Basis von Faktorräumen berechnen

[Damian Gresch]

Hallo,
ich habe eine Problem beim Berechnen einer Basis von einem Faktorraum. Es
sei gegeben eine 5-dimensionaler V-Raum V=<a1,a2,a3,a4,a5>. Ferner sei V1
ein Untervektorraum von V mit dim(V)=4. Es fehlt also ein Vektor, also
V1=<a1,a2,a3,a4>. So jetzt kommt das Problem. Es gibt ein Untervektorraum
von V1, der V2 heisst, mit dim(V2)=2,
wobei V2=<b1,b2>. Sprich V2 wird mit völlig anderen Vektoren definiert. Wenn
ich eine Basis zu von V/V1 berechnen müsste, dann wäre V/V1=<a5+V1>. Aber
ich weiss nicht, wie ich das bei V1/V2 machen soll. Ich muss zwei Vektoren
b3 und b4 finden, so dass b3 und b4 Elemente von V1, aber nicht von V2 sind.
Wie kann man solche Vektoren konstruieren, wenn die beide Vektorräume mit
völlig verschiedenen Vektoren definiert sind. In der Musterlöung wurde
einfach gewählt. Das ist ja echt klasse-:(

Damian

[Marc Olschok]

Post by Damian Gresch
Hallo,
ich habe eine Problem beim Berechnen einer Basis von einem Faktorraum. Es
sei gegeben eine 5-dimensionaler V-Raum V=<a1,a2,a3,a4,a5>. Ferner sei V1
ein Untervektorraum von V mit dim(V)=4. Es fehlt also ein Vektor, also
V1=<a1,a2,a3,a4>. _________________^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^__

Vorsicht. Das funktioniert nicht immer. Wenn Du eine Basis von V vorgegeben
hast, braucht V1 noch nicht einmal die a1,...,a4 enthalten:

Nimm z.B. die lineare Abbilung f: V --> k mit f(a1)=f(a2)=...=f(a5)=1.
Dann ist V1=ker(f) ein 4-dimensionaler Unterraum von V, aber keines der
a1,...,a5 liegt in V1.

Post by Damian Gresch
So jetzt kommt das Problem. Es gibt ein Untervektorraum
von V1, der V2 heisst, mit dim(V2)=2,
wobei V2=<b1,b2>. Sprich V2 wird mit v?llig anderen Vektoren definiert. Wenn
ich eine Basis zu von V/V1 berechnen m?sste, dann w?re V/V1=<a5+V1>. Aber
ich weiss nicht, wie ich das bei V1/V2 machen soll. Ich muss zwei Vektoren
b3 und b4 finden, so dass b3 und b4 Elemente von V1, aber nicht von V2 sind.
Wie kann man solche Vektoren konstruieren, wenn die beide Vektorr?ume mit
v?llig verschiedenen Vektoren definiert sind. In der Musterl?ung wurde
einfach gew?hlt. Das ist ja echt klasse-:(

Starte mit der Basis des V2. Suche b3 in V1 mit b3 nicht in B2=<b1,b2>.
Dann suche b4 in V1 mit b4 nicht in <b1,b2,b3>.
Dann ist dim(<b1,b2,b3,b4>)=4 also V1=<b1,b2,b3,b4>.

Marc