nur reflexiv und transitiv?

[Stefanie D.]

Hi,
sagt mal gibt es eigentlich Relationen, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv sind?? Ich habe mir überlegt, dass das eigentlich nicht gehen
müsste, weil wenn R reflexiv, dann gilt:
x~y und y~x darus folgt aber, weil R auch transitiv ist, dass x~x gelten
müsste und das wäre ja dann die Reflexivität! Stimmt das, oder kann ich das
nicht so machen, gibt es ein Gegenbeispiel? Würde mich nur so interessieren,
lg Stef

[Gastfreund aus Korinth]

On Sun, 17 Oct 2004 20:27:34 +0200, Stefanie D. schrieb:

Sei R symmetrisch.

Post by Stefanie D.
x~y und y~x darus folgt aber, weil R auch transitiv ist, dass x~x gelten
müsste und das wäre ja dann die Reflexivität! Stimmt das, oder kann ich das
nicht so machen, gibt es ein Gegenbeispiel? Würde mich nur so interessieren,

Das ist nicht richtig. Um zu zeigen, daß x ~ x für ein spezielles x
gilt, muß es ein y geben mit y =/= x und x ~ y.

jb

[Klaus-R. Löffler]

Gastfreund aus Korinth schrieb

Post by Gastfreund aus Korinth
Sei R symmetrisch.

Post by Stefanie D.
x~y und y~x darus folgt aber, weil R auch transitiv ist, dass x~x gelten
müsste und das wäre ja dann die Reflexivität! Stimmt das, oder kann ich das
nicht so machen, gibt es ein Gegenbeispiel? Würde mich nur so interessieren,

Das ist nicht richtig. Um zu zeigen, daß x ~ x für ein spezielles x
gilt, muß es ein y geben mit y =/= x und x ~ y.
jb

.. z.B. ist die leere Relation über einer nichtleeren Menge symmetrisch und
transitiv, aber nicht reflexiv.

Klaus-R. Löffler

[Horst Kraemer]

Post by Stefanie D.
sagt mal gibt es eigentlich Relationen, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv sind?? Ich habe mir überlegt, dass das eigentlich nicht gehen
x~y und y~x darus folgt aber, weil R auch transitiv ist, dass x~x gelten
müsste und das wäre ja dann die Reflexivität! Stimmt das, oder kann ich das
nicht so machen, gibt es ein Gegenbeispiel? Würde mich nur so interessieren,

Die Reflexivitaet ist definiert als

WENN x ~ y und y ~ z DANN x ~ z

und die Symmetrie als

WENN x ~ y DANN y ~ x


Wenn man also wuesste, dass ein x mit irgendeinem y in Relation steht,
folgt aus der Symmetrie und der Transitivitaet auch x ~ x. Aber wenn
ein bestimmtes x ueberaupt nicht an der Relation teilnimmt, greifen
Symmetrie und Reflexivitaet "ins Leere", da die WENN-Bedingung nie
zutrifft.

Als Extremfall kann man die leere Relation auf einer nicht leeren
Menge betrachen bei der ueberhaupt nichts miteinander in Relation
steht. Diese ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.

Uebunsgsaufgabe: Die leere Relation auf der leeren Menge ist
symmetrisch, transitiv *und* reflexiv ;-)

[Martin Fuchs]

Post by Horst Kraemer
Die Reflexivitaet ist definiert als
WENN x ~ y und y ~ z DANN x ~ z
und die Symmetrie als
WENN x ~ y DANN y ~ x

Vollständigerweise sollte man hier die Allquantoren nicht vergessen.



Übrigens bildet die Menge von homogenen Relationen auf einer
Grundmenge ihrerseits eine (boolesche Algebra), was einen
gewissen Relationenkalkül nahelegt.

Die Bedingungen für Reflexivität und Symmetrie lassen sich dann
auch quantorenfrei schreiben,

R heißt reflexiv <=> Id \subseteq R
R heißt symmetrisch <=> R^t = R


(wobei Id die Identität auf der Grundmenge ist und R^t die transponierte
Relation bezeichne [erste und zweite Komponente eines Tupels jeweils
vertauscht])


mf

[Tjark Weber]

Post by Horst Kraemer
Die Reflexivitaet ist definiert als
WENN x ~ y und y ~ z DANN x ~ z

s/Reflex/Transit/

Freundliche Grüße,

Tjark

[Ingrid Voigt]

Post by Stefanie D.
sagt mal gibt es eigentlich Relationen, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv sind??

x~y genau dann, wenn x*y != 0

Grüße
Ingrid

[Michael Hoppe]

Post by Stefanie D.
Hi,
sagt mal gibt es eigentlich Relationen, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv sind??

Wenn eine Relation symmetrisch und drittengleich, d.h.:

Für alle x, y, z folgt aus x~z und y~z bereits x~y,

so kann man daraus ihre Reflexivität und Transitivität folgern.

Michael

[Klaus-R. Löffler]

Michael Hoppe schrieb

Post by Michael Hoppe

Post by Stefanie D.
Hi,
sagt mal gibt es eigentlich Relationen, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv sind??

Für alle x, y, z folgt aus x~z und y~z bereits x~y,
so kann man daraus ihre Reflexivität und Transitivität folgern.
Michael

Eben nicht. Ingrid hat doch gerade ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung
gegeben!

Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms