe.
Meine Frage daher: Wie macht man das?

Ergebnis = 1/2 80890(cos 30 pi/180 + j sin 30 pi/180
+ 1/2 26960*(cos *90 pi/180 - j sin *90 pi/180)
+ 1/2 53900* (cos *30 pi/180 - j sin *30 pi/180)

Wenn alles gut geht, heben sich die j*sin Terme weg.

Post by Markus Gronotte
Kann mir jemand die notwendigen Zwischenschritte sagen,
mit denen eine solche Addition funktioniert?
Da es sich hier um Elektrostatische Feldstärken handelt
muss das Ergebnis IMHO nur real sein. Das Ergebnis ist
mit 117726 angegeben.

[Markus Gronotte]

"Roland Franzius"

Hallo Roland,

Post by Roland Franzius
Ergebnis = 1/2 80890(cos 30 pi/180 + j sin 30 pi/180
+ 1/2 26960*(cos *90 pi/180 - j sin *90 pi/180)
+ 1/2 53900* (cos *30 pi/180 - j sin *30 pi/180)

Danke für die schnelle Antwort.
Kanst du mir grad noch verraten von was bei "cos *90 pi/180"
genau der Cosinus genommen wird? Soll das heißen "cos(90*pi/180)"

Mir ist nämlich gerade noch eingefallen, dass das Ergebnis ja
auch noch einen Winkel haben muss, welcher allerdings auch
in der Aufgabe nicht gefragt war.

lg,

Markus

[Thomas Nordhaus]

Post by Markus Gronotte
Hallo zusammen,
Laut meiner Formelsammlung (Hans-Jochen Bartsch) ist Addition
komplexer Zahlen in der Exponentialform nicht möglich.
Nun habe ich ein paar Vektoren, die ich addieren möchte
Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°

...

Post by Markus Gronotte
Da es sich hier um Elektrostatische Feldstärken handelt
muss das Ergebnis IMHO nur real sein. Das Ergebnis ist
mit 117726 angegeben.

Als Imaginärteil bekommt man 1/2*(80890-53900) - 26960 = -13465.
Realteil= sqrt(3)/2*(80890+53900)= irgendwas.

Das scheint nichts mit deiner Lösung zu tun zu haben.
Thomas

Post by Markus Gronotte
lg,
Markus

[Horst Kraemer]

Post by Markus Gronotte
Hallo zusammen,
Laut meiner Formelsammlung (Hans-Jochen Bartsch) ist Addition
komplexer Zahlen in der Exponentialform nicht möglich.

Es ist natuerlich moeglich, aber i.a. nicht "algebraisch", d.h. nicht
ohne Verwendung von transzendenten Funktionen.

Post by Markus Gronotte
Nun habe ich ein paar Vektoren, die ich addieren möchte
Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°
Nun wird in einer ähnlichen Musterlösung behauptet, dass sich
diese Gleichung mit dem Taschenrechner lösen ließe.
Meine Frage daher: Wie macht man das?
Kann mir jemand die notwendigen Zwischenschritte sagen,
mit denen eine solche Addition funktioniert?
Da es sich hier um Elektrostatische Feldstärken handelt
muss das Ergebnis IMHO nur real sein. Das Ergebnis ist
mit 117726 angegeben.

Der Realteil von

Summe r_i*exp(j*phi_i)

ist

Re = Summe r_i*cos(phi_i)

und der Imaginaerteil ist

Im = Summe r_i*sin(phi_i)


Dies folgt direkt aus

exp(j*phi) = cos(phi) + j*sin(phi)

Fuer Deinen Ergebnisvektor gilt dann

r = sqrt(Re^2+Im^2)

und fuer phi im Falle r=/=0

cos(phi) = Re/r
sin(phi) = Im/r


Wenn Du nun Re und Im als x und y in Deinen Taschenrechner eingibst
fuer die Funktion, die cartesische Koordinaten in Polarkoordinaten
umrechnet, so wirft er Dir r und phi raus. Wenn Deine Voraussetzungen
stimmen, muss Im=y=phi=0 gelten und r = Re ist Dein gewuenschtes
Ergebnis.

[Martin Fuchs]

Post by Markus Gronotte
Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°

Mache dir klar, dass
r * exp(j*x) = r *(cos(x) + j * sin(x)) bedeutet und
dass cos(x) = cos(x + k*2*Pi) / sin(x) = sin(x + k*2*Pi)
für natürliche k ist.
Außerdem ist das Symmetrieverhalten von sin- und
cos-Funktion nützlich.

Post by Markus Gronotte
Das Ergebnis ist mit 117726 angegeben.

Das Ergebnis für die Aufgabe, die du hier gepostet hast,
ist allerdings nicht rein reell, sondern hat den Imaginärteil -13480.





mf

[Markus Gronotte]

"Martin Fuchs"

Hallo Martin,

Post by Martin Fuchs

Post by Markus Gronotte
Ergebnis = 80890*e^j*30° + 26960*e^-j*90° + 53900*e^-j*30°

Mache dir klar, dass
r * exp(j*x) = r *(cos(x) + j * sin(x)) bedeutet

Post by Markus Gronotte
Das Ergebnis ist mit 117726 angegeben.

Das Ergebnis für die Aufgabe, die du hier gepostet hast,
ist allerdings nicht rein reell, sondern hat den Imaginärteil -13480.

Danke. Ich habs soweit verstanden (für den Realteil) und komme
auch für Re und Img auf das richtige Ergebnis. Nur habe ich die
obige Gleichung ja aus Vektoren aufgestellt. Das imaginärergebnis
müsste also doch demnach einen Winkel darstellen. Wie bekomme
ich den aus den -13480 eigentlich wieder raus. Also die Vektoren
hatte ich so angeordnet, dass der Bezugsvektor horizontal verlief
und die Vektoren alle von links nach Rechts (mit entsprechendem Winkel)
zeigten. Jetzt müste man aus -13480 doch irgendwie einen relativen Winkel
zu der ursprünglichen Bezugsgerade erhalten. Nur wie?

lg,

Markus

[Markus Gronotte]

Post by Markus Gronotte
Jetzt müste man aus -13480 doch irgendwie einen relativen Winkel
zu der ursprünglichen Bezugsgerade erhalten. Nur wie?

Habs durch ausprobieren noch hingekriegt. Arctan(re/img) wars.
Warum weiß ich allerdings nicht ^^

lg,

Markus

[Manuel Hölß]

Post by Markus Gronotte

Post by Markus Gronotte
Jetzt müste man aus -13480 doch irgendwie einen relativen Winkel
zu der ursprünglichen Bezugsgerade erhalten. Nur wie?

Habs durch ausprobieren noch hingekriegt. Arctan(re/img) wars.
Warum weiß ich allerdings nicht ^^

Mach dir klar, dass du die komplexe Zahl als Punkt mit den Koordinaten
(re|img) in einem Koordinatensystem in der Ebene darstellen kannst.
In der Form re+j*img = betr·exp(j·ang) ist dann betr der Abstand vom
Ursprung zu dem Punkt und ang der Winkel zwischen der reellen Achse und
der Verbindungslinie zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt.


Grüße.

[Markus Gronotte]

"Manuel Hölß"

Hallo Manuel,

Post by Markus Gronotte
Habs durch ausprobieren noch hingekriegt. Arctan(re/img) wars.
Warum weiß ich allerdings nicht ^^

Mach dir klar, dass du die komplexe Zahl als Punkt mit den Koordinaten (re|img) in einem Koordinatensystem in der Ebene darstellen
kannst.
In der Form re+j*img = betr·exp(j·ang) ist dann betr der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt und ang der Winkel zwischen der reellen
Achse und der Verbindungslinie zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt.

Ach na klar. "Steigungsdreieck" =) Manchmal hab ich echt nen Brett vorm Kopf ;)

lg,

Markus

[Horst Kraemer]

Post by Markus Gronotte

Post by Markus Gronotte
Jetzt müste man aus -13480 doch irgendwie einen relativen Winkel
zu der ursprünglichen Bezugsgerade erhalten. Nur wie?

Habs durch ausprobieren noch hingekriegt. Arctan(re/img) wars.
Warum weiß ich allerdings nicht ^^

a + j*b

= sqrt(a^2+b^2) * (a/sqrt(a^2+b^2) + j*b/sqrt(a^2+b^2))


Es gibt genau ein phi mit -pi<phi<=pi mit der Eigenschaft

cos(phi) = a/sqrt(a^2+b^2)
sin(phi) = b/sqrt(a^2+b^2)

Eine korrekte Loesung dieses Systems lautet

arccos a/sqrt(a^2+b^2) , wenn b>=0
phi =
-arccos a/sqrt(a^2+b^2) , wenn b<0


Die Loesung

phi = arctan(b/a) ist nur richtig, wenn a>0.

Die vollstaendige Loesung in (pi,pi] unter Verwendung von arctan(b/a)
lautet


pi/2 wenn a=0 und b>0
-pi/2 wenn a=0 und b<0
phi = arctan(b/a), wenn a>0
arctan(b/a)+pi, wenn a<0 und b>=0
arctan(b/a)-pi, wenn a<0 und b<0


In Programmiersprachen lautet die Loesung einfach

phi = atan2(b,a)

[Thomas Nordhaus]

Post by Martin Fuchs
Das Ergebnis für die Aufgabe, die du hier gepostet hast,
ist allerdings nicht rein reell, sondern hat den Imaginärteil -13480.

Mhhm. ich hab' 1/2*(80890-53900) - 26960 = -13465. Irgendwie ist da
einer von uns beiden knapp daneben.
Thomas

Post by Martin Fuchs
mf

[Martin Fuchs]

Post by Thomas Nordhaus
Mhhm. ich hab' 1/2*(80890-53900) - 26960 = -13465. Irgendwie ist da
einer von uns beiden knapp daneben.

Wer könnte das wohl sein...

Naja, war eine erste Näherung.


Zur Sicherheit könnten wir Hans Joss bitten,
mal nachzurechnen.


mf